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Posições relativas entre retas - Teoria

Vamos aplicar o conhecimento dos elementos da equação reduzida da reta para identificar os três tipos de reta - coincidentes, paralelas e concorrentes.

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  • play_arrowEstudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

    lockEquação geral da reta - Teoria

    lockEquação reduzida da reta - Teoria

    lockEquação fundamental da reta - Teoria

    lockIntersecção de retas - Teoria

    lockPosições relativas entre retas - Teoria

    lockDistância de ponto a reta - Teoria

    lockÂngulo entre retas - Teoria

    lockReta - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá então?
    Vamos discutir o que a gente eu introduzi para vocês aí na aula passada, beleza? A gente vai falar então sobre o posicionamento relativo entre retas.
    Tranquilo? Mais uma vez, a gente vai ver aqui o tanto que é poderoso a gente saber ler essas informações das retas no formato reduzido.
    A gente sempre vai trabalhar com a equação reduzida das retas e vocês já já vão entender o porquê. Beleza?
    Então está aqui. Digamos que eu tenha essas duas retas R e S, que é o coeficiente angular da R, o coeficiente linear da R, etc, não é?
    A mesma coisa para S e a gente quer entender como que funciona o posicionamento relativo entre elas e conceituar algumas coisas baseado nesses parâmetros, beleza? Então vamos lá.
    A gente tem três possibilidades, pessoal. A primeira delas são retas coincidentes.
    O que significa isso? Olha, para que elas sejam coincidentes, a gente precisa que duas coisas aconteçam.
    Que são o quê? Vamos lá.
    A primeira delas, pessoal. Eu preciso que os coeficientes angulares sejam os mesmos Mr seja igual a Ms, beleza?
    Então aqui. Eu preciso que os coeficientes angulares sejam os mesmos Mr é igual a Ms e os lineares também: Nr é igual a Ns.
    Aí você fala, "Ah, professor, mas então a equação vai ficar a mesma, por exemplo, se essa aqui Y=3x + 1 aqui seria Y = 3x + 1. Sim, retas coincidentes são isso.
    São a mesma reta para falar as contas, não é? Então está aqui, vai da até para a gente a escrever.
    São a mesma reta, se trata do mesmo objeto geométrico, então como que seria? Se eu tracei a reta verde aqui, que é a reta R, não é?
    Então eu vou traçar S que seria a amarela. Como que ficaria?
    Ficaria exatamente aqui sobrepostas, olha aqui. É a mesma reta, elas têm infinitos pontos em comum, elas são a mesma coisa.
    Entenderam? Essas são as retas que a gente fala que são coincidentes, então precisa acontecer isso.
    Os coeficientes lineares sejam iguais e os lineares têm porque no final das contas é a mesma coisa. É a mesma equação, é o mesmo objeto geométrico.
    Legal? Esse aqui é o mais simples, não é?
    Tá. Em retas paralelas, pessoal, essa aqui já é mais legal.
    Olha, para ela ser paralela, pessoal, elas têm que ter a mesma inclinação, o mesmo ângulo aqui não é? Teta e aqui também.
    Se elas têm o mesmo ângulo, eu preciso que os coeficientes angulares sejam iguais, que o conhecimento tem a ver com o ângulo, não é? É a tangente do ângulo.
    Só que ao mesmo tempo, eu preciso que os lineares sejam diferentes. Por quê?
    Porque se os lineares forem iguais a gente cai no caso ali de cima, a gente, a gente cai no caso de retas coincidentes. Se elas são só paralelas, aí você pode me falar, "Ah, professor, mas se elas são paralelas se elas são coincidentes elas são paralelas também".
    É verdade. Mas é por isso que a gente dá uma classificação distinta.
    Quando isso acontece, quando elas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja, seriam paralelas, mas tem também o mesmo coeficiente linear, ou seja, são a mesma reta, a gente fala que elas são coincidentes, que elas são a mesma coisa. Agora aqui quando elas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja, a mesma inclinação mas não tem o mesmo coeficiente linear, a gente fala que elas são paralelas, beleza?
    E a consequência disso aqui é que elas nunca se interceptam, não é? Elas nunca se cruzam, as retas paralelas, não é?
    As retas paralelas nunca vão se cruzar, legal? Então por isso que a gente na aula passada, a gente foi resolver um sistema, para tentar achar onde que duas retas se encontravam, a gente achou um absurdo, a gente não consegui resolver por quê?
    Porque elas são paralelas, não é? A gente está nesse caso aqui.
    Elas nunca se cruzam, não tem solução para aquele sistema, beleza? O que mais que a gente tem então?
    As concorrentes, o último caso. E aí, pessoal, para que as retas sejam concorrentes basta que os coeficientes angulares sejam distintos, Mr diferente de Ms.
    Aí você me fala, "E os lineares?" tanto faz, pode ser igual, pode não ser.
    Se for igual, a única diferença é que elas vão se cruzar exatamente aqui no eixo Y. Pensa só.
    Se o Mr, o coeficiente linear da verde fosse igual ao da amarela, na verdade, a reta verde estaria passando aqui, não é? Exatamente aqui, já se cruzariam aqui.
    Mas enfim. O coeficiente linear pode não ser igual, isso não faz diferença, o que precisa é que isso aconteça, os coeficientes angulares sejam diferentes e isso faz com que elas tenham inclinações diferentes em algum momento elas vão se cruzar, então são retas que cruzam em um ponto.
    E aí a gente consegue fazer o que a gente fez na aula passada, não é? Se cruzam em um ponto.
    Quer resolver aquele sistema e encontrar o ponto aí em que elas se cruzam, a gente está partindo do pressuposto que as retas eram concorrentes, mas não necessariamente elas seriam, não é? Então é isso o que acontece.
    Retas concorrentes se cruzam em um ponto, os coeficientes angulares são distintos. Beleza, pessoal?
    Não é complicado não, não é? Vou fazer um exemplo aqui então para vocês verem.
    Vamos lá. Está aqui.
    Classifique as retas quanto ao posicionamento relativo e ele deu as retas R e S. O que seria isso?
    Classificar as retas de acordo com a posição relativa entre elas, não é? Então vamos lá de novo.
    Vamos começar vamos colocar as retas no formato reduzido que fica mais fácil para a gente tirar essas coisas. Então, aqui, olha, para R, jogo o 3y para lá, então fica assim: "3y = 2x + 8", não é?
    Legal. Passo o 3 dividindo.
    Y vai dar 2/3x + 8/3. Então essa aqui é minha reta R, beleza?
    Agora vamos fazer a mesma coisa para a minha reta S ali. Então como que fica?
    A reta S o que eu posso fazer? Posso jogar tudo para lá e deixar só o 9y aqui.
    9y = 6x - 4. Passo o 9 dividindo Y = 6/9x - 4/9, dá para a gente até dar uma simplificada aqui não é, pessoal?
    Como que ficaria? Y dividido por 3 em cima e embaixo fica 2/3x e ali é -4/9 mesmo.
    Então perceba o seguinte. Essa aqui é a minha.
    Então vamos lá. Como que eu classifico elas então, pessoal?
    Perceba que elas têm o mesmo coeficiente angular, não é? Então vamos lá.
    Tem o mesmo coeficiente angular? Concorrentes eu sei que elas não são ou elas são coincidentes ou elas são paralelas.
    Agora eu olho o linear. O coeficiente linear é distinto, então elas são paralelas. Então está aí, pessoal. Não é complicado isso, não é?
    Espero que tenha ficado claro esses conceitos, são conceitos que vão ser importantes, é importante que a gente domine eles, beleza? Então é isso aí, gente.
    Muito obrigado aí pela atenção e até a próxima aula. ...

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