GAB_APX1_CI_2021-2

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO APX1 – CÁLCULO I – 2/2021
Código da Disciplina: EAD 1005 - EAD 1083
Questão 1 [1 ponto]
Se a e b são constantes reais, as condições para que
lim
x→−∞
3
√
a x3 + b x2 + x+ 2√
x2 + 2x+ 4
= 2
são:
(a) a = −8 e b qualquer;
(b) a = 8 e b qualquer;
(c) a = −8 e b > 0;
(d) a = 8 e b < 0;
(e) a = −8 e b 6= 0.
Solução: Resposta correta no item (a).
Calculando o limite, obtemos:
lim
x→−∞
3
√
a x3 + b x2 + x+ 2√
x2 + 2x+ 4
= lim
x→−∞
1
x
3
√
a x3 + b x2 + x+ 2
1
−
√
x2
√
x2 + 2x+ 4
= lim
x→−∞
3
√
a+
b
x
+
1
x2
+
2
x3
−
√
1 +
2
x
+
4
x2
= − 3
√
a = 2.
Portanto, as condições procuradas são a = −8 e b qualquer. !
Questão 2 [2 pontos]
As derivadas das funções f(x) =
e(1−cos 2x)
1 + x2
e g(x) = ln
(
1 + sen2 x
1 + cos2 x
)
são:
(a) f ′(x) =
2((1 + x2) sen 2x − x)e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
e g′(x) =
6 sen x cosx
(1 + sen2 x)(1 + cos2 x)
;
(b) f ′(x) =
2((1 + x2) sen 2x − x)e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
e g′(x) =
2 sen2 x cos2 x
(1 + sen2 x)(1 + cos2 x)
;
Cálculo I Gabarito APX1 2/2021
(c) f ′(x) =
2((1 + x2) sen 2x − x)e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
e g′(x) =
6 sen x cosx
(1 + sen2 x+ cos2 x)
;
(d) f ′(x) =
2((1 + x2) sen 2x + x)e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
e g′(x) =
6 sen x cosx
(1 + sen2 x)(1 + cos2 x)
;
(e) f ′(x) =
2((1 + x2) sen 2x + x)e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
e g′(x) =
2 sen2 x cos2 x
(1 + sen2 x+ cos2 x)
.
Solução: Resposta correta no item (a).
f(x) =
e(1−cos 2x)
1 + x2
⇒
f ′(x) =
2 sen 2x e(1−cos 2x)(1 + x2)− 2x e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
f ′(x) =
2 ((1 + x2) sen 2x − x) e(1−cos 2x)
(1 + x2)2
!
g(x) = ln
(
1 + sen2 x
1 + cos2 x
)
=
g(x) = ln (1 + sen2 x) − ln (1 + cos2 x) ⇒
g′(x) =
2 sen x cosx
1 + sen2 x
− −2 cos x sen x
1 + cos2 x
g′(x) =
2 sen x cosx
1 + sen2 x
+
2 cos x sen x
1 + cos2 x
g′(x) = (2 sen x cosx)
(
1
1 + sen2 x
+
1
1 + cos2 x
)
g′(x) = (2 sen x cosx)
(
1 + cos2 x+ 1 + sen2 x
(1 + sen2 x)(1 + cos2 x)
)
g′(x) =
6 sen x cosx
(1 + sen2 x)(1 + cos2 x)
!
Fundação CECIERJ 2 Consórcio CEDERJ
Cálculo I Gabarito APX1 2/2021
Questão 3 [2 pontos]
Seja f : R −→ R a função definida pela lei a seguir:
f(x) =

0.5(x+ α)2 + a, se x > 3,
−x− 1, se − 2 ≤ x ≤ 3,
−0.5(x+ β)2 + b, se x < −2
.
Sabendo que f é uma função derivável, podemos afirmar que os valores das constantes
a, b, α, e β são:
(a) a = −4.5, b = 1.5 , α = −4 e β = 3 ;
(b) a = 4.5, b = −1.5 , α = −4 e β = 3 ;
(c) a = −4.5, b = 1.5 , α = 4 e β = −3 ;
(d) a = 4.5, b = 1.5 , α = 4 e β = −3 ;
(e) a = −4.5, b = −1.5 , α = −4 e β = −3.
Solução: Resposta correta no item (a).
Como f é derivável,
f ′(x) = x+ α, se x > 3 e, portanto, f ′+(3) = 3 + α.
Além disso,
f ′(x) = −1, se −2 < x < 3 e, portanto, f ′−(3) = −1.
Logo, 3 + α = −1 e concluimos que α = −4. !
Analogamente,
f ′(x) = −(x+ β), se x < −2 e, portanto, f ′−(−2) = 2− β.
Além disso,
f ′(x) = −1, se −2 < x < 3 e, portanto, f ′+(−2) = −1.
Logo, 2− β = −1 e concluimos que β = 3. !
Agora, usamos o fato de que f é contı́nua, uma vez que é derivável (o outro caso é que
nem sempre é verdade). Para x = 3, temos:
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
0.5(x− 4)2 + a = 0.5 + a = f(3) = −4 e, portanto, a = −4.5. !
Por outro lado, para x = −2, temos:
Fundação CECIERJ 3 Consórcio CEDERJ
Cálculo I Gabarito APX1 2/2021
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
−0.5(x+ 3)2 + b = −0.5 + b = f(−2) = 1 e, portanto, b = 1.5. !
Questão 4 [2.5 pontos]
A equação x3 + 3 x2y + 3xy2 − y3 = 6 define implicitamente uma função derivável
y = f(x) em torno do ponto de abcissa x = 1, com 0 < y < 1.5 . A expressão ( em
termos de x e de y) que define a derivada de f (em torno deste ponto) e a equação que
define a reta tangente ao gráfico de f neste ponto são, respectivamente:
(a)
dy
dx
=
x2 + 2xy + y2
−x2 − 2xy + y2
e 2x+ y = 3;
(b)
dy
dx
=
x2 + 2xy + y2
−x2 − 2xy + y2
e x+ 2y = 3;
(c)
dy
dx
=
−x2 − 2xy + y2
x2 + 2xy + y2
e 2x+ y = 3;
(d)
dy
dx
=
−x2 − 2xy + y2
x2 + 2xy + y2
e x+ 2y = 3;
(e)
dy
dx
=
x2 + 2xy + y2
−x2 − 2xy + y2
e 2x+ y = −3.
Solução: Resposta correta no item (a).
Derivando implicitamente a equação x3+3x2y+3xy2−y3 = 6, na variável y em relação
a x, obtemos:
3x2 + 6xy + 3x2y′ + 3 y2 + 6xyy′ − 3 y2y′ = 0(
3x2 + 6xy − 3 y2
)
y′ = −3x2 − 6xy − 3 y2
y′ =
x2 + 2xy + y2
−x2 − 2xy + y2
!
Precisamos calcular a ordenada do ponto em questão. Fazendo x = 1 na equação origi-
nal, vem
1 + 3y + 3y2 − y3 = 6.
Claramente y = 1 é uma raiz, que leva ao seguinte fatoração:
3y + 3y2 − y3 − 5 = 0 = (y − 1)(y2 − 2y − 5).
As outras duas raı́zes são y = 1 −
√
6 e y = 1 +
√
6 , que estão fora da condição
0 < y < 1.5 . Assim, o ponto em questão é (1, 1). Aplicando na equação da derivada,
Fundação CECIERJ 4 Consórcio CEDERJ
Cálculo I Gabarito APX1 2/2021
obtemos a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (1, 1):
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=1,y=1
=
1 + 2 + 1
−1− 2 + 1
= −2.
Portanto, podemos determinar a equação: y − 1 = −2 (x − 1), que pode ser escrita na
forma y = 2− 2x+ 1 ou 2x+ y = 3. !
Questão 5 [2.5 pontos]
Um tanque no formato cônico foi disposto na forma invertida (veja a figura abaixo) em
uma refinaria e tem altura de 4 metros com o diâmetro de sua tampa superior igual a 10
metros.
Sabendo que o tanque está sendo esvaziado a uma vazão constante de 0.2 m3 por minuto,
podemos afirmar que a velocidade com que a altura do conteúdo do tanque está baixando
no instante que o mesmo chega à metade da altura do tanque é de, aproximadamente:
(Lembre-se da fórmula do volume V de um cone de raio de base r e altura h: V =
π r2 h
3
.)
(a) 0.0101859;
(b) 0.101859;
(c) 1.01859;
(d) 0.0204658;
(e) 0.204658.
Solução: Resposta correta no item (a).
A proporção
h
r
=
4
5
nos dá a relação r =
5h
4
e a fórmula do volume V do cone nos dá
V =
π r2 h
3
=
25π h3
48
.
Fundação CECIERJ 5 Consórcio CEDERJ
Cálculo I Gabarito APX1 2/2021
Derivando em relação a t, temos:
0.2 =
dV
dt
=
25 π h2
16
dh
dt
.
Aplicando no instante em que h = 2 m, obtemos:
dh
dt
∣∣∣∣∣
h=2
=
3.2
25 π 4
=
0.032
π
≈ 0.0101859.!
Fundação CECIERJ 6 Consórcio CEDERJ