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MODELAGEM MATEMÁTICA DE PROBLEMAS - TRABALHO 2 NOME: ______________________________________________ DATA: 22/04/2024 Prof.ª: Marcia Adriana 1. Grandezas físicas podem se relacionar de várias maneiras, dependendo das características e das interações. As relações são descritas matematicamente por funções, equações, inequações, etc. Quando as expressões matemáticas envolvem igualdades com a presença de derivadas, estas são chamadas de equações diferenciais. A resolução de equações diferenciais exige, em teoria, o cálculo de integrais; já as equações diferenciais de variáveis separáveis formam uma classe de equações que podem ser resolvidas por integração. Determinada interação física envolve as grandezas 𝑥 e 𝑦 que se relacionam de acordo com a expressão: 1 𝑒𝑥 𝑑𝑦 − 𝑥𝑑𝑥 = 0 Qual opção apresenta a função que representa a solução particular desta equação que contém o ponto (0,3)? Alternativas A) 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 + 2 B) 𝑦 = 𝑒𝑥 + 3 C) 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 5 D) 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 4 E) 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 + 7 2. Na modelagem matemática de uma situação-problema de engenharia ficou determinada a relação entre uma função e sua taxa de variação instantânea. Essa relação é expressa pela equação . Nessa equação, é a função (variável dependente), é a variável independente e é a derivada da função (sua taxa de variação). A partir do texto apresentado, avalie as afirmações a seguir. I. A equação apresentada pode ser classificada como equação diferencial linear de primeira ordem. II. A equação apresentada pode ser classificada como equação diferencial de variáveis separáveis. III. A solução geral da equação apresentada é 𝑦 = 𝑥 − 1 3 + 𝐶 𝑒3𝑥 . É correto o que se afirma em: Alternativas A) I, apenas. B) III, apenas. C) I e II, apenas. D) I e III, apenas. E) I, II e III. 3. A variação no preço y em relação à quantidade demandada x, em toneladas, de um determinado tipo de maçã é modelada por (2xy + 15x) dx + (x2 − 3) dy = 0. Determine a relação entre o preço e a quantidade demandada sabendo que o preço é 5 quando a quantidade de demanda é de 4 toneladas. (Exata) 4. A variação no preço (y) e a quantidade (x), ambos em mil, de um determinado tipo de detergente é modelada por (x2 + y2)dx = 2xy dy . Determine a relação entre o preço e a quantidade demandada se o preço é 1000 quando a demanda é de 3000 unidades. (Homogênea) 5. A variação do custo em logística (C) em milhões de unidades monetárias na manutenção de equipamentos eletrônicos em uma unidade naval está relacionada com intervalos de manutenção preventiva (x) pelo modelo matemático 𝑑𝐶 𝑑𝑥 + ( 2 𝑥 )𝐶 = 3 𝑥2 . Determine a relação custo-intervalo sabendo que quando o intervalo entre as manutenções é de 3 meses, o custo é de 3 (expresso em milhões). 6. A taxa de aumento no custo, y (em mil), com segurança de uma cidade quando o poder aquisitivo, x (em mil), da população diminui é modelada por (5x2 + 7y2) dx = − 2xy dy. Determine a relação entre o custo com segurança e o poder aquisitivo da população quando o poder aquisitivo é de 1000 e o custo em segurança é de 30.000. (Homogênea) Sucesso na realização do trabalho!