Revisão - Números, sequências e funções - Aproximação e Erro -

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Aproximação e Erro - Teoria

A reta real: definição. Conceito de aproximação e erro. Exercícios.

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    lockAproximação e Erro - Teoria

    lockSequências - Teoria

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    lockFunções Clássicas e Limite de uma Função - Teoria

    lockResumo - Números, sequências e funções - Resumo

  • Dando continuidade à nossa aula, vamos falar a respeito dos conceitos de aproximação e erro. Inicialmente, vamos relembrar um conceito visto no Ensino Médio e no Ensino Fundamental, que diz respeito à reta real.
    A reta real é uma reta que contém números. E, obviamente, lembrando, que os números reais, eles contemplam o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
    Repare que, numa reta real, os elementos à direita da reta são sempre aumentando de tamanho. Quanto mais eu chego para a direita, maior vai ser o valor que eu vou ter aqui.
    Os números vão aumentando. E quanto mais eu vou chegando para a esquerda, os números vão diminuindo.
    Mas o que significa uma aproximação de números reais, propriamente dita? Seja a um número real.
    Se épsilon é um número positivo, dizemos que um número real b é uma aproximação para a com erro menor do que épsilon, se a distância entre a e b é menor do que épsilon. Por exemplo: considere aqui um número real a.
    Se eu ando para a direita, como eu disse lá no início, eu estou aumentando de valores, os meus valores estão aumentando. Portanto, se eu quero considerar um erro épsilon, se eu ando para a direita, eu estou acrescentando um erro épsilon.
    Portanto, para cá, mais épsilon. E quando eu ando para a esquerda, eu estou diminuindo meus valores.
    Portanto se eu ando para a esquerda menos épsilon. Portanto, aqui eu tenho alfa, ou a, menos épsilon, resultando nesse ponto, e pra cá a mais épsilon, resultando em a mais épsilon.
    Qualquer valor que esteja dentro deste intervalo real é uma aproximação para a com erro menor do que épsilon. Por exemplo, b.
    b está contido dentro deste intervalo que foi hachurado. Portanto, ele é uma aproximação para a com erro menor do que épsilon.
    Vamos ver numericamente um exemplo. O número b igual a 0,3 é uma aproximação para a igual a 1/3, com erro menor do que 10 a -1.
    Inicialmente, vamos recorrer à nossa reta real para localizar onde está a igual a 1/3. Reparem: a igual a 1/3 está mais ou menos pra cá, entre zero e 1.
    Lembre-se que a é igual a, mais ou menos, aproximadamente, 0,33333, então ele tá mais ou menos nesse ponto. Dando um zoom pra gente enxergar melhor o que tá acontecendo, repare que o nosso valor de a tá mais ou menos por aqui.
    OK? Aqui está presente o a igual a 1/3.
    Então, vamos fazer aquela simbologia gráfica que foi feita anteriormente, sabendo que o nosso erro épsilon é de 10 a -1, ou seja, 0,1. Então, se o erro épsilon é de 0,1, portanto, a partir de um valor a que nós temos aqui, nós sempre andamos para a esquerda, diminuindo do nosso a o épsilon, portanto a menos épsilon, e para a direita, acrescentando ao termo a o nosso erro épsilon.
    Portanto, fazendo essas continhas, nós chegamos em 0,2333, e nessa outra extremidade, 0,43333. Qualquer número real que esteja dentro deste intervalo é uma aproximação para a igual a 1/3 com erro menor do que 10 a -1.
    Portanto, perceba que 0,3 está dentro deste intervalo, mais ou menos aqui. Portanto, se b está contido dentro deste intervalo, essa afirmativa é verdadeira.
    Ou seja, o número b igual a 0,3 é, sim, uma aproximação para a igual a 1/3 com erro menor do que 10 a -1. Bem, vamos revisar o que foi visto anteriormente.
    Seja a igual a 0,08, e aí determine se b igual a 1/5 é uma aproximação para esse valor a com erro menor do que 10 a -2. Inicialmente, a gente sempre tem que desenhar a nossa reta real.
    É sempre importante desenhá-la. OK, gente?
    Aí, então, a gente vai localizar aqui o zero, OK? E aí a gente quer ver se b é uma aproximação para a, OK?
    Vamos desenhar onde é que tá o a. O nosso a, a gente vai ter um valor aqui, vou colocar bem pertinho aqui, 0,08.
    Esse cara daqui é o nosso a, nosso valor a. O erro, nosso erro épsilon, é 10 a -2.
    Ou seja, é 0,01, OK? 1, 2 Esse é o nosso erro.
    Então, vamos verificar, sempre por aquela simbologia gráfica, OK? Quando eu ando pra esquerda, eu diminuo o erro, porque eu tô na reta real, então a gente tem a menos o erro, e quando eu vou para a direita, faço a mais o erro.
    Então, a menos o erro, eu tenho que fazer 0,08 menos 0,01. E quando eu vou pra direita, 0,08 mais 0,01.
    Então, aqui eu vou obter 0,07 e aqui eu vou obter 0,09. Então, eu tenho, de novo, desenhar aqui a reta, uma reta real, OK?
    Aqui eu tenho meu valor a, aqui eu tenho 0,07 e aqui eu tenho 0,09. OK?
    E o a é 0,08. Então, este é o meu intervalo real que eu posso conter e que vai ter realmente, vai ser uma aproximação para o a com erro menor do que 10 a -2.
    Vamos ver se o b tá dentro desse intervalo? Repare, b vale 1/5.
    Pra eu fazer na forma decimal, eu divido 1 por 5 e eu vejo que b vale 0,2. 0,2 encontra-se dentro desse intervalo?
    Claro que não, né? O 0,2, se eu prolongar essa reta aqui, o 0,2 tá bem longe.
    Tá aqui. Tá certo?
    Nosso b tá bem longe do intervalo real. Portanto, com isso, com essa simbologia gráfica, com essa observação gráfica aqui, a gente verifica que b igual a 1/5 não é aproximação para a Vamos colocar aqui: "b não é aproximação para a com erro menor do que 10 a -2".
    ...

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