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EDO - Aula 4 - Modelagem com equações diferenciaisvideo play button

Transcrição


Olá pessoal, essa é a nossa última aula de equações diferenciais de primeira ordem onde veremos algo muito importante que são as aplicações de equações diferenciais de primeira ordem. Equações diferenciais possuem diversas aplicações. Nós vamos falar um pouquinho de algumas delas Beleza veremos o crescimento populacional, problemas de mistura e aplicações na física para começar crescimento populacional existem alguns modelos para o crescimento populacional. O principal é a chamada Lei do Crescimento Natural, que disse que uma população cresce de modo proporcional ao seu tamanho. Então a modelagem que nós temos é a seguinte equação diferencial de sobre deter igual a onde é uma constante de proporcionalidade e pé o número de indivíduos da população. Então a taxa de crescimento da população é igual a uma constante vezes o número de indivíduos dessa população. Ao resolver essa equação diferencial, o que a gente vai fazer é descobrir qual é a função. Pena que é uma função de ter. E aí com isso a gente consegue responder o que o problema vai solicitar. Por exemplo, um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias que se iniciou com cem indivíduos, sabendo que a cada vinte minutos a população dobra de tamanho. Calcule o tempo necessário para que a população seja de quatrocentos e nove mil e seiscentos bactérias muito bem. Então vamos lá. Temos que de sobre é igual a ca vezes per de acordo com o nosso modelo. Repare que essa é uma equação diferencial separável. Beleza a gente consegue resolver separando as variáveis que eu posso passar a CPI dividindo e o deter por outro lado, ali, multiplicando de modo que vai ficar de pé sobre igual a Kaká deter beleza, integrando nos dois lados da igualdade, temos a integral de um sobre igual a integral Dica deter integral de um sobre pmdb- Wiene do módulo de igual a integral de Chávez, diz deter vai ficar então Chávez, Esther. E aí juntando as constantes no segundo lado, aqui mais mais beleza, Eliene do módulo de como é que a gente vai fazer para pra tirar esse pedo logar, vitimando ali? Fazemos, é elevado ao eliene do módulo de pena, igual ao elevado, a tudo que está no segundo lado da igualdade, muito bem. E aí o resultado será um módulo de Acontece, que, como representa o número de indivíduos de uma população, não pode ser negativo. então já possa escrever direto e positivo igual a É elevado a tudo aquilo ali vezes mais ser muito bem, podemos abrir a soma que está no expoente escrevendo igual ao elevado nascer vezes dizer elevado Na cave existem muito bem preciso descobrir qual é essa constante ser ou quem é elevado nascer e também descobre quanto vale a constante cá para eu ter a minha função pede Terena. Mais informações eu tenho do problema. Eu sei que a população inicial é de cem bactérias. População inicial no tempo zero, então como o p de zero é igual a cem, nós vamos substituir por cem e o tempo zero que vai acontecer. Temos que sem é igual ao elevado nascer vezes dizer elevado na zero vezes que fica a zero elevado na zero é um certo, de modo que elevado nascer é igual a cem. Então sabemos que é igual a cem vezes é elevado na capital falta descobrir qual é o valor de carro. Como é que eu vou fazer isso? Bom, eu sei que quando ter zero a população é sem que acontece quando quando a população vai para duzentos não, A gente sabe que a cada vinte minutos na população dobra, então posso pensar que cada período de tempo corresponde a vinte minutos. Então se o meu ter for um vai significar vinte minutos. Eu posso pensar que para ter igual a um eu teria duzentos indivíduos. Beleza Eu sei que pede um igual duzentos dessa maneira substituindo Nós temos que duzentos é igual a cem vezes é elevado na um vezes cá maravilha dá para passar esse sem dividindo ali duzentos dividido para sem dar dois dois é igual a elevado na capa, como tirar esticado expoente ali, calculando Eliene Nos dois lados da igualdade a gente vai fazer. Eliene de dois igual a Eliene de Hiranaka usando propriedades dos logaritmos, sai do expoente lado, logar, vitimando e vem multiplicando esse do blog e aí, eliene de um, porque ele é justamente o logo que tenho é como base perfeito. Eliene de dois é o carro. Agora nós temos o Ca logo sabemos que simplesmente pelo PDT a população em função do tempo é igual a cem vezes elevado na ter vezes, Eliene de dois. Essa função então, que dá para a gente o número de indivíduos da população em função do tempo. Lembrando que nesse caso aqui esse tempo que nós temos aqui a cada intervalo de vinte minutos, então quando ter é um vinte minutos após o início. Quando tenha dois serão quarenta minutos quando ter for três sessenta minutos e assim por diante. Bom a gente quer saber quanto tempo é necessário para que a população seja de quatrocentos e nove mil e seiscentos indivíduos, então basta substituir o PM de ter por esse número e calcula Alter na equação Uma mula para mim é igual a quatrocentos e nove mil e seiscentos vai ficar quatrocentos e nove mil e seiscentos igual a cem vezes elevado na ter eliene de dois bom passa e se sem dividindo ali vai cortar dois zeros quatro mil e noventa e seis é igual elevado na TV dizer eliene de dois bom da mesma maneira que antes para ele me parar tirado expoente ali Calculamos eliene do que está nos dois lados da igualdade Eliene de quatro mil e noventa e seis é igual a eliene daquele elevado a ter vezes aliena de dois ali passa esse expoente multiplicando teve eles aliene de dois e aí eu Eliene de é um, então ficou próprio expoente, isolando que é o que queremos descobrir ter é igual a eliene de quatro mil e noventa e seis dividido para Eliene de dois Bom esses logaritmos naturais eu não consigo calcular sem calculadora, porém eu posso escrever da seguinte maneira Logue de quatro mil e noventa e seis na base dois certo aqui precisaria lembrar da mudança de base, que é uma das propriedades lado logaritmo. Eu posso mudar um blog para uma base qualquer, onde eu passo a ter uma divisão? Os dois logs terão essa mesma base que a nova base que eu quero, de modo que o lugar vitimando do log original, vira logar, estimando do logo que está lá no numerador E o que era a base do meu logo original passa a ser um lugar, intimando do logo que está no denominador. Então veja que se eu pegar esse log de quatro mil e noventa e seis na base dois e for mudar ele para a base que seria o que seria o Eliene, eu fico justamente com Eliene do quatro mil e noventa e seis sobre o eliene de dois, para que a gente pode fazer esse caminho inverso. Isso é interessante porque agora eu consigo calcular esse logo aqui tenho que procurar o expoente que eu vou colocar no dois para resultar em quatro mil e noventa e seis e aí sabemos que esse expoente, a dose beleza então ter é igual a doze. Eu preciso de doze períodos de vinte minutos para que a população seja quatro quatrocentos e nove mil e seiscentos, então logo são necessárias quantas horas bom cada três períodos completa uma hora? Porque cada período vinte minutos, então são necessárias quatro horas Beleza. Essa seria então a resposta para esse problema. Problemas de mistura Esse tipo de problema é quando você tem uma concentração de uma certa substância em um líquido beleza, como por exemplo a concentração de sal em um tanque de água certo e a modelagem que nós temos para esse tipo de problema é a seguinte de hip só não sobre deter é igual a taxa de entrada, menos a taxa de saída. IPI Solon é a quantidade da substância que você tem ali na na mistura após após um certo tempo ter. Essa é a função que a gente está interessado em descobrir então que essa derivada está dando é justamente a taxa de variação da quantidade dessa substância. Então, a gente faz essa variação igual à taxa de entrada, menos a taxa de saída. Por exemplo, um tanque contém vinte quilos de sal dissolvido em cinco mil litros de água. Água salgada com zero vírgula zero três quilos de sal por litro entra no tanque a uma taxa de vinte e cinco litros por minuto. A solução é misturada completamente e sai do Tem que a mesma taxa encontre a função que fornece a quantidade de