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EDO - Aula 1 - Introdução às equações diferenciaisvideo play button

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Olá pessoal! Vamos iniciar agora o nosso estudo de equações diferenciais. Essa primeira aula traz uma introdução. Qual é o nosso objetivo? Entender o que é uma equação diferencial? Entender o que é uma solução de uma equação diferencial e vamos falar ainda de problema de valor inicial que é quando temos uma condição inicial que nos permite obter uma solução particular bom de maneira muito simples. Uma equação diferencial é uma equação que contém derivadas Olha só equação diferencial toda a equação que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. Portanto, as incógnitas serão funções Quando você vai resolver uma equação de primeiro de segundo grau, as incógnitas são números aqui. As incógnitas serão funções, portanto, nós buscamos funções tais que essas funções e as suas derivadas, quando substituídas na equação, verificam essa equação não satisfazem a igualdade em toda a equação. A ideia é sempre a mesma você descobrir você descobrir qual é a incógnita, de modo que a igualdade é satisfeita, aqui não é diferente, por exemplo e personal linha igual a x Isao Kubo Para resolver essa equação diferencial, nós devemos buscar qual é, ou quais são as funções e pessoal tais que a sua derivada resulta. Chiesa ocupa. Na verdade já sabemos resolver esse problema. Consiste em calcular a integral de fieis ao cubo. Sabemos que não é igual a China quarta- sobre quatro mais uma constante. Todas essas funções derivadas resultam Chiesa ocupa. Então a gente já percebe que uma equação diferencial não possui uma única solução. Eu vou ter ali uma família, uma família de funções ok, mas as equações diferenciais em geral serão mais sofisticadas. Não serão tão simples assim como por exemplo e pessoal linha igual a XYZ vez exibição ou duas vezes e pessoal duas linhas mais e pressionam linha menos e pessoa igual a zero. Observe que todos esses exemplos trazem que trazem equações onde aparece uma única variável independente, que é o xis e isso não está representando aqui uma função de xis, então nós temos uma única variável independente. As funções presentes nas equações são funções de uma variável. Isso caracteriza as chamadas equações diferenciais ordinárias, que são as equações que nós vamos trabalhar ao longo da disciplina, e aí temos ali nas duas primeiras equações derivadas de primeira ordem, e no terceiro exemplo aparece uma derivada de segunda ordem. A ordem da maior derivada é o que define a ordem da equação. Portanto, nos dois primeiros exemplos temos equações diferenciais de primeira ordem e no terceiro exemplo temos ali uma equação diferencial de segunda ordem maravilha. Como já observamos então uma função é fiz. Será a solução de uma equação diferencial se a equação a igualdade à satisfeita quando substituímos a função e as suas derivadas lá na equação, por exemplo, vamos verificar que assolam igual a XYZ menos um sobre estes é uma solução da equação diferencial Chega às vezes a pessoa não linha mais e pensam igual a dois xis que a gente precisa fazer. Precisamos substituir e pessoal e pessoal linha no primeiro lado da igualdade, calcular o valor da expressão e verificar que vai resultar exatamente dois xis que é o que está lá no segundo lado da igualdade, então vamos lá temos a equação chies vez exibe solar linha mais e pressionam igual a dois xis e queremos mostrar que se não for igual a menos um sobre fiz temos uma solução bom se a pessoa não é igual a XYZ menos um sobre fez qual é a derivada de IPs? O IPI salão linha seguinte derivada de Chiesa um e a derivada de um sobre xis. Veja que um sobre Chiesa x y Z elevado na menos um passam menos um, multiplicando então menos como menos vai dar mais e aí desconta uma unidade do expoente fizera menos um, então vai ficar China menos dois xis na menos dois a um sobre fiz ao quadrado perfeito logo que vai acontecer se eu substitui o IPTU não egípcio não linha fica SHIS QI multiplica um mais um sobre fieis ao quadrado mais o ipc-s foram portanto, mais chez menos um sobre esses. Qual o resultado disso? Fazendo a multiplicação? Fiz vezes um xis ixi às vezes um sobre fiz ao quadrado é xis sobre fiz ao quadrado que resultam sobre Fies, mais menos um sobre chefes Olha só que bonito ou sobre cheias menos um sobre física zero e aí cheias mais física. Dois filhos realmente substituindo e pressionam IPC solar linha no primeiro lado da igualdade, o que nós obtemos é o que está no segundo lado da igualdade que a dois fez opa, Faltou escrever dois. Fiz ali quando escrevia a equação não é dois a dois. A gente verifica que de fato e pensam igual a XYZ menos um sobre chineses é uma solução dessa equação diferencial. Problema de valor inicial Problema de valor inicial é o problema de encontrar uma solução da equação diferencial que satisfaçam uma condição inicial e pessoa onde chile zero igual a e pessoal zero. Aqui nas equações diferenciais, as equações não vão apresentar uma única solução. Como as soluções são funções a gente tem famílias de funções que são que são solução, então o problema de valor inicial. Ele consiste em a partir de uma condição inicial você obter uma solução que é mais particular. Oquei, por exemplo, verifique que e pessoal e qual a ser vezes é Nash. Isao Kubo sobre três é uma solução da equação diferencial e pessoal linha igual a chinesa ao quadrado vezes e pressionam e determine a constante ser através do PV do problema de valor inicial e pessoas de menos quatro igual a zero. Então nós temos ali a função e pessoa igual a Nash Isao Kubo sobre três vezes uma constante primeiro vamos verificar que e pessoa não é uma solução da equação diferencial. Com isso nós vemos, nós vemos então que qualquer que seja constante Alina, a gente tem uma solução da equação é uma família de funções, mas a gente vai obter então uma solução particular a partir desse HPV desse problema de valor inicial, muito bem e pessoal linha é igual a XYZ ao quadrado vezes e Psol não vamos verificar que e pessoal igual a ser vezes é na China, Cuba sobre três é uma solução bom se a pessoa não é igual a essa função aqui, qual é a derivada de hip Solon Fica ser que multiplica o próprio Reinach Isao Kubo sobre três derivada Diana chinês é o próprio menache se, mas aqui temos uma função composta. Portanto, pela regra da cadeia temos que multiplicar pela derivada do que está lá no expoentes derivada de x Isao Kubo sobre três é três vezes xis ao quadrado sobre três passam três multiplicando desconta uma unidade do expoente final um sobre três A constante continua multiplicando a lei, então vai ficar três vezes. Fiz ao quadrado sobre três simplificando xis ao quadrado, portanto e pessoal linha é ser vezes Zena Xis ao cubo sobre três, que é a própria função e por vezes fiz ao quadrado. Então está mostrado que há uma solução da equação a equação disse que pessoas linha é o próprio e precisam vez estes quadrados exatamente o que a gente obteve ali daqui. Calculando a derivada, você já mostra que é uma solução. Equação bem simples não tem muito que a gente fazer e aí temos que determinar o valor de seu valor dessa constante. A gente vê então que qualquer que fosse a constante ali seria uma solução. É uma família de funções, a gente quer a solução particular sabendo que ipê solon de menos quatro igual a zero significa que se xis que é a variável independente for menos quatro o ipc-s foram a função. Resultado zero Então você vai lá na função e pessoa não substitui não por zero x y z pelo menos quatro e calcula o valor da constante de zero igual a ser que multiplica na menos quatro ao cubo sobre três bom temos uma multiplicação que está resultando zero certo quando isso acontece, um dos fatores a zero, então eu vou concluir. Eu vou concluir que se é igual a zero. Outro fator que é elevado na menos quatro terços sobre três, que é menos sessenta e quatro sobre três é igual a zero. Acontece que claramente e elevado na menos sessenta e quatro sobre três não é zero. Então, como isso aqui não pode acontecer, concluímos que ser igual a zero então a gente fica obrigatoriamente com a primeira possibilidade ser igual a zero. Então para satisfazer essa