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EDO - Aula 2 - Equações separáveisvideo play button

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Olá pessoal. A partir de agora começaremos a estudar métodos de resolução de equações diferenciais. Começamos com as equações diferenciais de primeira ordem e na aula de hoje vamos falar sobre equações separáveis. Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser escrita na forma de hip Solon sobre deixes igual a gente de cheio vezes é F de hip solon, ou seja, eu consigo justamente separar as variáveis. Digamos assim, Eu consigo escrever uma função de xis multiplicando uma função de hip solon e por que isso é ilegal? É legal porque eu posso deixar em um dos lados da igualdade uma função dishes, deixes e no outro lado da igualdade e vai aparecer uma função de Ibson não deve pessoal. Dessa maneira, basta integrar os dois lados da igualdade que assim obtemos uma solução para a equação diferencial. Essa solução obtida é chamada de implícita. Em alguns casos é possível obter também uma solução explícita, que é quando o IPCA não é isolado e beleza estão. Em alguns casos, a gente consegue isolar o IPTU, não escrevendo então e não como uma função de chefia, uma solução chamada de explícita, mas isso nem sempre será possível. De qualquer maneira, a gente terá ali uma solução da nossa equação diferencial. Então é isso, Vamos desenvolver a nossa aula a partir de agora, resolvendo exemplo está legal. Vamos lá primeiro exemplo e pessoal linha igual ache sobre psol não ao quadrado. Será que é uma equação separável? Apesar de não estar escrita exatamente daquela forma que a gente viu anteriormente? Nós podemos manipular essa igualdade para que fique daquela maneira primeiramente e pessoal linha significa derivada de Ibson, não em relação a variável x y z, só a gente escrever na outra anotação, que é exatamente a mesma coisa que de hipismo, não sobre deixes No segundo lado da igualdade temos ali uma fração elevada ao expoente que eu faço. O jogo expoente para o numerador e para o denominador é a mesma coisa que shis ao quadrado sobre IP somam ao quadrado beleza Agora à noite que shis ao quadrado sobre IP somam ao quadrado. É a mesma coisa que shis ao quadrado que multiplica um sobre IP somam ao quadrado certo e esse um pode ser visto também como um ao quadrado, de modo que eu posso agora voltar para a forma de fração escrevendo como um sobre e pessoas. Tudo isso ao quadrado, na verdade e agora podemos inverter a base da potência onde nós teríamos fiz ao quadrado vezes e pistolão elevado na menos dois inverte a base, troca o sinal de expoentes. Dessa maneira temos exatamente de IPs. Falam sobre deixes, igual a uma função de chefe que é SHIS ao quadrado vezes uma função de Ibson. Não que é o IPTU não elevado na menos dois. Então é uma equação separável, certo. Porém, para resolvê la é mais interessante. Nós já nós já nós já usarmos essa forma que foi apresentada ao quadrado sobre e pessoal ao quadrado, porque eu preciso deixar a função de hip solon junto com o de hipismo, não em um lado da igualdade e a função de Chile, junto com o decisivo no outro lado. Então é legal já usar fiz ao quadrado sobre e pessoal ao quadrado muito bem, Basta eu multiplicar cruzado ali onde vai ficar e pessoal ao quadrado de pessoas, igual a chinesa ao quadrado deixei maravilha, integrando os dois lados da igualdade. Vamos precisar fazer integral de hip, somam ao quadrado e pessoal e no segundo lado da igualdade integral de Chiesa ao quadrado destes integrais muito simples de resolver fica e pessoal ao cubo sobre três mais uma constante, vou chamar de ser um e na outra integral fiz ao Cubo sobre três mais uma constante também não é necessariamente a mesma constante, então vou chamar de ser dois, Então essa seria a solução da nossa equação diferencial. Notifica. Nesse caso nós conseguimos obter uma solução explícita. Ou seja, dá para isolar o ipi solucionar. Vamos escrever aqui ao lado temos que assolam ao cubo sobre três é igual a XYZ ao Cubo sobre três mais uma constante que eu vou chamar de ser beleza, porque essa constante seu vai passar subtraindo ali onde teremos ser dois menos seu uma constante, menos outra continua sendo uma constante, Então eu posso simplesmente chamar de se ali o que passa esse três multiplicando e pessoal ao cubo vai ser igual a três vezes. Fiz ao Cuba sobre três x Y Z ao cubo mais três vezes três vezes uma constante continua sendo uma constante beleza. Então eu vou chamar agora de cá certo? Então três vezes servirá a constante. Por fim temos que só não é igual a raiz cúbica dishes ao cubo mais a constante, então aqui nós temos uma solução da nossa equação diferencial não Linha igual a XI sobre Petrolão ao quadrado Beleza Segundo exemplo de hipismo não sobre deixes igual a seis Fieis ao quadrado sobre dois e p salão mais conselho de hip Solon Muito bem, temos que dois e p solon mais cosseno de hip solon de hipismo não é igual a seis fez ao quadrado destes certo, integrando os dois lados da igualdade integral de dois e P somam mais Conselho de hip solon de pessoas é igual a integral de seis fieis ao quadrado. Deixes no primeiro o lado da igualdade fica dois e P s ou não ao quadrado sobre dois logo e pessoal ao quadrado mais a integral do cosseno de hip solon, que é o centro de hip Solon beleza mais uma constante ser um igual a integral de seis filhos ao quadrado destes é seis fez ao cubo sobre três, portanto dois FISA ocupo mais uma constante dois beleza Veja que nesse caso não é possível obter a solução explícita. Nesse caso, nós não conseguimos isolar o IPI somam porque o IPTU não aparece num, sendo então aqui a gente só consegue a chamada solução implícita. Então e pessoal ao quadrado mais sendo de hip Solon é igual a dois fez ao cubo mais uma constante ser Só vou juntar as duas constantes ali e a solução fica dessa maneira a mesma beleza. Mais um exemplo de IPs não sobre deixes igual hashis ao quadrado vezes IP Solon Formular de hip só não é igual a chinesa ao quadrado e pessoal deixei. Precisamos passar o Ipc-s. Foram para o primeiro lado da igualdade. Como ele está multiplicando, vai passar dividindo logo de IPs ou não sobre pessoa. Não é igual a chinesa ao quadrado. Deixei de IPs falam sobre pessoas é um sobre IP salão de hip Solon, portanto, integrando os dois lados da igualdade. Fica integral de um sobre IP solon Dengue pessoa igual a integral de X Y Z ao quadrado, deixes muito bem integral de um sobre e pessoal. Eu eliene do módulo de pessoas mais uma constante e a integral de Chris ao quadrado. Sushis ao cubo sobre três mais uma constante, já juntando as duas constantes no segundo lado da igualdade, vou escrever uma única constante K. Portanto Eliene do módulo de Ibson não é igual a XYZ ao Cubo sobre três mais ser Será que nesse caso conseguimos isolar o IPI? Solon Podemos obter uma solução explícita sim, apesar de e pistolão aparecer no lugar, vitimando de um logaritmo natural do eliene certo, É possível isolar o IPI Solon não é tão simples, mas a gente consegue fazer isso bom. Você deve lembrar que o eliene é aquele logaritmo que tem como base o número de Eller, a constante que vale aproximadamente dois vírgula setenta e um certo. Mas o valor da constante ensinam importa você tem um log de base e o lugar vitimando é modo de hip solon Imagina que você fosse tentar calcular esse cara bom chamando de fiz o resultado. Esse fiz ao expoente que eu tenho que colocar na base para que resulte O logaritmo, portanto, eu teria aqui na chinesa é igual a um módulo de hip solon beleza. Por outro lado, partindo da igualdade Eliene do módulo de hipismo não igual a cheias, eu poderia fazer é elevado na eliene do módulo de hip somam igual Ayanna chez se os expoentes são iguais, eu posso garantir que essas duas potências são iguais, porque a função exponencial ela é injetora. Beleza Então, se eu sei que dois números são iguais, colocando eles como expoentes de uma potência de mesma base nessas potências, serão iguais. Só que dessa maneira observe o seguinte Eu sei que é levado ao iene do módulo de repressão à igual aí na China, mas ao mesmo tempo e na chinesa igual ao módulo de pessoas, a gente pode concluir que é elevado ao iene do mó