A Conquista da Matemática 8 ano

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Êv
/^?
§J MAfJ.í'J.l
Bacharel e licenciado em Matemática
pela Pontificia Universidade Católica (PUC-SP).
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino médio desde 1960.
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(Falecido em2lll1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontificia Universidade
Católica e da Universidade de São Paulo.
Foi professor em escolas públicas e particulares de ensino
fundamental e ensino médio.
Gjwarrrri .Jr
Licenciado em Matemática pela
Universidade de São Paulo (USP).
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino médio desde 1985.
«lÁFrD
A Conquista da Matemática: a + nova
Copyright @ José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci,
José Ruy Giovanni .)r. - 2002
Todos os direitos de ediÇão reservados à
Editora FTD S.A.
Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 - Bela Vista
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Dados lnternacionais de Catalogação na Publicaçáo (ClPl
(Câmara Brasileira do Livro, SB Brasill
Giovanni, José Ruy, 1937-
A conquista da matemática : a + nova / José Ruy
Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni
Júnior. - São Paulo : FÍD,2002. - (ColeÇão a
conquista da matemática)
Edição não-consumível.
Obra em 4 v. para alunos de 5ê a 8: séries.
Suplementado pelo manual do professor.
l. Matemática (Ensino Íundamental) l. Castrucci,
Benedito, 1909-. ll. Giovanni Júnior, José Ruy,
1963-. lll. Título. lV. Série.
0247t9 cDD-372.7
índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino Íundamental372.7
rsBN 85-322-4985-X
Ano de publicação: 2002
Editora
Júnia La Scala
Editorer a5l,isle le5
Arnaldo Rodrigues
Dario Martins
Fabiano A. L. Wolff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
Preparaçô,o
Lucila Barreiros Facchini
Rcvi:âo
Eliete Soares da Silva
Luciana Pereira Azevedo
lcorrqra{ia
Coordcnaçao: Sônia Oddi
Pe4uisa: Caio Mazzilli
Assistqtc Maria Rosa Alexandre
Ldiçõ^o dearte e projeto grá/ico
Maria Paula Santo Siqueira
lLustraç6es
Vinhctar: Lúcia Hiratsuka
Abcrhrras: Alberto Llinares, Hilton Mercadante
Mioto: Alberto De SteÍano, Alberto Llinarres,
Alexandre Argozino Neto, Kanton e Silvana
Capa
Claudson Rocha sobre imagens de
Bettmann/CorbisÁtock Photos e PhotoDisc
Digitaçdo
José Aparecido A. da Silva
Diagrannaçâo e editoraçâo c[etrônica
EMTA Editoracão
A MateJu^6,ticr, ast6, ytrasantz aA^ yro55oi5 vidas, datde- nuoaa tinnyrLas contaSam, atí
nahoradedelinir5auÚ^acou (1radqveserytaSaàvistaoua(1rc^zo,ttrouioztttwtttpLqxrss
cn mpwt ador as, rc sobe- a- deçce da boLsa de v al.o r es, lros fudices de yrohr zza z riquaza de-
um país,.
Mas, anpasar de q!"a attar ytrztantq eA^ tantos ttnontqntos ituportanlas da suavida e-
da Üvmanidade, ytoda ?aracq(t a princíytitt, qua a|lwnc leJç^as da l4atery^4rtica nõ,o tâtm
aytLicaçi,o ivtnqdiata no tuundo aÁ^ quavivea^os. lsto çtoda jarar au^vocà wu carto
detapontamanto.
Naverdadq a ayt|icr^çàr: da l4ateru^6,tica rno cotidiano .rcorra- crstno rsçultado do
desenvoLviyt^ento a üt aytrollundanqnto da- csrtot concaitos neLa ytresentas.
Co,nno erv^ todffi aE áreaE de- astudo, ytara antandqr a Mater4^6tico e- su/:^s aytLiu,çóes
sõ,o necqssãriw dadicnçÍ^o eqstudo. Por etse tuolivo, ao aeicravsr asta cnLaçi,o,
?rocuralvo5 aytrasentar a vocâ asLinhas ruraslras dastaproczt5o aA^Linyr,rje.llu.si,tuyt|el
sen [ujk ao rigor qua a Materuí,tica ex$e-.
Ficnr de {ora dzssa (1rocs55o, dicar a. ytaúe- do conlvciytnqntç: Analen^ô,tico d, |;ç1!a,
qstar à 
^^arSatu^ 
daE tnnuÀançnt do tuundo.
Nâo áo quavocàqwar.
Nâo áo qwaqwqrat^o;
Lnt õ,o nos aca n,.ytanhz narta üivro!
0g ní,fi^erog rqais
Raiz quadrada exata de um número racional 10
Números quadrados perfeitos 10 càr Aprendendo um truque
Como reconhecer se um número é quadrado perfeito 12 fr
Encontrando araizquadrada exata de um número racional 14
Explorando a calculadora 16
Raiz quadrada aproximada de um número racional
0s números racionais e sua representação decimal
11 *
Explorando Geometria 13 t
* A popularização do símbolo /- t+ *
t7
20
Z
j
+
5
L
1
6
0s números irracionais 2l
Um número irracional importante: o número nL,pil 24 Curiosidade de um importante número vracional 25
As contribuiÇões de grandes matemáticos 26
0s números reais 27
As operaÇões com números reais 28 Rr:tomando o que aprendeu 30 Saiba mais a respeito da polegada 30
Tratando a inÍormacão 1 31
lrrtrodrção ao cí^Lailo aLlíhrico
0 uso de letras para representar números 34
Representando números desconhecidos 35
Expressões algébricas ou literais 36
Como pode ser uma expressão algébrica 38 § Troque idéias com o colega 40
Valor numérico de uma expressão algébrica 47
Troque idéias com o colega 42
à
1 Uma consideracão importante 44
Retomando o que aprendeu 45
Lstndo dos ytoluinôrnn i os
l0 Monômio.ou termo algébrico 48
0s matemáticos e os outros sÍmbolos para representar números 5O Grau de um monômio 51
MonÔmios semelhantes 52 Adição algébrica de monômios 52 Bicicletas reclinadas 55
MultiplicaÇão de monômios 55 Explorando Álgebra 58 Divisão de monômios 59 Potenciacão de monômios 61
Tl Potinômios 63
Troque idéias com o colega 65 0 que t! o fermento 65 Polinômio reduzido 66 Grau de um polinômio 67
PolinÔmios com uma só variável real 68 Troque idéias com o colega 69 Adicão algébrica de polinôrnios 69
Multiplicação de polinômios 72 Troque idéias com o colega 78 Divisão de polinômios 79
Divisão de um polinômio por outro polinômio iiO
I Z 0s produtos notáveis 83
Quadrado da soma de dois termos 85 Algebloc 86 Explorando Álgebra 87
Quadrado da diferença de dois termos 87 Produto da soma pela diÍerenÇa de dois termos 89
Cubo da soma de dois termos 91 Cubo da diferença de dois termos 91 Tratando ainÍormação 2 94
'l 3 Fatorando polinômios 95
Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência 96 FatoraÇão por agrupamento 99
Troque idéias com o colega 100 Fatoração da diferença de dois quadrados 101
Fatoracáo do trinômio quadrado perfeito 104 Você sabia que... i06
Fatoracão da soma ou da diÍerença de dois cubos 107 Fatorando mais de uma vez 107
l4 Cálculo do m.m.c. de polinômios 108
Retomando o que aprendeu 111
Lsturdo das [raçóes aLlíhncc^5
l, Fração algébrica tr4
De Jericoacoara a Aracati 115 Troque idéias com o colega 117
I U Simplificação das frações algébricas ll7
Tt Adição e subtração de frações algébricas I2O
1S Multiplicacão e divisão de frações algébricas L24
0 gigante latino 127 Retomando o que aprendeu 129 Tratando a informação 3 130 Energia elétrica 131
LqtmçÕrzs dele jrcr co,vr ufi^a incógnita
11 Equação de 1e grau com uma incógnita 134
De Salvador a Mangue Seco 1 35 Como resolver uma equação de 1e grau com uma incógnita 1 36
Troque idéias com o colega 138 Explorando Medidas 139 Troque idéias com o colega 140
/Q tquução fracionária de 1s grau com uma incógnita 141
Como resolver uma equaÇão fracionária 142 Tratando a informacão 4 I45
Zl Equações literais de 1e grau na incógnita x 146
Como resolver uma equacão literal de 1e grau na incógnita x 146 Retomando o que aprendeu 148
Tratando a informação 5 149
SiEtatnas dezquaçóu dale jrcilL coÍvr dulas incógnitar
// tquução de 1s grau com duas incógnitas I52
23 Sistemas de equações de le grau com duas incógnitas 153
Solução de um sistema de duas equações 6s le srau com duas incógnitas 1 54 Troque idéias com o colega 1 57
ah
/J Resolução de um sistema de duas equações de le grau com duas incógnitas 158
Método da substituição 158 Método da adição 160 Troque idéias com o colega 164
Explorando Medidas 164 Sistemas de equaÇões fracionárias 165 Troque idéias com o colega 168
Resolvendo problemas 168 Retomando o que aprendeu 171 Tratando ainÍormaçáoâ 172
GeotÁetria
/i tntroaueao u6
ZL A reta tls
Uma ferramenta curiosa 7!' Posições relativas de duas retas em um plano r; llusões de ótica ,Si
Semi-reta 182 Segmentodereta 182 Novasilusõesdeótica tit pontomédiodeumsegmrento ic:
21 Ângulos 186
Medida de um ânguloA utilizacão do transferidor Ângulos especiais .r- Colisão traseira
Ttoque idéias com o colega Bissetriz de um ângulo Explorando Desenho geométrico
Ângulos adjacentes Ângulos complementares e ângulos suplementares
Ângulos opostos pelo vértice Tratando a informacão 7
Ânguí,os [ormado5 ?or dnag retas paralel,a5 cort^ wrta transverEal
/$ A"tas paralelas e reta transversal 2a2
Retas paralelas Reta transversal Estabelecendo relacões
21 Ângulos correspondentes 205
JQ An*utos alternos 207
Retas paralelas 209
31 Ângulos colaterais Zos
Troque idéias com o colega 212 Retomando o que aprendeu 214
Poí,ígonos
jZ 0 polígono e seus elementos '2\8
Elementos de um polígono 2 r8 Nomenr:latura 2I y Explorando Geometria ,:)l
33 Perímetro de um polígono L))
Explorando Medidas 224
J! Oiugonais de um polígono 2)5
Cálculo do número de diagonais de um polÍgonrt -.iJ
35 Ângulos de um polígono convexo )'.;
Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono :.:.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo 22? Troque idéias com o colega 2:l
Explorando Medidas 23l Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer li3.i
Soma das medidas dos ângulos externos de unr polígono qualquer lJrl
3L Ângulos de um polígono regular 237
Explorando Desenho geométrico Explorando Medidas Retomando o que aprendeu
Estudando os triâng rí,os
31 Elementos de um triângulo 246
j6 Condicão de existência de um triângulo 246
Explorando Geometria Troque idéiat; com o colega
31 Os ângulos no triângulo 24g
Classificacão dos triângulos
Troque idéias com o colega Explorando Geometria Troque ideias com o colega
1l Ahura, mediana e bissetriz de um triângulo
Altura Explorando Medidas Mediana Bissetriz
Fama e mistérios do Triângulo ': Explorando Geometria
!/ conztuência de triângulos
Figuras congruentes Triângulos congruentes Casos de congruência de triângulos
Um caso especial de congruência para os triângulos retângulos
1Z Propriedades do triângulo isósceles e do triângulo eqüilátero
Propriedades do triângulo isósceles Propriedade do triângulo eqüilátero Retomando o que aprendeu l. :l
Lstwdando w ytadrilatqroE
44 oquadrilátero e seus elementos
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero
45 os paratetogramos
Retângulo, losango e quadrado :l'
+L os trapézios 286
A história de um certo quadrilátero 288 Base média de um trapézio i I Troque idéias com o colega 290
Explorando Geometria 29i Retomando o que aprendeu li 'l Tratando a informacão 8 293
Lsludando acircrnferância e o cftuilo
41 ocircunferência 2s6
4a
Explorando Geometria 297
0 círculo 299
Troque idéias com o colega 300
41 Uma reta e uma circunferência: posiÇões relativas . rr
Propriedades da reta tangente .: r, r Astrolábio l';,i
iQ eotiçoes relativas de duas circunferências 1il5
,1 Arco de circunferência e ângulo central 'ii"r'
j/ Ãneutoinscrito rli
Explorando Geometria 3l ['
5S Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência :rr
Retomando o que aprendeu :1 3 Tratando a informação 9 .-- ,
lndicacg^o de. Leitura 3zz
Bibí,iogra{ia 322
Rerpostal 325
Ghostí^rio 344
Projeto 351
0g nitvrero5
Nos anoe anteriorea, você trabalhou aom números ào:
Conjunto àos números naturais N
Conjunto dos númeroe inteiroo Z
Conjunto àos números racionais a
Desse moào, você ioi percebendo a importànaia àoe númeroa
Oe números
naluraie eào uoaàoe
prinaipalmeníe noo
proaeoeos àe
TOT
,'xs
PAd
Esta forma ?aâ6ou
a ser muilo maio ueaàa
a parlir ào aparecimento
àao aalculaàoras e
àoe compulaàores,
Aforma àeaimal
àoe números racionaie
é aomum na indicagào
§õoo
o
d
.9o
õ
o
6
É
o
§
t
õú
p
õ
tu
Ê
o
I
.E
õ
o
&
.e
o
Aforma àe porcentagem é baotante usaàa
nao âreao àe Eaonomia e Eatalísliaa.
Apareae
também nas
promoçõee ào
Apareae em
gráfiaoo àe iornaia
HOMENS NAVEGAM MAIS
Fonte: Epoca, 22 ian. 2001.
Oe númeroe inteiroe
sào uoaàos, Oeralmenie,
em situaçõeo que
envolvem simetria.
Oo númeroo racionais a?arecem,
geralmente, em aituaçõea que
exiqem regiotro de meàiàas.
Nesta Unidaàe, você vai a?renàer novoe númerosz
oo irracionaio e oo reaio. Eles eurgiram àa
necesoiàade àe obler númeroa que re?reôentem
oolugões de âeterminaàas equagõea,
Aimportânaia àoe númeroe êtào grande na
sociedade que àeu eneejo a uína aêlebre fraoe àe
?latào.
0s números que são quadrados de outros
números denominam-se número s quadrados
perfeitos.
A seguir, há uma tabela de números que
são c;uadrados perfeitos. Esta tabela é muito
útil nrr cálculo daraiz quadrada.
x
n1
n2 1
Consideremos a seguinte situação:
Um terreno quadrado tem 1 024 m2 de área. Quanto mede cada lado do terreno?
ir,
lndicando a medida do lado pela letra
x, tennos:
x2 : 1024
Pela equaÇã0, o nosso problema consiste em determinar um número racional x que elevado ao
quadrado dê como resultado o número 1024.
Esse número x representa a raiz quadrada do número I024.
No ano anterior, aprendemos a calcular a raiz quadrada exata de um número racional pela
deconrposiÇão em fatores primos. Neste ano, estudaremos outros métodos para obter as raízes
quadradas exatas ou aproximadas de um número racional.
2
4
I
64
3456
9162536
20 30
400 900
40 50 60
1 600 2 500 3 600
7
49
70 tio
4 900 6 400
90 100
8 100 10 00Cr
Çt
8I
10
100
n 10
nz 1oo
10
Núvrarog
Aprendendo um truque
Um truque Para encontrar o quadrado de um número de 2 algarismos terminado em 5
Vamos calcular, por exemplo, o quadrado do número 35:
iorí^ a tr.i,/i:t \/""a
Treine o truque encontrando o quadrado de 1,5,25, 45,55, 65,75,85 e 95.
LIse uma calculadora para verificar os resultados.
t1
O guodrodo de5 é iguol o 25.
Pronto! E só escrever 25 à
direito do l? que obtemos o
r
352
3x4
,/ temo?e-se gue, \
poro esse trugue dor
ce?to, o olgoristno do
unidode semDre
\ quesen5.
Covtno reconür qcqr 5a wA^ nítvero 6.
figuras geométr cas:
por exemplo, o número 144.
verficar se 144 é quadrado perfeito,
1
10 10
dezena
Consideremos,
Primeiro vamos
11
,E,En
Então, o número 144 deve ser form
10
usando as seguintes
10
centena
1rI
unidade
10
Juntas, essas figuras vão formar um outro quadrado.
102
íÃ-onuo.ooroun.,,t--iàt\
Íigura, podemos dizer que 144 )
\ é um númaro.quoclrado -,/eito. __--/
Y
Como você pode observar, o quadrado da
figura tem 144 unidades de área e a medida clo
seu lado é de 12 unidades de comprimento.
12
j, oL rdo
100 10
0 1 1
10 1 1
10
Outra maneira de verificar se o número 144 é quadrado perfeito é fazendo a fatoração completa
do número:
144
72
36
1B
9
3
1
2
2
2
2 744:,::"
3
3
I
0s expoentes de todos os fatores são pares,
então o número 144 é quadrado perfeito.
Pelos dois processos, verificamos que o número 744 é quadrado perfeito.
Geometria
O segundo número quadrado perfeito da seqüência pode ser obtido por meio da seguinte adição:
E assim por diante,
números ímpares:
cada número quadrado perfeito pode ser escrito como uma adição de
fto.,. íc,tu W"u
Represente em uma malha quadriculada e escreva na forma de uma adição de números
ímpares os seguintes números quadrados perfeitos:
a) 76
1+3+5+7:16
b) 25
'1 +3-5.1-9 25
c) 36
Veja como representamos o primeiro número da seqüência de quadrados perfeitos na malha
quadriculada:
13
ffi
Encontrando a raiz qwadrada ey.ata
da- wA^ nínnero raciona[
Se um número representa um produto de dois fatores
iguais não-negativos, então cada fator é a raiz quadradadesse
número. Por exemplo:
I A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 5 : 52 : 25.
lndica-se: l-25 : 5.
2 Araiz quadrada de 49 é 7, pois 7 .7 :72 : 49.
lndica-se: ",[49 : 7.
Observamos, então, que todo número quadrado per-
feito tem uma raiz quadrada exata, sendo fácil determinar a
raiz quadrada exata dos números quadrados perfeitos como
l, 4,9,16,25,36, 49,64,81ou 100, por exemplo.
Veja, agora, como fazer para determinar a raiz qua-
drada exata de outros números, acompanhando as situações
a seguir.
A populari:zação
do símbofto rf-
O símbolo conhecido
como radical, que utilizamos
atualmente, foi intrrtduzido
em 1525 pelo matennático
alemão Christoff Rudolfíem
seu livro Die Coss. Elm 1553,
uma nova edição melhorada
foi publicada por seu
compatriota Michael Stifel,
ao qual se deve a
popularização do uso desse
sinal, principalmenlle em sua
obra mais conhecid,a,
Ar ithmetica inte gr a, publicada
em 1544.
l! Vamos determinar araiz quadrada exata do número 576.
Usando alguns conhecimentos básicos, procuramos, por tentativas, um número que elevado ao
quadnado dê 576.
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que 576 está entre 400 e 900.
400: 20'20:202
900:30.30:302
Entã0, o número que procuramos está
entre os números 20 e 30,
Daí, temos:
272 : 44!
222 : 484
232 :529
242 :576
Então, pela definiÇão, temos:
",1v0 :24, pois (24)2 : 24.24: s16.
Pora conferir com à
colculodoro digitra o
número 576 e aperte o
te<:la .u[ .
14
22 Determinar a raiz quadrada exata do número 1024.
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número I 024 está entre 900 e 1 600.
900 : 302
1 600 :402
Logo, o número que procuramos está entre os números 30 e 40.
Daí, temos:
312 : 961
322: r024
Entã0, pela definiÇã0, temos: [ 0U : 32, pois (32)2 : 32 . 32 : 7 024.
3! Qual é araiz quadrada exata de 1,96?
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número 1,96 está entre 1 e 4.
t 
- 
12I_I
4:22
Entã0, o número que procuramos está entre os números I e 2.
Daí, temos:
l,Lz : L,2!
t,22 : !,44
1,32: I,69
I,42 : I,96
Entã0, pela definiçã0, temos: {T,96 : !,4.
42 Qual é araiz quadrada exata do número 42,25?
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número 42,25 está entre 36 e 49.
36: 62
49 :72
Logo, o número que procuramos está entre os números 6 e 7.
Daí, temos:
6,!2 : 37,21
6,22 :38,44
6,32 :39,69
6,42 :40,96
6,52 :42,25
Entã0, pela definiçáo: {42.25 : 6,5.
15
oras apresentam teclas especiais para o cálculo de
mostramos a seguir:
a) xz ---p é usada para elevar números à segunda potência ou ao quadrado.
Para elevar 13 à segunda potência ou ao quadrado (132), basta teclar
13x2 e aparecera no vrsor
b) y* , é usada para elevar um número a uma potência de sua esc,clha.
Para elevar 13 à terceira potência ou ao cubo (133), basta teclar
13y*J= e aDarêcêrã no vlsor
Atenção! Há algumas variações de um tipo de calculadora para outro.
Se a sua calculadora é do tipo comum, sempre se pode usar a multiplicação para auxiliar no
cálculo de potências.
Para calcular 132, basta teclar
a)
b)
IET1 3 x | = 
eqPaleceránovlsor
Para calcular 133, basta teclar
Curiosidade. Veja o que acontece quando calculamos o quadrado dos números 32 e 49t.
49x2
1ft"'o é covrn W"u
Investigue, com o auxí.io de uma calculadora, se o fato
se repete com a quarta potência dos números 32 e 49.
resposta no f r: do ivro
Em grupo, explore as diÍerentes formas de calcular
potências com o auxílio de calculadoras.
c) Explore também a tecla ^[
Porém dsPostot 
étrt v--"1
ofder'n'
16
e iI]
x2
72.
xarctctos
L Usando as figuras geométricas seguintes e
uma folha de papel quadriculado, verifique se
os números a seguir são quadrados perfeitos:
a) 121 .i, b) 169 .i, c) 186 nao d) 441 ',^
2 Aplicando a fatoração completa do número,
verifique se são quadrados perfeitos:
3 Os seguintes núme-
ros são quadrados per-
feitos. Determine a raiz
quadrada exata de cada
um deles.
a) 484 zz c) 729 zt e)
b) 625 zs d) 1 296 so 0
Nào se esqueça de
consultar a fubela de
números quadrados
perfeitos.
7849 g) 4096
3 025 h) 5 625
d) 1 156 .,
e) 2 000 nao
Consideremos as seguintes situações:
4 Determine a raiz quadrada exata de cada um
dos seguintes números:
a) 2,25 t,s c) 4,412: e) 10,89 s,z g) 37,21. a,t
b) 3,6'1, t g d) 7,84 z,a f) 27,04 s,z h) 51,84 t,2
5 A medida do lado de um quadrado repre-
senta a raiz quadrada da área desse quadrado.
Nessas condições, quanto mede o lado do qua-
drado cuja área é:
a) 9,6'1.m2? z:, b) 72,25m2? as^
a) 625
b) 784
c) 1 200
ada
13
Consultondo o tobelo
de números guodrados
perfeitos, notei gue o 30
é guodrodo perfeito
Portonto, o raiz guodrodo
de 30 ndo é, exata.Poro
obter umo oproximoçõo do
roíz guodrodo de 30, usei
umo colculodoro com o
aproximacão até décimos : 5,4
(erro menor que 0,1)
aproximação até centésimos :5,47
(erro menor que 0,01)
aproximação até milésimos : 5,477
(erro menor que 0,001)
Podemos determinar o número que express araiz quadrada com aproximação deruma ou mais
casas decimais, fazendo uma estimativa desse valor.
Vejamos, então, como estimar a raiz quadrada de 30, com os conhecimentos que já temos
sobre os números quadrados perfeitos.
) 30 é um número que está entre os quadrados perfeitos 25 e 36.
) Como 25 : 52 e 36 : 62, o número procurado está compreendido entre 5 e 6.
Vamos descobrir que número é esse, fazendo tentativas.
ôo
ocL
Observando os cálculos, verificamos que:
) J30 é maior que 5,4 e é menor que 5,5.
) Os valores 5,4 e 5,5 são os números que representam ,tO com aproximação menor que 0,1.
Para não termos dois valores, convencionamos que o número procurado corresponde ao menor
valor e escrevemos: ^,80 
: 5,4. Assim, a raiz quadrada de 30 é aproximadamente igual a 5,4, se a
aproximação for de uma casa decimal (menor que 0,1).
Pude, entõo, determinor
o roiz guodrodo de 30 com
Mos nem sempre disponho de
18
-a
t
a
It
Gl
c€l
'x.
o
rrqtq
zl o, 9! €l
4t s! 6r _1
t' 2. 3. !
+'
o oproximoção gue
colculadora. Como posso colculor
6ôrg
(5,1)z = 5j' 5,1 = 26,01 < 30
(5,2)' = 5,2' 5,2 = 27,04 < 30
(5,3)' = 5,3' 5,3 = zb,Og < 5O
(5,4)" :5,4'5,4 = 2916 < 3O
(5,5)' = 5,5' 5,5 = 3O,25 > 30
Caso haja a necessidade de uma aproximação de duas casas decimais (aproximação menor que
0,01), elaboramos a tabela:
Pela convenção já estabelecida, podemos escrever que J3O - 5,47 , ou seja, a raiz quadrada
de 30 é aproximadamente 5,47, com aproximação menor que 0,01.
22 Qual e araiz quadrada aproximada, com uma casa decimal, do número 11,3?
Consultando a tabela, verificamos que o número 11,3 está entre 9 e 16.
Como 9:32 e 16 : 42, o número procurado está entre 3 e 4.
Vamos, entã0, organizar a tabela:
3,12: 9,61 < 11,3
3,22:10,24 < 11,3
3,32:10,89<11,3
3,42:11,56 > 11,3
De acordo com a tabela, e considerando sempre o menor valor, dizemos que a raiz quadrada de
11,3 é aproximadamente igual a 3,3, ou seja, "ú13 - 3,3 (aproximaÇão menorque 0,1).
I- Obtenha um valor inteiro e aproximado para:
a) ú50 :,2 c) J35o - ,u
b) J2oo : r+ d) Jsoo = zz
2 CaIcuIe araiz quadrada, com valor aproxi-
mado até a'1," casa decimal, de cada um dos se-
guinte númêros:
a) 2 : i,4 b) 10 :3,7
3 Calcule a raíz quadrada, com valor aproxi-
mado até a 1,a casa decimal, dos números:
c) 90 : e,4
d) 130 :11,4
e) 20 :44
a) 3,6 : r,8
b) 7,2 = 2,6
c) 1,0,7 = 3,2
f) 40 : ô,3
g) 320 :17,8
h) 450 :21,2
d) L8,5 - 4,3
e) 54,6 = 1,3
f) 69,27 :8,3
19
(5,402 =29,26O1 <3O
(5,42)2 = 29,3764 <3O
(5,43)2 = 29,4O49 <3O
@'4q2=29,5936<3o
F,4q2 =291025 <3o
(5,46)2 =29,O116 <3O
(5,47)2 =29,9209 <3O
FAq2=3o,o3o4>3o
iE a-
ecin^a[
Em Matemática, muitas vezes, é útil representar números racionais na sua forma rlecimal. Para
isso, basta dividir o numerador pelo denominador.
Em alguns casos, essa representação decimal é finita. Observe:
A:0,6
5
+:1,3333...
+:2,125
0,45
l8i^-
2,125
3
30
0
$-: o,+s
9
90
100
0
15 15
10
0
L7
10
20
40
0
: -7,5
Em outros casos, essa representação decimal é infinita. Observe:
-+: -0,636363...
0,636363...
Nos dois últimos exemplos, a divisão não termina nunca. 0 quociente é um número periódico ou
uma dízima periódica. No 1s exemplo, o algarismo 3 e, no 2e exemplo, os algarismos 6 e 3 continua-
rão se repetindo indefinidamente. Dizemos que:
) Na dízima periódica 1,3333..., o algarismo 3, que se repete, é chamado período e a sua represen-
taÇão abreviada é 1,3.
) Na dízima periodica 0,636363..., o grupo 63, que se repete, é o período e a representação abre-
viada do número é 0,63.
4
10
10
10
10
1
70
40
70
40
70
40
7
20
L Os números racionais a seguir são chama-
dos frações decimais. Escreva cada um deles na
forma decimal:2 Qual é a representação decimal de cada um
dos seguintes números racionais?
e)
8)
h)
a)
b)
c)
d)
7
10 o'
31
10 t'
6
,* o'oo
77
100 011
762
100 1'62
9
, * o'ooo
29
1 000 0'02e
385
, * o'sss
.. 82r) 10 t''
.. 163Y 15- ro,s
427t) *o +,zt
,1104m/ l ooo 1'ro4
1_ nq2 --
J
9
- 
1O
5
37
20 1'85
") 
35 ,,r,,' 
11,
D *,,,,,
. 11
I g r,375
h) s,,,
..3r) , o,rs
.. 13
)) 5ç 01a+a
l) 33 ,ru'4
.25m) , +,rooo
a)
b)
c)
d)
4 O, ninnqro5 irraci onc^15
Qual deve ser o valor do número x, não-negativo, para que se tenha x2 : 3?
Pela definição de raiz quadrada, x representa a raiz quadrada do número 3, ou seja, x : rE.
Vamos, então, determinar o valor de x, lembrando que:
) onúmero 3 estáentreosquadradosperfeitos !e4, pois 1 : 12 e4:22
) ^/t está entre 1 e 2
Daí, elaboramos a tabela:
Vemos, então, que Jt está entre !,7 e1,8. Portanto, vamos continuaro cálculo:
Vemos, entã0, que Jí está entre 1,73 e 1,74. Prosseguindo no cálculo, temos:
7,732 :2,9929
t,742 :3,0276
1,7322 :2,999824 1,7332 :
t,712 :2,9241
1,722 :2,9584
7,I2 : L,2l
!,22 :1,44
!,32 : I,69
1,42 : !,96
1,52 : 2,25 1,72 : 2,89
!,62 :2,56 !,82 :3,24
Pelos últimos cálculos, vemos que J3 está entre 1,732e 1,733. Se prosseguíssemos, encon-
traríamos: J3 : 1,7320508..., ou seja, a representacão decimal do número Jí O infinita sem ser
periódica.
Há outros números que apresentam esta característica, ou seja, a sua representaÇão decimal é
infinita e não-periodica. Exemplos:
1 1 ,7070070007... 2 ^/To : 3,1622716...
Números que apresentam essa característica são chamados números irracionais,
Número racional é todo número cuja representação decimal
é sempre finita ou infinita e periódica.
Veja:
ft-: o,t
l:0.1666...
b
Número irracional é todo
é sempre infinita sem ser
Veja:
j, : r,4142135...
2,4tt0t1001100011...
0bservações
) Um número irracional nunca pode
) Nem todo número que representa
,a:0,4
5
2! :3,t42857142857...
/
número cuja representacão decimal
periódica.
ft: z,tz
+:3,3i63636...
J3: 1,7320508...
3,14t592...
ser escrito na forma de fraçã0.
a raiz quadrada de outro número é um número irracional, ou seja:
o
o
o
oÉ
L
22
/ Entre àois númeroo quaàrados perfeitos existem números raaionaie cujae
são números raaionaioz
,[tl+ - t,z
l^ o
.rJ=i_=0,666...v9 3 "[+o,go =
- xs_rclcloS
L Sabemos que a representação decimal de um
número pode ser finita, infinita e periódica ou
infinita e não-periódica. Nessas condições, iden-
tifique a representação decimal de cada um dos
seguintes números:
a) I rnÍrr,d -o o-or('3
b) 
"T 
rnf n ta e não-
,13
C, : f rrta
5
d) 0,202002000...
lnÍinita e náo-perlódlcr
oe)''2
f) 2,161616...
il ^lto
h) 5,131131113...
oz
E
E-
E
ôô
.e
s,
o
2 Usandoumacalculadora,Betocalculou "l 40 .
Veja o resultado que ele obteve: 6,32455532... Are-
presentação decimal de "vEO e infinita e periódi-
ca ou infinita e não-periódica?
lnfinita e náo-oer ódica
ffimsE
3 Identifique como número racional ou
número irracional.
a) f)
6,25 ,: 5,02
b) g)
$6+ 7
c) h)
2,010010001...
d)
J5o
e)
2,434343...
6,'t 6L661.666...
10
0,0025
23
b)
inteiro
d)
irracional
4 Usando uma calculadora, você quer deter-
minar "h9r69 .No visor da máquina vai apare-
cer um número racional ou irracional?
a:l .,,,; i.'
5 Qual é a forma decimal, com aproximação
até a2a casa decimal, do número irracionat .vríZ
/."
(5 Dentre os números, identifique os racionais
r.,< i-i:!i-ars :' 'ri
-6 -2,1,71171717... -1,5
o"T+
5
7 (Saresp) Iosé, com sua calculadora, determi-
nou o valor de ^/50 " 
obteve como resultado
7,0710678... Pode-se provar que esse número tem
infinitas casas decimais e não é dízima periódi-
ca. É, portanto, um número:
a) c)
2
J
irracional
b)
natural
racional
d)
inteiro relativo
€B (Saresp) Calculando-se ",/30 , obtém-se
5,4772255..., número que tem representação de-
cimal infinita, mas não édizimaperiódica. Con-
clui-se então que 130 é um número:
a) c)
natural racional
--]
Unn ní,maro irraciona/" 'anta: o ninnero n (
lmagine que as três circunferências da fígura foram cortadas no ponto indicado prela tesoura e
que a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
A medida de cada segmento obtido representa o comprimento de cada uma das respectivas
circunferências,
Podemos estabelecer uma relação entre a medida do diâmetro e o comprimento da circunferên-
cia. Essa relação é obtida dividindo-se o comprimento da circunferência pela medida do seu diâmetro.
Veja as seguintes situacões:
1ê Se medirmos uma moeda de 1 real, encontraremos, aproximada-
mente, 84,9 mm de comprimento da circunferência e 27 mm para a
medida do diâmetro.
medida do diâmetro
comprimento 84f mm :3,1444...
lt mm
22 Se medirmos uma lata de refrigerante, encontrare-
mos, aproximadamente,220 mm, de comprimento da cir-
cunferência e 70 mm de diâmetro.
comprimento 220 mm
3,1428...
medida do diâmetro 70 mm
Nas duas situações, ao dividir o comprimento da
circunferência pela medida do diâmetro (na mesma uni-
dade), encontramos sempre um número maior que 3 (apro-
ximadamente 3,14).
Pode-se verificar que esse fato se repete para qual-
quer circunferência, ou seja, dividindo-se a medida do com-
primento de uma circunferência pela medida do seu diâ-
metro, obtém-se sempre o mesmo valor.
Esse valor constante representa um número muito
impontante em Matemática: o número pi, representado
pela letra grega'rE.
Então:
comprimento da circunferência :7r e n-3,14159265...
24
medida do diâmetro
a7
14
CurÍosÍdade de um importante número irracÍonal
Memorizando o valor de n até a 54 casa decímal
Existem várias frases que ajudam a memorizar o valor aproximado do número r. Veja esta frase
mnemônica que permite lembrar esse valor, até a 5a casa decimal:
Aproveite e procure no dicionário o significado da palavra "mnemônico".
sim,éúti efáci
_3,1415
Por ser um número irracional, nas aplicaÇões utilizamos uma aproximacão do valor de n, em
geral 3,14. Em muitas calculadoras há uma tecla que fornece o valor de r, com um número maior de
casas decimais,
Observe os seguintes exemplos:
I Uma circunferência tem 10 cm de raio. Qualé o comprimento aproximado dessa circunferência?
(Use para 7r o valor 3,14.)
Se representarmos por C o comprimento da circunferência e por r a medida do raio, podemos
escrever uma fórmula matemática:
comprimento da circunferência
medida do diâmetro- 
: 
^
C
;: rc = C:n.2r = C:2nr
Pelosdadosdoproblema,temos:C=2nr + C - 2.3,74.10cm + C - 62,8cm
Entã0, o comprimento aproximado da circunferência é 62,8 cm.
2 Medindo o comprimento de uma circunferência, encontramos 18,84 cm. Qual é a medida apro-
ximada do raio da circunferência?
C : 2nr = 18,84 :2 . 3,14 .r + 18,84 - 6,28r
Resolvendo a equacã0, cuja incógnita é r, temos:
6,28r-18,84 =r- 
19'§=4 +r:3cm
6,28
Entã0, a medida aproximada do raio dessa circunferência é 3 cm.
25
L Use 3,14 para o valor de n e calcule o com-
primento aproximado de uma circunferência de
ra10:
a) 9cm b) 1,5 cm c) 0,25 m
2 Sabe-se que o comprimento de uma circun-
ferência é 50,24 cm. Determine a medida apro-
ximada do raio dessa circunferência. -
3 Veja a medida do diâmetro de um pneu de
autornóvel:
0,60 m
a) Qual será, aproximadamente, o comprimen-
to da circunferência dessa roda? r,esa 
"-
b) Se essa roda der 5 000 voltas completas, de
quantos metros será a distância percorrida pelo
automóvel? g +zo n
4 Urnacircunferência com 20 cm de raio foi di-
vidida em quatro arcos de mesmo comprimen-
to. Qual é o comprimento aproxirnado de cada
afco? 3r,4 cm
5 Um quebra-luz circutrar tem 12 cm de diâme-
tro e necessita de uma fita que ernvolva a sua
base. Que comprimento de fita ser:á necessário?
lr 03 :- 'r
6 Medindo o contorno de uma peça circular
com uma fita métrica graduada, Juca encontrou
94,2 cmde comprimento. Qual é a medida apro-
ximada do diâmetro dessa peça cllrcular? go.,
O ,* 
"ro 
n e coúleciío frwpeto
ÍÍtgnos 4000 ütos.
O papiro de Ahmes, assim chamado
em homenagem ao escriba que o copiou por
volta de 1650 a.C., nos mostra queos mate-
máticos egípcios utilizavam o valor 3,16 para
o número fi,
Aobngodos anos o númerc)n recebeu
a atenÇão de vários matemáticos. ConheÇa
alguns deles e suas contribuiÇões.
fl(u rrrora de 1600 a 1700, o valor
de n chegou a ser calculado conr 30 casas
decimais.
oz
o-
oê
.a
P.o
a
AE contribniçô eE de Srandas nnalen^í^ticos
26
ARQL]IMEDES
Adotado pelo
matemáüco suíço
Leonhard Euler
(1707-1783) em 1737,
o símbolo n passa a ter
aceitacão geral.
2etB
1,25 e R
Na Grécia antiga,
Arquimedes
atribuía a Tc um
valor intermediário
. ^1ênttê 3 - E
^10 /5n.
0 matemático
chinês Tsu Ch'ung
Chih, por volta de
480 da nossa era,
chegou a um valor
intermediário entre
3,1415926 e
3,1415927,
resultado
surpreendente para
a época.
LAMBERT
Em 7761, Johann
Heinrich Lambert
(1728-1777),
matemáttco nascido
em Mulhouse
(Alsácia), então parte
do território suíco,
foi o primeiro a
provar que o número
n é irracional.
J
7 0s nittnqro5 rac^15
A união do conjunto dos números racionais com o conjunto
dos números irracionais é um conjunto numérico denominado
conjunto dos números reais, representado por R.
Assim:
lR = conjunto dos
números reais
-5ep
-0,48 e rB
2,030030003... e p
-a=nb
3
4
ctR ne[R
1,666... e rB.,/to e rB -Jíep
27
-2,1333... c tR
,l
n
t)
E
U
L
E
R
Como podemos notar, os conjuntos numérícos N, Z e Q e o conjunto dos números irracionais
são subconjuntos de R,
Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados:
IR. : cofljunto dos números reais não-nulos - '--'-' números reais + 0
R* : conjunto dos números reais não-negativos -----* nÚmeros reais > 0
R- : coÍrjunto dos números reais não-positivos números reais < 0
Ri: conjunto dos nÚmeros reais positivos 
-.-'' 
números reais > 0
Numa reta podem ser representados todos os números racionais e todos os nútneros irracio-
nais, ou seja, podem ser representados todos os números reais.
Essa reta é denominada reta real.
-l-3' -z l-1 lol t I z I s 4irttit
-8 -^i, -1 1- "T 
g
3 '- 4 4 3
Quando estudarmos os triângulos retângulos aprenderemos a representar com rnais precisão
os números irracionais como ",[T , -{r, ,8, -Jí.
As
Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos N, Z, Q e
irracionais. Assim:
) no conjunto N, nem sempre é possivel subtrair, dividir ou extrair araiz quadrada exata.
) no conjunloZ, nem sempre é possível dividir ou extrair araiz quadrada exata.
) ncr conjunto Q, além da impossibilidade da divisão por zero, nem sempre é possível extrair a raiz
quadrada exata,
Porém, no conjunto tR dos números reais, efetuamos qualquer adição, subtraçã0, multiplicação
e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz- quadrada de
qualquer número positivo.
Vale lembrar que há uma restrição: araiz quadrada de um número negativo não representa um
número real, pois não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê como resultado um
número real negativo. Então, por exemplo, J-4 É n.
28
cot^^ níMero5 ra(^i5
Vejamos alguns exemplos de operaÇões com números reais.
1 Calcule, com aproximação até a le casa decimal, o produto 6. {T .
JT : 2,6 = 6. ",lT : 6. 2,6: 15,6
0 valor procurado é 15,6.
2 Calcule ,t- .
,to :16.3.3 3 : rE1 :9
Logo, o valor procurado é 9.
3 Com valores aproximados até a 2? casa decimal, determine Jt t + r,8.
{'11 :3,31 e ^lí -2,23
.,,rit +xF-3,31 + 2,23-5,54
Entã0, o valor procurado é 5,54.
São dados os números
1
^ 
a.) La 1,r 4 o 0,666.,. 1, Jg
Quais deles pertencem ao conjunto:
a) N? o;r
b) Z? 4;o,1
c) Zrnas não pertencem a N? 4
d) Q mas não pertencem aZ. -2,3;
2 Quais dos números seguintes são:
6 .,16 6,6 -6
a) reais e naturais? o
b) reais e inteiros? o" -o
c) reais e racionais? o; ô e 6,6
d) reais e irracionais? 6
3 Qual dos os números reais
maior? !
4 Usando os símbolos C ou É, estabeleça a re-
lação entre:
a) 100 e [R* e
b) 100 e [R* e
c) 100 e lR- e
d) nqe[R e
5 Com valores aproximados até a 1a casa deci-
mal, calcule:
il "lT * rE oe
o JT'^lT 
',u
c) Jí - (-r,E) e,n
d) 8' J3 rg,o
6 Qual é o valor da expressão
3
4
- 1 oooo
4
r, 22r,/5 e 
9
e) -"Ee[R e
f) 44 eR e
il -TEe[R- e
h) 2,66... e [R-. e
e) --fiO - nT 4,s
Í) -ulio 
' nE ,,0
g) -1 + ^,lT ta
h)5-J5 ,,u
-1'2+(+)' ?
xarclcl(r5
, €o
29
fr* 
,.ndo o qwa aYtrandeu
-l- Sabe-se que o número 3736 é um número
natural quadrado perfeito. Se o número r expres-
saaraizquadrada exata desse número, qual é o
valor de r?
12 LTm dos números a seguir não representa nú-
mero real. Qual é esse número?
"lí J36- -",1e J-1 Jo
'.3 A medida oficial do diâmetro de uma cesta
de basquete é 39 cm. Qual é o comprimento do
aro clessa cesta?
4 Os números Í e y representarn, respectiva-
mente, as raízes quadradas exatas dos números
51,,84 e 40,96. Qual é o valor de x '- y? c a
Sabe-se que a área de um terreno quadrado
764m'. Qual é o perímetro desse terreno?
168 .r
16 Em um parque de diversões, uÍrr ccürossel tem
5 m de raio. Quem estiver sentado em um brin-
quedo desse carrossel, quantos m,etros percorre
quando o carrossel dá uma volta completa? sr,a n.,
7 Sáodados os números a,b, c tait; qui. u : "lT,
b : J3 ". 
: 18. Qual é o valor aproximado,
com uma casa decimal, da expressão a * b - c?
Saiba mais a respeito da polegada
Quantos centímetros tem uma polegada?
Na Inglaterra, desde 1,878, a unidade fundamental do sistema inglês para medida de
comprimentos é a j arda imperial.
A jarda equivale a0,91.44 metros. Entre os submúltiplos da jarda, vale a pena citar:
o pé, que equivale a 30,48 cm a polegada, que equivale a2,54cm
A partir de 1q de outubro de 1995, o sistema métrico tornou-se obrigatório no Reino llnido. No
entanto, as unidades de medidas de distância, milha e jarda, poderão ser mantidas.
30
Você sabia que o tamanho apropriado de uma bicicleta depende da
altura de quem irá usá-Ia?
O gráfico abaixo apresenta o tamanho ideal do aro da bicicleia, de
acordo com a altura do ciclista.
Para uma criança cuja altura é inferior a 1 metro, sugere-se o aro 1.2.
significa que o diâmetro da roda, com o pneu cheio, é 12 polegadas.
Isto
Na hora de escolher uma bicicleta,
é preciso levar em conta a altura de
quem irá usá-la
ALTURA
Até í,00 m
Fonte: Revista Galíleu, ottt. 2OO7.
/toto écotr^ V".u
Calcule o comprimento da roda de aro 12, em centímetros, usando para fi o valor 3,14. Lembre-se
que para calcular o raio desta roda basta dividir o diâmetro por 2.
Observe o gráfico e calcule qual é a medida, em centímetros, do comprimento da roda de uma
bicicleta apropriada para uma pessoa que tem:
a) 7,25 metro de altura.
b) a sua altura.
1.
a
3l
ARO*
fi 12
fr De í,01 m a 1,20 m 16
t De1,21 ma1,30m 20
De 1,31 m a 1,50 m 24
Aclma de 1,51 m 26
' Em polegEdâs
Nào importa a iàade, nào importa a aidade, nào im7orta a claase socialt
o medo de eslar aaima ào peeo, a neaeeaidade de emagrecer é uma
preoaupaçào àe granàe parte àa populaçào brasileira.
Eu nào acho.
O seu IMC àeve eeíar
abaixo àe 25.
IMC?O,queéieeo?
I[/,C é oínàiae àe Maeea Corp1rea.
Usanào a sua allura e a eua
maooa, é Íácil ver se voaê eolá
acima ào peso aàequaào.
para\rdo^ |7
O aálculo é simplee.
Veja reeoe folheto;'r /i\v\- ,l
IMC
Abaixo de I 9
DelqârE
Acima de 25 a 30
t "'itffi"-,,-'r. :
eru .nesmã. ' '@ attura, ün;:t?uinrc:
_olVldd ê sua m:".- '(Ios, prt
Acina de 30 a 40
Tenho 1 metro e
57 aenlímetroe e
52 quilogramae,
_...," vc au 
Obesrdadt: 
grave
cfrlu'tl,o CtI
Agora é aô àiviàit 52,
que é o eeu ?eoo, ?ot
esae reaultaào.
No seu caoo,temo6 que
multiplicar 1,57 por 1,57.
O seu peeo eatâ
aàequaàol
Toeeo até en1oràar
um pouquinho,,.
Outro moào àe repreeentar o aâlaulo do IMC é uear a linguagem algêbriaa, ou eeja,
por meio àe uma expreoeào na qual lelras oào usaàa6 noe lugaree àos númerosz
IMC : m, a'
m repreeenta a maeea em quilogramae
a re?reoenla a allura em metros
Alinguagem algébrica é um inotrumento muito útil na reoolugào àe problemae,
Que tal àeecobrir agora o seu IMC?
0 ugo dre- l,qt r at (t ar o, r afi r a5qnl ar núAnqr 05
lftongi,,ilol", afa{ta íe sím6o[os parahíiur números desconfuslos (wou o
fwletll aÍecorrer às pa[avras.
Ãro, porém, tornava o cálculo longo e complicado.
Os filósofos gregos Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século lll a.C.) foram os que
deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e expressar
a solução de um problema.
ut
ü
Euclides bproximadamente 300 a.C.)
t {RTSTOTELE§
Aristóteles 884-322 a.C.)
IÊTEU
O cáculo literaltrouxe enormes progressos
E;ntetanto, muito tempo iria passar até as
letras serem amplamente usadas para indicar
quantidades desconhecidas. lsso se deveu,
principalmente, ao alemão Stifel (1486-1567)e aos
italianos Cardano (1501-1576)e Bombelli, este último
autor de uma obra de notável interesse, intitulada
L'Algebra, publicada em 1572.
foi, porém, um advogado e matemático
francês, François Viàte (1540-1603), quem
introduziu o uso sistemático das letras, para indicar
números desconhecidos, e os símbolos das
operações, usados até hoje. Por esse motivo, Viête
é conhecido como o pai do moderno cálculo lrteral.
para a Matemática e, com o passar do tempo,
assumiu a forma atual.
-
F rancois Viéte (1 540-1 603)
I"( ;
;r)
objetivo zrao de indicoà
os operoções motemóticas de
umo formo mois simples e
A portir do sáculo XVI, os
motemóticos inicíorom o prático de
representar números
desconhecidos por meio de letros
)
)
)
)
Assim, se a e b representam dois números reais quaisquer, indicamos:
por a + b ou b + a, asoma desses dois números.
por a - b, a diferenÇa desses dois números.
por ab ou ba, o produto desses dois nÚmeros.
pora : bou por 9, .0, b + 0, a divisão de aporb.
D
Por outro lado, se ú representa a medida do lado de um quadrado, temos que:
4 . ( ou 4( indica o perímetro
desse quadrado.
(2 a área desse quadrado.
L lndique:
a) o quadrado do número real x x'
b) o cubo do número realy y'
c) araíz quadrada do número reala -vã
d) a quinta potência do número realb b5
e) a soma dosnúmerosreais b ec b+c
f) o produto dos números reais a e x ax
g) o dobro do número rcaly 2Y
h) a sexta parte do número realm
2 Usando duas letras quaisquel, escreva:
a) o dobro de um número real adicionado ao
dobro de outro número teal. z, + zy
b) o produto da soma pela diferença de dois nú-
meros reais quaisQuer. (x + y) (x - y)
c) a soma dos quadrados de dois números reais
quaisquer. ,' v'
d) a soma do quadrado com o triplo de um nú-
mero qualqueÍ. x2 + sx1
6
35
L
ninnar ot dqEcon üreci dot
1 Lxp r etsó 
qE al,1&tric.r^t ow l,it qr at5
Sabemos que podemos usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., ffi,0, ..., X, y,z)para representar
números reais.
Consideremos, entã0, as seguintes situacões:
lÊ Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular representacla a seguir?
) A base do retângulo da piscina é expressa pelo número real x.
) A largura, pelo número real y.
0 perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. Então, a
expressão pedida é:
2.(x) + 2.(y) ou 2x + 2y
22 Observe a seqüência de figuras:
11
a) Quantos há na 4q tigura? E na 5e figura? E na 6e Íigura?
) Cada figura, a partir da21, tem a mesma quantidade de da figura anterior, mais zl
) Na 4e figura basta contar a quantidade de . São 13
Logo, a 5e figura tem 17 ffi e a 6e Íiguratem 21
36
tt I
'íe
I
x
b) Qual é a expressão que representa o número Oe I na enésima figura, isto é, na figura de
posição n?
Podemos relacionar o número Oe I com a posição da figura na seqüência:
1e figura ----------> 1 + 4' 0
2efigura----------) 1 + 4. 1
Note que o número que multiplica o 4 é sempre o número da posiÇão menos 1. Então na posição
n, a quantidade de I e OrO, pela expressão:
l+4.(n-1) ou4n-3
3c Qual e a expressão que representa a área total do terreno da figura?
) A área total do terreno é igual à soma das
áreas das partes e @.
) Como a parte é um retângulo, a sua
área é expressa por ab.
) Como a parte é um quadrado, a sua
área é expressa por c2.
Entã0, aárea do terreno é expressa por
ab + c2.
41 ParaÍazer um carreto, Gerácimo cobra
uma taxa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 Por
quilômetro rodado. Quanto ele cobra por um
carreto com um percurso (ida e volta) de x
quilômetros?
Como cada quilômetro rodado custa
R$ 1,50, então paraxquilÔmetros o custo é de
1,50x reais.
Logo, o preÇo P do carreto é dado Por
P:40+1,50x.
37
Nas situações apresentadas, escrevemos expressões matemáticas nas quais aparecem números
e letras, ou somente letras. Essas expressões matemáticas são chamadas algébricas ou literais.
2x+2y ab+c2 40 + 1,li0x
Numa expressão algébrica, as letras, que normalmente representam números reai:;, são chama-
das variáveis.
Quando a expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador é chamada
expressão algébrica inteira, tais como:
Uma expressão matemática que apresenta números e letras,
ou somente letras, é denominada expressão algébrica ou literal.
A Palavra literal vem do
latim litlera, que
significa "letra" '
Assim, são expressões algebricas ou literais:
A palavra álgebra vem do árabe
al-jabr, e representa uma regra
para tansformar uma igualoiade
em outra equivalente.
3a-2c
10
2 Quat é a expressão algébrica que represen-
ta o perímetro de cada uma das seguintes fi-
2x+3y
Quando a expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador é charnada expres-
são algébrica fracionária, tais como:
x-y a2 +ax
L Uma caneta custa r reais e uma lapiseira cus-
ta y reais. Qual é a expressão algébrica que você
pode escrever para representar:
a) o custo de 2 canetas e
5 lapiseiras z* + sy
b) a diferença entre o
preço de uma caneta e o
preço de duas lapiseiras
x-2y
2a1
x
b)
guras?
x
xy2
5
38
3 (Saresp) Uma locadora cobra R$ 20,00 por dia
pelo aluguel de uma bicicleta. Além disso, ela
também cobra, apenas no primeiro dia, uma taxa
de R$ 30,00. Chamando de r o número de dias
que a bicicleta permanece alugada e de y o va-
lor total do aluguel, é correto afirmar que:
a) y:6oox
b) Y:59*
c) y:30x+20
d) Y:20x * 30
4 Qual é a expressão algébrica que você pode
escrever para representar a área da figwa? n*v
I
lv
t
5 Marflia tinha x reais. Foi a uma livraria e com-
prou 3livros. Cada livro custou y rcais. Qual a
expressão algébrica que você pode escrever para
representar a quantia que restou para Marflia de-
pois de pagar os livros? * :y
6 Escreva a expressão algébrica que rePresen-
ta a área da figura abaixo. u'* u.
'7 Escreva a expressão algébrica que representa:
a) a soma do dobro de um
número x com 10
o quociente do número x
pelo triplo do número y
a diferença entre o quadrado do
número a e o cubo do número b
3V
a-D
b)
c)
o)l l- n-0,
20+m
o número z multiplicado pela
diferença entre os números a e bqlrgl elrçd cltLrc Lr> l lulllEl uD 4 E u
o dobro do número p aumentado
do quadrado do número m
e)
s) o triplo do número b diminuído
do produto do número apelo
número c
lb-ac
€3 Use uma expressão algébrica para resPon-
der cada pergunta:
a) Quantos dias há em um período de r sema-
nas mais 2 días? 7x + 2
b) Quantos meses há em um período de y anos
mais 5 meses? 12y + 5
§) A expressão algébrica representada pelo
cubo do número a dividido pela soma do nú-
mero L com o dobro do número b é inteira ou
fracionária?,ut.,,Íracionária
a diferença entre o cubo do
número a e o cubo do número b
39
at b'
É divísívet ou não é?
Você saberia dizer, sem efetuar a divisão, se 4Z2S é divisível por 9?
Lembrando dos critérios de divisibilidade, já estudados, você diria que 4225 é divisível por 9
pois a soma4 + 7 + 2 + 5éiguala18e18édivisívelpor9.
De fato, essa afirmação vale. Mas, por quê?
Para isso vamos verificar que:
4725 :4 000 + 700 + 20 + 5
4725 : 4. 1 000 + 7 . 700+ 2. 10 + 5,<--\
4725: 4. (999 +'1) + í . OS + 7)+2.(9+1)+5
4725 : 4. 999 + 7 . 99 + 2. 9 + 4 + 7 + 2 + s
4725 : 4. 777. 9 + 7 . 77. 9 + 2. 9 + 4 + 7 + 2 + s
14 parcela 2a parcela
A 1a parcela é um número divisível por 9 pois é um múltiplo de 9. Então, dizer que 47'25 é
divisível por 9 equivale a dizerque a2a parcela também o é.
Mas será que esse critério funciona para outros números?
Para saber, vamos recorrer à álgebra.
Considere o número abcd e as seguintes passagens:
abcd : a. 1 000 + b. 100 + c. 10 * d
abcd : 999. a + 99.b* 9. c * a * b * c * d
abcd :.9 . (111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
1a parcela 2a parcela
A 1a parcela é um múItiplo de 9 e, por isso, é divisível por 9. Logo, para o número abccl ser
divisível por 9, basta que a2a parcela (a + b + c + d) também o seja.
fr"r" dcon^ ff"a,
Sem efetuar a divisão, responda:
a) 807 é divisível por 9? Por quê?
b) Dê o valor de r para que o número 8x7 seja divisível por 9.
c) Mostre quesex * yédivisírrelporg, entãoonúmeroxy,formadopelosalgarismosÍey,
também é divisível por 9.
40
de wtvc^ ax?ra5tõnçt
Vamos analisar duas situacões.
21, Um
terreno:
l-a Angela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema.
No domingo, cada entrada custa 12 reais.
Logo, pelas 3 entradas elas devem pagar
3x:3.(I2):36reais.
0 número 36, assim obtido, chama-se va-
lor numérico da expressão algébrica 3x, quando
x: 12.
Na quarta-feira, cada entrada custa 9 reais.
Logo, na quarta-feira elas devem pagar
Se a entrada custa x reais, a expressão algébrica que representa o gasto delas com a entrada é 3x.
3x:3'(9) :27reais.
0 número 27, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica 3x, quando x : 9.
terreno tem a forma da figura, na qual estão assinaladas as medidas dos lados desse
A área desse terreno é dada pela expressão algébrica:
bc+a2
a do quadrado de lado a
área do retângulo cujos lados medem b e c
Vamos supor que:
) 0 lado do quadrado mede 20 unidades de comprimento.
) As medidas dos lados do retângulo são 16 unidades e 12 unidades de comprimento.
Nessas condições, a área desse terreno será:
a2 + bc : 202 + 16 . 12 : 400 + 192 : Sg2unidades de área
41
a
O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica bc + a2, quando
a:20,b:16ê,c:12.
Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica por números e r:fetuamos os
cálculos indicados, obtemos o valor numérico da expressão algébrica dada.
Veja outras situações:
l? Dadaaexpressãoalgébricamn - m2,determinaroseuvalornuméricoquandoÍn:1,1 en:0,8.
mn-m2:
: (1,1)' (0,8) - (1,1)2 : ------------> substituímos as letras por números
: (0,88) - (1,21): 0,88 - L,27 :
: _0,33 valor numérico procurado
22 Qual é o valor numérico da expressão (x + y) . (x - y), quando X :
(x+y1 '(x-y) :
:l++ (-1)] 
t+ - 
(-il] :------------> substituímos astetraspornúmeros
:[+-,] [+.,] :[+-+] t+.+l :(-
+ "Y: -t?
+) (.+) :
33 Determinar o valor numérico da expressão
algébrica \' - 3Y ,quando Y,:-20 y : -4.
3x+Y2
5
9
x2-3y
3x+y2
?A2 - 3.(-4)
3. ç2]r + l-412
(+4) - (-t2)
valor numérico procurado
+4+72
: ----------+ substituímos as letras
por números
^4'.-'E28
4Alt!r38
4 4 4 -t20
30 26 22 26
Descubra os valores "escondidos"
pelas figuras.
Õ
2
a6
V(-6) + (+16) -6 + 16
--16 --8 valornumérico:f-:t- 10 5 procurado
42
xarclcl(75
a) x:4 o
b) x: -*3
Qual é o valor numérico da expressão
- xy quando:
a) 1: 2ey:6t +4
b) x : 0,4 ey : 7,2? 0,16
2Dada a expressão algébrica 5x2 - 18x - 8,
determine o seu valor numérico quando:
23+-
Ã
3 Qual é o valor da expressão algébrica
1
^/x + -.- - a, quando *: 4? - i
4 Sendo p = jl+l1 determine p e o valor
numérico da expresÍão algébrica a seguir, quan-
doa:5,b:13ec:10.
5 Aexpressão algébri"u 
^p - 
+* represen-
ta número;eal quando d:7,b: -4, c : 5?
/ Náo, pois -4 náo repÍêsênta rime.o reat
mérico da expressão algébrica
(-a-b)(a+b)+ab3-
7 Yerifiqtte se vale a igualdade
-2xs 
+ 4x2 +3x + 6 : 0,sendo x : -2. srm
€3 Dada a seguinte expressão algébrica deter-
mine o seu valor numérico para x : -L e y : 3.
a2
b
p(p-a)(p-b)(p-c)
43
, quandox:10ey:5 +
9
x:
a) 76
b) 72
c) 10
d)2
L I- Uma empresa resolveu anunciar um de
seus produtos na televisão. Constatou que hou-
ve um aumento nas vendas a partir de então.
O departamento de marketing verificou que o
número de produtos vendidos no mês podia
ser representado pela expressão algébrica
É* + 40 onde z representa o número de anún-z
cios na televisão durante o mês.
Nessas condições, quantas unidades desse pro-
duto foram vendidas:
a) em novembro quando foram feitas 30 apari-
ções na televisão? 85 unidades
b) em dezembro, quando foram feitas 50 apari-
ções na televisão? 11b unidades
L2 Determine o valor numérico das seguin-
tes expressões algébricas:
(Saresp) O valor numérico da expressão
x', para x iglual a2 é:
^2 - o^\4Laa) +, quando a: 4 q{a
b) m2 - 2mn + n2, quandom : -L en :
Dados a : 5,b : -9 ec : -2,qualovalorde
?
,quandoà:8,x:10em:9+
, eüandox:
2a
c)
1zs
4 16
*',: -' +l
d) 3(x2 -fl- 10(x+y).(x-y),quandox: -20
e) (a - b)'- c2,quando ^: !,b: 1ec: -1-
42
^ I -Xf) xy + 1, quandox : 0,5ey : -8 o,zs
*'-y'
x'+y'
,1v+ 
-.1x+-
v
8)
h)
p : 14; valor numérico: 504
a'+ax
m
1 U nna conti d,zr acpno iltnpor tanla-
Existem expressões algébricas fracionárias que não representam número real peva determína-
dos valores atribuídos às letras (variáveis). lsto acontece quando esses valores anulam o denominador
da expressã0, pois, como sabemos, não existe uma divisão por zero. Assim:
) A expressão -L não representa número real quando x : 0.
x
) A expres sao u + ? não representa número real quando à : !.' a-l
Na prática, determinamos o valor para o qual a expressão não representa número real, igualan-
do o seu denominador azero e resolvendo a equação obtida.
Vamos ver duas situações:
13 Para qual valor de x a expressão algébric, á_| não representa número real?
2x-l:0= 2x:I-*:+
0 valor procurado é 1z
22 Qual deve ser o valor de x em função de y, para que a expressão algébrica
sente um número real?
lgualando o denominador da expressão a zero, temos:
x-Y:0 = x:Y
0 valor procurado de x é y.
x+y
x-y não repre-
L Determine os valores das variáveis para os
quais as expressões algébricas a seguir não re-
presentam números reais.
2 Determine o valor de x em furrção de y, para
que cada expressão algébrica seguinte não re-
presente um número real:
44
. x-\r
2x+Y ?
ft*ando 
o qwa aPre-ndew
L SeA : ..*Y-.,comx : O,4ey : O,S,qualéx-y
o valor de A? 2
2Sabendoor"i 5 4 d, 2: a eque b 
: 5'
qual é o valor numérico da expressão
ac - 2bd
- 
z llseaProPtiedade
2ac -l bd ' 
fundamental 
das proporções.
3 Sabe-se que a* : 1.0. Qual é, então, o valor
numérico da expressáo 4. a" + 2. a2"? 240
4 Qual é o valor de A - B, sendo Á o valor
5 Um grupo de estudantes de meteorologia
pesquisou as variações de temperatura em
uma certa cidade. Após longa coleta de dados,
o grupo concluiu que a temperatura podia ser
calculada pela expres sao -ltz + 4t + 10, na6
qual Í representa a hora do dia.
Responda:
a) Qual a temperatura na cidade às 12 horas?s+.c
b) Qual a temperatura na cidade às 18 horas?ze.c
c) Nesse período de tempo, a temperatura na
cidade aumentou ou diminuiu? De quantos
graus centígrados? Diminuiu de 6 "c
6 Onze jogadores disputaram um torneio
de damas. Cada participante jogou duas parti-
das com os demais, uma em cada turno do tor-
neio. No final, dois jogadores ficaram empata-
dos em primeiro lugar e houve um jogo extra
para determinar o campeão. Sabendo que o nú-
mero de partidas disputadas durante o torneio
é dado pela expressão n(n - 1) + 1, onde n re-
presenta o número de participantes, quantas
partidas foram disputadas até se conhecer o
campeão? 111
45
LEtwdo d,og
G 0,,,u o* :: Íll; il: i:#; fruit a M ate m a,à
Pon pouco
POUCO
Muito pouco...
Um oompulaàor àa universlàaàe àe Oxford, trinia anos apôe o io6o cotr, a
Alemanha, mootrou que o qol que àeu o campeonato mundial àeluteloolà
lnglaterra não exiatiu àe Íatoz abola aaiu àols oen{rmelros e meio aníes àa ,:'
linha àe gol. §:
| /z2tt
oLi nô n^iot
Pon Foro DA bolo
A superflcie planificaàa àe uma bola de futebol ê formada por
pentágonoâ e ?or hexâgonoe aoeturaàoo lado a laào,
A medida x àe aaàa laào varia cotn o !,amanho àa bola e o comprimento àa
aoatura, Essa meàida x podeeer re?reeentaàa ?or um monômia
E o que varnoo
ver aqora,
/
l0 [4onô nnio owlern^o aL1&trico
Considere as seguintes situaÇões:
13 A figura ao lado é um triângulo eqüilátero.
Seu lado mede x unidades de comprimento.
A expressão algébrica que representa o
perímetro deste triângulo é 3x.
2? Um picolé custa y reais.
A expressão algébrica que
representa a quantia que Cido vai
gastar comprando picolés, um por
dia, durante uma semana é 7y.
3e Essa figura é.um Quadrado.
a
42 0 meu aquário lembra um bloco retangular.
As dimensões desse bloco retangular são: comprimento : a, largura : b e altura : c,
A expressão algébrica que representa o volume desse bloco retangular é abc.
Essas situações mostram expressões algébricas representadas por uma multiplicaÇão de nú-
meros e variáveis ou por uma multiplicação de variáveis.
Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou termos algébricos.
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica
inteira representada apenas por um número ou apenas por uma
variável ou por uma multiplicação de números e variáveis.
A medida do lado desse quadrado é a unidades
de comprimento. A expressão algébrica que representa
a área desse quadrado é a2.
48
Assim, são monômios:
abc
Geralmente, um monômio é formado por duas partes:
) Um número chamado coeficiente numérico do monômio.
) Uma variável ou uma multiplicação de variáveis (inclusive seus expoentes), chamada parte literal,
Observe os monômios:
7y3x a2
f* coeficientenumérico
3x
L-- parte literal
coeficiente numérico
- 10a3b*5, 
parte literat
coeficiente numérico
I
coeficiente numérico
ugy
L--* parte titeralparte literal
0bservações
) Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicaÇão, convencionou-se que:
lx:x 1aax3 : aax3 1mn2 : mn2
-1x: - x -1aax3 : -a4x3 -1'mn2 : -mn2
Quando o coeficiente de um monômio é 0, o monômio representa
sempre o número real zero e é chamado monômio nulo.
0x:0 0aax3 : 0 0mn2 : 0
O coeficiente numérico
desses monômios é 1.
O coeficiente numérico
desses monômios é _1.
mÍ1tr]
I0t nnatefr^c^tico5 a oE owtros
sínnboio5 f ar o, rapra5qnt ar níAneroE
O s nwtemaúcos, júnaAnagiiíaíe,
settttrüfl neres siínle de usqr outr o s
símb o{o s p ara repres efltar flutrwr o s e
re[aç.ões. Entre etes, Etrctiles, e sté o
fto toÍo gr eg o Anstóte[es.
Ao bngo do tempo, a história
da Matemática passou a destacar
outros e notáveis nomes de
matemáticos fazendo uso de letras
em seus cálculos, tais como:
Fibonacci, Cardano, Bombelli, Stifel e
Viàte.
üerr,convém lembrar, foi o
responsável pelo uso sistemático de
letras nas relações matemáticas, fato
que propiciou o desenvolvimento do
Cálculo Algébrico, o que permitiu,
entre inúmeras aplicações, que
problemas complexos passassem a
ser reduzidos a relacões matemáticas
simples.
L LIm doce custa r reais. Zuleide comprou 5
desses doces. Qual é o monômio que representa
a quantia que Zuleide pagou pelos doces? 5x
2 A,ârea de um retângulo é dada multiplican-
do-s,e o comprimento pela largura. Qual é o
moniômio que representa a área do retângulo a
seguir? ah
3 Em uma rodovia, os automóveis pagam, em
cada um dos y postos de pedágio, R$ 6,2.0. Qual
é a expressão algébrica que reprersenta o valor
arrecadado com Í automóveis qure passam ern
todos os seus postos? o,:zo"y
4 O volume de um cubo é dado pelo cubo cla
medida de sua aresta. Qual é o rnonôrnio qtre
representa o volume do cubo da Íigura? a."
OCARDIAI{O
Girolamo Cardano (1 501-1 576)
xa_rclcl(]5
b
a
50
5 Entre as expressões algébricas seguintes,
identifique as que são monômios:
a) x'y
b) _10
c) x+ 2y
d) -2,7bx2
e) 3a-2b
'1
0 monômio -tub é do 2e grau.
0 monômio 5,1y6 é do 6e grau.
0 monômio 10 é de grau zero.
L Entre os monômios a seguiç quais são os que
apresentam grau 4? 5a3b, -6m2n2
'*--l A +4 -,*1
2 QuaLé o grau do monômio 10a3x3y? z"s,u,
3 Qual é o grau do monômio msx3ya em rela-
ção à variável Í? s" s..u
1^
0 monômio -tu'O é do ls grau em relação à variável b,
6 Dados os monômios seguintes, identifique
o coeficiente numérico e a parte literal de cada
um deles:
a) 7a3
coeÍiciente = l, p iÍeral : a3
b) -xy5 0 a3xsf 3"il"1iiij.,,l,,coe[,c,ente= '1 :p literal :xy'
, 2 ,l.) -á*"',*,1".":"_^f , g) 6,2x3t' 3"i1"',;':"*l'
o Iiteral : m2na
d) -o,o6Lc' h) -2oa4bc3
coeficiente = -0,06; p literal : bc3 coeficlente : -20, p literal = aabc3
(l + L:2)
do expoente n para que
do L3e grau? n = e
5 Dentre os monômios2x3, - 7x,x6,9x4,1.2x2,
qual é o monômio de maior grau? *u
6 De acordo com o grau/ escreva os monômios
a seguir na ordem decrescente.
(r,' g'g t- g'
f) f*y'..
.x
$) 
- 
nao
h) y3 ..
.. 1
1) 
- 
nãoxy
o1 m4 .o"t,c'ente =, I
5 P. lrteral : m* 
-
stm
náo
Graw de wn^ ttnonôtvio
0 grau de um monômio com coeficiente não-nulo é dado pela soma dos expoentes das uariá-
veis. Exemplos:
I 0 monômio 6x2y5 é do 7e grau. (2 + 5 : 7)
4
0 grau de um monômio também pode ser dado em relacão a uma de suas variáveis. Nesse
caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. Exemplos:
1 0 monômio 3x2y5 é 6s )e flrau em relacão à variável x.
r X(-I-CICl09
51
-8a4, -6a3, 7a2, 1oa, 5
Plo nô ttnioE seu^el,üúnt eE
0bserve:
) Os monomios 10x2y , -t*'Upossuem a mesma parte literal: x2y.
) 0s monômios -4a2b2 e7a2b2 possuem a mesma parte literal: a2b2.
) 0s monômios 2,5x3 , **' e -4x3 possuem a mesma parte literal: x3.
Dois ou mais monômios que apresentam a mesma parte literal
são chamados monômios semelhantes.
Assim, são monômios ou termos semelhantes:
)10x2y , -t*'u
) -4a2b2 e 7a2b2
1^) 2,5x3 ; *xt e -4x3z
Não são semelhantes, por exemplo, os monômios:
l 6x2y e -4xy2 ) 2x3 , -i*' . -**
Adiçao aL$brica da- nnonônnios
Considere as seguintes situacões:
1! Qual e o monômio que representa a
ri ic
AEB
Para resolver o problema, representamos:
) a área do retângulo pelo monômio 5x
) a área do retângulo pelo monômio 3x
Entã0, a área do retângulo ABCD é representada por:
5x+3x:(5+J)x:8x
área do retângulo ABCD da figura?
t§r3
o o
22 A figura ilustra a parede lateral de uma escada com as medidas dos degraus. Qual é a área
dessa parede?
) A área da figura é dada por x . 6y ou 6xy.
) A área da figura é dada por x . 4y ou 4xy.
) A área da figura @ e dada por x . 2y ou 2xy.
Entã0, a áreada figura toda é dada por:
6xY + 4xY + 2xY : (6 + 4 + 2)xY : l2xy
Vimos, nas situações apresentadas, que podemos justificar os resultados dos problemas usan-
do a propriedade distributiva da multiplicaçã0,
Porém, a busca do resultado se torna mais simples se fizermos da seguinte maneira:
Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes,
podemos tornar mais simples a expressão somando algebricamente os
coeficientes numéricos e mantendo a parte literal.
Veja os exemplos:
5ax - 7ax: -2ax
L $-7)
-9a2b2+l3a2b2:4a2b2
| ' (-g+13)
luu'- *uu': -iuu'
3xY - xY :2xY
L (3-1)
5,7a2 + 1,9a2 - 6,2a2 :1,4a2
L--- ,U,, + 1,9 - 6,21
9mn-15mn+6mn:Omn:0
I ' (9-15+6)
(z 7 3 1)
l............_--:--:--l
[s 6 6 2)
1
3*'y -**' 4*y -f*', 1ox2 -xy
destaque os que são semelhantes a:
u) *'y
3x2y, --!x2y
5
6 Simptifique cada uma das seguintes expres-
sões algébricas:
a) 7x - (-2x + x) + (-3x * 5x) ro,
d) O,7x2y * 3,1.x2y 3,8x2y
f) **'y'* *"'t' - *"'t' - ,y
s) ay * *u, - 4ay -*.,
h) o,gabg + 2,5ab3 - s,2ab3 -1,8ab3
3 Dada a expressão algébrica
í"o'- ab2 + ]-aa2 + j-aa',pede-se:
a) a forma mais simples de escrever essa ex-
pressão fao,
b) o valor numérico quando a
c) o valor numérico quando a
Qual é o monômio quedevemos adicionar a
y2 para obtermos 9'x2y2? o.u
5 D,etermine o monômio que adicionado a
L Dentre os monômios
b) xy
4xy, -xy
c) x2
-)-*', to*'
2 EÍetue as adições algébricas:
a) a2 + 6a2 - 2a2 5a2
b) 17ax - 18ax -ax
c) xy* 3"--=-XV ! nv5Jb
e) 10bc - 12bc -f7bc - 3bc zbc
-2axdá:
a) 0 b) -4ax c) ax
zax 2ax
'8
: -1eb: -6
: 0,4 eb : -0,2
0,008
d) Sax
3ax
r b) 5y2 - (-4f + 7y2) + eyz + 9t' - 17y2) -u,
54
c) 10ab - [3ab - (ab + 2ab - 5ab) - 8ab] rsur,
d) zxy + [-Sxy + ky - (>ry + 4xy - 2xy) - 8xy]- 12xy
7 Considerando-se a expressão
20bc - l,-7bc - (11bc - 40bc- 6bc) + Sbcl,
pede-se:
a) o monômio que representa esser expressão
b) o monômio que se deve adicio:rar uo ,r,;'itd-
mio obtido para se ter 2bc r so.
€3 Um sorvete custa y reais. Andr:éia comprou
2 sorvetes, Joana comprou 5 sorrretes e Luísa
comprou 3 sorvetes. Qual é o monrômio que re-
presenta a quantia que as três gastaram juntas?
9 A figura seguinte é um modelo de bicicleta
reclinada. Observando-a, destacannos que:
) a medida do raio da roda maior ri 9x
) a medida do raio da roda menor é 5x
) a distância entre os pontos A e B é L8x
QuaI é o monômio que expressa a distância en-
tre os centros C1 e C2 das rodas? ::.
BÍcÍcletas reclínadas
O modelo banido
As bicicletas reclinadas aparecem pela primeiravez no final do século XIX com as bicicletas de
Macmillian e de Challand, na França. Em 1930, uma série de eventos ocorre para mudar a história
do ciclismo. Um francês, chamado François Faure, pedalou no Velocar, uma bicicleta reclinada
desenhada por Charles Mochet, que bateu num mesmo dia os recordes de milha e de quilômetro
num velódromo.
Este fato criou uma controvérsia dentro da União Internacional dos Ciclistas (U.C.I.), o órgáo
regulador do ciclismo internacional. O debate era se o Velocar era uma bicicleta e sobre a validade
dos recordes. Por fim, er;r1934, eles decidiram anular a validade do recorde e ainda baniram as
bicicletas reclinadas e todos os acessórios aerodinâmicos das competições. Poderiam eles imaginar
que esta atitude iria congelar o desenvolvimento das bicicletas e dos veículos de propulsão humana
por quarenta anos?
Só a partir da década de 7970, as bicicletas reclinadas voltam a surgir. Atualmente, três
brasileiros estão dando a volta ao mundo em bicicletas reclinadas, e chamam a atenção por onde
Passam.
F onte: http: I lwww. geocities,com f zohrer lhístoria,html
Mrí,ti ção de n^onôttnioE
lnicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade das potências:
a'.an:a**n,coma+0
Agora considere as seguintes situacões:
le Qual é o monômio que representa a área da figura seguinte?
A figura é um retângulo cuja área pode ser obtida multiplicando-se o comprimento pela largura.
Assim, temos:
(7x)' (3x) :7'x' 3' x : 7' 3' x' x : 2Ix2
-í -í
O monômio que representa a área é 2Ix2.
55
22 Qual é o monômio que representa o volume da figura seguinte?
A figura é um paralelepípedo retângulo e seu volume pode ser obtido multiplicando-se as três
dimensões: comprimento, largura e altura. Então, o volume será:
(6x)' (2x)' (3y) : 6' x' 2'x'3' y : 6. 2.3 . x. X. y : 36x2y-l- -7
0 monômio pedido é 36x2y.
As duas situações representam uma multiplicac o de monômios.
Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os coeficientes numérir:os
entre si e multiplicamos as partes literais entre si.
Exemplos:
I (5a4x3) . (2ax4):.(5) . (2) (,.-j) E_4 : 10a5x7
10 a4+r *3+4
2 (-*,,) (+.,) :(-+) (.#) (m2. m) a--íu,
)L1m"
5
3 (-l,4xy2l.(-0,3x2y) : (-1,4) .(-0,3) [,*') u1J :0,42x3y3
0,42 *1+2 yz+r
4 (-2ail.Uad. (10bc) : (-2). (7) . (10) q ,) q_!) !ry : -t4Oa2b2c2
_140 al+1 51+1 cl+1
56
L Calcule os seguintes produtos:
a) b5 'b3 o'
b) 5x6 'X 5x7
c) (-7y) .(-2y) t+v'
d) (-2a) . (**,') Z r
e) (1,5x) ' (-0,5xy3) -o,7sx2y3
0 (-+) (.+) -+
d (+f,-') (+^^) -.,..
2 Calcule:
a) (-5a4bc') . (-b'.) . (+4a2c) 20a6b3c5
ul (f *)'«+rorrl'(-3xy) -su*'v'
d @,st'). 1-0,3y) . (-ya),,rur,
d) (0,1xy) . 1ro0xy2) . (0,01x3) o,r"uy.
e) (-12mnnl (-f *'r'r) .«snnl 4om3n3p2
f) (-xzz) . Gxt' à . (xyz) xoyoz,
sl (+f "*') . (-+r") ' (+7mn) -za2m3n2
3 Determine o monômio que representa o perí-
metro da figura cujos lados medem 4n, cada um.
í
4 Escreva o monômio que representa a área do
retângulo da figura: f *'
ll
'31
-x4
5 Dados os monômios -2a2x e -16ax, deter-
mine:
a)
o produto
desses
monômios
32a-x'
b)
o valor numérico
do produto,
quando
1.a: x: _z_ 1
6 Efetue a multiplicação
(2ax) . (-*^"') .tu',r
e determine o valor numérico do produto para
a: -2 e x : -1. -]-aoxo, -+o
Com que monômio devemos multiplicar Sab
a ter 2Oazb? qu
€! Determine o monômio expresso pela multi-
plicação (-a) . (-m) . (-m') . (-a) e dê o valor
numérico desse monômio quando u : í "
Ín : -2. a2mt; 1
ual é o monômio que multiplicado por
ab2 dé^ +a3b3? - 3 .,b
LO A seqüência a seguir tem seis termos. Qual
é o último termo dessa seqüência? r6oarrb6
Sab 10a3b2 2oa5b3
57
LL Determineovo-
lume do paralelepípe-
do retângulo abaixo.
6*'y'
O aolume do
p ar al el eP íP edo r et ôngu-l 
o
é dado Pelo Produto 
de
suas dimensões'
L2 Cadaladrilho retangular da figara seguin-
te tem x unidades de comprimento por |* uni
dades de largura. Escreva o monômio'qr-ru."-
presenta aárea:
a) de cada ladrilho ; ,
b) ocupada pelos ladrilhos vermelhos o*'
c) ocupada pelos ladrilhos amarelos o'
d) total da figura ?.
I-3 Escreva o monômio que representa aârea
da figura formada pela composiçÍio das figuras
seguintes: *'u'
Algebra
volume : 2a' a' a: 2ar3
Iu
Veja o monômio que representa o volume de cada sólido:
volume:a'a'a:a'
-a
volume : 2a'2a' a: 4a3
1. Represente com um monômio o volume dos seguintes sólidos:
oaoaaaa
a
a
a
a
a
a
a
o
a
a
a
a
O
a
a
a
a
a
a
a
a
o
a
a
o
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3a"
a
o
a
a
o
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
o
a
a
a
a
a
a
o
a
a
1 4a3
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
O
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
-7 
a3
a
\ 4a'
2. Em uma malha pontilhada como a de cima, pinte um sólido com volume representado por:
a) 4a3 b) 9a3 c) 77a3 d) 20a3
DiviEâo de A^onôtnioE
Primeiro vamos recordar a seguinte propriedade das potências:
Agora considere os seguintes exemplos:
1 Calcular 72y5 i 4y3.
!2y5:4y':#:+ + :3y2II
3 y5-3
a
a
a
a
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
a':an:a'-',coma+0
59
3 Calcular (-2aaxy): (+3a2x).
(-2aaxy): (+3a2x) ::#:+ + + ,:-tu'uttlütt
2 ^4-2 í-TdL
4 carcurar (.i*,) (-*r,)
2 Calcular Q0a4b\: (-5ab).
2oa4b2 . aa y_: _4a3b
ab
tl++
A4-1 b2-l
X"Y'J
F lt-l1t
l\t\t\
? Ã )_Ex"" y'
(2oa4b2): (-5ab) :
- 5ab -5
I
I
-4
Observe, agora, o resultado da seguinte divisão:
,1
[.+*,')'t-+"): :+
4
Ii
2
(15x3y21 : (5x5y5) - 15x-3Y-2 :
5xuyu
15
5
I
3
Nem sempre a divisão de um monômio por outro monômio vai resultar em um monômio.
No caso dessa divisã0, o resultado é uma fração algébrica, cujo estudo faremos; mais tarde.
Por enquanto estudaremos apenas a divisão de monômios que tenha como resultado uma ex-
pressão algébrica inteira.
60
L Vamos calcular o quociente:
a)a7:a2"u
b)x5:xa*
c)ta:ta,
d) (-32x4) : (-8x) +*'
"; 1+Oyu) 
: (-3y3) 3y.
o (í^^"'),(í^"') +.,
g) (2xya) : (-0,5f) -+*v'
h) (-7am) : (-21am) f
1-Zx5y2) - *yo
j) (-**'),(-*,"') -.
l) (-0,4b2c4) : (o,2sbc4) 1,6b
m)(aaba) : 1-4a2b2) Iu,o,
(-O,4xyz2)
5) 
r o.*'
Por qual monômio você deve dividir 2Ox2y3
ra obter Sxy'? +*y
Dividi 3pa7x3 por 6aax2. Ao resultado, adi-
nei (-6a'x). Qual é o monômio que obtive?
-atx
l./(r
1Ox2y2
Qual é o monômio que você obtém quando
ide (20aam2) por (-9am * 5am)? -s"'.
Ao efetuar a divisão de (-10x3y) por (-2xy),
aluno deu como resposta o monômio 5x'. A
resposta está certa ou errada?
Errada, a resposta certa é 5x2
os dividiu a soma (2x6 + x6) pelo mo-
3) e deu como resposta o monômio
sposta de Carlinhos está certa ou
errada? .",t"
€3 Se você dividir (-21.a4b4) por um monômio,
você obtém (7ab). Qual é esse monômio? 3a3b3
p)
q)
i) (*.,r,),
(-*"t"')'
(0,1.a6x2): (o,o1a
3
2'
Considere as situaÇões:
l: Qual é o quadrado do monômio -10a3?
Aplicando a deÍiniÇão de potência, temos:
(-10a3)2: (-10a3) .(-10a3) : (-10) .(-10) .,a3..a3: 100a6
lllv
+100 a3 + 3
61
22 Qual é 2 5-a potência do monômio 2x2?
Aplicando a definição de potência, temos:
(2x215 : (2x2) . (2x2) . (2x2) . (2x2) . (2x2) : 2 . 2 . 2 - 2 . 2 . x2 . x2 . x2 . x2 . x2 : 32x10
''l
32 *2+2+2+2+2
Porém, podemos fazer esses cálculos de maneira mais simples, usando as propriedades das
potências:
(a')n: a''n e (a .b)': an.bn
Observe, nos exemplos,como o cálculo se torna mais simples:
1 (-10a3)2 : (-10)2 .h312: 1ooa6
2 (2x2)5 : (2)5 . (x2)5 : 32x10
3 (-+.bsca)' : (-+)'.,0u,' .(c4)2: +fb'oc'
3- Vemos calcul r:
a) (ers)2 g) (o,5ab2)2
b) (-- x4)2 ) (- rmsx3 a
c) ('- y3)3 i) (â.'r')'
d) (--toa2b)2 i) (a'c')'
e) (-- x2y)a r) f -_Ipl'
o ( **'")' -,,f,,0',] 
)
2 D termine:
a) o quadrado de -1.,5 >'c'
b) o cubo de 0,4asb3
3 Calcule o quadrado do m< nômio (-2xy). A
seguLir, divida pelo mo rômio 8xy2. Que onô-
mio .ocê v ri obter?
4 Sevocê dividir o cubo da sonu
(-7y + 10y + 2y) pela soma (--10y2 - 1.5y2),
que monômio você encontrará? sv
5 Calcule:
a) o quadrado do monômio -10:x3 roo*
b) o quociente do resultado obtido no item a pelo
monomlo 5x- 20<'
6 Calcule:
a) o quadrado do monômio -4lzy3 ro,'ru
b) o monômio que representa a expressão
-x't' * 9x'1f e"y'
ao resultado. Que monômio você vai obter? z"'
62
11 Potinônniog
' 
Considere as seguintes situacões:
l! Qual é a expressão algébrica que representa a área da figura?
x
Note que a áreada figura e dada pela soma das áreas das figuras O . @.
A área da figura O, ,, retângulo, e expressa pelo monômio ab.
A área da figura @, u, quadrado, é expressa pelo monômio x2.
Entã0, aárea da figura é dada pela soma:
ab+x2 --------+ Essa expressão algébrica indica uma adição de monômios.
2t 0 desenho representa o esboco de uma rodovia que passa pelas cidades A, B, C e D. A distância
deAatéBéigual àdistânciadeBatéCeambaspodemserrepresentadasporx.Sabendo-sequea
distânciadeAatéDédeyquilômetros,qual éaexpressãoalgébricaquerepresentaadistânciadeC
até D?
)
)
Observando o esboç0, verificamos que a distância de C até D e dada pela diferenÇa entre as
distâncias de A até D e de A até C:
y - 2X + Essa expressão atgébrica indica uma subtração de monômios.
63
ú
Nos cálculos algébricos que fizemos até agora, consideramos apenas expresscies algébricas
chamadas monômios.
As situações que acabamos de apresentar nos mostram expressões algébricas que indicam
uma adição ou uma subtração de monômios, ou seja, indicam uma adição algébrica dre monômios.
)
)
Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.
São polinômios as seguintes expressões:
Qualquer monômio é considerado um polinômio.
0s monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio.
Assim:
0 monômio 2xy é um polinômio de um só termo.
y - 2x é um polinômio de dois termos: y e -2x.
ab + x2 também é um polinômio de dois termos: ab e x2.
100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2.
I- Em uma partida de basquete, um jogador
marcou r cestas de 2 pontos e y cestas de 3 pon-
tos. Qual é o polinômio que representa o número
de pontos que o jogador marcou nessa partida?
2x+3y
(Saresp) Calculando-se os valores da expres-
n' * 3n * 1 para r valendo 1,,2,3 etc., ob-
tém-se uma das seqüências abaüo. Qual delas?
a) 5,11,,17,23,... c) 5,7,9,7L,...
* b) 5, 11,19,29, ... d) 1,5, 9,13, ...
3 Em um estacionamento, há r carros ey mo-
tos. Qual é o polinômio que representa o núme-
ro de rodas dos veículos que estão nesse esta-
cionamento? 4x + 2y
4 Escreva o polinômio que reprresenta um nú-
mero formado por:
a) x dezenas -l y unidades 1ox + y
b) ydezenas * xunidades roy+x
64
ab+x2 100x+l}y+2
3x+2y y--2x
b)A
5 Qual é o polinômio que expressa a medida
do segmento AB em cada uma das figuras?
a)A c B
2a
2a+t)
'zab
(6 Escreva o polinômio
que representa a área da
figura ao lado. a' + 2aó + b'
b,
7 (Saresp) Observe a figura a seguir.
x-3
A expressão algébrica mais simples que deter-
mina o perímetro desse retângulo é:
2a
*a)6x-4
b) 4x- 6
a) 17
b) 18
") -4*' 
*x-3
d)x+4
(Saresp) O valor numérico da expressão
* 8 para b igual a -3 é:
"c) 26
d) 34
Descubra os
números escondidos
pelas letras. Aproveite
e leia sobre o
significado das
palavras destacadas.
f---->ase: (Quím. - Suf. nom.). : 'fermento':
a a maltase, protease
*ss
ee
a s s e Fassar: [Do lat. assare]. Submeter à
ação do fogo, ou ao calor do
forno, até ficar cozido ou tostado.
111
+999
888
2x+1
Oque éoÍermento
Fermento é um minúsculo
microorganismo vivo, parecido com
uma planta, que existe normalmente em
nosso ambiente por todos os lados, no
solo, nas plantas e no ar. Ele tem sido
chamado de "A mais velha planta
cultivada pelo homem". O que ele tem
de tão especial?
O fermento é responsável pelo
processo de fermentação, fundamental
para a produção de massas e bebidas,
como pães, vinhos e cervejas, O
fermento chamado Saccharomy ces
cereaisiae é o mais usado para se fazer
pães.
Mas o fermento não serve
apenas para realçar o sabor e a textura
dos alimentos. Diferentes tipos de
fermento são usados Para o estudo de
genes, proteínas e composição de
tecidos vivos.
F onte: http : I I www,miraft',com.br I o -que -e -o Jetmento,htm
65
Pof,inônnio redwid,o
Consideremos o polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy.
0bserve que esse polinômio possui termos ou monômios semelhantes. Saberrdo que esses
termos semelhantes podem ser adicionados algebricamente, temos:
x2+xy+xy+x2+xy:
: X2 + X2 + Xy + Xy + X! : ------+ pela propriedade comutativa
2x2 + 3xy soma algébrica de monômio.s semelhantes
Dizemos que:
2x2 + 3xy é a forma reduzida do polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy.
Veja os exemplos:
1 Escrever na forma reduzida o polinômio 3a - 5ab + 8b - 2a + 3ab + b.
3a-5ab+8b-2a+3ab+b:
: Y:3 - 5ab + 3ab t Sqjj : -' petapropriedadecomutativa
: a - 2ab + 9b forma reduzida
2 Escrevernaforma reduzida o polinômio 3x2 - (-9x + 4) + (-7x + x2 - 3).
3x2- (-9x+ 4)+(- 7x+x2-3)
:3x2 + 9x - 4 - 7x+ x2 - J - --+ etiminandoosparênteses
:3x2 +x2 + 9x - 7x - 4- 3 :-> petapropriedadecomutativa
: 4x2 + 2x 7 - ----- forma reduzida
0bservações
) 0s polinômios de um só termo são chamados monômios.
) unn polinômio reduzido de dois termos recebe o nome de binômio.
3x+2y 4a-b xy + 5y2
) Um polinômio reduzido de três termos é chamado trinômio.
x2-2xy+y2 x2-7x+!O a+Zb-bc
) Um polinômio reduzido com mais de três termos não tem nome particular.
66
xarclclos
L Escreva os seguintes polinômios na forma re-
duzida: 3y3+9y2+4y-2
a) 5y't 4y' - I + 2f - y' - y +7y2 - 7
b) *x-s** * 3a2x -7a* + a\,2 -.'* 5a* "2a2x- x'-2ax2
c) 7a1- 5b - 9c + 13b * 10c - 5a - 8b, ,.oo*r.
d) ox - 5y + 3xy + 2ry - Sx * 9y + 4x-#, Io*
e) 8x2-6xt 1*7x-6x2- 3-3x-x2-5
x'-zx--l
Dado o polinômio
- ax + 3x2 - a2 * 4ax - 2x2 - a2, pede-se:
a) a forma reduzida desse polinômio 2x2 + 3ax - 2a2
b) identificar como binômio ou trinômio rrinômio
c) ovalornuméricoparax : 3 ea : -3 -27
3 Observando a figura, responda:
a) Qual é o polinômio que representa a área des-
sa figura? x2 + ax + ax + ax + x2
b) Qual é a forma reduzida desse polinômio?
4 Escreva a forma reduzida do polinômio
1 ,+ ?h- 2 ab-J-6+9ab3"" 4"'U"á, o+lau
5 Qual a forma reduzida de cada um dos poli-
nômios?
ú 7t - (5a2 - 9a * 2) + (-2a + * - 1) s.'+zu-s
b) 8ab - (a + 7b - il + (-Sab + 2 -b) -
- (-4a - 2ab * 6b) s.u + s" 14b + 7
c) 5a * 3b - [5a - (a - 4b) - b] "
d) 2* - l2xy + x2 - (3xy + '11 + zfl - X/ x2+ y2
(6 Entre os polinômios a seguiç identifique os
oue são:-1-=".*"' a' b,2,x+za y'-2y+1,x2y2+4xy+4
a) binômios b) trinômios
'f -zy+t ) x'-*'+x-1.J
*'t'+4xy+4 l
7 Determine:
a) a forma reduzida do polinômio
-3r2 + Srs - (-9r2 - rs * 6s2\ - 1.4s2 +
+ Gl + 5rs i g"') t"'+ 11rs - 28s',
b) o valor numérico quando r : 0,5 e s : 0,2 z,oa
0 grau de um polinômio reduzido, não-nulo, é dado pelo seu termo de maior grau.
) 0 polinômio a3x - 2 x3 + 9ax2 é do 7e grau.++
4e 7e 3e
3e 4e 2e
0 grau de um polinômio reduzido também pode ser estabelecido em relaÇão a uma determinada
variável. Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável figura nos termos não-
nulos do polinômio. Assim:
-- 3e grau em relação àvariávelx
4e grau em relação à variávely
67
Po[inônniot colrn ttn^c^ g6 varií^veL real,
Considere os polinômios reduzidos:
x2+7x-10
Esses polinômios, muito importantes
variável real x.
E costume, em Matemática, escrever
crescentes da variável x. Veja os exemplos:
L 6x2-5x-1
2 x3-x-7
3 Sxa-7x3-x2+2x-lO