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Ângulo entre retas - Teoria

Para encerrar o bloco de retas, vamos ver como identificar que duas retas perpendiculares entre si e resolver alguns exercícios que utilizam essa informação.

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  • play_arrowEstudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

    lockEquação geral da reta - Teoria

    lockEquação reduzida da reta - Teoria

    lockEquação fundamental da reta - Teoria

    lockIntersecção de retas - Teoria

    lockPosições relativas entre retas - Teoria

    lockDistância de ponto a reta - Teoria

    lockÂngulo entre retas - Teoria

    lockResumo - reta - Resumo

  • E aí, pessoal. Beleza?
    Vamos continuar então o nosso curso de geometria analítica, a nossa última aula sobre o tema de retas. Vamos lá.
    A gente vai discutir algo bem legal aqui nessa aula, que é o caso de retas perpendiculares, que é o caso mais importante de ângulo entre retas. Quando duas retas são perpendiculares, quando que isso acontece, que relação que existe?
    Então vamos lá. Eu tenho essa reta "R" aqui, pessoal, que faz um ângulo teta R com a horizontal, com o sentido positivo do eixo X e essa é a reta S.
    E elas são perpendiculares. A primeira coisa que eu vou escrever é o seguinte: o que eu sei?
    Eu sei que o coeficiente angular da reta R, vou chamar de MR, é a tangente daquele ângulo teta R, não é isso? E o coeficiente angular da reta S, a mesma coisa, o coeficiente angular da reta S é igual à tangente daquele ângulo teta S, legal?
    O que a gente sabe, pessoal? Vamos lá, vamos usar um de geometria e trigonometria aqui nessa aula.
    Bom, eu sei que se eu pegar esse ângulo aqui, o ângulo externo, ele é o ângulo externo desse triângulo, não é? Ele é a soma dos internos não adjacentes, ou seja, posso escrever que teta S é soma de 90 + teta R.
    Ou seja, 90 + teta R, não é isso? Beleza.
    O teoremazinho da geometria plana, não é? Legal.
    E agora? Vou tirar a tangente dos dois lados, porque eu quero trabalhar com coeficiente angular.
    Então a tangente de tetaS é igual a tangente então se esse ângulo é igual a esse ângulo todo aqui, não é? Então a tangente disso é igual a tangente disso tudo, então é igual a tangente de 90 + teta R, beleza?
    E aí, pessoal. Aqui como é que fica agora?
    Agora a gente vai ter que lembrar lá da trigonometria, não é? Como que a gente transforma isso daqui?
    A gente pode escrever da seguinte maneira, olha: tangente de tetaS do lado de lá, o que é a tangente de 90 + tetaR? A gente tem que lembrar que isso é -cotangente do ângulo, menos a cotangente de tetaR.
    Se eu tenho aqui, então o importante aqui para a gente é isso. Se eu tenho aqui, tenho que colocar aqui do lado, tangente de 90+x isso então vai ser -cotangente de x.
    Só que o que é a cotangente? É 1/tangente, então aqui onde aparece cotangente, eu já vou colocar 1/tangente tetaR, porque o que me interessa é mexer com a tangente, não é?
    Que é o coeficiente angular, então vai ficar -1/tangente de tetaR. E agora?
    Se eu passar isso multiplicando, eu vou ter o seguinte: tangente de tetaS vezes a tangente de tetaR é igual a - 1. Só que o que é a tangente de tetaS?
    Agora está ali em cima. A tangente de tetaS é o coeficiente angular da reta S e a tangente de tetaR é o coeficiente angular da Reta R.
    Então fechou a gente já tem aqui a condição que a gente queria, que é o seguinte: duas retas são perpendiculares se, e somente se, produto, os seus coeficientes angulares forem igual a -1. Não é isso?
    A tangente não é o coeficiente angular? Então essa é a condição para que duas retas sejam perpendiculares, pessoal.
    Os produtos de seus coeficientes angulares têm que ser igual a menos -1. Beleza?
    Então vamos fazer alguns exercícios aí para a gente colocar isso em prática. Olha.
    Encontre a equação da reta que contém esse ponto e é perpendicular a essa reta. Vamos lá.
    Vamos com calma aqui então. Vamos pensar, por exemplo, aqui, na equação fundamental.
    Y - Y0 é M que multiplica X - X0. Eu já tenho um ponto, preciso do coeficiente angular.
    Como que eu obtenho? Vamos pensar nesse aqui.
    Joga o Y para lá, vamos colocar no formato reduzido. Y = 3x + 2, eu sei que se eu pegar o coeficiente angular dessa reta que eu quero achar e multiplicar pelo coeficiente angular dessa têm que dar -1, por quê?
    Porque essas retas são perpendiculares de onde eu descubro que o coeficiente angular da minha reta em questão é -1/3. Então fica assim y - y0, y do ponto que eu tenho 2, no caso, é igual -1/3 que multiplica X - (-1), não é? -X0 X + 1.
    Então como é que fica isso, pessoal? Y = -x/3 - 1/3 + 2 vai passar esse termo para lá + 2, o que é 2?
    A mesma coisa que 6/3, não é? 6/3 dá dois já colocando na mesma base para a gente fazer essa soma.
    Então como é que fica a equação da reta? Y é - 1/3 x ou - x/3 + 5/3.
    6-1 = 5/3 então está aí, pessoal. Essa aqui é a equação da reta que contém aquele ponto e é perpendicular a essa reta aqui.
    Legal não é, pessoal? Bacana.
    Vamos fazer mais um exercício então? Vamos lá.
    Olha. Encontre a equação da mediatriz do segmento A, B, dado A e B.
    Então são dois pontos A e B. A gente tem que lembrar o que é mediatriz, eu fiz um esboço, pessoal, sem nenhum compromisso com a realidade onde que está esses pontos e tal, só para a gente entender.
    A mediatriz de um segmento, pessoal, é o seguinte: é eu pegar o ponto médio desse segmento e traçar uma reta perpendicular a ele. Lembrou disso daí da geometria plana?
    Então vamos lá. O que eu preciso então na minha reta?
    Ela tem que conter o ponto médio desse segmento, então a gente já consegue descobrir, a gente vai usar várias coisas aqui. Vamos buscar lá na nossa teoria do ponto médio.
    O ponto médio, as coordenadas do ponto médio, a gente obtém pelas médias das coordenadas, não é? Então o X vai ser 1 + 3 = 4/2= 2.
    E o Y = 0 - 2/2 = -1 Então a minha reta eu já tenho um ponto dela. Legal.
    Já tenho um ponto. O que eu preciso agora?
    Do coeficiente angular. Como que eu obtenho o coeficiente angular?
    Imagina essa reta aqui, olha, que contém esse segmento AB. Vamos chamar de "S".
    Como que seria o coeficiente angular da reta S? Eu não vou nem achar a equação das retas "S", não.
    Só o coeficiente angular dela. Como que eu obtenho?
    Delta Y / Delta X, não é isso? Então vamos lá.
    Vamos pegar o exemplo, por exemplo, do B para o A. Delta Y é - 2 - 0 = -2 / deltaX = 3 - 1 = 2, dá -1.
    Por que eu peguei esse coeficiente angular? Porque se eu pegar essa reta aqui que é da mediatriz, a gente vai chamar ela de R, eu sei que se eu fizer o produto do coeficiente angular da R que é o que eu quero descobrir vezes o coeficiente angular dessa S, que é a reta que contém o segmento AB, tem que dar -1.
    Por quê? Por causa dessa definição de mediatriz que acabei de retomar com vocês.
    Se ela é uma mediatriz, ela é perpendicular a esse segmento AB. Ou seja, produtos de coeficientes angulares tem que dar -1, então fica assim, olha: coeficiente angular da R que multiplica o coeficiente angular da S que é -1, tem que dar = -1.
    Então quanto que vai dar o coeficiente angular da R, pessoal? 1, não é?
    Então, pronto. Já tenho o ponto, que eu sei que ela tem que passar e tenho o coeficiente angular.
    Fechou. A equação fundamental da reta.
    Como que a gente faz? Y - Y0 é MX-X0, então Y menos o Y de um ponto.
    Qual que é o ponto que eu sei que ela tem que passar? É o ponto médio, o Y é -1.
    Então vai ficar y-(-1) vai ficar +1. É igual a M, porque o coeficiente angular é 1, que multiplica X menos o X do ponto, o X do ponto médio que é 2, está ali em cima, não é, pessoal?
    Dois. Então fechou, a equação da reta é Y distribuindo aqui vai ficar X - 2, aí esse + 1 vem para cá -1, então no formato reduzido a equação da mediatriz é XY = X - 3, beleza?
    Então está aí, pessoal. Bastante coisa que envolveu isso aqui, não é?
    O Ponto médio, definição de mediatriz, retas perpendiculares, legal, não é? Então é isso, pessoal.
    Espero que tenha ficado claro, o caso mais importante que a gente precisa é esse, digamos, que são retas perpendiculares. Legal?
    Então muito obrigado pela atenção, pessoal. Até a próxima aula e tchau.
    ...

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