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Cursos_Unicamp_C_lculo_III_Teorema_de_Exist_ncia_e_Unicidade_Parte_1 (1)video play button

Transcrição


hoje nós vamos iniciar com uma questão que na realidade talvez devêssemos ter iniciado a disciplina com ela, mas que é a seguinte nós estamos nas últimas aulas, desenvolvendo métodos de encontrar soluções para equações diferenciais. Mas existe uma questão que nós temos que fazer não. Ao encarar uma equação diferencial, a primeira coisa, obviamente uma solução existe. Nós apresentamos aqui onde nós conseguimos a solução, portanto ela existe porque nós desenvolvemos um método para encontrar, mas seria interessante saber a priori se de fato uma solução existe para não gastar esforço em busca de uma solução que não existe mesmo, então a questão da existência de solução para uma equação diferencial é muito importante. Outra questão que nós não abordamos quando estamos resolvendo. Equação diferencial é a seguinte eu estou com um problema com dado inicial, e a minha questão é será que essa é a única solução da situação diferencial? Ou existem outras que eu não calculei que eu passei por cima? Não prestei atenção e calculei apenas um. Existem outras soluções, então essa é a questão de unicidade. Vejam que essa questão de existência e unicidade para as equações diferenciais é um problema importante. Pensando sob a ótica de que esses problemas vêm da física vem de modelos reais. Seria estranho eu modelar um fenômeno que tem duas soluções diferentes. Ou seja, se eu tenho para alguma aplicação real determinístico, eu espero que a solução seja única. Eu vou medir a velocidade aceleração não pode ter duas acelerações, duas velocidades por um dado inicial mesmo faz sentido. Então essa questão de unicidade também é uma questão muito importante e obviamente, uma vez que eu sei que a solução existe, que é a única ok, vamos lá, vamos trabalhar para encontrar solução. Então hoje nós vamos trabalhar com esse teorema que o teorema assim o pilar das equações diferenciais ordinárias Este teorema que nos garante existência Unicidade Agora é obviamente que todo o teorema pressupõe hipóteses e as hipóteses elas são justificadas quando a gente está resolvendo em realmente demonstrando aquele teorema como o objetivo não é demonstrar o teorema primeiro, porque envolve um pouquinho mais de conhecimento matemático que nós ainda não temos. As hipóteses são pouco artificiais para vocês no momento não, ela não está bem claro, porque o que nós estamos considerando essas hipótese, então a dinâmica, vamos dizer, dá aula hoje será denunciar o teorema entender o que o teorema disse porque nós somos espertos em ler o que o teorema não disse, não é. Então nós vamos ver que o teorema garante certas condições que são suficientes para a existência Unicidade de solução mas quando elas não são, não estão satisfeitas. Eu não posso dizer nada. Portanto, essas condições não são necessárias, são suficientes para garantir a existência e a unicidade de solução, Então vamos lá. Vamos denunciar esse teorema e ver as condições as hipóteses que o teorema pressupõe e depois estudar vários exemplos para tentar interpretar esse teorema nesses exemplos, então o teorema de existência Unicidade Solução para o problema de valor inicial Dado HPV dado por isso pessoas linha igual a x e um dado inicial, vamos dizer que pessoas de água bbb- então este é o nosso problema modelo Nós queremos justamente determinar quando que existe solução e quando essa solução é única, então o teorema diz o seguinte vamos chamar esse problema estrela então dado o retângulo definido Shinzo vamos dizer entre alfa e beta e pessoas temos, sei qual entre sem contido no dois, Então nós temos uma região aqui no plano, então aqui eu tenho alfa e beta Sim, é o meu ponto Abc está no interior que é o dado inicial com o ponto é o nosso dado inicial no interior. Quem não nos situamos o nosso problema, esta equação está definida. Eu quero estudar a existência neste retângulo de solução, então eu vou supor o seguinte A primeira condição Se a fim de quinze é contínua, então existe solução. Então vejam que a primeira condição, o que está pedindo que se cheque a continuidade em erro E aí eu posso garantir a existência de solução por certo falta completa aqui alguma completa depois vão pegar a ideia geral próximo. E quando que essa solução é única, eu vou checar uma segunda condição. Se a derivada parcial de Solon continua, então a solução é a única. Por que? Então? Veja o que estou dizendo aqui Agora estou checando a eff derivada parcial com relação ao solo se esta continua, então eu tenho unicidade. Agora eu estou dizendo que essa solução vamos chamar essa solução de absoluto de Shin solução e pessoal de Shin com que ela existe. Ela é única agora e obviamente ela passa pelo dado inicial, então aqui está a minha solução passando pelo dado inicial aí o solo de che agora essa solução ela existe está certo em algum definido em algum intervalo jota contido em. Ou seja, o jota está contido no intervalo alfabeto esta então a solução existe em Jota e ela é única, então ela é única em possivelmente um eu posso garantir isso? Jota Zero continua em jogo que pode ser também poderia ser então o que nós vamos fazer porque este teorema tem uma demonstração no livro de vocês muito interessante que obviamente a gente não vai tratar agora por não termos os os recursos matemáticos para tratar da administração, mas é interessante só pegar talvez duas ideias da demonstração que é um processo de interação é bastante interessante que é o e ai eu sugiro que mais para frente na disciplina vocês têm uma olhadinha essa demonstração nós podemos até discutir são as aproximações sucessivas. Este é o método de ficar Ricardo é bonito porque tudo que nós estamos vendo no fundo tem como alicerce o que nós já vimos no cálculo, então a primeira coisa é observar que este problema estrela aqui pode ser descrito como uma equação integral que é o teorema fundamental do cálculo O teorema fundamental do cálculo permite Vocês estudam duas formas do teorema fundamental do CAUC. Vou colocar a segunda forma. O teorema fundamental do cálculo permite escrever aquele problema exatamente aquele problema da seguinte forma e pessoal de Shinzo igual aí pessoa um dia, mas a integral de até che está certo de onde eu afirmo que esta forma é totalmente equivalente, totalmente equivalente ao nosso. Ou seja, eu sou capaz de recuperar o HPV daquela forma integral naquela equação integral como o teorema fundamental do cálculo. Disse que quando eu derivativo lembra quando eu derivam um integral, uma função definida por integral, notem que eu mudei a variável aqui, esse que a derivada desta integral é um integrando calculado no Chile então e a derivada de uma constante zero, então pelo teorema fundamental do cálculo, quando eu derivando de destino aqui eu ouvi tenho de volta de shin e pessoal de Shinko que é a minha equação diferencial, então é o mesmo problema como uma equação integral que é o teorema fundamental do cálculo. O dado inicial será que eu recupero? Será que eu recupero dado inicial dessa equação? Então vamos ver quem é aqui o ípsilon dia eu vou substituir por beber eu já sei que é bem, seja isso aqui é o nosso pessoal Mundial. O que acontece quando eu coloco aqui a integral de até zero, Então eu também recuperou o dado inicial e passou um dia com a OAB. Então eu recupero completamente o meu pcr dessa equação e lá na demonstração que vocês podem ver se trabalha com essa forma integral é muito bonitinha, é uma sequência e é por isso que nós não podemos tratar ainda uma sequência de funções. Começando assim olha pessoal zero Dishes vai ser o valor e pessoas um Dixie igual a b mais integral de até o fim do PSOL, o nome isso do é assim de Shin e pessoas zero já tenho aqui o substituiu o valor de pessoas zero e muda variável porque estou com chutes aqui é fixo ou zero e assim sucessivamente pessoal dois Dixie será o B, mas a integral de haxixe agora eu coloco que eu calculei aqui e pessoa um e assim acabou formando uma sequência, uma reforma dessa sequência. Essa sequência a entra vários conceitos Limite de sequência de funções entra toda a questão de séries de potências que nós vamos ver nesta dis