Revisão - Números, sequências e funções Aprenda tudo que você precisa

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Estudo das Funções - Teoria

Modelagem matemática e importância das funções no Cálculo Diferencial. Revisão das funções mais clássicas. Gráfico de função. Testes da reta vertical e horizontal. Funções crescentes e decrescentes. Movimentos no gráfico (translações, compressões, reflexões, etc). Introdução ao estudo dos limites. O limite de uma função.

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    lockEstudo das Funções - Teoria

    lockFunções Clássicas e Limite de uma Função - Teoria

    lockResumo - Números, sequências e funções - Resumo

  • Vamos dar continuidade à nossa aula falando sobre, então, os modelos matemáticos que são muito importantes. Inicialmente, nós temos no nosso no mundo da matemática, problemas.
    E problemas que advém, que são oriundos, do mundo real. Depois, nós temos o modelo matemático, algumas conclusões que são levadas após a realização desse modelo, e, finalmente, previsões do mundo real.
    Como esses quatro pontos estão interligados? Inicialmente, quando temos problemas do mundo real, nós formulamos, a partir desses problemas, um modelo matemático.
    Após termos esse modelo matemático em mãos, é hora de resolvê-lo, obtendo conclusões matemáticas a respeito. Depois dessas conclusões estarem em mãos, nós as interpretamos e obtemos previsões sobre o mundo real.
    Essas previsões são testadas e resultam em problemas do mundo real. As funções, que vão ser alvo do nosso estudo, estão exatamente nesta parte do nosso diagrama.
    Exatamente entre os problemas do mundo real e o modelo matemático. Justamente nesta parte importante que diz respeito à formulação matemática.
    Portanto, as funções, como nós já falamos, são extremamente importantes para o nosso estudo, aqui, de Cálculo I, e é por isso que nós vamos estudá-las durante esta aula. Dando continuidade, vamos definir o que é uma função.
    Função é uma lei que associa a cada elemento x de um conjunto D, exatamente um elemento, chamado de f de x, em um conjunto E. Este diagrama ilustra muito bem o que tá sendo dito aqui em cima.
    Este conjunto da esquerda é chamado conjunto D, e esse conjunto da direita é o conjunto E. Repare que, para cada elemento x do conjunto D, nós temos uma correspondência a um elemento f de x do conjunto E.
    Outro exemplo seria um elemento a, que tem correspondência f de a. Uma função pode ser representada por esses elementos e por diagramas, mas também pode ser representada por um gráfico.
    O formato padrão de um gráfico gera elementos x e f de x, que levam a um conjunto onde x pertence ao D. Percebe: eu tenho x, o seu correspondente é f de x, e eu sei que o elemento x mora no conjunto D.
    Um gráfico de uma função é representado dessa maneira. Eu tenho o conjunto dos elementos que compõem o eixo x e o eixo y.
    Os que compõem a função tá desenhado aqui e os que compõem o eixo x neste caso, são os limites dessa função, né? Ela varia entre os valores reais a e b.
    Esses valores por onde x pode variar, esses infinitos valores aqui que eu tenho dentro desse intervalo real todinho aqui, são chamados de domínio da função. E as ordenadas, ou seja, os infinitos valores de y que eu tenho dentro deste intervalo real aqui, entre c e d, que é por onde varia a minha função f de x em y, no eixo y, é chamado de conjunto imagem de uma função.
    Agora, como verificar se um gráfico qualquer é de uma função ou não? Temos os chamados testes da reta vertical e horizontal.
    Como que eu faço isso? Perceba este gráfico dessa função f de x.
    Se eu traço infinitas retas verticais que passam pelo gráfico da função f, e essas retas intersectam a curva do gráfico em uma única vez, nós podemos afirmar que esta função desenhada passou pelo teste da reta vertical. Ou seja: aqui, este gráfico, este desenho que foi realizado, representa um gráfico de função.
    E este gráfico de função representa um gráfico de função onde eu posso deixar y em função de x. O mesmo eu posso afirmar a respeito do chamado teste da reta horizontal.
    Eu vou traçar agora inúmeras retas horizontais que vão passar pelo gráfico da função f desenhada. Se essas retas intersectarem, como no exemplo aqui que tá desenhado, à curva da função uma única vez, nós podemos afirmar que o gráfico desenhado é também um gráfico de função.
    Só que muito cuidado! É um gráfico de função, mas não é um gráfico de função de uma função y igual a f de x, e, sim, uma função x igual a f de y.
    Perceba que, neste caso que nós temos aqui, eu não tenho retas verticais passando pela curva, e, sim, retas horizontais. Por isso a diferença.
    Um exemplo disso que nós vamos dar vai ser através de desenho de uma função qualquer. Vou desenhar aqui uma função e eu quero que a gente verifique se essa função desenhada passa ou não pelo teste da reta vertical e/ou pela reta horizontal.
    Vamos ver? Vamos traçar aqui inúmeras retas verticais sobre o gráfico dessa função.
    Já está dando pra perceber que quaisquer retas verticais que eu trace aqui, elas vão intersectar o gráfico da função uma única vez. Portanto, a gente pode afirmar que essa função, esse gráfico dessa função, é um gráfico de função de y a gente vai chamar esse eixo aqui de x e esse eixo de y de y igual a f de x.
    Passa pelo teste da reta vertical. Agora, vamos verificar se o mesmo acontece pro teste da reta horizontal?
    Já por essa primeira reta que eu já tracei aqui, eu verifico que ela intersecta a função em um, dois, três quatro pontos. Portanto, perceba que, neste caso, não no teste da reta horizontal não é um gráfico de uma função x igual a g de y, pelo teste da reta horizontal.
    Portanto, é gráfico de uma função y igual a f de x, mas não é gráfico de uma função x igual a g de y. ...

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