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EDO - Aula 3 - Equações linearesvideo play button

Transcrição


Olá pessoal. Na aula de hoje veremos mais um método de resolução de equações diferenciais que nos permitem resolver uma classe de equações diferenciais de primeira ordem, que são as chamadas equações lineares são equações diferenciais da seguinte forma de IPs ou não sobre destes mais pede chefes vez exibição igual àquele dishes, como por exemplo e pessoal linha mais e pessoal sobre xis igual a dois. Veja aqui no nosso exemplo pede Chiesa a função um sobre estes e que de Chiesa a função constante igual a dois. Inicialmente vamos investigar essa equação, esse exemplo particular para a gente tentar entender o que vai ser preciso fazer para resolver essas equações lineares em geral Olha só eu posso multiplicar os dois lados da igualdade por xis, Veja que com isso obtemos às vezes e pessoal linha mais e pessoal igual a dois. Fez qualquer porque foi legal multiplicar os dois lados da igualdade por chineses, porque dessa maneira o que aparece no primeiro lado é exatamente a derivada dishes vezes. IP Solon é a derivada de sheezus. Êxitos foram em relação a certo que a gente pode escrever como chile às vezes e pistola linha ou dessa outra maneira aqui é só lembrar lá dá a regrinha do produto nas derivadas certo como o que eu faço? A derivada dishes vez êxito somam é a derivada do primeiro fator vezes. O segundo fator então derivada dishes vez ex- Ibson fica e pessoal. Mas a primeira, o primeiro fator vezes a derivada do segundo, então mais chega às vezes a derivada de pessoas exatamente o que a gente tem ali, né, E agora nós conseguimos resolver essa equação passa o decisum multiplicando ali e aí integra os dois lados da igualdade. No primeiro lado resulta chiese pessoal certo e no segundo lado da igualdade temos a integral de dois xis destes é duas vezes fiz ao quadrado sobre dois fiz ao quadrado mais mais uma constante, dessa maneira isolando e pessoas concluímos que a pessoa não é igual a XYZ ao quadrado sobre chez creches, mas sei sobre física. Então que nós fizemos foi multiplicar os dois lados da igualdade por uma função de xis, de modo que o primeiro lado da igualdade tornou se a derivada dessa função de she s vezes. A pessoa que a gente vai fazer na sequência é descobrir qual deve ser essa função dishes. que nós multiplicamos os dois lados da igualdade. Nesse exemplo específico, foi a função que é o que é o próprio chefe. Mas mas vai ser uma função de xisto qualquer. Ali, na verdade, não vai ser uma função qualquer de Chiesa. A gente vai ver que tem um certo padrão, vai ser. Sempre é elevado alguma função dishes, mas isso veremos na sequência Beleza muito bem. Como observamos anteriormente, nós buscamos uma função de chefia que eu vou chamar aqui a tal que essa função multiplicada pelo que está no primeiro lado da igualdade que é e pessoal linha mais pede, chegue, às vezes não tal que isso resulte, resulte a derivada do produto da própria função por IP solon. Nosso objetivo é descobrir qual é a sua função certo, que é o que a gente vai ter que usar para multiplicar os dois lados da igualdade muito bem. Então nós podemos desenvolver a multiplicação no primeiro lado da igualdade. Ficar há de chegar às vezes e pessoal linha mais a de chefes vezes. Pedi cheque vezes e pessoal igual. A derivada desse produto bom é a derivada de a vez exibe, somam a linha de chefes vezes e pessoal, mas há de chegar às vezes a derivada de pessoas a difícil vezes e pessoal linha a de cheques e pessoal linha nos dois lados da igualdade vai simplificar muito bem. Restou a dishes pede xis e pessoa igual a a linha difícil e pessoal que pessoa não multiplicando nos dois lados da igualdade, podemos dividir os dois lados da igualdade, por isso não, desde que não seja diferente de zero e simplificamos esse cara de modo que obtemos a de chefes. Pedi cheque igual a a linha de fez beleza a linha de chez derivada de a em relação à China sobre deixes, só escrevendo em outra anotação temos que a Dixie SP edifício é igual ao dela. Sobre deixei isso, nós conseguimos resolver uma equação separável o que vimos Aula passada eu vou passar o deixes multiplicando no primeiro lado da igualdade passamos a ter pede xis deixes e essa função a vai passar dividindo então isso aqui vai ser igual a um sobre a de A integrando os dois lados da igualdade, temos que a integral de pede chefes deixes é igual a integral de um sobre a de a integral de um sobre a Eliene do módulo de A, portanto Eliene, do módulo de A é igual a integral de pedir à XYZ destes. Nós sabemos nós sabemos como escrever essa igualdade é que, como a isolado, certo, vimos isso. Num exemplo da aula passada, só o fazer é elevado ao iene do módulo de a igual aí, elevado aquela integral. Eulina, de modo que vai resultar módulo dia igual À e elevado na integral de pedir à XYZ. Deixei mais uma constante. Quando eu calculei essa integral de um sobre a DEA, ficou eliene, do módulo de A mais uma constante. Não acabei esquecendo de escrever, juntando essa constante com a íntegra ao lado. Segundo, o lado da igualdade fica integral de pedir as deixas mais uma constante beleza. Essa soma que está no expoente do heda para abrir no no produto, de modo que fica a igual a mais ou menos elevado, nascer vezes é elevado na integral de pedir à XYZ Defesa Bom, essa seria uma solução geral, como a gente está interessado numa solução particular a gente pode considerar que tudo isso aqui está multiplicando. Esse elevado aquela integral, ele é um, então a gente vai pegar a função a difícil como sendo, deixou até destacar aqui que isso é importante. Então a função aedes xis que nós estamos procurando é igual ao elevado na integral de pede chefes. Deixes é o que chamamos de fator integrante. Então, para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem certo, nós devemos multiplicar os dois lados da igualdade por elevado a integral de pede xis de xis onde pede chega a função de cheques que está multiplicando o IP solon na forma geral ali da nossa equação linear qualquer. Então essa parte foi só para a gente entender o que precisa fazer para resolver essas equações. Vamos agora colocar isso em prática, resolvendo exemplos beleza olha só de IPO foram sobre destes mais três x y z ao quadrado e pistolão igual a seis chefes. Temos aqui uma equação linear certo? Veja que três fiz ao quadrado é pedir xis é quem está multiplicando IP solon. Portanto, vamos inicialmente calcular a integral de três fiéis ao quadrado destes para descobrir qual é o expoente que vamos colocar no rio para multiplicar os dois lados da igualdade de acordo com o que o que vimos anteriormente, muito bem integral de três fez ao quadrados destes três vezes sisal Cuba sobre três vai simplificar o três de cima com de baixo Sobra três ao Cubo. Mas nesse caso, a gente não precisa dessa constante está, a gente vai te pegar simplesmente o xis ao cubo que vai funcionar. Então vamos multiplicar os dois lados da igualdade por elevado a chinesa ao cubo. Dessa maneira, ficar é elevado a XYZ ao cubo vezes e pessoal linha mais três fez ao quadrado e pessoal igual há seis fieis ao quadrado vezes nas fiz ao cubo muito bem, Nós sabemos que esse produto que está no primeiro lado da igualdade corresponde a derivada de Nash, his álcool bo vezes e pessoa tranquilo, mas a gente pode verificar que de fato funciona qual é a derivada desse produto aqui. Bom primeiro eu derivou nas fiz ao cubo é o próprio Helena Xis. Ao cubo vezes a derivada do expoente derivada de Chiesa ocupa três fez ao quadrado a regrinha do produto. Lá nas derivadas deriva o primeiro fator vezes o segundo vezes e pessoal. Mas agora eu mantenho ali O primeiro fator na China ocupa e multiplica pela derivada do segundo e pessoal linha dessa maneira colocando em táxis em evidência. Temos é na cheias que multiplica exatamente e pessoal linha mais três filhos ao quadrado e não quero que a gente tinha. Então, de fato funciona maravilha no segundo lado da igualdade. Seis fez ao quadrado nafis ao Cubo Bom, basta multiplicar desculpa, basta integrar os dois lados da igualdade e aí a gente resolve a equação bom no primeiro lado, temos a derivada desse