3 Aula - Cinemática da Partícula Movimento em Mais de Uma Dimensão

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Cinemática da Partícula: Movimento em 
Mais de Uma Dimensão 
 APRESENTAÇÃO 
Ao abordar problemas envolvendo movimento em mais de uma dimensão, é necessário ter o 
domínio de operações vetoriais, além de expressar em termos de vetores as grandezas da 
cinemática (interpretando geometricamente seu significado): posição, velocidade e aceleração. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos o movimento de partículas em duas dimensões a 
partir da análise da sua posição, da velocidade e da aceleração. Além disso, resolveremos 
problemas envolvendo movimento da partícula em mais de uma dimensão. 
Bons estudos. 
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: 
• Expressar as grandezas da cinemática como vetores. 
• Interpretar geometricamente o que representam os vetores velocidade e aceleração. 
• Resolver problemas envolvendo movimento em mais de uma dimensão. 
 DESAFIO 
Gaviões são aves de rapina que têm excelente visão e domínio de movimentação no espaço 
tridimensional em que vivem. Suponha que você esteja observando a seguinte situação: um 
gavião, que pode atingir velocidades de até 60m/s, transporta uma presa voando horizontalmente 
a uma altura h1 = 900m do solo. Entretanto, a presa consegue se desvencilhar e cair, enquanto o 
gavião segue movendo-se com a velocidade V0 = 10m/s. Após um intervalo de tempo Δt = 7s, o 
gavião observa a posição da presa e decide partir em uma trajetória retilínea para recapturá-la. 
Sabendo que o gavião pode interceptar a presa até a altura h3 = 5m do solo, utilize seus 
conhecimentos acerca do movimento em duas dimensões para saber se ele conseguirá ou não 
recapturar a presa. 
Despreze a resistência do ar. 
 
A relação geométrica entre os vetores velocidade e aceleração determina a dimensionalidade da 
trajetória de uma partícula. Quanto maior for o deslocamento que um móvel apresenta em certo 
intervalo de tempo, maior será a sua velocidade. Dessa forma, a inclinação da reta representada 
em um gráfico x(t) vs t também será maior. 
Neste Infográfico, você vai poder analisar geometricamente a relação entre a velocidade e a 
inclinação da reta representada no gráfico da posição de uma partícula em função do tempo. 
Observe, na figura, a comparação entre movimentos ao longo de uma reta e em um plano. 
INFOGRÁFICO 
 
A descrição vetorial das grandezas cinemáticas posição, velocidade e aceleração é indispensável 
para a análise de problemas sobre movimento que dependam de mais de uma dimensão. 
Acompanhe um trecho do livro "Física para Universitários: Mecânica", de Wolfgang, que servirá 
como base teórica para esta Unidade de Aprendizagem. Inicie a leitura a partir da seção 
3.1 Sistema de coordenadas tridimensional. 
Bons estudos! 
CONTEÚDO DO LIVRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
B344f 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauer, Wolfgang. 
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica 
/ Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri 
Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica: 
Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012. 
 Editado também como livro impresso em 2012. 
 ISBN 978-85-8055-095-5 
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio. III. 
Título. 
CDU 531 
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107 72 Física para Universitários: 
Mecânica 
 
O QUE APRENDEREMOS 
■ Você aprenderá a trabalhar com o movimento em duas e três ■ Você aprenderá a descrever o vetor velocidade de um projétil 
dimensões usando métodos desenvolvidos para o movimento a qualquer instante durante seu percurso. unidimensional. 
■ Você compreenderá que trajetórias realistas de objetos como 
■ Você determinará o trajeto parabólico do movimento ideal bolas de beisebol são afetadas pelo atrito do ar e não são exade 
projéteis. tamente parabólicas. 
■ Você conseguirá calcular a altura máxima e o alcance máxi- ■ Você aprenderá a transformar vetores velocidade de um refe- 
mo de uma trajetória ideal de projéteis em termos do vetor rencial a outro. velocidade inicial e da posição inicial. 
Todos já viram uma bola quicando, mas você já reparou com atenção no trajeto que ela faz? 
Se você pudesse desacelerar a bola, como na foto da Figura 3.1, veria o arco simétrico de cada 
salto, que fica menor até que a bola pare. Esse trajeto é característico de um tipo de movimento 
bidimensional conhecido como movimento de projéteis. Pode-se ver a mesma forma 
parabólica e m chafarizes, fogos de artifício, arremessos de bolas de basquete – qualquer tipo 
de movimento isolado em que a força da gravidade é relativamente constante e o objeto em 
movimento é denso o bastante para que a resistência do ar (uma força que tende a desacelerar 
objetos se movendo pelo ar) possa ser ignorada. 
Este capítulo estende a discussão do Capítulo 2 sobre deslocamento, velocidade e 
aceleração para o movimento bidimensional. As definições desses vetores em duas dimensões 
são muito semelhantes às definições unidimensionais, mas podemos aplicá-las a uma maior 
variedade de situações da vida real. O movimento bidimensional ainda é mais restrito do que 
o movimento geral em três dimensões, mas se aplica a um grande número de movimentos 
comuns e importantes que serão considerados durante este curso. 
 3.1 Sistema de coordenadas tridimensional 
 z Após ter estudado o movimento em uma dimensão, a seguir enfrentamos problemas mais 
complexos em duas e três dimensões espaciais. Para descrever esse movimento, trabalharemos 
com coordenadas cartesianas. Em um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, 
escolhemos os eixos x e y para o plano horiz o ntal e o eixo z para apontar verticalmente para 
cima (Figura 3.2). Os três eixos de coordenadas estão a 90° (ortogonais) entre si, conforme 
exigido para um sistema de coordenadas cartesianas. 
 y A convenção que se segue sem exceção neste livro é que o sistema de coordenadas car- 
 x tesianas é destro. Essa convenção significa que é possível obter a orientação relativa dos três 
Figura 3.2 Um sistema de coordena- eixos de coordenadas usando a mão direita. Para determinar os sentidos positivos dos três das 
cartesianas xyz destro. eixos, levante o polegar da mão direita e aponte com o indicador para frente; um ângulo de 90° se forma 
naturalmente entre eles. Depois, estique seu dedo médio, de forma que esteja a um ângulo reto com o polegar e o indicador (Figura 
3.3). Os três eixos são atribuídos aos dedos como mostra a Figura 3.3a: o polegar é x, o indicador é y e o dedo médio é z. Você pode 
girar a mão direita em qualquer direção, mas a orientação relativa dos dedos permanece a mesma. 
 
Figura 3.3 As três realizações possíveis de um sistema de coordenadas cartesianas destro. 
Capítulo 3 Movimento em Duas e Três Dimensões 73 
 
Se quiser, você pode trocar as letras nos dedos, conforme mostrado na Figura 3.3b e na Figura 
3.3c. Porém, z sempre precisa seguir y, que sempre deve seguir x. A Figura 3.3 mostra todas 
as combinações possíveis da atribuição destra dos eixos aos dedos. Na verdade, você só precisa 
lembrar uma delas, porque sua mão pode sempre ser orientada no espaço tridimensional de tal 
forma que as atribuições dos eixos nos dedos podem ser alinhadas com os eixos de 
coordenadas esquemáticos mostrados na Figura 3.2. 
Com esse conjunto de coordenadas cartesianas, um vetor positivo pode ser escrito em 
forma de componente como 
 (3.1) 
Um vetor velocidade é 
 (3.2) 
Para vetores unidimensionais, a derivada temporal da função do vetor posição define o 
vetor velocidade. Isso também ocorre para mais de uma dimensão: 
(3.3) 
 
No último passo de s sa equação, usamos regras de adição e produto de diferenciação, bem 
como o fato de que vetores unitários são vetores constantes (sentidos fixos ao longo dos eixos 
das coordenadas e módulo constante de 1). Comparando as equações 3.2 e 3.3, vemos que 
(3.4)c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mesmo procedimento nos leva do vetor velocidade ao vetor aceleração calculando outra 
derivada temporal: 
 
A diferença mais marcante entre velocidade ao longo de uma linha e velocidade em duas ou 
mais dimensões é que esta pode mudar de orientação e de módulo. Como a aceleração é 
definida como uma mudança de velocidade – qualquer mudança de velocidade – dividida por 
um intervalo de tempo, pode haver aceleração mesmo quando o módulo da velocidade não se 
altera. 
Considere, por exemplo, uma partícula que se move em duas dimensões (ou seja, em um 
plano). No tempo t1, a partícula tem velocidade e, em um tempo posterior t2, a partícula tem 
velocidade . A mudança de velocidade da partícula é . A aceleração média, , para o 
intervalo de tempo 
(3.7) 
 
A Figura 3.4 mostra três casos diferentes para a mudança de velocidade de uma partícula 
que se move em duas dimensões por um determinado intervalo de tempo. A Figura 3.4a mostra 
as velocidades inicial e final da partícula tendo a mesma orientação, mas o módulo da 
velocidade final é maior do que o módulo da velocidade inicial. A mudança resultante de 
velocidade e a aceleração média estão na mesma orientação que as velocidades. A Figura 3.4b 
novamente mostra as velocidades inicial e final apontando na mesma orientação, mas o 
módulo da velocidade final é menor do que o módulo da velocidade inicial. A mudança 
resultante de velocidade e a aceleração média estão na orientação oposta às velocidades. A 
Figura 3.4c ilustra 
74 Física para Universitários: Mecânica 
 
 
 
 
 
 
1 
z y 
y 
x 
x 
Figura 3.5 Trajetória tridimensional 
reduzida a uma trajetória 
bidimensional. 
 
Figura 3.6 Fotografia de um 
arremesso livre com a trajetória 
parabólica da bola de basquete 
sobreposta. 
média não são zero e podem estar 
em uma orientação que não tem 
relação evidente com as 
orientações das velocidades 
inicial ou final. 
Assim, em duas dimensões, 
um vetor aceleração surge se o 
vetor velocidade de um objeto 
mudar de módulo ou orientação. 
Sempre que um objeto percorrer 
uma trajetória curva, em duas ou 
três dimensões, ele deve ter aceleração. Examinaremos as componentes de aceleração em 
detalhes no Capítulo 9, quando discutirmos o movimento circular. 
 3.3 Movimento ideal de projéteis 
Em alguns casos especiais de movimento tridimensional, a projeção horizontal da trajetória, 
ou trajetória de voo, é uma linha reta. Essa situação ocorre sempre que as acelerações no plano 
horizontal xy são zero, então o objeto tem componentes de veloc i dade constante, vx e vy, no 
plano horizontal. Esse caso é mostrado na Figura 3.5 para uma b ola de beisebol arremessada 
no ar. Neste caso, podemos atribuir novos eixos de coordenadas de forma que o eixo x aponte 
para a projeção horizontal da trajetória e o eixo y seja o eixo vertical. Neste caso especial, o 
movimento tridimensional pode, de fato, ser descrito como um movimento em duas dimensões 
espaciais. Uma grande classe de problemas da vida real se encaixa nessa categoria, sobretudo 
problemas que envolvem movimento ideal de projéteis. 
Um projétil ideal é qualquer objeto que é solto com alguma velocidade inicial e, a seguir, 
se move apenas sob a influência da aceleração gravitacional, a qual se presume que seja 
constante e no sentido vertical para baixo. Um arremesso livre no basquete (Figura 3.6) é um 
b om exemplo de movimento ideal de projéteis, assim como o trajeto de uma bala de revólver 
ou a trajetória de um carro que é transportado pelo ar. O movimento ideal de projéteis 
despreza a resistência do ar e a velocidade do vento, rotação do projétil e outros efeitos que 
influenciam o percurso de projéteis na vida real. Para situações realistas em que uma bola de 
golfe, de tênis ou de beisebol se move no ar, a trajetória real não é descrita adequadamente 
pelo movimento ideal de projéteis e exige uma análise mais sofisticada. Discutiremos esses 
efeitos na Seção 3.5, mas não entraremos em detalhe quantitativo. 
Vamos começar com o movimento ideal de projéteis, sem efeitos em função de resistência 
do ar ou qualquer outra força além da gravidade. Trabalhamos com duas componentes 
cartesianas: x no sentido horizontal, e y no sentido vertical (para cima). Portanto, o vetor 
posição para o movimento de projéteis é 
Considerando nossa escolha pelo sistema de coordenadas, com um eixo y vertical, a aceleração 
devido à gravidade atua para baixo, no sentido y negativo; não há aceleração no sentido 
horizontal: 
 (3.10) 
Para este caso especial de uma aceleração constante apenas no sentido y e com aceleração zero 
no sentido x, temos um problema de queda livre no sentido vertical e movimento com velo- 
Capítulo 3 Movimento em Duas e Três Dimensões 75 
 
 
 
 
cidade constante no sentido horizontal. As equações cinemáticas para o sentido x são aquelas 
 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muitas demonstrações em sala de aula ilustram que o movimento no sentido 
 são realmente independentes entre si, conforme presumido na derivação das equações 
para o movimento de projéteis. Uma demonstração popular, chamada de “atire no macaco”, é 
 
zoológico e subiu em uma árvore. A funcionária do zoológico quer atirar no macaco com um 
tranquilizante para capturá-lo, mas sabe que o macaco soltará o galho que está segurando quando 
ouvir o som do disparo da arma. Portanto, seu desafio é atingir o macaco no ar enquanto ele cai. 
 
 
 
 
 
para um objeto que se move com velocidade constante: 
 x = x0 + vx0t (3.11) vx = vx0. (3.12) 
Assim como no Capítulo 2, usamos a notação vx0 vx(t = 0) para o valor inicial da componente 
x da velocidade. As equações cinemáticas para o sentido y são aquelas para movimento em 
queda livre em uma dimensão: 
 (3.13) (3.14) 
 vy = vy0 – gt (3.15) 
 (3.16) 
 (3.17) 
Por uma questão de consistência, escrevemos vy0 vy (t = 0). Com essas sete equações para as 
componentes x e y, podemos solucionar qualquer problema envolvendo um projétil ideal. 
Observe que, como o movimento bidimensional pode ser dividido em movimentos 
unidimensionais separados, essas equações são escritas em forma de componentes, sem utilizar 
vetores unitários. 
 
 DICA DO PROFESSOR 
As grandezas da cinemática, tais como posição, velocidade e aceleração, são expressas como 
grandezas vetoriais. Ou seja, são representadas por um vetor com intensidade, direção e sentido, 
associado a um segmento de reta orientado. 
No vídeo da Dica do Professor, você vai entender a definição de sistema de coordenadas 
dextrogiro, além de saber como escrever as grandezas cinemáticas em termos desse sistema de 
coordenadas. 
 
1) A velocidade e a aceleração de uma partícula são grandezas cinemáticas vetoriais, sendo 
completamente descritas pela sua intensidade (módulo), direção, sentido e unidade de 
medida. Os vetores representados na figura a seguir indicam a velocidade e a aceleração de 
um sistema em dado instante. Assinale a alternativa que indica a trajetória a partir desse 
momento. 
 
A) O sistema está movendo-se para cima, com a trajetória curvando para a esquerda. 
B) O sistema está movendo-se para baixo e para a direita, com a trajetória curvando para cima. 
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EXERCÍCIOS 
C) O sistema está movendo-se para cima, com a trajetória curvando para a direita. 
D) O sistema está movendo-se para cima e para a direita, com a trajetória curvando para baixo. 
E) O sistema está movendo-se para baixo e para a direita, com a trajetória curvando para baixo. 
2) A trajetória de uma partícula é definida como o caminho descrito durante seu movimento. A 
imagem a seguir representa a trajetória de uma partícula com o sentido do movimento 
indicado pela seta. Sabendo que o movimento ocorre com módulo da velocidade constante, 
assinale a alternativa que indica os vetoresvelocidade e aceleração no ponto P. 
 
A) 
B) 
C) 
 
 
 
D) 
E) 
 
 
3) O gráfico da posição de uma partícula em função do tempo nos fornece informações do tipo 
de movimento que a partícula executa. Por exemplo, uma parábola refere-se a uma função 
do segundo grau e, consequentemente, a um movimento uniformemente variado. Suponha 
que uma partícula executa o movimento descrito pelo gráfico a seguir. Assinale a alternativa 
que contém o vetor posição em função do tempo correspondente à curva esboçada. As 
expressões estão todas no Sistema Internacional de Unidades (SI) – tempo em segundos e 
posições em metros. 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4) A velocidade de uma partícula é dada pela variação de sua posição em certo intervalo de 
tempo. 
 
 
Intervalo de tempo: 0 a 2s. 
Nessa expressão, t deve estar em segundos e as coordenadas resultantes, em metros. 
Assinale a alternativa que indica os valores corretos para a distância da partícula à origem, 
no final do movimento, e a velocidade média do início ao fim da trajetória. A) 2,6m e 
(1,3;0,8)m/s. 
B) 7,47m e (1,3;-3,5)m/s. 
C) 1,53m e (1,3;-0,8)m/s. 
D) 2,6m e (2,6;3,5)m/s. 
E) 7,47m e (2,6;-7)m/s. 
5) 
 Um carro se encontra parado na posição inicial q 
 quando inicia um movimento com aceleração constante . 
Em que instante o veículo se encontrará a uma distância de 3,5km da origem? A) 
 1,46s. 
B) 46,22s. 
C) 32,68s. 
D) 67,7s. 
E) 45,56s. 
 NA PRÁTICA 
A Física procura descrever objetivamente os fenômenos, por isso, somente as informações 
relevantes são consideradas. Por exemplo: um movimento, do ponto de vista da Cinemática, pode 
ser descrito a partir da posição do corpo em relação com o tempo. Se o objeto de estudo estiver 
em um movimento retilíneo uniforme (MRU), as informações necessárias serão a posição, a 
velocidade e o tempo transcorrido. Informações como a forma ou a cor do corpo são irrelevantes, 
portanto não são consideradas. O mesmo vale para as dimensões. Vivemos num mundo 
tridimensional, mas nem sempre as 3 dimensões são relevantes para o estudo do movimento 
observado. Sendo assim: 
 
 
 SAIBA + 
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: 
Cinemática Vetorial 
Neste vídeo é abordado o tema de cinemática vetorial a partir da análise do vetor velocidade. 
https://www.youtube.com/embed/GL7qnbjhaos 
Vetor aceleração 
Neste vídeo é abordado o tema de cinemática vetorial a partir da análise do vetor aceleração. 
https://www.youtube.com/embed/eMrFQ8VP88A 
Física: Uma Abordagem Estratégica Física - V1 - Uma Abordagem Estratégica - Mecânica 
Newtoniana, Gravitação, Oscilações e Ondas Knight, Randall D. 
Neste livro você poderá aprofundar seu estudo sobre a cinemática de partículas. Física - V1 - Uma 
Abordagem Estratégica - Mecânica Newtoniana, Gravitação, Oscilações e Ondas Knight, Randall 
D. 
https://viewer.bibliotecaa.binpar.com/viewer/9788577805198 
 
https://www.youtube.com/embed/GL7qnbjhaos
https://www.youtube.com/embed/eMrFQ8VP88A
https://viewer.bibliotecaa.binpar.com/viewer/9788577805198