Reta

Veja nessa série de aulas as propriedades e formas de descrever retas através de suas equações (geral, reduzida e fundamental), e como identificar suas características e posicionamento no plano.

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Aulas de Reta

Estudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

Introdução as retas - vamos ver algumas retas simples para entendermos os principais elementos que compõem a equação da reta.

TRANSCRIÇÃO

E aí, pessoal do Passei Direto, beleza? Vamos lá então, agora a gente vai continuar nosso estudo de Geometria Analítica, a gente vai falar agora de retas, equações de retas, um estudo que vai ser muito importante para a gente.
Então vamos lá. A gente vai começar mais devagar aqui, esse vídeo a gente vai analisar alguns casos específicos de equações de retas, entender quais são as equações das retas, depois a gente vai chegar no caso mais geral, que é quando a gente vai demonstrar, na verdade, na próxima aula e discutir de forma mais aprofundada, beleza?
Então aqui, pessoal, como a gente já contextualizou bem na Geometria Analítica, a gente quer representar figuras geométricas, no caso, retas, através de equações e saber ler essas equações, entender o que significa cada informação nela. Beleza?
Então vamos pegar aqui alguns casos um pouco mais mais elementares, vamos dizer assim. Que seria, por exemplo, o eixo X.
O eixo X é uma reta, é o eixo das abcissas. Como que eu representaria através de uma equação essa reta?
Simples, pessoal. O que acontece no eixo X?
O Y é sempre zero, não é? Se eu tivesse aqui o Y valeria um outro valor, mas aqui ao longo do Eixo X, o Y é sempre zero.
Então a equação do eixo X é essa. O Y=0.
Não tem muito segredo não é, pessoal? É até simples.
Então esse aqui seria a equação para o meu eixo X, Y=0. Depois a gente vai chegar em um caso mais geral aí, para quaisquer retas horizontais, beleza?
Vamos ver aqui agora como que seria, por exemplo, se eu tivesse só o Eixo Y, se eu quisesse representar o Eixo Y aqui. Esse Eixo inteiro aqui através de uma equação.
Como que eu faria? Pessoal, de forma parecida, o que acontece ao longo do Eixo Y?
O que acontece ao longo do Eixo Y é que o X ele sempre vale zero, não é? O X é sempre igual a zero, então para representar o Eixo Y, o X é igual a 0.
Então esse aqui seria a equação dessa reta azul aqui, viu pessoal? A equação dela é x=0.
Se a gente está aqui no plano, em duas dimensões no plano cartesiano, se eu tiver essa equação x = 0, isso não representa um ponto, não é? Isso representa na verdade uma reta.
Legal? Beleza?
Então vamos lá. Agora vamos pegar aqui, olha.
Um caso mais geral. Quaisquer retas verticais, a gente viu que uma reta vertical ali, a gente acabou de fazer, não é?
A reta, o eixo Y, seria X = 0, qualquer reta vertical, pessoal, na verdade tem o mesmo formato de equação, por exemplo, essa reta daqui, como que seria a equação dela? Seria X = 2, ou se você preferir, você pode escrever assim: X-2=0, é a mesma coisa, né?
Por quê? Porque nessa reta ao longo dessa reta, o X sempre vale dois.
A abcissa é sempre dois aqui. Então esse é o lugar geométrico dos pontos onde o X = 2, ou onde o X-2=0.
Você concorda comigo que se eu pegar qualquer ponto aqui, ele vai satisfazer essa equação? X-2=0, por quê?
Porque o X dele sempre vai ser dois. Então essa reta que se estende aqui infinitamente para cima e para baixo sempre aqui no dois, em direção ao X = 2, ela é então, a equação denominada por isso daqui.
Essa outra reta aqui, a mesma coisa, seria X = 7, ou simplesmente, X - 7 = 0, como você preferir, então a equação que descreve aquela reta seria essa daqui. Beleza, pessoal?
Nada muito complicado, não é? E foi mais ou menos o que a gente fez, não é?
Aqui a gente tem x=7, no caso, x=0 é o próprio eixo Y, por exemplo, se fosse X=1, eu teria uma reta que passa aqui no 1, x=0, é o que passa aqui no zero, que seria o eixo Y, não é? Que a gente já discutiu, esse aqui seria o Eixo Y.
Então retas verticais vão ter sempre esse formato X = alguma coisa. X igual a uma constante.
Beleza? Porque se a reta é vertical, o X tem o mesmo valor ao longo dessa reta.
Tranquilo? Vamos pegar um caso parecido aqui agora, que seriam retas horizontais.
Mesma história não é, pessoal? Por exemplo, essa reta que aparece aqui.
Qual seria a equação? Y = 3.
Parecido com aquela ali, só que agora a gente está falando de uma reta que é horizontal, não é? É o Y que é constante ao longo dessa reta inteira.
Então um outro jeito de escrever seria Y-3=0. Qualquer ponto daquela reta satisfaz essa equação.
O Y sempre é 3, então sempre vai acontecer isso aqui. Y-3=0.
Beleza, pessoal? A mesma coisa aqui, não é?
Teria Y = 5 ou Y-5=0, não é? Beleza.
Então está aí, não tem muito segredos. São casos simples, a gente consegue enxergar facilmente a gente sabe ler e entender as informações contidas nessa equação, não é?
O Y=0 seria um caso parecido, o Y=1, que estaria aqui, passando no um, o Y=0 está aqui passando no zero. O Y=0 seria a equação do eixo X, conforme a gente discutiu ali em cima, não é?
Então, beleza. Vamos pegar agora o caso, pessoal, um pouquinho mais elaborado, que seria uma reta oblíqua, um caso um pouquinho mais geral.
Esse aqui nem é um caso geral, esse aqui é uma reta oblíqua bem específica que é uma reta que passa pela origem não é, pessoal? E o Y dela está aqui.
É sempre igual ao X, olha só, quando o X é dois quanto vale o Y? Dois.
Então que reta é essa? Essa aqui seria o que a gente chama de bissetriz dos quadrantes ímpares não é, pessoal?
Por que bissetriz? Porque ela passa diretamente no meio, não é?
Olha só. Ela divide de forma bem simétrica os quadrantes simples, que é o quadrante um que está aqui e o quadrante três que vai aparecer aqui embaixo, não é?
Então como que a gente apresenta essa reta? Y=X.
Por quê? O Y sempre é igual a X ou então o outro jeito, não é?
Y-X=0. Ou X-Y=0, se você multiplicar por -1, não tem problema não, então um jeito de escrever a equação dessa reta seria isso.
Y=X. É uma reta onde o Y dela sempre é igual ao X.
Está legal, pessoal? Então está aí.
Qual que vai ser o caso mais geral? O tipo mais geral aqui de uma equação de reta.
Seria isso daqui, que é o que a gente vai introduzir na próxima aula e discutir de forma mais aprofundada ax+by+c=0. Esse aqui seria o caso mais geral, esse aqui é o que a gente chama de equação geral da reta e qualquer reta a gente consegue escrever uma equação desse formato, então a gente vai colocar aqui: "Equação geral da reta".
E aí a gente vai discutir isso daqui na próxima aula, beleza pessoal? Então é isso daí.
Agora a gente vai espero que tenha ficado, claro, pessoal, que vocês tenham compreendido como que a gente representa algumas retas, um pouco mais simples, só para introduzir esse assunto e na próxima aula então a gente começa a ver os casos mais gerais e como que a gente pode construir equações desse tipo, para representar qualquer reta que a gente precisar, beleza? Então é isso, pessoal.
Muito obrigado pela atenção, até a próxima aula. Tchau!
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Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Confirme que é uma solução do problema de valor inicial y′ = 3x2y, y(0) = 3.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aqui o objetivo não é resolver o problema de valor inicial e sim explorar o conceito de solução de um problema de valor inicial. Como estudado no início da seção 9.1 do capítulo 9 do livro, uma solução é uma função que satisfaz a equação diferencial e cumpre com as condições iniciais.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Acompanhe o passo a passo!

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos começar derivando , usando a regra da cadeia:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mostrando que é realmente uma solução da equação diferencial

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora resta verificar que a condição inicial também é satisfeita:

Com isso, está confirmado que é solução do problema de valor inicial , .