AVALIAÇÁO - Algebra

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Álgebra
1. Em P2, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e de coeficientes reais, considere a base: B = {3x² – 2, –2x + 1, x² – 2x + 8} e (v)B = (–1, 3, –2).   Então, o vetor v ∈ P2 é:   
v = –5x² – 2x – 11. (Alternativa correta)
2. Em P2, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e de coeficientes reais, considere a base: B = {3x² – 2, –2x + 1, x² – 2x + 8}. Escreva u = –x² – 7 na base B. 
(v)B = (0, 1, –1). (Alternativa correta)
(v)B = (1, 1, 1).
(v)B = (1, –1, 0).
(v)B = (1, 1, –1).
3. Seja E espaço vetorial, tal que dim(E) = 6. Assinale a afirmação correta sobre os subconjuntos de E. 
Se V ⊂ E e é linearmente independente, então V possui 6 vetores.
Se Y ⊂ E e possui 7 vetores, então Y é linearmente dependente. (Alternativa correta)
Se Z é base de E, então 0 ∈ Z.
Se X ⊂ E e possui 6 vetores, então X é base de E.
4. Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente dependente: X = {v1 = –2x³ + x, v2 = 2x³ – x, v3 = 2x³ + x² – x + 3, v4 = x² + 3}. É base do ger(X) o conjunto: 
{ v1, v2 } .
{ v1, v3 } . (Alternativa correta)
{ v1 } .
{ v1, v2, v3 } .
5. Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente independente: Y = {v1 = 3x³ + 2x + 1, v2 = x² – 3x}. O conjunto Y ∪ {v3,v4} é base de P3, se: 
v3 = –(2/3)x³ + 3x² + x, v4 = –(1/3)x³ + x. (Alternativa correta)
v3 = –2x³ + 3x² + x, v4 = –x³ + x.
v3 = –2x³ + 3x² + x + 3, v4 = –x³ + x + 3.
v3 = 0, v4 = 5x³ – 1.
6. Transformações matriciais atuam sobre espaços vetoriais. A transformação F(x, y) = (2x, –y), por exemplo, atua no espaço R2. Por essa transformação, qual é a imagem do ponto P = (2, 1)? 
Q = (4, 1).
Q = (–4, 1).
Q = (4, –1). (Alternativa correta)
Q = (–4, –1).
7. Transformações lineares do espaço R2 sobre si têm representação matricial dada por 2 x 2. Na base canônica de R2, qual é a representação matricial da transformação G(x, y) = (–y, x)? 
 (Alternativa correta)
8. Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas. Determine a imagem do ponto P = (1,–1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano. 
(–1, 1) (Alternativa correta)
(1, 2)
(1, 1)
(1, –1)
9. Uma classe de transformações lineares com muitas aplicações em Física e outras áreas são as rotações no plano. Qual é a matriz da rotação de 45º em torno da origem em R2? 
 (Alternativa correta)
10. Compor transformações lineares é equivalente a multiplicar suas respectivas matrizes de representação. Sendo assim, indique qual é a matriz na base canônica de R2 que representa a composição G°F das seguintes operações: G(x, y ) = (–x, –y) e H(x, y) = (2x, 2y). 
 (Alternativa correta)