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Distância de ponto a reta - Teoria

Através da equação geral da reta, vamos agora calcular a distância do ponto à reta.

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  • play_arrowEstudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

    lockEquação geral da reta - Teoria

    lockEquação reduzida da reta - Teoria

    lockEquação fundamental da reta - Teoria

    lockIntersecção de retas - Teoria

    lockPosições relativas entre retas - Teoria

    lockDistância de ponto a reta - Teoria

    lockÂngulo entre retas - Teoria

    lockReta - Resumo

  • E aí, pessoal. Beleza?
    Vamos continuar então o nosso estudo de Geometria Analítica, onde vai falar disso daqui; a distância de ponto a reta. O que seria isso?
    Vamos lá. Primeiro pessoal, nesse tipo de situação, a gente vai trabalhar com uma fórmula aqui que daqui a pouco eu apresento para vocês, onde a gente vai precisar trabalhar com a reta no seu formato geral, a equação geral da reta, então, como a gente viu, não é?
    Às vezes então agora pode ter as suas utilidades trabalhar com a reta no formato geral, com a ação geral da reta. A gente viu que a equação reduzida é muito boa para gente, a gente pode extrair muitas informações, mas, nesse caso, a gente vai ver a reta no formato geral.
    Beleza? O que consiste o nosso problema?
    Eu tenho essa reta, está aqui a equação dela, a equação geral dela, e eu tenho um ponto P qualquer coordenada xp e yp, eu quero saber qual é a distância desse ponto a essa reta. Bom, eu posso ligar esse ponto a essa reta de infinitas maneiras, por exemplo, posso fazer essa ligação, posso fazer essa, posso fazer, sei lá, essa outra, mas quando a gente fala em distância, pessoal, a gente vai falar dessa, daquela, da outra, a gente sempre fala da menor distância e a menor distância é aquela que é tomada perpendicularmente, então isso aqui seria a nossa distância deles.
    Esse é o nosso problema, encontrar essa distância deles. A menor distância, já fica subentendido sempre quando fala distância, a gente já pensa na menor, beleza?
    Então seria isso aqui, a menor distância ou simplesmente a distância desse ponto P até essa reta R, seria essa distância então perpendicular a reta, legal? E aí como é que a gente calcula?
    A gente calcula da seguinte maneira. Essa aqui é a nossa fórmula.
    A distância do Ponto P até a reta R é o módulo, isso aqui é o módulo, tá? De A.
    E quem é o A? É o coeficiente ali que acompanha o X no formato geral da reta.
    Beleza? módulo de A vezes o Xp, o X do ponto, B Yp, o Y do ponto, mais C, então basicamente eu pego a equação da reta no lugar de X,Y, eu coloco o XY no ponto.
    As coordenadas do ponto. E ali embaixo aparece uma raiz quadrada de a² + b².
    Beleza, pessoal? Então vamos fazer alguns exemplos para que isso possa ficar mais claro.
    Então vamos lá. Calcule a distância do ponto P até a reta R, então vamos lá, vamos utilizar essa nossa fórmula: letra A.
    Como que ficaria? Eu até vou copiar aquela fórmula para que a gente possa gravar, não é?
    Então é módulo de A Xp + B Yp, y no ponto, mais C dividido então pela raiz de a² + b², não é isso? Legal.
    Vamos desenvolver isso daí então. Como que fica?
    Aqui eu tenho que, vamos lá, módulo de A, quem é o meu A? É oito.
    Quem que é o meu XP? É 1.
    Legal. Mais B, quem é o meu B?
    Meu B é -4, então fica -4 vezes o YP. O YP é zero mais 3, não é?
    Mais C simplesmente mais 3. Legal.
    Dividido pela raiz quadrada de a², ou seja, 8² que dá 64, não é isso? + 4².
    B² que dá 16. Beleza.
    Vamos lá, vamos mexer nisso daí. Isso aqui vai zerar não é, pessoal?
    4x0 =0, eu vou ter 8+3. Então vai ficar assim, olha: D é o módulo de 8 mais 3 que dá 11 não é, pessoal?
    Módulo de 11 dividido pela raiz de 64 + 16 que dá 80, não é? Raiz de 80.
    Então fechou, já achamos a distância, módulo de 11 é 11, esse módulo é simplesmente porque pode aparecer um valor negativo e não faz sentido a gente falar em distância negativa não é, pessoal? Por isso que a gente coloca módulo se aparecesse - 11, a gente pegaria o módulo que daria 11, então seria 11 sobre a raiz de 80, então isso daí é a nossa distância, pessoal.
    A distância do ponto P a reta R então é dada dessa forma, não é muito complicada não, não é pessoal? A fórmula não é tão esquisita assim, não.
    Então vamos lá. Letra B então, vamos fazer essa letra B.
    Hum cadê? Está aí, olha.
    O que a gente podia fazer? Colocar a equação daquela reta no formato geral não é, pessoal?
    Então vamos lá, vou copiar aquele ponto ali, o ponto P (2,1) e a reta Y = 2x - 3, y = 2x -3. Colocando no formato geral, vou jogar o Y para cá.
    2x - y - 3 = 0. Fechou, posso multiplicar tudo por -1, eu posso deixar assim mesmo e trabalhar assim mesmo, não é?
    Como a gente viu, a equação geral da reta tem várias formas de descrever tanto faz aqui eu escolho. Legal?
    Então vamos lá. Como seria a distância?
    Módulo de A x X0. Quem é o meu A?
    é 2 vezes X0 que é 2. Mais B.
    Quem é o B? -1 está aqui vezes Y0, o Y do P, vezes o Y do ponto P, que é 1.
    Mais C que é -3, então -3, então é módulo disso dividido pela raiz quadrada de a² que é 2² = 4, mais B². 1² = 1.
    -1², que dá 1, não é? Como fica isso daí, pessoal?
    2x1 vai ficar módulo de 4, aí aqui -1 -3 = -4 dividido pela raiz de 5, ou seja, o que é isso? Módulo de 0.
    Módulo 0 dividido pela raiz de 5. Quanto que é o módulo de 0?
    É zero, não é? Isso aqui então é zero dividido por raiz de 5 dá zero.
    O que isso significa? Vamos interpretar esse resultado então, significa que a distância deste ponto até esta reta é igual a zero.
    Como assim? Como a distância pode ser zero?
    Significa que o ponto pertence a reta. Vamos voltar para o nosso esboço.
    Imagina se eu pego esse ponto aqui e falasse: calcule a distância desse ponto até essa reta. Não faz sentido, a distância é zero, o ponto pertence a reta, não é?
    Foi o que a gente obteve então. Então essa fórmula, pessoal.
    Se aparecer isso, não se assuste. Se você preferir, você pode pegar esse ponto P e jogar aqui nessa reta para ver se eles satisfazem a equação.
    Se ele satisfaz é porque o ponto pertence a reta então não faz sentido em calcular a distância, a distância é zero, mas você não precisa fazer isso, por quê? Porque essa fórmula ela já te dá essa informação, se o ponto pertencia a reta, você vai obter uma distância igual a zero, o que faz o total sentido, não é?
    Então perceba o seguinte. Por que deu zero?
    Porque se eu pegar o ponto P e substituir aqui, que foi o que eu fiz aqui em cima, não é? Dá zero, significa que o ponto pertence a reta.
    Sacou? Então é isso.
    Nada para surpreender a gente não. A distância dá zero porque o ponto pertence a reta.
    Legal? Então está aí, pessoal.
    É assim que a gente resolve um problema clássico aí de calcular a distância de ponto a reta, não muito complicado, não é? Então é isso, gente.
    Espero que tenha ficado claro, muito obrigado pela atenção e até a próxima aula. ...

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