Cálculo II - Integrais Impróprias

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NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 
 
- UTFPR - 
 
 
 
 
 
 
 
Professores: Lauro César Galvão 
Luiz Fernando Nunes 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 
 Lauro / Nunes 
ii 
Índice 
1 Integrais Impróprias ................................................................................ 1-1 
2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais ........................................ 2-14 
3 Integrais Eulerianas .............................................................................. 3-29 
4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais .................. 4-37 
5 Funções em Espaços n-Dimensionais................................................... 5-42 
6 Derivadas .............................................................................................. 6-48 
7 Integrais Duplas e Triplas ..................................................................... 7-70 
 
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-1 
1 Integrais Impróprias 
1. Calcular . 
 
Resolução: 
  

b
cb x
dx
21
lim 
b
b
x
0
arctanlim

   0arctanarctanlim 

b
b
  0
2


 
2

 
Resposta: 
2

 
2. Calcular 

  21 x
dx
. 
 
Resolução: 


  21 x
dx
    
0
21 x
dx
 

0 21 x
dx
  1I  2I 
1I    
0
21 x
dx
  
0
21
lim
x
dx

0
arctanlim

x   

arctan0arctanlim  




 

2
0 
1I 
2

 
2I  

0 21 x
dx
 
2

, do exemplo 1 


0 21 x
dx


0 21 x
dx
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-2 


  21 x
dx
  1I  2I 
2


2

  
Resposta:  
3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes: 
a) 


dxx e b) 
r
rr
dxxlim 
a) 
Resolução: 
Primeiramente vamos calcular a integral 


dxx . 
Conforme foi definido, 



dxx =  
0
dxx  

0
dxx = 
0
lim dxx + 

 0
lim dxx =
0
2
2
lim







 x
+








0
2
2
lim
x
 
= 




 

 22
0
lim
22
+ 







 2
0
2
lim
22
= 




 

 2
lim
2
+ 





 2
lim
2
 
Como nenhum destes limites existe, então a referida integral 


dxx diverge. 
Resposta: diverge 
b) 
Resolução: 

r
rr
dxxlim =
r
r
r
x








2
lim
2
= 






 22
lim
22 rr
r
= 0lim
r
=0 (converge). 
Resposta: 0 
Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para 
definir a integral imprópria em (a). 
4. Discutir os valores de  para os quais a integral 

1 x
dx
 converge ou diverge. 
Resolução: 
Para   1: 
b
x
dx
1 
 
b
x
1
1
1
1 



   1
1
1 1 

b . 
Tem-se, então: 

1 x
dx
   1
1
1
lim 1 



b
b
 
Assim: 
Se   1  

1 x
dx
   1
1
1
lim 1 



b
b
 
1
1

 (CONVERGE). 
Se   1  

1 x
dx
   1
1
1
lim 1 



b
b
   (DIVERGE). 
Se 1  

1 x
dx
   
b
b x
dx
1
lim 
b
b
x
1
lnlim

   1lnlnlim 

b
b
  0   (DIVERGE). 
Resposta: 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-3 
5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste 
capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de 
uma lata de tinta de volume finito, isto é: 

1 x
dx
=  e que  

1 2x
dx
. 
Resolução: 
?

1 x
dx
 Esta integral é um caso particular do exemplo anterior, onde 1 , logo a 
integral imprópria diverge, assim, 

1 x
dx
=. 
?

1 2x
dx
 Novamente temos um caso particular do exemplo anterior, onde 2 , 
assim, 

1 2x
dx
  

1 2x
dx

12
1

= 1  . 
Resposta:  e , respectivamente. 
6. Estudar a convergência da integral 

1 2 1 )( xex
dx
. 
Resolução: 
Para x  1  
)(
xex 1
1
2
  
2
1
x
. 
A integral 

1 2x
dx
 
b
b x
1
1
lim 







  0  (1)  1 converge. 
Tem-se então que 

1 2 1 )( xex
dx
 também CONVERGE. 
Resposta: CONVERGE 
Teorema 
Se,  x  a , 0 )(x  )(xf e se 

a
dxx)( diverge, então 

a
dxxf )( também 
diverge. 
Exemplo 
7. Estudar a convergência da integral 
 
1 3
1
dx
x
x )(
. 
Resolução: 
Verifica-se que 
3
1
x
x 
  
3x
x
  
x
1
 
A integral 

1 x
dx
 
b
b
x
1
2lim

  22lim 

b
b
   diverge. 
Tem-se então que 
 
1 3
1
dx
x
x )(
 também DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-4 
8. Estudar a convergência da integral 

1 3
sin
dx
x
x
. 
Resolução: 
A função a ser integrada é de sinal variável. Então 
3
sin
x
x

3
1
x
, pois 1sin x . 
Para 1x  
3
1
x
 
3
1
x
. 
A integral 

1 3x
dx
 
b
b x 1
22
1
lim 







  0  






2
1
  
2
1
 converge. 
Temos que 

1 3
sin
dx
x
x
 também converge. 
Logo, 

1 3
sin
dx
x
x
 CONVERGE. 
Resposta: CONVERGE 
9. Calcular 
2
0 3x
dx
. 
 
Resolução: 

2
0 3x
dx
  
2
3
0
lim
aa x
dx
 
2
2
0
1
lim
2
1
a
a x








  






 aa
1
4
1
lim
2
1
0
  






4
1
2
1
  
8
1
   
A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-5 
10. 

1
0 21 x
xdx
. 
 
Resolução: 
Seja 

1
0 21 x
xdx
  I u 1 2x  x 0  u 1; x 1  u 0 
 du  xdx2  xdx 
2
du
 
 
A função é descontínua para x 1 ou u 0 
I  

b
b x
xdx
0 21 1
lim   








b
b
du
u
10 2
lim 2
1
 
b
b
u
1
2
10
2
1
2
1
lim










   0 ( 1 )  1 
Resposta: 1 
11. Calcular 

2
0 21)(x
dx
. 
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-6 
Resolução: 
Seja 

2
0 21)(x
dx
  I 
I  

 
1
0 20 )1(
lim
x
dx
   
2
1 20 )1(
lim
x
dx
 
Lembrando que 
 21)(x
dx
  
 dxx 21)(  c
x


 
1
1 1)(
  c
x



1
1
 
I 










1
0
0 1
1
lim
x

2
1
0 1
1
lim










x
 
I  









 1
11
lim
0
 








1
1
1
lim
0
 
I    1  1     (DIVERGE). 
Resposta: DIVERGE 
 
Calcular as seguintes integrais impróprias: 
12. 
 
0
dxe x . 
Resolução: 
Seja 
 
0
dxe x  I 
I  


b x
b
dxe
0
lim   
b
x
b
e
0
lim 

 
b
xb e 0
1
lim 







  

1
 






1
1
  1 
Resposta: 1 
13. 

0 22 xa
dx
. 
Resolução: 
Seja 

0 22 xa
dx
  I 
x  ua tan  
a
x
u tan  utan   u 
2

 
dx udua 2sec utan 0  u 0 
I  


2
0 222
2
tan
sec
uaa
udua
  



2
2
0
sec
2
2
2 )tan1(
sec
du
u
u
a
a
u

  
2
0
1 
du
a
 
2
0
1

u
a
  0
1
2
1



aa
 
a2

 
Resposta: 
a2

 
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-7 
14. 

0
sin xdxx . 
Resolução: 
Seja 

0
sin xdxx  I Integração por partes:   vduuvudv 
u  x  du dx 
dv xdxsin  v  xcos 
I  

0
udv  

b
b
udv
0
lim  




  

bb
b
vduuv
00
lim  




  

bb
b
dxxxx
00
)cos()cos(lim 
  bb
b
xxx
00
sincoslim 

   bb
b
coslim 














0
0cos0lim
b
  b
b
sinlim

 









0
0sinlim
b
 
I 
 

1,1
cos

 
 

1,1
sin

 . A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
15. 

1 x
dx
. 
Resolução: 


1 x
dx
  

b
b x
dx
1
lim 
b
b
x
1
2lim

  2  21  . A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
16. 

  222 xx
dx
. 
Resolução:Seja 

  222 xx
dx
  I 
 
112
2
1
2 


x
xx    11 2 x 
I  

  1)1( 2x
dx
    

1arctan x x  1  0  x  1 
I  

 
1
2 1)1(
lim
x
dx
b
  
b
b x
dx
1 2 1)1(
lim 
I    11arctanlim 

x
b
   b
b
x
1
1arctanlim

 
I  
0
0arctan



2
)arctan(


 

2
)arctan(


  
0
0arctan

  




 

2

2

   
Resposta:  
17. 
1
0 3 x
dx
. 
Resolução: 

1
0 3 x
dx
  

1
0 3
1
lim
aa x
dx
  


1
0
3
1
lim
aa
dxx 
1
2
3
0
3
2
lim
aa
x

  



 
3 23 2 01
2
3
 
2
3
 
Resposta: 
2
3
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-8 
18. 
1
1 4x
dx
. 
Resolução: 
Seja 
1
1 4x
dx
  I 
I   
1
1
1 40
lim
a
a x
dx
 
1
4
0 22
lim
aa x
dx
 
I 






 
1
1 1
3
0
1
lim
3
1
a
a x






1
3
0
2
2
1
lim
a
a x
 















33
1
0 )1(
11
lim
3
1
1 aa















3
2
3
0
1
1
1
lim
2 aa
 
I  
3
1
(  1  1  )   A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
19.  
 
0
sin dxbxe ax . 
Resolução: 
Seja  
 
0
sin dxbxe ax  I Integração por partes:   vduuvudv 
I   
  
1
0
sinlim
I
c ax
c
dxbxe


 1I   
c ax dxbxe
0
sin 
 u  axe du  dxae ax 
 dv  dxbxsin  v   bx
b
cos
1
 
1I  
c
udv
0
   
c
vdu
0
   
c
ax bx
b
e
0
cos
1






      






c ax dxaebx
b0
cos
1
 
1I 
 
c
ax
b
bxe
0
cos
   
  
2
0
cos
I
c ax dxbxe
b
a


 
 2I   
c ax dxbxe
0
cos 
 2u 
axe  2du  dxae
ax 
 2dv   dxbxcos  2v   bx
b
sin
1
 
2I  
c
dvu
0
22 
c
vu
022
 
c
duv
0
22   
c
ax bx
b
e
0
sin
1





      




c ax dxaebx
b0
sin
1
 
2I 
 
c
ax
b
bxe
0
sin
  
c ax dxbxe
b
a
0
sin 
 Voltando ao 1I ... 
1I 
 
c
ax
b
bxe
0
cos
  2I
b
a
 
c
uv
0
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-9 
1I 
 
c
ax
b
bxe
0
cos
  
b
a  
 








 


c ax
c
ax
dxbxe
b
a
b
bxe
0
0
sin
sin
 
 Mas, 1I   
c ax dxbxe
0
sin 
Logo...  
c ax dxbxe
0
sin 
 
c
ax
b
bxe
0
cos
 
 
c
ax
b
bxae
0
2
sin
  
  



c ax dxbxe
b
a
02
2
sin 









2
2
1
b
a
  
c ax dxbxe
0
sin 
 
c
ax
b
bxe
0
cos
 
 
c
ax
b
bxae
0
2
sin
 
 
c ax dxbxe
0
sin 
22
2
ba
b


 






c
ax
b
bxe
0
cos

 



 cax
b
bxae
0
2
sin
 
 Voltando novamente ao 1I ... 
1I   
c ax dxbxe
0
sin 
22
2
ba
b


 






c
ax
b
bxe
0
cos

 



 cax
b
bxae
0
2
sin
 
1I 
 
c
ax
ba
bxbe
0
22
cos




 
c
ax
ba
bxae
0
22
sin


 
1I 
 
22
cos
ba
bcbe ac





 
22
11
0 0cos
ba
beb a






 
22
sin
ba
bcae ac



 
  

0
22
0
0 0sin





ba
bae a
 
1I 
 
22
cos
ba
bcbe ac




22 ba
b


 
22
sin
ba
bcae ac


 
Voltando ao I ... I   1lim I
c 
 
 







 22
cos
lim
ba
bcbe ac
c

22 ba
b


 






22
sin
ba
bcae ac
 
I 
 
  

0
22
0
cos






ba
bbe a

22 ba
b


 
  

0
22
0
sin





ba
bae a
 
22 ba
b

 
Portanto,  
 
0
sin dxbxe ax 
22 ba
b

. 
Resposta: 
22 ba
b

 
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-10 
Resolva os seguintes exercícios sobre integrais impróprias: 
20. Calcular 
 
0
dxe x 
Resolução: 

 
0
dxe x  


b x
b
dxe
0
lim 
b
x
b
e
0
)(lim 

   0lim 

 ee b
b
  0  1  1. 
Resposta: 1 
21. Calcular 
 
0
dxxe x 
Resolução: 
Seja 
 
0
dxxe x  I . Integração por partes:   vduuvudv . 
u  x  du dx . 
dv xe dx  v   xe . 
I  

0
udv  

b
b
udv
0
lim  




  

bb
b
vduuv
00
lim  





 


b x
b
x
b
dxeex
00
)()(lim . 
I   





 

b
x
b
x
b
eex
00
lim    bx
b
ex 0)1(lim


    0)10()1(lim 

 eeb b
b
 
I    









1)1(lim
0
b
b
eb  (1)  1. 
Resposta: 1 
 
22. Calcular 


1
2x
dx
 
Resolução: 
Seja 


1
2x
dx
  I . 
I  




1 2lim dxx    11lim 



 x   









0
11)1(lim  [10]  (1)  1. 
Resposta: 1 
23. Calcular 

  2
4
1 x
dx
 
Resolução: 


  2
4
1 x
dx
    
0
2
4
1 x
dx
 

0 2
4
1 x
dx
  1I  2I 
Obs: 
 2
4
1 x
dx

   22
2
1 x
dx

2
1
1








2
1
arctan
x
 c  2 )2arctan( x  c 
1I    
0
2
4
1 x
dx
  
0
2
4
1
lim
x
dx
2
0
)2arctan(lim

x 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-11 
1I   )2arctan(0arctanlim2 

2 










 

2
0  . 
2I  

0 2
4
1 x
dx
 

b
b x
dx
0 2
4
1
lim 2
b
b
x
0
)2arctan(lim

 
2I 2  0arctan)2arctan(lim 

b
b
 2 







0
2
  . 
Logo: 


  2
4
1 x
dx
 1I  2I      2. 
Resposta: 2 
24. Calcular 

2
0 sin
cos
dx
x
x
 
Resolução: 
 u  xsin  du  xcos dx 
 
x
x
sin
cos
dx  
u
du
 







duu 2
1
 2 2
1
u  c 
 
x
x
sin
cos
dx  2 xsin  c 


2
0 sin
cos
dx
x
x

0
lim
 


2
sin
cos
dx
x
x
2
0
lim

2
sin


x 2
0
lim
 














0
1
2
sinsin  2 
Resposta: 2 
 
25. Calcular 

2
0 24 x
dx
 
Resolução: 
 
 24 x
dx
 
 222 x
dx
 





2
arcsin
x
 c 


2
0 24 x
dx

2
lim
b 

b
x
dx
0 24

2
lim
b
b
x
0
2
arcsin 






2
lim
b 















0
0arcsin
2
arcsin
b
 )1arcsin( 
2

 
Resposta: 
2

 
26. Calcular  
2
0 2x
dx
 
Resolução: 
   2x
dx
 2ln x  c 
 
2
0 2x
dx

2
lim
b  
b
x
dx
0 2

2
lim
b
  bx
0
2ln  
2
lim
b 









20ln2ln

b   
Resposta: DIVERGE 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-12 
27. Calcular 
1
1 4x
dx
 
Resolução: 
Seja 
1
1 4x
dx
I  4x
dx
 
 dxx 4  
3
3x
 c 
I 
 0
lim 

1 4x
dx

0
lim
b

1
4b x
dx
  
3
1



 0
lim

1
3
1







x

0
lim
b
1
3
1
bx









 
I  
3
1



 0
lim 







 33 )1(
11

0
lim
b







33
1
1
1
b



 
 0
lim 





3
1
  
I  
3
1



 0
lim 





3
1
11
0
lim
b







3
1
b



 
0
lim
b







3
1
b
  
I  
3
1
[ 11 ]  . 
 
Resposta: DIVERGE 
28. Calcular 

  942 xx
dx
 
Resolução: 
Seja 

  942 xx
dx
  I x2  4x  9 
 

2
2
2 44


x
xx 5   22x  2)5( . 
 
 22 )5()2(x
dx

5
1
arctan 




 
5
2x
 c 
I  
5
1




lim 


2
2 94 xx
dx

b
lim  
b
xx
dx
2 2 94



 
I  
5
1




lim arctan
2
5
2






 

x

b
lim arctan
b
x
2
5
2






 



 
I  
5
1
[ arctan 0  arctan () arctan ()  arctan 0]  
5
1
[0  
2

  
2

  0]  
5

 
Resposta: 
5

 
29. Determine k para que se tenha 


dxe
xk

2
1 . 
 
y
x
Gráfico da função
1 para <0k


dxe
xk
 
 Obs: 


dxe
xk

2
1  k  0 
Resolução:I  


dxe
xk
 
Cálculo II Integrais Impróprias 
 Lauro / Nunes 
1-13 
I   
0
dxe
xk
 

0
dxe
xk
 
I   
0 dxe kx  

0
dxekx 
 dxe kx  
k
1 kxe  c 
  dxe
kx  
k
1 kxe  c 
I 

lim 
0

dxe kx 
b
lim 
b kxdxe
0
 
I 

lim 



k
1 kxe
0





b
lim 


k
1 kxe
b
0



 
I  
k
1

lim (
0e  ke )
k
1
b
lim (
kbe  0e ) 
I  
k
1

lim (1
ke )
k
1
b
lim (
kbe 1) 
I  
k
1
(1

lim
ke )
k
1
(
b
lim
kbe 1) 

lim
ke  0 
 
b
lim
kbe  0 
I  
k
1
(10)
k
1
(01) 
I  
k
1

k
1
  
k
2
 
Mas temos que I  
2
1
. Logo, 
k
2
  
2
1
 k  4. 
Resposta: 4k 
30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou 
divergem: 
a) dx
x
x


1 2
2sin
 
Resolução: 
Como 
22
2 1sin
0
xx
x
 em [,[ 1 e dx
x


1 2
1
 converge, então dx
x
x


1 2
2sin
 também 
converge. 
Resposta: CONVERGE 
b) dx
x



1 2 10
1
,
 
Resolução: 
Como 
xx
1
10
1
2

 ,
 em [,[ 1 e dx
x

1
1
 diverge, então dx
x



1 2 10
1
,
 também 
diverge. 
Resposta: DIVERGE 
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-14 
2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
31. Represente no plano os pontos ),(  onde: 
),( 01A , ),( 01B , 




 
4
2,C , 




 

4
,1D , 




 
3
2,E , 




 
6
5
,3F e 




 

3
8
,3G . 
Resolução: 
 
Resposta: 
 
 
 
 
32. Represente no plano os pontos ),(  onde: 
)
2
,1(

A , )3,3( B , 




 
4
7
,2C , 




 

4
3
,
2
3
D , 




 

6
,2E , 




 

6
31
,3F e 




 

4
5
,2G . 
Resolução: 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5
4
7
6
11
2
3

0
2
C
E
B
DA
FG
 
Resposta: 
33. Construir o gráfico da função: 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
C
E
B
D
A
F
G
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-15 
  , para 0    2. 
 0 
4

 
2

 
3
2
  
4
5
 
2
3
 
4
7
 2 
 0 
4

 
2

 
3
2
  
4
5
 
2
3
 
4
7
 2 
 0 0,8 1,6 2,1 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3 
Resolução: 
 
Resposta: 
34. Construir o gráfico da função: 
  2  2 cos (cardióide). 
Resolução: 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
 4 2 3 2 2 3 2 1 
2
2 
2 3 0 
 4 3,7 3,4 3 2 1 0,6 0,3 0 
 
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-16 
Resposta: 
35. Construir o gráfico da função: 
  2  4 cos (caracol). 
Resolução: 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
 6 22 3 22 2 4 2 0 
22
2 
22 3 2 
 6 5,4 4,8 4 2 0 0,8 1,4 2 
 
Resposta: 
 
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-17 
36. Construir os gráficos das rosáceas nos itens a) e b). 
Rosáceas de quatro pétalas (folhas): 
a)   3 2sin 
Resolução: 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
 0 2,6 3 2,6 0 2,6 3 2,6 0 
 
Resposta: 
b)   3 2cos 
Resolução: 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
 3 1,5 0 1,5 3 1,5 0 1,5 3 
 
Resposta: 
 
 
 
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-18 
37. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na rosácea seguinte, temos: 

2
  4 2cos (Lemniscata de Bernoulli). 
Dicas para fazer o gráfico: 
  2 2cos 0  2cos  1 
Tome D como o domínio de  tal que: 
D  {R; 
2

  2n  2  
2

  2n, com nZ} 
D  {R; 
4

  n    
4

  n, com nZ} 
Resolução: 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
 2 1,4 0    0 1,4 2 
 
Resposta: 
 
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-19 
38. Calcule a área da região delimitada pela lemniscata de Bernoulli, de equação 24 2cos . 
Resolução: 
 
Para Xcos , X 1o e 4o quadrantes, onde Xcos  0. 
Como a curva é simétrica, calcula-se a área da região no 1
o
 quadrante e multiplica-se por 
quatro. Obs: XR; 
2

  2n  X  
2

  2n, com nZ. 

2
 4 2cos 
  2cos4 , onde D  {R; 
4

  n    
4

  n, com nZ} 
0  X  
2

  0  2  
2

  0    
4

. 
 
Para: 
  0    2; 
  
4

    0. 
Portanto: 
A 4 1A  1A   


4/
0
2
2
1 )( df  


4/
0
2
2
1 d  


4/
0
2cos4
2
1
d  


4/
0
2cos2 d 
 u  2 du 2 d  d  du
2
1
. 
   0  u  0; 
  
4

  u 
2

. 
1A  


2/
0 2
1cos2 duu  
 2/
0
cosudu 
2/
0
sin

u 
2
sin

 0sin  1  0  1. 
 
A 4 1A  41  4 u.a. 
Resposta: A = 4 u.a. 
 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
A1
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-20 
39. Calcular a área da região interna à rosácea   2sina . 
Resolução: 
 
0  2    0    
2

. A 4 1A 
1A  


2/
0
2
2
1 d  


2/
0
22 2sin
2
1
da 
 Observação: 2sin  2cos 1 
 2cos  2cos  2sin 
I- 2cos 1 2sin  2sin II- 2cos  2cos (1 2cos ) 
2 2sin 1 2cos 2 2cos 1 2cos 
 2sin 
2
1

2
1
2cos  2cos 
2
1

2
1
2cos 
Usando I: 
1A  








2/
0
2 4cos
2
1
2
1
2
1
da   


2/
0
2
4cos1
4
d
a
 










 


32
2/
0
2/
0
2
4cos
4
AA
dd
a
 
 2A 
2/
0

 
2

 0 
2

 
 u  4  du  4 d  d 
4
1
du 
   0  u  0;  
2

  u  2. 
 3A  
2
0 4
cos
du
u 
2
0
sin
4
1
u 
 3A 
4
1









 00
sin2sin  0. 
1A   32
2
4
AA
a
  







 0
24
2a
 
8
2a
 Então: A  4 1A 
2
2a
 u.a. 
Resposta: A
2
2a
 u.a. 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
A1
a
a
a
a


Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-21 
40. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas 3 cos e 1+ cos . 
Resolução: 
Tipo de curva  0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
Circunferência 3 cos 3 2,6 2,1 1,5 0 1,5 2,1 2,6 3 
Cardióide 
1+
cos 
2 1,9 1,7 1,5 1 0,5 0,3 0,1 0 
 
 3 cos 1+ cos  cos 
2
1
    
3

. 
0    
2

; 
0    
3

   1+ cos ; 
3

    
2

  3 cos . 
A 2( 1A  2A )  1A  


3/
0
2)cos1(
2
1
d e 2A  



2/
3/
2)cos3(
2
1
d . 
1A  


3/
0
2)cos1(
2
1
d  
 3/
0
1(
2
1
2 cos  2cos ) d 
1A 
















1
3/
0
2
3/
0
cossin2
32
1
I
d  1A 
2
1
 







13
3
I . 
1I  


3/
0
2cos d   


3/
0 2
1
2
1 2cos d 







 


 3/
02
2sin
32
1
 
1I 
6


4
1








0sin
3
2
sin 
6


4
1

2
3
 1I 
6


8
3
 
1A 
2
1
 







13
3
I 
2
1












8
3
6
3
3
 1A 
4


16
39
 
~
~
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
1A2A
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-22 
2A  



2/
3/
2)cos3(
2
1
d  



2/
3/
2cos9
2
1
d  



2/
3/
2cos
2
9
d   



2/
3/ 2
1
2
1 2cos
2
9
d 
2A 
4
9
 

 


2/
3/
d  




2/
3/
2cos d 
4
9








 






2/
3/2
2sin
32
 
2A 
24
9

4
9

2
1
 




 

3
2
sinsin 
8
3

8
9










2
3
0 2A 
8
3

16
39
. 
A 2( 1A  2A ) 2 











16
39
8
3
16
39
4
 
2


4
3
  A 
4
5
..au 
 
 1+ cos  1A  


3/
0
2)cos1(
2
1
d 
 3 cos  2A  



2/
3/
2)cos3(
2
1
d 
Resposta: A
4
5
 u.a. 
41. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por   tg , 
com 0    
2

, pela reta x  1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar. 
Dica para a resolução: Considere 1A () como sendo a área da região composta pelo 
triângulo OMP, dado na figura abaixo. 
 
2

3

2 3
A1
2

3

2 3
A2
tg 
O
2

3

4


3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5
4
7
6
11
2
3

0
21 x
x1Reta:

6
x

tg 
3

O 1M3
P3
cos
sen 
4

x

tg 
O 1M2
P2
sen 
cos

6
x

tg 
O 1M1
P1
cos
sen 
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-23 
Resolução: 
A área que procuramos é (área do triângulo OMP)  (área entre a curva  e a reta ), 
quando M tende para 1 (M  1), ou  tende para 
2

 (  
2

). 
1A  (área do triângulo OMP) 2A  (área entre a curva  e a reta ) 
A  1A  2A 
1A  
2
1
(base)(altura) 2A  


0
2
2
1 tg d 
1A  
2
1
( cos )( sin ) É integral imprópria:   
2

 
1A  
2
1
( tg  cos )( tg  sin ) 2A  


0
2
2
1 )1(sec d 
1A  
2
1
( sin )( tg  sin ) 2A   


02
1 tg 
1A  
2
1
 2sin  tg 2A  
2
1
tg  
2
1
 
Então: 
A  1A  2A  
2
1
 2sin  tg  (
2
1
tg  
2
1
) 
A  
2
1
 tg (1 2sin )  
2
1
  
2
1
 tg  2cos  
2
1
  
2
1



cos
sin
 2cos  
2
1
 
A 
2
1
sin  cos  
2
1
  Área  






 2
1
cossin
2
1
lim
2
 
4

 
Resposta: 
4

u.a. 
42. Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar, da cardióide de 
equação   2(1  cos ). 
 
Resolução: 
 
Considerando a parte superior da cardióide, intervalo [0,]. 
 
V  


0
22 sin (’ cos  sin ) d 
V  


0
2)cos1(4 2sin [2 sin cos 2(1 cos ) sin ] d 
V 8 


0
2)cos1( 2sin ( sin cos  sin  cos sin ) d 
V 8 


0
2)cos1( (1 2cos )(2 cos 1)( sin d ) 
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-24 
V 8 


0
1( 4 cos 4 2cos 2 3cos 5 4cos 2 5cos )( sin d ) 
 U  nV  dU  dVnV n 1 
 u  ncos  du  1cosnn ( sin d ) 
 

 
0
1cosn ( sin d )  


0
cos
n
n
. 
V 8 

 

2
cos4
cos
2

3
cos4 3 

4
cos2 4 

5
cos5 5 





0
6
6
cos2
 
V 8 



3
4
21 
2
1
1
3
1
12
3
4

2
1
1 


3
1
  8 






3
8
  
3
64
 
 
Tomando o valor absoluto: 
 
Resposta: V 
3
64
 u.v. 
43. Refazer o exemplo anterior,   2(1  cos ). 
Resolução: 
 
V  



0
3)cos1(8
3
2
dsin 
V  

0
1(
3
16
3 cos 3 2cos  3cos ) dsin 
V 
3
16


 

2
cos3
cos
2
 3cos 




0
4
4
cos
 
V 
3
16




2
3
1 1
4
1
1
2
3
1 


4
1
 
V  
3
64
..vu 
Resposta: V 
3
64
 u.v. 
 
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-25 
44. Achar o comprimento total da cardióide de equação   1  cos. 
 
Resolução: 
L  2 

0
ds 
ds   d22 )'(     d22 sincos1   d22 sincoscos21 
ds   d1cos21  ds  2   dcos1 
 2sin  
2
1

2
1
2cos  2 2sin  1 2cos 
 2     
2

 
 2
2
2sin   1  cos . 
ds  2   d
2
2sin2  ds  2
2
sin  d 
L  2 

0
ds  2 

 
0 2
sin2 d  4 

 
0 2
sin d  42  
02
cos  8[0 1]  8 
Resposta: L  8 u.c. 
45. Considerando a mesma equação   1  cos, calcular a área da superfície formada pela 
rotação em torno do eixo polar. 
 
Resolução: 
S  2 

0
yds  2 


0
sin  2   dcos1 
S  2 2  


0
)cos1(  2
1
)cos1(   ( sin d )  2 2  


0
2
3
)cos1(  ( sin d ) 
 u  1  cos  du  sin d 
  duu 2
3

2
5
2
5
u
 c 
5
2 2
5
u
 c 
S  2 2 








 
0
5
)cos1(2 2
5

5
24 
 2
5
2)( S  5
24 6

5
24 3

5
32
 
Resposta: S 
5
32
 u.a. 
 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7 6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-26 
46. Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide r  2(1  cos). 
 
Resolução: 
 
A  2 


0
2
2
1 )]cos1(2[ d 
A  


0
2)]cos1(2[ d 
A  


0
2 )coscos21(4 d 
A  4 


0
2 )coscos21( d 
A  4










 


1
0
2
0
cossin2
I
d 
A 4  10 I . 
1I  


0
2cos d 
1I   


0 2
1
2
1 2cos d 
1I  






 


02
2sin
2
1
 
1I 
2


4
1
 0sin2sin  
1I  
2


4
1
(0  0) 
2

 
Logo, 
A 4  1I 
A  4 




 

2
 
A  4
2
3
 
A  6 
Resposta:  6A u.a. 
 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7 6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-27 
47. Encontre a área dentro do laço menor do caracol r  2cos  1. 
 
Resolução: 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
3
2
 
4
3
 
6
5
  
 
r 3 2,73 2,41 2 1 0 0,41 0,73 1 
 
A  2 



3/2
2
2
1 )1cos2( d 
A  



3/2
2 )1cos4cos4( d 
A  4

1
3/2
2cos
I
d


 4



3/2
sin  




 

3
2
  A 4  10 I . 
A  4I1  4  230   3

 
 A  4 1I  2 3  
3

 
1I  



3/2
2cos d   



3/2 2
1
2
1 2cos d 







 



 3/22
2sin
32
1
 
1I 
6


4
1  
3
4sin2sin   
6


4
1

















2
3
0  
6


8
3
 
Logo, 
A  4










8
3
6
  2 3  
3

 
A  
3
2
  
2
3
  2 3  
3

 
A  
3
2 
  
2
343 
 
A    
2
33
 
Resposta:  
2
33A u.a. 
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7 6
11
2
3

0
2
2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7
6
11
2
3

0
2
Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 
 Lauro / Nunes 
2-28 
48. Encontre a área da região que está dentro do círculo r  1 e fora da cardióide r  1  cos. 
 
Resolução: 
 
Interseção do círculo e da cardióide:  





0cos
cos11
  
2

 
 



2/
0
2
2
1
2/
0
2
2
1 )cos1(212 ddA 



2/
0
2
2/
0
)coscos21( ddA 



2/
0
2 )coscos211( dA 



2/
0
2 )coscos2( dA 
 1cossin 22    22 cos1sin 
  22 sincos2cos 
 )cos1(cos2cos 22  
 1cos22cos 2  
   2cos
2
1
2
1
cos2 















2/
0
2cos
2
1
2
1
cos2 dA 









2/
0
2cos
2
1
2
1
cos2 dA 
2/
0
2sin
4
1
2
sin2








A 
A  




0
0
0
2
0sin
4
1
2
0
0sin2sin
4
1
4
)2/sin(2






 
A  
4
2

 
 
 
 
Resposta: ..
4
2 auA 




 

2

3

4


6

3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
3
5 4
7 6
11
2
3

0
2
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-29 
3 Integrais Eulerianas 
49. Com base no que já foi dado, determine os valores de: (
 
 
), (
 
 
), (
 
 
). 
Resolução: 
 





2
5
  





1
2
5
 





2
3
 
2
3

2
1
  
22
3 

4
3 
 
 





2
7
  





1
2
7
 





2
5
 
2
5

2
3

2
1
  
32
35 

8
15 
 
 
 





2
13
  





1
2
13
 





2
11
 
2
11

2
9

2
7

2
5

2
3

2
1
  
62
357911 

64
10395 
 
Resposta: 
4
3 
, 
8
15 
 e 
64
10395 
 
50. Determine os valores de:  






2
3
,  






2
5
 e  






2
13
. 
Resolução: 
 






2
3
 
 
2
3
2
3 1


 
 
2
3
2
1


 
))((
2
1
2
3 

 
3
4 
 
 






2
5
 
 
2
5
2
5 1


 
 
2
5
2
3


 
 
))((
2
3
2
5
2
1


 
 
))()((
2
1
2
3
2
5
2
1


 
))()((
2
1
2
3
2
5 

 
15
8 
 
 
 






2
13
 
 
))()()()()()((
2
1
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
13
2
1


 
))()()()()()((
2
1
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
13 

 
  
135135
128 
 
Resposta: 
3
4 
, 
15
8 
 e 
135135
128 
 
51. Determine os valores da função Beta para m e n dados a seguir: 
a) m  1 e n  1; 
b) m  2 e n  1; 
c) m  1 e n  2. 
Resolução: 
a) (1,1)  
 
1
0
1111 )1( dxxx  
1
0
dx 
1
0
x  1 
b) (2,1)  
 
1
0
1112 )1( dxxx  
1
0
xdx 
1
0
2
2
x
  
2
1
 
c) (1,2)  
 
1
0
1211 )1( dxxx   
1
0
)1( dxx 
1
0
2
2







x
x  1
2
1
  
2
1
 
Resposta: 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-30 
Resolva as seguintes funções Beta: 
52. (3,5) 
Resolução: 
(3,5) 





15
0
)3(
)!15(
i
i
 



4
0
)3(
!4
i
i
 
76543
1234


 
753
1

 
(3,5)  
105
1
 
Resposta: 
105
1
 
53. (3,5) 
Resolução: 
(3,5) 
)(
)()(
53
53


 
!7
!4!2 
 
!4567
!42


 
105
1
 
Resposta: 
105
1
 
54. (6,3) 
Resolução: 
(6,3) 



2
0
6
2
i
i)(
!
 
876
12


 
168
1
 
Resposta: 
168
1
 
55. (6,3) 
Resolução: 
(6,3) 
)(
)()(
36
36


 
!8
!2!5 
 
!5678
12!5


 
168
1
 
Resposta: 
168
1
 
Utilizando função Gama e função Beta, resolva as seguintes integrais: 
56. 


0
2
dxe x 
Resolução: 
 


0
1 dxex xn  (n) u  2x du 2xdx dx  1
2
1 x du 
 x  2
1
u dx  2
1
2
1 u du 



0
2
dxe x  
  
0 2
1 2
1
duue u  


0
1
2
1 2
1
dueu u 
2
1 (
2
1 ) 
2
1
 
Resposta: 
2
1
 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-31 
57. 


0
26 dxex x 
Resolução: 
 


0
1 dxex xn  (n) u 2x du 2dx dx 
2
du
 x 
2
u
 



0
26 dxex x  








0
6
22
du
e
u u 
72
1



0
17 dueu u 
72
1
(7) 
72
1
6! 
8
45
 
Resposta: 
8
45
 
58. 
1
0
2 ln xdxx 
Resolução: 
 
 


0
1 dxex xn  (n) xln u  x  ue  dx  due u 
 x  0  u  ; x  1  u  0 

1
0
2 ln xdxx   

0 2ue (u)( due u )   

0
3 duue u 
 
 v 3u dv  3du du  
3
1 dv 
 u 
3
1 v 


0
3 duue u  
 
0
3
1
3
1 dvve v   


09
1
dvve v   


0
12
9
1
dvev v  
9
1
(2)  
9
1
 
 
Resposta: 
9
1
 
59. 
1
0
ln xdxx 
Resolução: 
 
 


0
1 dxex xn  ( n ) xln  u  x  ue dx   due u 
 x  0 u  ; x  1  u  0 

1
0
ln xdxx  

0
ue (u )( due u )  

0
2 duue u 
 v  2u  dv  2du  du 
2
1 dv 
 u  
2
1 v 


0
2 duue u  
 
0
2
1
2
1 dvve v   


04
1
dvve v   


0
12
4
1
dvev v  
4
1
(2)  
4
1
 
 
Resposta: 
4
1
 
 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-32 
60.  
1
0
34 )1( dxxx 
Resolução: 
 
 
1
0
11 )1( dxxx nm (m, n) 
)(
)()(
nm
nm


 

 
1
0
1415 )1( dxxx  (5,4) 
)45(
)4()5(


 
!8
!3!4 
 
!45678
23!4


 
280
1
 
Resposta: 
280
1
 
61. Prove que 

2
0
1212 )(cos)(sin dxxx nm 
2
1
(m, n) 
Resolução: 
12)(sin mx  2
1
)(sin2
m
x  2
112 )(sin
m
x  12 )(sin mx  xsin 
Da mesma forma: 12)(cos nx  12 )(cos nx  xcos 


2
0
1212 )(cos)(sin dxxx nm  

2
0
1212 cossin)(cos)(sin xdxxxx nm 
 u  x2sin du  2 xsin xcos dx 
 x2sin  x2cos  1  x2cos  1  u 
 x  0  u  0; x  
2
  u  1 
 
 
1
0
11
2
)1(
du
uu nm 
2
1
(m, n) 
Logo: 

2
0
1212 )(cos)(sin dxxx nm 
2
1
(m, n) 
Resposta: 
62. 

2
0
35 cossin xdxx 
Resolução: 
 

2
0
1212 )(cos)(sin dxxx nm 
2
1
(m, n) 2m  1  5  m  3; 
 2n  1  3  n  2. 


2
0
35 cossin xdxx 
2
1
(3,2) 
2
1
)23(
)2()3(


 
2
1
!4
!1!2 
 
24
1
 
Resposta: 
24
1
 
 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-33 
63. 

2
0
6sin xdx 
Resolução:  

2
0
1212 )(cos)(sin dxxx nm 
2
1
( m , n ) 


2
0
6sin xdx  

2
0
06 cossin xdxx 2m  1  6  m  
2
7 
 2n  1  0  n  
2
1 

2
1
(
2
7 ,
2
1 ) 
2
1
)4(
)()(
2
1
2
7


 
2
1

   
!3
2
1
2
3
2
5 
 
12
1

8
15
 
32
5
 
Resposta: 
32
5
 
64. Prove que 
 


0
1
dx
x
x
np
m
 
p
1
 

 
p
m 1
, n  


p
m 1
 
Resolução: 
px 
u
u
1
 x 
p
p
u
u
1
1
)1( 
 
 dx  du
u
uuuu
p
pppp
pp




2
1111
)1(
)1()1()1(
1111
 
 dx   pppp uuuu
p
1111 11
)1()1(
1


du 
 dx 
11
)1(
1 
 pu
p



















  

11
1
111
1 1
)1(
p
p
pp
p
u
uu
uuu du 
 dx 
p
1

11 
pu 
11
)1(

 pu du 
px 
u
u
1
  px u px  u  px u u px  px  u(1 px )  u 
p
p
x
x
1
 
 x  0  u  0 
 x    u  1 
px 
u
u
1
  (1)  1 px 1
u
u
1
  1 px 
u
uu


1
1
  1 px 
u1
1
 
   npx1  nu  )1( 
x 
p
p
u
u
1
1
)1( 
  mx 
m
p
p
u
u









1
1
)1(
  mx 
p
m
p
m
u
u
)1( 
  mx  p
m
u    p
m
u

1 
Fazendo todas as substituições na integral original: 
 

0 1
dx
x
x
np
m

 
  


1
0 1
1
n
u
uu p
m
p
m
p
1 11 
pu
11
)1(

 pu du 
p
1

1
0
11
pp
m
u
n
pp
m
u


11
)1( du 
Logo, 
 

0 1
dx
x
x
np
m

p
1

1
0
11
p
m
u
11
)1(
 
 p
mn
u du 
p
1
 

 
p
m 1
, n  


p
m 1
 
Resposta: 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-34 
65. Prove que  
a
nm dxxax
0
)(  1nma (m  1, n  1) 
Resolução: 
 x  au  dx  adu  u 
a
x
 
 x  0  u  0; x  a  u  1 
x  au  a  x  a  au  (a  x) n  a n (1  u) n Obs: mu  1)1( mu . 
 
a
nm dxxax
0
)(   
1
0
)1( aduuaua nnmm   

1
0
1 )1( duuua nmnm  1nma (m  1, n  1) 
Resposta: 
66. Prove que  
b
a
nm dxxbax )()(  1 nmab )( ( m 1, n 1) 
Resolução: 
 x  a  u  x  u  a  dx  du 
 x  a  u  0; x  b  u  b  a 
x  u  a  b  x  b  u  a  (b  x) n  (b  u  a) n 
 
b
a
nm dxxbax )()(  


ab
nm duaubu
0
)(  


)(
0
])[(
ab
nm duuabu 
 Pelo exercício anterior   1)(  nmab (m  1, n  1) 
Resposta: 
67. Prove que   
1
0
1 dxxx
npm
  
p
1
 







1,
1
n
p
m
 
Resolução:px  u  x  pu
1
  dx  duu p
p
1
1
1 
 
 x  0  u  0; x  1  u  1 
  
1
0
1 dxxx
npm
  


1
0
11
1
1 duuuu pp
m
p
n

p
1
 


1
0
1)1(1
1
1
duuu
np
m
 
p
1
 







1,
1
n
p
m
 
Resposta: 
68. Prove que 
1
0
)(ln dxxx nm  
1)1(
)1(


n
n
m
(n  1) 
Resolução: 
 xln  u  x  ue  dx   due u 
 x  0  u  ; x  1  u  0 

1
0
)(ln dxxx nm  
 
0
)()( dueue unmu  (1) n 

0
)1( )( dueu umn (1) n 


0
)1( dueu umn 
 (m  1)u  v  u  
1m
v
  du = 
1m
dv
 
 u  0  v  0; u    v   



0
)1()1( dueu umnn  











0 11
)1(
m
dv
e
m
v v
n
n 
1)1(
)1(


n
n
m 
)1(
0




n
vn dvev 
1)1(
)1(


n
n
m
(n1) 
 
Resposta: 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-35 
69. Prove que 


0
)( dxex
naxm
  
1
1
mna
 




 
n
m 1
 
Resolução: 
 nax)(  u  ax  nu
1
  x 
a
u n
1
 dx  du
na
u n
11 
 
 x  0  u  0; x    u   



0
)( dxex
naxm
  



0
11
du
na
u
e
a
u nn
m
u
m
 
1
1
mna 



0
11
dueu un
m
 
1
1
mna
 




 
n
m 1
 
Resposta: 
70. 

0 3
dx
e
x
x
 
Resolução: 
Usando o exercício anterior: m  
2
1 , n  1 e a  
2
3 


0 3
dx
e
x
x
  
 
0
2
3
2
1
dxex
x
 
1
2
1
)2/3(1
1


 






 
2
1
2
1 1
 
 2
3
2/3
1
 





2
3
 
9
62
∙ 
2
1
 
9
6
 
Resposta: 
9
6
 
71. 


0
4 dxex x 
Resolução: 
 
Usando o mesmo exercício: m  
4
1 , n  
2
1 e a  1. Obs: (
2
5 ) 
2
3 
2
1   



0
4 dxex x  


0
2
1
4
1
dxex x 
1
4
1
1)2/1(
1










 
2
1
4
1 1
  2(
2
5 ) 
2
3 
 
Resposta: 
2
3 
 
72. 
 


0 4
4 3
1
dx
x
x
 
Resolução: 
 
Usando o resultado já provado: 
 

0 1
dx
x
x
np
m
 
p
1
 

 
p
m 1
, n  


p
m 1
 
  m  
2
3 , n  4 e p  
2
1 
 


0 4
4 3
1
dx
x
x
 
 


0 4
2
1
4
3
1
dx
x
x
 
2
1
1




 
2
1
4
3 1
,4 




2
1
4
3 1
  2 
2
7 , 
2
1 2
)(
)()(
2
1
2
7
2
1
2
7


 

)4(
2
2
1
2
3
2
5


 
!3
4
15 
 
8
5
 
Resposta: 
8
5
 
Cálculo II Integrais Eulerianas 
 Lauro / Nunes 
3-36 
73. 

2
0
44 cossin xdxx 
Resolução: 
 
Usando o resultado já provado: 

2
0
1212 )(cos)(sin dxxx nm 
2
1
(m, n) 
 
2m  1  4 e 2n  1  4  m  
2
5 e n  
2
5 
 


2
0
44 cossin xdxx 
2
1
(
2
5 ,
2
5 ) 
2
1

)5(
)()(
2
5
2
5


 
2
1

1234
2
1
2
3
2
1
2
3


 
256
3
 
 
Resposta: 
256
3
 
74. 

3
1 )3)(1( xx
dx
 
Resolução: 
 
Usando o resultado já provado:  
b
a
nm dxxbax )()(  1)(  nmab (m  1, n  1) 
 


3
1 )3)(1( xx
dx
  


3
1
2
1
2
1
)3()1( dxxx 
1
2
1
2
1
)13(

 (
2
1 1, 
2
1 1) 
02 (
2
1 ,
2
1 ) 

)1(
)()(
2
1
2
1


       
 
Resposta:  
Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
4-37 
4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-
Dimensionais 
75.  0 {0}, espaço de dimensão zero, formado pelo único ponto 0. 
76.  1  (reta). 
 
77.  2  (plano). 
 
78.  3 (espaço tridimensional). 
 
79. Em  3 , x  ( 1x , 2x , 3x ) e | x |  
2
3
2
2
2
1 xxx  . 
 
Tome n  2 e considere d:  2  2. Dado x, y  2 , sendo x  (9,4) e y  (3,12), 
calcule: 
1 2 3 40-1-2-3-4 x
P= ( )x
1 2 3 40-1-2-3-4
-1
-2
1
2
x
P = ( , )x yy
1 2 3
0
2
x
P = ( , , )x y z
z
1
1
2
y
= ( )x ,x ,x 
x1
x2
x3
1 2 3
x
x
Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
4-38 
80. d(x, y) 
Resolução: 
 
d(x, y)  222
2
11 )()( yxyx  
22 )124()39(  
d(x, y)  6436   10 
 
Resposta: 10 
81. d M (x, y) 
Resolução: 
 
d M (x, y) Máx{| 1x  1y |, | 2x  2y |} Máx{|93|, |412|} Máx{|6|, |8|}  8 
 
Resposta: 8 
82. d S (x, y) 
Resolução: 
 
d S (x, y)  | 1x  1y |  | 2x  2y |  |93|  |412|  |6|  |8|  6  8  14 
 
Resposta: 14 
83. Verifique as desigualdades entre as 3 distâncias. 
Resolução: 
 
|x  y| M  |x  y |  |x  y | S  n |x  y | M 
8  10  14  16 
d M (x, y)  d(x, y)  d S (x, y)  n d M (x, y) 
 
Resposta: 
84. Para n  2, as bolas no plano para as três distâncias podem ser representadas por: 
Resolução: 
 
 
 
 
Resposta: 
 
a1
2a a
r
B
a1
2a a
r
B
a1
2a a
r
M BS
Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
4-39 
85. Dado X  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9}, determine os conjuntos intX, extX e fronX. 
Resolução: 
 
X é uma bola aberta com centro 0 e raio 3, B(0,3) com 0  (0,0,0). 
intX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9} 
extX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9} 
fronX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9} 
 
Resposta: 
86. O mesmo para X  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9}. 
Resolução: 
 
intX   
extX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9 ou 2x  2y  2z  9} 
fronX  X 
 
 
Resposta: 
Tome um conjunto X   n . 
87. Se X é convexo, X é conexo? Justifique. 
Resolução: 
 
 
Sim. Tome [x, y] como segmento de reta cujos extremos pertençam a X, [x, y] pode ser 
também uma linha poligonal unindo x e y, totalmente contida em X. 
 
 
 
Resposta: 
88. Se X é conexo, X é convexo? Justifique. 
Resolução: 
 
Não. Na figura a seguir, X é conexo e não é convexo. 
 
 
 
 
Resposta: 
 
2
X
yx
linha poligonal
segmento [ , ]x y
X R
Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
4-40 
89. Dê um exemplo de X desconexo. 
Resolução: 
 
X  {(x, y) 2 ; 2x  2y  1 ou 2x  2y  9} 
Observando a figura abaixo, que representa X, tome u(0, 0) e v(3, 1).  linha poligonal 
unindo u e v contida em X. 
 
 
Resposta: 
Dado X  
2
 nos exercícios seguintes, analise X quanto aos itens a) e b) abaixo: 
a) Região aberta ou fechada; 
b) Conjunto aberto ou fechado. 
90. X  {(x, y) 2 ; x  y  1} 
Resolução: 
 
a) Região aberta; 
b) Conjunto fechado (X  X’). 
 
 
Resposta: 
 
u
v(3, 1)
1 3
1
1
Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
4-41 
91. X  {(x, y) 2 ; x  y  1} 
Resolução: 
 
a) Região aberta; 
b) Conjunto aberto (X  intX). 
 
 
Resposta: 
92. X  {(x, y) 2 ; 2x  2y  1} 
Resolução: 
 
a) Região fechada; 
b) Conjunto aberto (X  intX). 
 
 
 
 
Resposta: 
93. X  {(x, y) 2 ; 2x  2y  1} 
Resolução: 
 
a) Região fechada; 
b) Conjunto fechado (X  X’). 
 
 
 
 
Resposta: 
1
1
1
1
1
1
Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
5-42 
5 Funções em Espaços n-Dimensionais 
94. O volume “V” de um cilindro circular é calculado pela expressão: hrV  2 , sendo que 
r é o raio da base e h a altura. 
 
95. A equação de estado de um gás ideal é dada pela seguinte equação: 
V
TRn
P

 
Onde: P= pressão; V= volume; n = massa gasosa em moles; R= constante 
molar do gás; e T = temperatura. 
96. O circuito elétrico da figura que segue tem cinco resistores. A corrente deste circuito 
depende das resistências 5,,1, iRi , onde E é a tensão da fonte. 
 
97. Determine o domínio e a imagem da função z  f ( x ) 22
2
19 xx  definida de 
2 em 
. 
Resolução: 
Df  { x 2 ; w f ( x )}, 9  21x 
2
2x  0  
2
1x 
2
2x  9. 
Logo: 
Df  { x 2 ; 21x 
2
2x  9}; 
fIm  { z ; z  f ( x )}  { z ; 0  z  3}. 
Resposta: 
 
r
h
Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
5-43 
98. Represente graficamente o domínio da função    yxyxf  ln, . 
Resolução: 
Condição:   xyyx  0 
Assim, Df  {  yx,  2 ; xy  } 
 
Resposta: 
99. Representegraficamente o domínio da função  
22
,
yx
xy
yxf

 . 
Resolução: 
Condição:      0022 yxyxyx 
  0 yx e   0 yx  xy  e xy  ou 
  0 yx e   0 yx  xy  e xy  
Assim, Df  {  yx,  2 ; xy  e xy  ou xy  e xy  } 
 
Resposta: 
Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
5-44 
100. No exemplo que segue, podemos observar algumas curvas de nível da função 
  22100, yxyxfz  . 
 
101. No exemplo que segue, podemos observar uma curva de nível e uma curva de 
contorno da função   22100, yxyxfz  . 
 
 
Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
5-45 
102. Represente graficamente ( ) √ e trace as curvas de níveis 
 ( ) , ( ) √ e ( ) √ no domínio de no plano. 
Resolução: 
 
Curva de Nível (Cn) f ( x , y )0 229 yx   0 
 9  2x  2y  0 
 2x  2y  9 
 
Cn0  {( x , y ) 2 ; 2x  2y  9}; 
 
Cn 5  {( x , y ) 2 ; 2x  2y  4}; 
 
Cn 8  {( x , y ) 2 ; 2x  2y  1}. 
 
w 229 yx   2w  9  2x  2y  2x  2y  2w  9 é uma esfera de centro na 
origem e raio 3. Como w 0, o gráfico é a superfície superior da esfera. 
 
Resposta: 
Calcule os limites: 
103. 
)4,3(),(
lim
yx
22 yx  
Resolução: 
)4,3(),(
lim
yx
22 yx   22 43 )(  25  5. 
Resposta: 5 
104. 
)1,0(),(
lim
yx 32 5
3
yxyyx
xyx


 
Resolução: 
)1,0(),(
lim
yx 32 5
3
yxyyx
xyx



32 110510
3100


 3. 
 
Resposta: 3 
 
=
x
y
w
=w
w
Cc
Cc
Cn
Cn
Cn0
8
5
8
5
5
8
Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
5-46 
105. 
)0,0(),(
lim
yx yx
xyx

2
 
Resolução: INDETERMINAÇÃO 0/0. 
 

)0,0(),(
lim
yx yx
xyx

2

yx
yx



)0,0(),(
lim
yx
 
yx
yxyxx

 )(
 

)0,0(),(
lim
yx
 yxx   0. 
Resposta: 0 
106. 
)1,1(),(
lim
yx yx
yx

 22
 
Resolução: 
)1,1(),(
lim
yx yx
yx

 22
 =
)1,1(),(
lim
yx yx
yxyx

 )()(

)1,1(),(
lim
yx
)( yx   11  2. 
 
Resposta: 2 
107. Aplicando limites por caminhos, mostre que f ( x , y )
24
22
yx
yx

 não tem limite 
quando ( x , y ) se aproxima de (0,0). 
Resolução: 
Ao longo da curva y  k 2x , x 0: 





0
2
x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx 24
22
yx
yx

 
0
lim
x 224
222
)(
)(
kxx
kxx

 
0
lim
x 424
42
xkx
kx

 
0
lim
x 21
2
k
k

 
21
2
k
k

. 
 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
 
k 0  limite é 0; 
k 1  limite é 1. 
Resposta: Logo, 
)0,0(),(
lim
yx
f ( x , y ). 
108. f ( x , y ) 
24
24
yx
yx


 (Caminhos y  k 2x ) 
Resolução: 





0
2
x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx 24
24
yx
yx


 
0
lim
x 224
224
)(
)(
kxx
kxx


 
0
lim
x 424
424
xkx
xkx


 
0
lim
x 2
2
1
1
k
k


 
2
2
1
1
k
k


. 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k 0  limite é 1; 
k 1  limite é 0. 
Resposta: Logo, 
)0,0(),(
lim
yx
f ( x , y ). 
 
Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais 
 Lauro / Nunes 
5-47 
109. f ( x , y ) 
yx
yx


 (Caminhos y  k x , k 1) 
Resolução: 





0x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx yx
yx


 
0
lim
x kxx
kxx


 
0
lim
x k
k


1
1
 
k
k


1
1
. 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k 0  limite é 1; 
k 1  limite é 0. 
Resposta: Logo, 
)0,0(),(
lim
yx
f ( x , y ). 
110. f ( x , y ) 
y
yx 22 
 (Caminhos y  k 2x , k 0); 
Resolução: 





0
2
x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx y
yx 22 
 
0
lim
x 2
222
kx
kxx )(
 
0
lim
x 2
222 1
kx
xkx )( 

0
lim
x k
xk 221
 
k
1
. 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k 1  limite é 1; 
k 2  limite é 
2
1
. 
Resposta: Logo, 
)0,0(),(
lim
yx
f ( x , y ). 
Discutir a continuidade das seguintes funções: 
111.   252, 22  xyyxyxf 
Resolução: 
Como f é uma função polinomial de duas variáveis, f é continua em todos os pontos do 
2 . 
Resposta: 
112.  
2233
1
,
22 


yxxyxyx
yx
yxg 
Resolução: 
A função g pode ser reescrita como: 
 
     12131
1
2233
1
,
222 





yyxyx
yx
yxxyxyx
yx
yxg =
      211
1
231
1
2 




xxy
yx
xxy
yx
 
Logo g é contínua   2,  yx , desde que 2,1  xx e 1y 
Resposta: 
113.    4ln, 22  yxyxh 
Resolução: 
Como 0422 yx ,   2,  yx , então a função h é contínua em todos os pontos do 
2 . 
Resposta: 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-48 
6 Derivadas 
114. Se ( ) , então: 
   yxfyxxfzx ,,  =   yxyxx  = xyyxyxyx  
   yxfyyxfzy ,,  =   yxyyx  = yxyxxxyx  
   yxfyyxxfz ,,  =     yxyyxx  =
yxyxxyyxyx  = yxxyyx  
115. Usando a definição, encontre a derivada parcial de   2216, yxyxfz  em 
relação à x no ponto  2,1 . 
Resolução: 
 
x
yxf

 ,
=
0
lim
x x
yxfyxxf

 ),(),(
=
0
lim
x
 
x
yxyxx

 ]16[]16[ 222
2
= 
0
lim
x
 
x
xxx

 2
=
0
lim
x
 xx 2 = x 2 
Logo, 
 
x
f

 2,1
= 212  
Resposta: 2 
116. Usando a definição, encontre as derivadas parciais 
 
 
( ) e 
 
 
( ), sendo 
 ( ) . 
Resolução: 
 
x
f


( x , y ) 
0
lim
h h
yxfyhxf ),(),( 
 

0
lim
h h
yxyxyyhxhx )()()( 2222 2323 
 

0
lim
h h
yxyxyyhxyhxhx 22222 2322363 
 

0
lim
h h
yhhxh 236 2 
 
0
lim
h h
hyhx  )( 236
 =
0
lim
h
(6 x 3 h 2 y )  6 x 2 y . 
 
y
f


( x , y ) 
0
lim
h h
yxfhyxf ),(),( 
 

0
lim
h h
yxyxhyhyxx )()()( 2222 2323 
 

0
lim
h h
yxyxhyhyxhxyx 22222 232223 
 

0
lim
h h
hyhxh 222 
 
0
lim
h h
hhyx  )( 22
 =
0
lim
h
(2 x 2 y  h )  2 x 2 y . 
 
Resposta: 
x
f


( x , y )  6 x 2 y e 
y
f


( x , y ) 2 x 2 y 
 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-49 
Considerando a função f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x calcule o que se pede: 
117. xf ( x , y ) 
Resolução: 
xf ( x , y ) 3
2x 2y 4 x y 3 ( y  constante). 
 
Resposta: 3 2x 2y 4 x y 3 
118. yf ( x , y ) 
Resolução: 
yf ( x , y )2
3x y 2 2x ( x constante). 
Resposta: 2 3x y 2 2x 
119. xf (2,1). 
Resolução: 
xf (2,1) 3(2)
2 (1) 2 4(2)(1) 3 23. 
Resposta: 23 
120. yf (2,1) 
Resolução: 
yf (2,1) 2(2)
3 (1) 2(2) 2 24. 
Resposta: 24 
121. Encontre 
y
f


 se f ( x , y )  y )sin(xy . 
Resolução: 
Considera-se x como constante: 
y
f


 
y

( y )sin(xy ) 
y

(u v ) u  y 
 v  )sin(xy 
 yu 1 
 yv  x )cos(xy 
y

(u v )  yu v u yv  )sin(xy  y x )cos(xy . 
Resposta: 
y

(u v )  )sin(xy  y x )cos(xy . 
 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-50 
122. Encontre xf e yf se f ( x , y ) 
xy
y
cos
2
. 
Resolução: 
f ( x , y ) 
v
u
 u 2 y 
f ’( x , y ) 
2
''
v
uvvu 
 v  y  xcos 
 xu 0 
 xv  xsin 
 yu 2 
 yv 1 
 
xf  2)cos(
)sin(2
xy
xy0


 
2)cos(
sin2
xy
xy

; 
 
yf  2)cos(
12)cos(2
xy
yxy


 
2)cos(
2cos22
xy
yxy


 
2)cos(
cos2
xy
x

. 
 
Resposta: 
2)cos(
sin2
xy
xy
f x

 e 
2)cos(
cos2
xy
x
f y

 
123. Encontre xf e yf se f ( x , y ) 
y
xtan w . 
Resolução: 
xf w  
y
x
/1
tan u  xtan 
 xu  x
2sec 
w yu /1  uw 
y
1 11 yu /  xu 
y
u yy /)( 1
 xu  y y
x
uy
u
1
  xf 
y yxy
x
1
2
)(tan
sec

; 
 
yf w  
y
x
/1
tan ; u 
y
1
 sendo que a  xtan ; yu   2
1
y
 
w ua  uw 
ua aln  yu   
y
x
/1
tan  )ln(tan x  








2
1
y
 
 
 yf   2
)ln(tantan
y
xx
y

. 
 
Resposta: xf 
y yxy
x
1
2
)(tan
sec

 e yf   2
)ln(tantan
y
xx
y

 
 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-51 
124. Usandoas regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções: 
(a) f ( x , y )  221 yx  
Resolução: 
Tome u  1 2x  2y , ou seja, f ( x , y )  u ; 
x
f


( x , y )  
2
1 1
2
1
u 
x
u



u2
1
(2 x ) 
221 yx
x


; 
y
f


( x , y )  
2
1 1
2
1
u 
y
u



u2
1
(2 y ) 
221 yx
y


. 
Resposta: 
x
f


( x , y )  
221 yx
x


 e 
y
f


( x , y )  
221 yx
y


 
(b) f ( x , y ) 
22 yx
yx


 
Resolução: 
Tome u  x  y e v  2x  2y , ou seja, f ( x , y ) 
v
u
; 
x
f


( x , y ) 
2v
x
v
uv
x
u





 
222
22 21
)(
)()(
yx
xyxyx


 
222
22 2
)( yx
xxyy


; 
y
f


( x , y ) 
2v
y
v
uv
y
u





 
222
22 21
)(
)()(
yx
yyxyx


 
222
22 2
)( yx
yxyx


. 
Resposta: 
x
f


( x , y ) 
222
22 2
)( yx
xxyy


 e 
y
f


( x , y ) 
222
22 2
)( yx
yxyx


 
(c) f ( x , y )  yxe / 
Resolução: 
Tome u 
y
x
, ou seja, f ( x , y )  ue ; 
x
f


( x , y )  ue 
x
u


  yxe / 
y
1
 
y
e yx /
; 
y
f


( x , y )  ue 
y
u


  yxe / 
2y
x
 
2y
xe yx /
. 
Resposta: 
x
f


( x , y ) 
y
e yx /
 e 
y
f


( x , y ) 
2y
xe yx /
 
(d) f ( x , y )  tan ( 2x  2y ) 
Resolução: 
Tome u  2x  2y , ou seja, f ( x , y )  tan u ; 
x
f


( x , y )  2sec u 
x
u


 [ 2sec ( 2x  2y )](2 x ); 
y
f


( x , y )  2sec u 
y
u


 [ 2sec ( 2x  2y )](2 y ). 
Resposta: 
x
f


( x , y )  [ 2sec ( 2x  2y )](2 x ) e 
y
f


( x , y )  [ 2sec ( 2x  2y )](2 y ). 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-52 
(e) f ( x , y , z )  2x  2sin ( y z ) 
Resolução: 
x
f


( x , y , z ) 2 x 2sin ( y z ); 
y
f


( x , y , z )  2x 
y

[ 2sin ( y z )]  2x 2sin ( y z )cos ( y z ) z  2x z sin (2 y z ); 
z
f


( x , y , z )  2x 
z

[ 2sin ( y z )]  2x 2sin ( y z )cos ( y z ) y  2x y sin (2 y z ). 
Resposta: 
x
f


( x , y , z )2 x 2sin ( y z ), 
y
f


( x , y , z ) 2x z sin (2 y z ) e 
z
f


( x , y , z )
2x y sin (2 y z ). 
125. Seja f ( x , y )  3x 2y 2 2x y 3 x . Prove que xyf  yxf . 
Resolução: 
xf 3
2x 2y 4 x y 3; xyf 6
2x y 4 x ; yf 2
3x y 2 2x ; yxf 6
2x y 4 x 
Resposta: xyf 
xy
f

2

yx
f

2
 yxf 
126. Prove que xyxf  yxxf  xxyf para f ( x , y ) 
3x 2y 2 2x y 3 x . 
Resolução: 
xf 3
2x 2y 4 x y 3 xxf 6 x
2y 4 y xxyf 12 x y 4 
 xyf 6
2x y 4 x xyxf 12 x y 4 
yf 2
3x y 2 2x yxf 6
2x y 4 x yxxf 12 x y 4 
Resposta: xxyf = xyxf = yxxf 12 x y 4 
127. Dada a função f ( x , y )  yxe 32  , calcule: 
(a) 
3
3
x
f


( x , y ) 
Resolução: 
3
3
x
f


( x , y ) 
x






x 











x
f
 
x






x








  yxe 322 
x

(4 yxe 32  )  8 yxe 32  
 
Resposta: 
3
3
x
f


( x , y ) 8 yxe 32  
(b) 
3
3
y
f


( x , y ) 
Resolução: 
3
3
y
f


( x , y ) 
y






y 











y
f
 
y






y








  yxe 323 
y

(9 yxe 32  )  27 yxe 32  
Resposta: 
3
3
y
f


( x , y ) 27 yxe 32  
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-53 
(c) Verifique a igualdade seguinte: 
xy
f


2
3

2
3
yx
f


. 
Resolução: 
xy
f


2
3
( x , y ) 
y






y 











x
f
 
y






y








  yxe 322 
y

(6 yxe 32  )  18 yxe 32  
2
3
yx
f


( x , y ) 
x






y 











y
f
 
x






y








  yxe 323 
x

(9 yxe 32  )  18 yxe 32  
Resposta: 
xy
f


2
3

2
3
yx
f


=18 yxe 32  
128. Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície 
 √ com o plano , no ponto ( √ ). 
Resolução: 
A declividade será o valor de 
x
w


 no ponto (2,2, 32 ). 
x
w


( x , y ) 
22 2242
2
yx
x


 e 
x
w


(2,2) 
22 22224
2


  
3
1
. 
Resposta: 
x
w


(2,2) 
3
1
 
Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de ( ) com 
 . 
129. No ponto (2,3,4). 
Resolução: 
xf (2,3)  2; yf (2,3)  4. 
 
No plano y 3  








24
3
2
w
y
x
 
 
No plano x 2  








44
2
3
w
x
y
 
Resposta: 
130. No ponto (1,1,9). 
Resolução: 
xf (1,1)  0; yf (1,1)  0. 
No plano y 1  








9
1
1
w
y
x
 No plano x 1  








9
1
1
w
x
y
 
 
Resposta: 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-54 
Exercícios de derivadas como taxas de variação: 
131. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: 
  10
1003
10
36
5
,
2



htt
htT , então calcule: 
(a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante 120 t horas, num ponto 
de altitude 0h 100 metros? 
Resolução: 
 



t
htT 00 ,
0
lim
tt
   
0
000 ,,
tt
htThtT


 
 



t
T 100,12
12
lim
t
   
12
100,12100,


t
TtT
=
12
lim
t
 
12
2910
100
100
3
10
36
5 2












t
tt
= 
=
12
lim
t
 
12
12
36
5 2



t
t
= 0 
Resposta: 0 
 (b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante 120 t horas, num ponto 
de altitude 0h 100 metros? 
Resolução: 
 



h
htT 00 ,
0
lim
hh
   
0
000 ,,
hh
htThtT


 
 



t
T 100,12
100
lim
h
   
100
100,12,12


h
ThT
=
100
lim
h
   
 
100
2910
1003
1210
36
125
2












h
h
= 
100
lim
h
 
100
29
100
30








h
h
=
100
lim
h
 
100
100
100
1


h
h
= 
100
lim
h 100
1
100
1
 
Resposta: 
100
1
 
132. De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade 
quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a 
fórmula: P V  k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade. 
Suponha que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 3cm e a temperatura seja 
90
0
 e k 8. 
(a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em T , se V 
permanecer fixo em 100. 
Resolução: Substituindo V 100, T 90 e k 8, obtemos da equação (1), P 7,2. 
Tem-se ainda que: P 
V
T8
  
T
P



V
8
. 
Resposta: Logo, quando T 90 e V 100, 
T
P


0,08 é a resposta desejada. 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-55 
 (b) Use o resultado de (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar 
para 92
0
 C. 
Resolução: 
Quando T aumenta 2 e V permanece constante, um aumento aproximado em P é 
2(0,08)0,16. Concluímos então que, se a temperatura aumenta de 90
0
 para 92
0
, o 
acréscimo na pressão é de aproximadamente 0,16 N / 2m . 
Resposta: 0,16 N / 2m 
(c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T 
permanecer fixo em 90
0
. 
Resolução: 
V 
P
T8
  
P
V


 
2
8
P
T
; 
Quando T 90 e P 7,2, tem-se 
P
V



227
908
),(


9
125
, que é a taxa de variação 
instantânea de V por unidade de variação em P quando T 90 e P 7,2, se T 
permanecer fixo em 90. 
 
Resposta: 
P
V


= 
9
125
 
(d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado de (c) para encontrar 
a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida em (b). 
Resolução: 
 
Se P é acrescido de 0,16 e T permanece fixo, então a variação em V será 
aproximadamente (0,16) 






9
125
 
9
20
. Logo, o volume sofrerá um decréscimo de 
aproximadamente9
20 3m se a pressão aumentar de 7,2 N / 2m para 7,36 N / 2m . 
Resposta: 
9
20
 
133. O volume V de um cone circular é dado por V 
24
 2y 224 ys  , onde s é o 
comprimento da geratriz e y o diâmetro da base. 
(a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor 
 , enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taxa de variação no instante em que 
 . 
Resolução: 
s
V


 
s




24
 2y 

 224 ys 
24
 2y
s





  224 ys 
24
 2y
 
22
22
42
4
ys
ys
s




 

24
 2y
2242
8
ys
s

 
22
2
46 ys
sy


; 
Quando s 10 e y 16, tem-se: 
s
V



22
2
161046
1016
)()(
)(


 
9
320 3cm / cm . 
Resposta: 
s
V



9
320 3cm / cm 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-56 
(b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de 
 . Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do 
volume em relação ao diâmetro quando . 
Resolução: 
y
V



y




24
 2y 

 224 ys 
24

(
y
 2y ) 224 ys  
24
 2y (
y
 224 ys  ) 

24

2 y 224 ys  
24
 2y 
 
22
22
42
4
ys
ys
y




 
12

y 224 ys  
24
 2y 
2242
2
ys
y


 

12
4 22 ysy 
  
22
3
424 ys
y


. 
Quando s 10 e y 16: 
y
V



12
1610416 22 )()( 
  
22
3
1610424
16
)()(
)(


 
9
16 3cm / cm . 
Resposta: 
y
V



9
16 3cm / cm 
134. Pela definição acima, provar que a função f ( x , y )  2x  2y é diferenciável em  2 . 
Resolução: 
Derivadas parciais: 
x
f


( 0x , 0y )  2 0x ; 
y
f


( 0x , 0y )  2 0y . 
Equação (8): 
L 
0
0
lim
yy
xx

 ),(),(
),(),(
00 yxyx
yxhyxf



0
0
lim
yy
xx

 2
0
2
0
0000
2
0
2
0
22 22
)()(
)]()([
yyxx
yyyxxxyxyx


 
L 
0
0
lim
yy
xx

 2
0
2
0
2
00
22
00
2 22
)()( yyxx
yyyyxxxx


 
0
0
lim
yy
xx

 2
0
2
0
2
0
2
0
)()(
)()(
yyxx
yyxx


, racionalizando: 
L 
0
0
lim
yy
xx


2
0
2
0 )()( yyxx   0. 
Logo, f é diferenciável em  2 . 
Resposta: Logo, f é diferenciável em  2 . 
Nos exercícios a seguir, verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem, 
isto é, ( 0x , 0y )  (0,0). 
 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-57 
135. f ( x , y )  22 yx  . 
Resolução: 
Derivadas parciais em (0,0): 
 xf ( 0x , 0y ), pois 
0
lim
h h
yxfyhxf ),(),( 0000  
0
lim
h h
fhf ),(),( 000 

0
lim
h h
h2
 

0
lim
h h
h ||
 
0
lim
h h
h ||

0
lim
h h
h
 1; 
 
0
lim
h h
h ||

0
lim
h h
h
 1. 
Portanto 
x
f


(0,0)  . 
Logo, f não é diferenciável na origem. 
Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem. 
136. f ( x , y ) 








),(),(,
),(),(,
00se 0
00se 
2
22
3
yx
yx
yx
y
. 
Resolução: 
Derivadas parciais em (0,0): 
x
f


(0,0) 
0
lim
h h
fhf ),(),( 000 
 
0
lim
h h
00 
 
0
lim
h
0 0. 
y
f


(0,0) 
0
lim
h h
fhf ),(),( 000 
 
0
lim
h h
h
h








2
32
 
0
lim
h 3
32
h
h
 
0
lim
h
2 2. 
Equação (8), desenvolvimento: 
),(),(
),(),(
00 yxyx
yxhyxf


 
22
00000000
yx
yfxffyxf yx

 )])(,())(,(),([),(
 

22
22
3
2
2
yx
y
yx
y



 
212222
323 222
/
))(( yxyx
yyxy


 
2322
22
/
)( yx
yx


 M. 
Verificação da existência do limite: 
)0,0(),(
lim
yx
M 
)0,0(),(
lim
yx 2322
22
/
)( yx
yx


 ? 
Tome y  k x , x 0. 
0
lim
x 23222
22
/
)( xkx
kxx


 
0
lim
x 2323
3
1
2
/
)( kx
kx


 
0
lim
x 2321
2
/
)( k
k


 
2321
2
/
)( k
k


 
 
)0,0(),(
lim
yx
M. 
Logo, f não é diferenciável na origem. 
Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem. 
 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-58 
Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos 
indicados. 
137. w 2x + 2y nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1,2). 
Resolução: w é diferenciável em  2 ; 
xf  2 x , xf (0,0)  0, xf (1,1)  2 e f (0,0)  0. 
yf  2 y , yf (0,0)  0, yf (1,1)  2 e f (1,1)  2; 
a) w 0  0( x  0)  0( y  0)  w 0; 
b) w 2  2( x  1)  2( y  1)  2 x 2 y w 2. 
Resposta: 
138. w 222 yx  nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1, 3 ). 
Resolução: w é diferenciável em  2 {(0,0)}; 
a)  plano tangente em P1(0,0,0); 
b) xf 
222
2
yx
x

, xf (1,1) 
3
2
, yf 
222 yx
y

, yf (1,1) 
3
1
; 
w 3  
3
2
( x  1)  
3
1
( y  1)  2 x  y  3 w 0. 
Resposta: 
139. Seja w f ( x , y )  2x  2y . Graficamente, o grad f ( 0x , 0y ) é dado por: 
Resolução: 
 
 
  00 , yxf 
 





x
yxf 00 , ,
 





y
yxf 00 , =  00 2,2 yx 
Resposta: 
x
y
w
x y0 0
P0
grad f ( )x ,y 0 0
x
y
P0
ck
y0
( )x , yf: = k
x0
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-59 
140. Seja w f ( x , y )  2x  y . Graficamente, o grad f (2,4) é dado por: 
Resolução: 
f (2,4)  2
2
  4  0  0c : f ( x , y )  0  
2x  y  0  y  2x . 
 
Resposta: 
141. Calcule a diferencial de f ( x , y )  x  xy no ponto (1,1). 
Resolução: 
T( x 1, y 1)  
x
f


(1,1)( x 1) +
y
f


(1,1)( y 1) 
x
f


 1 
xy
y
2
  xf (1,1) 
2
3
; 
y
f



xy
x
2
  yf (1,1) 
2
1
. 
Logo: T( x 1, y 1) 
2
3
( x 1) +
2
1
( y 1). 
Pela notação clássica: df (1,1) 
2
3
dx +
2
1
dy . 
Resposta: df (1,1) 
2
3
dx +
2
1
dy . 
142. Dada a função w 2x + 2y  xy . 
 a) Determine uma aproximação para o acréscimo da variável dependente quando ( x , y ) 
passa de (1,1) para (1,001;1,02). 
Resolução: 
w dw 
w
x
f


(1,1)(1,0011) +
y
f


(1,1)(1,021); 
x
f


(1,1)  1, 
y
f


(1,1)  1; 
w 10,001 + 10,02  w 0,021. 
 
Resposta: w 0,021. 
 b) Calcular w quando as variáveis independentes sofrem a variação em a). 
Resolução: 
w f (1,001;1,02)  f (1,1)  0,021381. 
 
Resposta: w0,021381 
 c) Calcular o erro obtido da aproximação de dw como w . 
Resolução: 
Erro  w dw  0,000381. 
Resposta: 0,000381 
grad f (2 4) ,
x
y
P0
c0
4
( )x , yf: = 0
2
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-60 
143. Calcule a diferencial total da função: w  2x  2y  xyze . 
Resolução: 
dw  (2 x  yz xyze ) dx(2 y  xz xyze ) dy  xy xyze dz . 
Resposta: dw  (2 x  yz xyze ) dx(2 y  xz xyze ) dy  xy xyze dz 
144. Calcule a diferencial total da função: w  1x 2x  2x 3x  3x 4x . 
Resolução: 
dw  2x 1dx ( 1x  3x ) 2dx ( 4x  2x ) 3dx  3x 4dx . 
Resposta: dw  2x 1dx ( 1x  3x ) 2dx ( 4x  2x ) 3dx  3x 4dx . 
145. Nos itens a) e b), calcule o valor aproximado para a variação da área na figura quando 
os lados são modificados de: 
 a) 4cm e 2cm para 4,01cm e 2,001cm, num retângulo; 
Resolução: 
 
x  4cm e  x  4,01  4  0,01cm A x y 
y  2cm e  y  2,001  2  0,001cm dA
x
A


dx
y
A


dy  y dx x dy 
 dA 20,0140,001  0,024cm2. 
Para esta variação nos lados, a área do retângulo sofre um acréscimo de 
aproximadamente 0,024cm
2
. 
Resposta: 0,024cm2. 
 b) 2cm e 1cm para 2,01cm e 0,5cm, num triângulo retângulo. 
Resolução: 
 
A
2
xy
  dA
x
A


dx
y
A


dy 
2
y
dx
2
x
dy 
 dA 0,005  0,5  0,495cm2. 
O sinal negativo indica que a área sofre um decréscimo de 0,495cm
2
 aproximadamente. 
Resposta: 0,495cm2. 
146. Calcular o valor aproximado de (1,001)3,02. 
Resolução: 
Tome: w f ( x , y ) yx , encontrar f ( x  x , y  y )( x  x ) yy  , tal que x 1, 
y 3,  x 0,001 e  y 0,02. 
Sendo df  f com  f  f ( x  x , y  y )  f ( x , y ) 
 df ( x  x ) yy   yx  ( x  x ) yy   yx df (1) 
Mas df  y 1yx dx yx xln dy  3120,001 1ln 0,02  0,003  0  0,003; 
Substituindo em (1): 
(1,001)
3,02
  1  0,003  (1,001)
3,02 1,003. 
Resposta: (1,001)3,02  1,003. 
2
4
1
2
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-61 
147. O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem, com um erro provável de 
0,2 pol em cada medida, respectivamente, 12 pol e 8 pol . Qual é, aproximadamente, o 
máximo erro possível no cálculo do volume? 
 
Resolução: 
V  
2
2





 D
H  
4

HD2  Aproximação de V por dV : dV 
D
V


dD 
H
V


dH ; 
Fazendo-se a substituição de 
D
V



2

DH e 
H
V



4
 2D em dV , tem-se: 
dV 
2

DH dD 
4
 2D dH 
2

(12)(8)(0,2) 
4

(12)
2
(0,2) 16,8 3pol . 
Resposta: dV 16,8 3pol 
148. Dada a superfície z 
yx
yx


, se no ponto x 4, y 2, x e y são acrescidos de 
10
1
, 
qual é a variação aproximada de z ? 
Resolução: 
dz 
x
z


dx
y
z


dy 
x
z



2
11
)(
)()(
yx
yxyx


  
2
2
)( yx
y

; 
 
y
z



2
11
)(
)()(
yx
yxyx


  
2
2
)( yx
x


; 
dz 
2
2
)( yx
y

dx
2
2
)( yx
x


dy 
2
2
)( yx 
( y dx x dy ) 
dz 
224
2
)( 
(2
10
1
4
10
1
)  dz  
90
1
  0,01111. 
Obs: 
 z  f ( x + x , y + y )  f ( x , y ) 
 z  f (4+
10
1
,2+
10
1
)  f (4,2)  f (
10
41
,
10
21
)  f (4,2)  
31
10

3
1
 
93
1
 0,01075. 
Resposta:  z 0,01075 
 
H
D
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-62 
149. As dimensões de uma caixa são 10 cm , 12 cm e 15 cm . Essas medidas têm um 
possível erro de 0,02 cm . Encontre, aproximadamente, o máximo erro no cálculo do 
volume. 
 
Resolução: 
V  x y z 
O valor exato do erro é V , entretanto, usaremos dV como uma aproximação de V . 
dV 
x
V


dx
y
V


dy 
z
V


dz , sendo assim: 
dV  y z dx x z dy  x y dz 
dV 12150,0210150,0210120,02  9 3cm . Logo: V  9 3cm . 
Resposta: Logo: V  9 3cm 
150. Use a regra da Cadeia para encontrar a derivada de w yx  em relação a t ao longo 
do caminho x  tcos , y  tsin . Qual é o valor da derivada em t 
2

? 
Resolução: 
dt
dw

x
w


dt
dx

y
w


dt
dy
 w x y  
x
w


 y e 
y
w


 x ; 
 x  tcos  
dt
dx
  tsin ; 
 y  tsin  
dt
dy
 tcos ; 
 
dt
dw
 y ( tsin )  x ( tcos )   t2sin  t2cos  )2cos( t ; 
 
2








tdt
dw
 




 

2
2cos  cos  1. 
Neste caso, pode-se verificar o resultado: 
w x y  tcos  tsin 
2
1
)2sin( t . 
dt
dw

2
1
2 )2cos( t  
dt
dw
 )2cos( t . 
Resposta: 1 
 
x
y
z
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-63 
151. Encontre 
dt
dw
 sendo que w x y  z , x  tcos , y  tsin e z  t . Determine o valor 
da derivada em t 0. 
Resolução: 
dt
dw

x
w


dt
dx

y
w


dt
dy

z
w


dt
dz
 w x y  z  
x
w


 y , 
y
w


 x e 
z
w


1; 
 x  tcos  
dt
dx
  tsin ; 
 y  tsin  
dt
dy
 tcos ; 
 z  t  
dt
dz
 1; 
 
dt
dw
 y ( tsin )  x ( tcos ) 11   t2sin  t2cos 1  1 )2cos( t ; 
 
0






tdt
dw
 1 )0cos(  11  2. 
Resposta: 2 
152. Expresse 
r
w


 e 
s
w


 em termos de r e s se: w x 2 y  2z , x 
s
r
, y  2r  sln , 
 . 
Resolução: 
r
w



x
w


r
x



y
w


r
y



z
w


r
z


 
r
w


(1) 





s
1
(2)(2 r )(2 z )(2)  
r
w



s
1
12 r ; 
s
w



x
w


s
x



y
w


s
y



z
w


s
z


 
s
w


(1) 






2s
r
(2) 





s
1
(2 z )(0)  
s
w



s
2

2s
r
. 
Resposta: 
r
w



s
1
12 r e 
s
w



s
2

2s
r
 
153. Dada a função w 2x  2y  2z e sabendo que x = r cos sin , y  r sin sin e 
 , calcular as derivadas da função w em relação a r ,  e . 
Resolução: 





r
w
 

w
 



w
 




x
w
 
y
w


 




z
w



































zz
r
z
yy
r
y
xx
r
x
 
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-64 
[2 x 2 y 2 z ]













sin0cos
cossinsincossinsin
coscossinsinsincos
r
rr
rr
 
r
w


 2 x cos sin 2 y sin sin 2 z cos 
 2 r 2cos 2sin 2 r 2sin 2sin 2 r 2cos 
 2 r [(   
1
22 sincos

 ) 2sin  2cos ]  2 r [ 
1
22 cossin

 ] 
  
r
w


 2 r ; 

w
 2 x r sin sin 2 y r cos sin 
 2 2r cos sin 2sin 2 2r sin cos 2sin 
  

w
 0; 

w
 2 x r cos cos 2 y r sin cos 2 z r sin 
 2 2r 2cos cos sin 2 2r 2sin cos sin 2 2r cos sin 
 2 2r [( 2cos  2sin 1) cos sin ] 
 2 2r [(11) cos sin ] 
 2 2r [(0) cos sin ] 

w
 0. 
Resposta: 
r
w


 2 r , 

w
 0 e 

w
 0 
154. A altura de um cone circular é de h 100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg . O 
raio da base é de r 50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg . Com que velocidade está 
variando o volume, quando h 100 pol e r 50 pol ? 
 
Resolução: 
V  f ( h , r )  
3
1
 2r h 
dt
dh
 10 pol / seg e 
dt
dr
 5 pol / seg ; 
dt
dV

h
V



dt
dh

r
V



dt
dr
 
dt
dV

3
1
 2r 
dt
dh

3
2
 r h 
dt
dr
 
h
r
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-65 
dt
dV

3
1
(50)
2
(10)
3
2
(50)(100)(5) 
3
1
(25000)
3
2
(25000) 
3
25000
. 
dt
dV

3
25000
  26180 3pol / seg . 
Resposta: Portanto, o volume cresce à taxa de 26180 3pol / seg no dado instante 
155. Use a lei do gás ideal com k 10 para encontrar a taxa de variação da temperatura no 
instante em que o volume do gás é 120 3cm e o gás está sob uma pressão de 8 din / 2cm , se 
o volume cresce à taxa de 2 3cm / seg e a pressão decresce à taxa de 0,1 din / 2cm ( din , 
unidade de força) por segundo. 
Resolução: 
T 
10
PV
  
dt
dT

P
T


dt
dP

V
T


dt
dV
 P  8, V  120, 
dt
dP
 0,1 e 
dt
dV
 2; 
dt
dT

10
V
dt
dP

10
P
dt
dV
 
dt
dT

10
120
(0,1)
10
8
(2)  
dt
dT
0,4 graus / seg . 
Resposta: A temperatura cresce à taxa de 0,4 graus por segundo no dado instante. 
156. Encontre 
x
y


 para 2y  2x  xysin  0. 
Resolução: 
Tome F ( x , y )  2y  2x  xysin . Então 
x
y


 
y
x
F
F
 
xyxy
xyyx
cos2
cos2



xyxy
xyyx
cos2
cos2


. 
Resposta: 
x
y



xyxy
xyyx
cos2
cos2


 
157. Dada a equação 2x  2y  1, encontre 
x
y


 usando derivação por duas formas: 
a) Derivando implicitamente; 
b) Derivando através de função de uma variável. 
 a) F ( x , y )  2x  2y  1 
Resolução: 
x
y


 
y
x
F
F
 
y
x
2
2
  
x
y


  ; 
Resposta: 
x
y


  
 b)  21 x 
Resolução: 
x
y


 
2
1
(1 2x )
1/2
(2 x ) 
21 x
x


  . 
Resposta: 
x
y


  
 
y
x
y
x
y
y
x
y
x
Cálculo II Derivadas 
 Lauro / Nunes 
6-66 
158. Sabendo que z  f ( x , y ) é definida por 4x y  3y  3z  z  5, determine 
x
z


 e 
y
z


. 
Resolução: 
F ( x , y , z )  4x y  3y  3z  z  5 
x
F


 4 3x y ; 
y
F


 4x  3 2y ; 
z
F


 3 2z + 1. 
x
z


 
13
4
2
3


z
yx
 e 
y
z


 
13
3
2
24


z
yx )(
. 
Resposta: 
x
z


 
13
4
2
3


z
yx
 e 
y
z


 
13
3
2
24


z
yx )(
 
159. Classificar os pontos críticos da função f ( x , y )  3 x 2y  3x 3 x . 
Pontos críticos: 
Resolução: 
x
f


 0  3 2y 3 2x 3  0 (1) 
y
f


 0  6 x y  0 (2) 
De (2) concluímos que x  0 ou y  0; 
 Fazendo x  0 em (1)  (0,1) e (0,1); 
 Fazendo y  0 em (1)  (1,0) e (1,0). 
Logo, os pontos críticos de f são: A (0,1), B (0,1), C (1,0) e D (1,0). 
Hessiano H ( x , y ) 
yyyx