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Propriedades dos números reais - Teoria

Conceituação dos números reais e suas propriedades fundamentais, indispensáveis por serem muito utilizadas ao longo do curso.

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    lockAproximação e Erro - Teoria

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    lockFunções Clássicas e Limite de uma Função - Teoria

    lockResumo - Números, sequências e funções - Resumo

  • Nós vamos começar hoje a nossa primeira aula de Cálculo I, falando a respeito dos números reais e de suas propriedades fundamentais. Essas propriedades são extremamente importantes pra você que tá começando o curso de Cálculo I e vão ser muito utilizadas posteriormente.
    Inicialmente, essas propriedades podem lhe parecer óbvias, mas elas são muito importantes para que você solidifique todos os conceitos que serão vistos durante este curso. Vamos começar, então.
    Quaisquer que sejam os números reais a, b, c e d, temos as seguintes propriedades: A primeira delas nos afirma que: a vezes b é igual a zero se, e somente se, a é igual a zero ou b é igual a zero. Qualquer um desses dois termos que for igual a zero, o produto também vai ser zero.
    A segunda propriedade nos afirma que: Se a mais b é igual a a mais c, então b é igual a c. E se a vezes b é igual a a vezes c com a diferente de zero, portanto b é igual a c, na medida em que os a's podem ser cancelados, pois ambos são diferentes de zero.
    A terceira propriedade diz respeito à questão de sinal. Se a vezes b é positivo - o produto é positivo - então ou um dos termos é positivo e o outro também - "mais" com "mais" resultando em "mais" - ou um termo é negativo e o outro também é negativo, porque "menos" com "menos" também resulta em "mais".
    Se a vezes b é negativo, então ou a é positivo e b é negativo - "mais" com "menos" que vai dar "menos" - ou a é negativo e b é positivo - "menos" com "mais" resultando em "menos". Se a é menor do que b e b é menor do que c, então a é menor do que c.
    Outras propriedades importantes: quando c é positivo, a é menor do que b se, e somente se, a vezes c é menor do que b vezes c. Quando c é negativo, a é menor do que b se, e somente se, a vezes c é maior que b vezes c.
    Repare. Esses sinais daqui estão trocados, logo estes daqui também deverão ser trocados para que a igualdade continue válida.
    Em particular, essa daqui muitos alunos erram, verifique que: se os dois termos daqui são negativos, a gente sempre tenta torná-los positivos. Para isso, nós multiplicamos os membros da desigualdade por -1.
    Logo, a vai ser menor do que b. Repare que sempre que multiplicamos por -1, esse sinalzinho aqui da desigualdade vai ser trocado.
    A propriedade dos inversos também é muito interessante. Se a é menor do que b, então o inverso é sempre o oposto - 1 sobre a é maior do que 1 sobre b.
    E se a é menor do que b, então 1 sobre a é maior do que 1 sobre b. Repare que sempre: a menor do que b, 1 sobre a maior do que 1 sobre b.
    a menor do que b, 1 sobre a maior do que 1 sobre b. Sempre o contrário.
    Com relação aos quadrados, se zero é menor do que a, que é menor do que b, então o quadrado continua igual - a² é menor do que b². E se a é menor do que b, que é menor do que zero, então a² é maior do que b² - isto porque esses dois valores aqui, tanto de a quanto de b, são menores do que zero e porque o a é menor do que o b.
    Se a é maior do que zero, b é maior do que zero e a é menor do que b, a raiz quadrada de a é menor do que a raiz quadrada de b. Reparem que a tem que ser positivo e b também, porque senão eu não posso colocá-los em forma de raiz, já que não existe raiz quadrada de números negativos.
    E a nona propriedade diz respeito às propriedades da potenciação. a, b são números positivos, reais, e a é menor do que b.
    Portanto, quando eu multiplico potências de mesma base, eu somo os expoentes. Se eu tenho produtos de elementos de dentro pelo de fora, eu multiplico.
    Portanto, ficamos com a elevado a c vezes d. Esse multiplica o de fora.
    E se eu tenho a, b - todos esses elementos - elevados a c, portanto eu tenho a elevado a c vezes b elevado a c. Eu posso separá-los.
    Essas são as propriedades fundamentais dos números reais, que são extremamente importantes para que nós demos continuidade ao nosso curso. ...

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