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Sequências - Teoria

Definição de sequência a partir de uma ideia intuitiva. Conceito de convergência de uma sequência.

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    lockNúmeros, sequências e funções - Resumo

  • Vamos agora falar sobre o conceito de sequência, muito importante. Para isso, vamos levar em consideração o exemplo do Paradoxo de Zenão.
    No século 5 antes de Cristo, o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, que, hoje em dia, a gente conhece como os paradoxos de Zenão. Ele tinha o objetivo de desafiar algumas ideias que estavam presentes na época dele, lá na Grécia, a respeito de espaço e de tempo.
    Então, o segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga. E para essa tartaruga foi dada uma vantagem inicial.
    Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga. Se ele começasse em uma posição a1, como está indicado aqui, e a tartaruga numa posição t1, quando ele atingisse o ponto a2 igual a t1, a tartaruga estaria adiante, em uma posição t2.
    no momento em que Aquiles atingisse a3 igual a t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processo continuaria de forma indefinida e, dessa forma, aparentemente, a tartaruga ia estar sempre à frente do pobre coitado do Aquiles.
    Mas é claro que isso desafia o nosso senso comum, por isso é chamado de Paradoxo de Zenão. Mas o objetivo aqui é nos mostrar que os caminhos percorridos por Aquiles e pela tartaruga podem ser representados por sequências.
    Por exemplo, a sequência de caminho percorrido por Aquiles pode ser representada por a1, a2, a3, a4, a5 e assim por diante. E assim, pela tartaruga também.
    t1, t2, t3, t4 e assim por diante. Portanto, vamos considerar uma sequência agora aleatória, sem pensar em teoria.
    Vamos pensar numericamente. Considere a sequência an igual a 1 sobre n.
    Repare que eu posso ir testando aqui para diversos valores de n eu vou obter um an diferente. Repare que, para n igual a 1, por exemplo, eu posso falar que a1, que é o primeiro termo dessa minha sequência, vai ser 1 sobre 1.
    Para n igual a 2, o meu an, que é o meu a2, vai ser igual a 1 sobre 2. Para n igual a 3, vou ter meu an igual a a3 que vai ser igual a 1 sobre 3.
    E assim por diante. Podemos representar o nosso conceito através de uma reta real.
    Repare que, para o valor de n igual a 1, nós temos aqui o nosso termo a1, que é igual, aqui, no caso, a 1. Para n igual a 2, nós temos o termo a2, que é 1 sobre 2.
    Para n igual a 3, nós temos o termo a3, a4, a5 Repare que quanto mais eu aumento o valor de n, os meus a's 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 e assim sucessivamente, vão cada vez se aproximando de zero. Podemos representar também a partir de um gráfico todas as ideias, tanto pela reta quanto pelo gráfico.
    Para cada valor de n, conforme o valor de n vai aumentando, repare que os pontos do gráfico que ilustram esta sequência vão ficando cada vez mais próximos de zero. Ou seja, vão diminuindo.
    Então, eles sempre vão chegando bem próximos de zero. Portanto, podemos definir o que é uma sequência.
    Uma sequência de números reais é uma lista infinita de números ordenados pelos naturais, isto é, uma sequência que nos dá um número real que é o primeiro termo da sequência, um número que é o segundo, e assim por diante. Dentre alguns exemplos que ilustram esse conceito de sequência visto anteriormente, podemos citar.
    1, 1/2, 1/3, 1/4 1 sobre n, conforme vimos no exemplo anterior. Ou 1, 2, 3, 4, 5 n.
    Ou até algumas sequências alternadas: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 Lembrando sempre que, como foi visto anteriormente, quando n tende para um número muito grande, vamos nos acostumar com esta nomenclatura, isto é, quando n tende a infinito, nós podemos afirmar que o an tende a zero, como a gente viu anteriormente. Esse conceito que a gente tá trabalhando aqui diz respeito ao conceito de convergência de uma sequência.
    Ou seja, a sequência converge para zero quando n tende a infinito. E aí a gente vem com a nossa definição de convergência de uma sequência, que nos afirma o seguinte: dizemos que uma sequência an converge ao número real a qualquer quando n tende ao infinito se para cada número inteiro positivo K, pudermos encontrar um índice n0, tal que Se n for maior que n0, então podemos falar que o módulo de an menos a é menor do que 10 elevado a menos K.
    E aí, sim, a gente tá definindo formalmente este conceito de convergência de uma sequência. Quando n tende ao infinito, a nossa sequência converge para o número real a, que, nesse caso, dá 1, 1/2, 1/3, 1 sobre n convergiu pro zero, número real zero.
    OK, pessoal? Na próxima aula, nós vamos dar continuidade a esses estudos revisionais de tópicos fundamentais para o estudo do Cálculo I.
    Eu espero você, até lá! ...

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