Ponto

Nessa série de aulas vamos apresentar o elemento mais básico da geometria: o ponto.Premium

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Aulas de Ponto

Introdução - Teoria

Introdução a Geometria Analítica no R² - definições de eixos das coordenadas e abscissas, quadrantes e outros pré-requisitos para o entendimento.

TRANSCRIÇÃO

E aí, pessoal do Passei Direto, tudo bom? Aqui é o professor Felipe e a gente vai falar aqui agora sobre Geometria Analítica, pessoal.
Bom, vamos lá. O que a gente vai discutir aqui é a Geometria Analítica no plano, ou seja, muitas vezes vai aparecer também, no R2.
O que isso significa? No R2?
Dos reais ao quadrado. Você viu que eu tenho um eixo dos números reais aqui e um eixo dos números aqui.
Eu tenho duas dimensões não é? Beleza.
O que a gente vai fazer nessa aula aqui? Principalmente a gente vai tentar entender o que a gente vai estudar e alguns conceitos que vão ser importantes para que a gente compreenda essa matéria, beleza?
E também alguns conteúdos que é importante que a gente domine para que a gente possa desenvolver bem esses estudos. Então é uma aula mais introdutória, mas para a gente entender mesmo alguns conceitos fundamentais dessa teoria e alguns conceitos que precisamos ter para que a gente possa desenvolver esses estudos, beleza?
Então vamos lá, pessoal. O que a gente vai estudar, o que é essencialmente na geometria analítica é o seguinte: nosso estudo vai estar todo sempre aqui no plano cartesiano, que é esse pano aqui de eixos coordenados, planos perpendiculares, não é pessoal?
Do eixo do X, eixo dos Y muitas vezes também alguns nomes aí que às vezes podem ser úteis, esse eixo aqui que é o eixo X, às vezes aparece também com o nome de eixo das abscissas provavelmente você já deve ter escutado essa palavra alguma vez; eixo das abscissas. Então esse é um nome que a gente tem que saber e o eixo Y também; o eixo das ordenadas.
Eixo das ordenadas. São sinônimos aí para o eixo X e para o eixo Y.
Palavras que a gente tem que saber, não é? Bom, pessoal, o que é o estudo da geometria analítica?
Aliás, uma outra coisa importante também antes da gente começar a conceituar são os quadrantes, não é pessoal? A gente costuma falar que esse aqui é o primeiro quadrante, a gente percebe claramente que, o nosso plano cartesiano, fica dividido em quatro regiões, então aqui a gente tem o primeiro quadrante e a gente começa a contar sempre no sentido anti-horário.
Então esse aqui seria o meu segundo quadrante. Esse seria o meu terceiro quadrante e esse o quarto quadrante.
Então às vezes pode ser importante a gente saber localizar esses quadrantes, beleza? Mas então, vamos lá, o estudo da Geometria Analítica, pessoal vai ser o quê?
O estudo de figuras geométricas às vezes até conhecidas por vocês, como elipses, circunferências, parabólas, só que a gente vai escrever analiticamente as equações dessas figuras no plano. Como assim?
Por exemplo, Um problema do tipo que vamos resolver seria algo semelhante com esse aqui. Eu tenho uma certa circunferência com essas características dela, onde ela está localizada o raio dela, eu tenho uma certa reta e eu quero saber, por um exemplo, onde que essa reta intercepta essa circunferência, eu quero descobrir esses dois pontos aqui.
Esse ponto e esse ponto. E então eu pegarei essa reta, escrevo a equação que descreve ela equacionalmente, a gente vai escrever, a gente vai aprender a fazer isso.
Então, por exemplo, "Y = MX + N" por exemplo. Depois pego a circunferência ali, escrevo a equação dela, então teria algo desse tipo: X-A a gente vai aprender a fazer todas as equações, tá pessoal?
E a resolver problemas desse tipo só que vocês entendam o que a gente vai fazer "=r²". E como que a gente resolve esse tipo de problemaw Como que eu consigo encontrar esses dois pontos?
Então vai ser mais ou menos isso o que a gente vai estudar aqui. Então a gente vai pegar, descrever analiticamente, pegar figuras que a gente conhece e escrever equações que representem, que descrevam essas figuras geométricas, beleza pessoal?
Então a gente vai estar o tempo inteiro trabalhando no plano cartesiano, por isso que é importante esses conceitos podem parecer simples, mas é importante que a gente domine essa questão de quadrantes, o que é o plano cartesiano o que é o eixo das abscissas, o que é eixo das ordenadas e que a gente também saiba um pouco de álgebra. Tem uma certa familiarização com a álgebra, porque a gente vai estar o tempo inteiro escrevendo equações que descrevem essas figuras no espaço, então se você souber bem aí trigonometria, vai ajudar bastante, se você souber um pouco de fatoração, de álgebra, de manipular expressões algébricas, isso vai ajudar bastante.
Deixa eu ver o que mais, acho que é essencialmente isso, pessoal. Se precisar de coisas a mais, a gente vai estar sempre trazendo aqui ao longo do curso, mas é importante então que você domine um pouco de geometria plana, não é?
Porque, como eu disse, a gente vai descrever figuras geométricas. Só que vamos escrevê-las através de equações, então é bem interessante que você saiba um pouco de geometria plana sobre a circunferência, sobre, por exemplo, as próximas coisas que a gente vai estudar nas cônicas, as elipses, então talvez seja interessante que você já tenha um pouco de conhecimento de algumas propriedades da geometria plana mesmo.
Talvez elas sejam importantes aqui a gente também, beleza? Mas também sempre que forem, eu vou trazer esses conceitos, eu vou tentar retomá-los para que vocês possam acompanhar muito bem aqui a dinâmica da nossa aula, beleza?
Então é isso, pessoal. Na próxima aula já, a gente vai começar demonstrando e fazendo alguns exercícios de uma das fórmulas mais importantes da geometria analítica que é a da distância entre pontos, beleza?
Então a gente se encontra lá e continuamos os nossos estudos, beleza pessoal? Então é isso aí.
Muito obrigado pela atenção, até a próxima aula e tchau. ...

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Exercício

Confirme que é uma solução do problema de valor inicial y′ = 3x2y, y(0) = 3.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aqui o objetivo não é resolver o problema de valor inicial e sim explorar o conceito de solução de um problema de valor inicial. Como estudado no início da seção 9.1 do capítulo 9 do livro, uma solução é uma função que satisfaz a equação diferencial e cumpre com as condições iniciais.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Acompanhe o passo a passo!

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos começar derivando , usando a regra da cadeia:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mostrando que é realmente uma solução da equação diferencial

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora resta verificar que a condição inicial também é satisfeita:

Com isso, está confirmado que é solução do problema de valor inicial , .