Gabarito_MatemáticaI_Módulo16_8ano

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a) Ao final de 1 hora, que fração da piscina é enchida pelo primeiro caminhão-pipa? 
b) Se os três caminhões-pipa encherem a piscina ao mesmo tempo, que fração da piscina estará 
cheia ao final de 1 hora?
Resolução
a) Para calcular que fração da piscina é enchida pelo primeiro caminhão-pipa em 1 hora, divi-
dimos a hora pelo tempo total gasto por esse caminhão-pipa para enchê-la por completo: 
1
(x 1 3)
b) Para esse cálculo, adicionamos as frações algébricas que representam o tempo que cada 
caminhão-pipa demoraria para abastecer a piscina durante 1 hora:
 
1
(x 1 3)
 1 
1
(x 1 3)(x 2 3)
 1 
1
(x 1 3)(x 1 2)
 5
 5 
(x 2 3)(x 1 2) 1 (x 1 2) 1 (x 2 3)
(x 1 3)(x 2 3)(x 1 2)
 5
 5 
(x2 2 x 2 6) 1 x 1 2 1 x 2 3
(x 1 3)(x 2 3)(x 1 2)
 5
 5 
x2 1 x 2 7
(x 1 3)(x 2 3)(x 1 2)
1 Assinale as frações algébricas.
a) 
5x
7
b) 
x 2 5
4 1 x
c) 
4
a2 1 b2
d) 
x2 2 5x 1 1
4
e) 
35
y3
f) 
7a 2 3
b 1 1
g) 
x 1 7
7
2 Determine os valores de y para os quais as frações al-
gébricas não representam números reais.
a) 
5y 2 7
y 1 6
 y 5 26
b) 
73
4 2 y2
 y 5 ±2
c) 
14y 2 3
2y
 y 5 0
d) 
5y
2y 1 8
 y 5 24
e) 
6 1 y
(y 2 3)(y 1 8)
 y 5 3 ou y 5 28
3 Simplifique as frações algébricas a seguir.
a) 
10ab3c
15a2b
 
2b2c
3a
PRATICANDO O APRENDIZADO
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b) 
24x4y5z
16x3y6z4
 
3x
2yz3
 
c) 
m2 2 1
m2 2 m
 (m 2 1)(m 1 1)
m(m 2 1)
 5 
m 1 1
m
 
d) 
x2 2 5x
x2 2 3x 2 10
 x(x 2 5)
(x 2 5)(x 1 2)
 5 
x
x 1 2
 
e) 
b2 2 16
3b 1 12
 (b 1 4)(b 2 4)
3(b 1 4)
 5 
b 2 4
3
 
f) 
4x2 2 25
4x2 1 20x 1 25
 (2x 1 5)(2x 2 5)
(2x 1 5)2
 5 
2x 2 5
2x 1 5
 
g) 
6x2 1 15x 2 4xy 2 10y
9x2 2 4y2
 3x(2x 1 5) 2 2y(2x 1 5)
(3x 1 2y)(3x 2 2y)
 5 
(3x 2 2y)(2x 1 5)
(3x 1 2y)(3x 2 2y)
 5 
2x 1 5
3x 1 2y
4 Determine o MDC e o MMC dos monômios abaixo.
a) 4x2y3 e 6x2y6
 MDC(4x 2y 3, 6x 2y 6) 5 2x 2y 3
 MMC(4x 2y 3, 6x 2y 6) 5 2 2 ? 3 ? x 2 ? y 6 5 12x 2y 6
b) 12ab3 e 18a2b4
 MDC(12ab 3, 18a 2b 4) 5 2 ? 3 ? a ? b3 5 6ab3
 MMC(12ab3, 18a2b4) 5 22 ? 32 ? a2 ? b4 5 36a 2b4
c) 8m3n2, 12mn5 e 6m2n3
 MDC(8m3n2, 12mn5, 6m2n3) 5 2mn2
 MMC(8m3n2, 12mn5, 6m2n3) 5 23 ? 3 ? m3 ? n5 5 24m3n5
d) 72a3bc4 e 48a3b2c
 MDC(72a3bc4, 48a3b2c) 5 23 ? 3 ? a2 ? b ? c 5 24a2bc
 MMC(72a3bc4, 48a3b2c) 5 24 ? 32 ? a3 ? b2 ? c4 5 144a3b2c4
 
e) 49x5y3, 14x3y4 e 28x2y
 MDC(49x5y3, 14x3y4, 28x2y) 5 7x2y
 MMC(49x5y3, 14x3y4, 28x2y) 5 22 ? 72 ? x5 ? y4 5 196x5y4
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5 Calcule o MDC e o MMC dos polinômios abaixo.
a) a2 2 4b2, a2 2 2ab e 3a 2 6b
 MDC(a2 2 4b2, a2 2 2ab, 3a 2 6b) 5 (a 2 2b)
 MMC(a2 2 4b2, a2 2 2ab, 3a 2 6b) 5
 5 3a(a 1 2b)(a 2 2b)
b) 3xy 1 3zy e 3y2 1 6yz 1 3z2
 MDC(3xy 1 3zy, 3y2 1 6yz 1 3z2) 5 3
 MMC(3xy 1 3zy, 3y2 1 6yz 1 3z2) 5 3y(x 1 z)(y 1 z)2
c) 3m 2 1, 45m 2 15 e 9m2 2 6m 1 1
 MDC(3m 2 1, 45m 2 15, 9m2 2 6m 1 1) 5 (3m 2 1)
 MMC(3m 2 1, 45m 2 15, 9m2 2 6m 1 1) 5
 5 15(3m 2 1)2
d) x2 2 4y2 e x2 2 4xy 1 4y2
 MDC(x2 2 4y2, x2 2 4xy 1 4y2) 5 (x 2 2y)
 MMC(x2 2 4y2, x2 2 4xy 1 4y2) 5 (x 1 2y)(x 2 2y)2
e) 9a2 1 18a 1 9, 15a 1 15 e 6a2 1 6
 MDC(9a2 1 18a 1 9, 15a 1 15, 6a2 1 6) 5 3
 MMC(9a2 1 18a 1 9, 15a 1 15, 6a2 1 6) 5 
 5 90(a 1 1)2(a2 1 1)
6 Reduza as frações algébricas ao mesmo denominador.
a) 
2
a2b
, 
3
ab2
 MMC(a2b, ab2) 5 a2b2
 
2b
a2b2
, 
3a
a2b2
b) 
5x 1 1
x3
, 
x 1 1
x2
 MMC(x3, x2) 5 x3
 
5x 1 1
x3
, 
x(x 1 1)
x3
c) 
3
4x2y3
, 
5
8x3y2
, 
7
6xy4
 MMC(4x2y3, 8xy2, 6x3y4) 5 24x3y4
 
18xy
24x3y4
, 
15y2
24x3y4
, 
28x2
24x3y4
d) 
a 1 1
72a2bc4
, 
b 1 2
48a3b2c
 MMC(72a2bc4, 48a3b2c) 5 144a3b2c4
 2ab(a 1 1)
144a3b2c4
, 
3c3(b 1 2)
144a3b2c4
7 Represente as frações algébricas a seguir com o mesmo 
denominador.
a) 
5
5
, 
2m
3a 1 3b
, 
3m
2(a2 2 b2)
 MMC(5, 3(a 1 b), 2(a 1 b)(a 2 b)) 5 30(a 1 b)(a 2 b)
 
18
(a 1 b)(a 2 b)
, 
20m(a 1 b)(a 2 b)
30(a 1 b)(a 2 b)
, 
45(a 1 b)(a 2 b)
30(a 1 b)(a 2 b)
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b) 
x
x 2 3
, 
5x
2x2 2 4x 2 6
 2x2 2 4x 2 6 5 2(x2 2 2x 2 3) 5 2(x 2 3)(x 1 1)
 MMC((x 2 3), 2(x 2 3)(x 1 1)) 5 2(x 2 3)(x 1 1)
 
2x(x 2 3)(x 1 1)
2(x 2 3)(x 1 1)
, 
5x
2(x 2 3)(x 1 1)
c) 
5
m 1 1
, 
2
m 2 1
, 
4
m2 2 1
 MMC((m 1 1), (m 2 1), (m 1 1)(m 2 1)) 5
 5 (m 1 1)(m 2 1)
 
5(m 2 1)
(m 1 1)(m 2 1)
, 
2(m 1 1)
(m 1 1)(m 2 1)
, 
4
(m 1 1)(m 2 1)
d) 
x
4x 2 16
, 
3x
x 2 4
 MMC(4(x 2 4), (x 2 4)) 5 4(x 2 4)
 
x
4(x 2 4)
, 
12x
4(x 2 4)
e) 
1
x2 2 y2
, 
4
x2 2 xy
, 
7
xy 1 y2
 MMC((x2 2 y2, x2 2 xy, xy 1 y2)) 5
 5 xy(x 1 y)(x 2 y)
 
xy
xy(x 1 y)(x 2 y)
, 
4y(x 1 y)
xy(x 1 y)(x 2 y)
, 
7x(x 2 y)
xy(x 1 y)(x 2 y)
f) 
x 1 5
x2 1 6x 1 9
, 
3x
x 1 3
 x2 1 6x 1 9 5 (x 1 3)2
 MMC((x 1 3), (x 1 3)2) 5 (x 1 3)2
 
x 1 5
(x 1 3)2
, 
3x(x 1 3)
(x 1 3)2
8 Considere a fração 
30x2y 2 6y
25x4 2 1
 e faça o que se pede.
a) Simplifique-a.
 6y
5x2 1 1
b) Ache o valor numérico dessa fração, para x 5 21 e 
y 5 4. 4
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ù
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9 Simplifique a expressão 
a4 2 1
a3 2 a2 1 a 2 1
 e determine 
seu valor para a 5 999.
 1 000
10 Simplifique a expressão 
a3 2 a2 2 9a 1 9
a2 2 9
 e determine 
seu valor para a 5 21.
 22
1 Certo dia o professor Anderson chamou as alunas Beatriz 
e Patrícia ao quadro para que simplificassem a fração 
x3 1 x2
x2
. Observe a simplificação que as meninas fizeram:
 
x3 1 x2
x2
 5 x3
BEATRIZ
 
x3 1 x2
x2
 5 
x2(x 1 1)
x2
 5 x 1 1
PATRÍCIA
 Qual das meninas acertou a simplificação da fração 
algébrica? Justifique.
Patrícia fez da forma correta: antes de simplificar, ela fatorou os
polinômios. Beatriz errou, pois em uma adição não se pode 
simplificar parcelas do numerador com o denominador.
 
2 O professor Anderson promoveu uma gincana mate-
mática entre duas turmas do 8º ano, e quatro alunos 
tiveram de simplificar algumas frações algébricas. Veja 
os cálculos no quadro abaixo.
 Quais alunos fizeram as simplificações corretamente?
Carol e Luís.
3 Pedro fez o seguinte desafio a sua amiga Gisele: Que 
expressão se deve multiplicar ao numerador e ao de-
nominador da fração 
5x
x 2 1
 para que ela fique com o 
mesmo denominador da fração 
7y
x2 1 3x 2 4
?
(x 1 4)
4 Tales calculou o volume da figura a seguir e encontrou 
a seguinte expressão algébrica: 
x2 1 27x 1 9
x3 1 27
. Escreva 
o volume da figura de forma simplificada.
x2 1 27 1 9
(x 1 3)(x2 1 27x 1 9)
 5 
1
x 1 3 
Sérgio
x2 2 93
x2 2 31
 5 x 2 3
Bia
2p 1 q
q
 5 2p
Carol
x2 2 4x
x
 5 x(x 2 4)
x
 5 x 2 4
Luís
x4
3
y3z2
x y3z3
 5 x
3
z
APLICANDO O CONHECIMENTO
C
K
A
/S
hu
tt
er
st
oc
k
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5 Ptolomeu recebeu R$ 50 000,00 de herança, que dividiu 
igualmente entre seus (x 1 3) filhos. Quanto cada filho 
recebeu?
50 000
x 1 3
6 Ricardo comprou x balas, pagando um total de R$ 53,20, 
e quer vendê-las com um lucro de R$ 0,50 em cada uma. 
Qual é a expressão algébrica que representa o preço de 
venda de cada bala?
53,20
x
 1 0,5
7 Considere um número real qualquer diferente de zero. 
Some esse número com 3, multiplique a soma por 5, 
subtraia 15 do produto e divida o que resta pelo pró-
prio número. O que podemos afirmar sobre o número 
pensado?
Será sempre igual a 5.
8 Determine o valor numérico da expressão 
x4 2 y4
x3 2 x2y 1 xy2 2 y3
, para x 5 111 e y 5 112.
223
1 Simplificando-se a expressão y 5 
x2 1 6x 1 9
x2 2 9
, obtém-se:
a) 6x 
b) 26x 
c) 
x 2 3
x 1 3
d) 
x 1 3
x 2 3
 
e) x 2 3
2 Calcule o valor numérico da expressão
 E 5 
x2 2 y2 2 8x 1 16
2x 2 2y 2 8
, para x 5 628 e y 5 576.
a) 560
b)600
c) 640
d) 700
e) 750
3 Calcule o valor da fração 
a2 2 b2
a2 1 2ab 1 b2
, quando 
a 5 51 e b 5 49. 
a) 0,02
b) 0,20
c) 2
d) 20
e) 200
4 Simplificando 
4x3 2 x
2x 1 1
, obtemos: 
a) x2 1 1
b) x2 2 1
c) 2x2 2 1
d) 2x2 2 x
e) 2x2 1 1
DESENVOLVENDO HABILIDADES
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