Cálculo e Geometria em Questão

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO APX1 – CÁLCULO I – 2/2021
Código da Disciplina: EAD 1005 - EAD 1083
Questão 1 [2.5 pontos]
Sejam A e B constantes reais tais que:
A = lim
x→0
tg 2x− sen 2x
2x3
e B = lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
.
É correto afirmar que:
(a) A = 2 e B =
−1
2
;
(b) A = −2 e B = −1
2
;
(c) A = −2 e B = 1
2
;
(d) A = −1 e B = 1
2
;
(e) A = 2 e B =
1
2
.
Solução: Resposta correta no item (a).
å Como lim
x→0
tg 2x−sen 2x = 0 = lim
x→0
2x3, vamos usar a Regra de L’Hôpital para calcular
lim
x→0
tg 2x− sen 2x
2x3
:
lim
x→0
tg 2x− sen 2x
2x3
= lim
x→0
2 sec2 2x− 2 cos 2x
6x2
=
lim
x→0
tg 2x− sen 2x
2x3
= lim
x→0
1
cos2 2x
− cos 2x
3x2
=
lim
x→0
tg 2x− sen 2x
2x3
= lim
x→0
[
1− cos3 2x
3x2
· 1
cos2 2x
]
Como lim
x→0
1 − cos3 2x = 0 = lim
x→0
3x2, vamos usar a Regra de L’Hôpital para calcular
lim
x→0
1− cos3 2x
3x2
:
Cálculo I Gabarito APX2 2/2021
lim
x→0
1− cos3 2x
3x2
= lim
x→0
−3 cos2 2x (− sen 2x) 2
6x
lim
x→0
1− cos3 2x
3x2
= lim
x→0
2 cos2 2x sen 2x
2x
lim
x→0
1− cos3 2x
3x2
= 2 lim
x→0
cos2 2x
sen 2x
2x
lim
x→0
1− cos3 2x
3x2
= 2.
Portanto,
lim
x→0
tg 2x− sen 2x
2x3
= lim
x→0
[
1− cos3 2x
3x2
· 1
cos2 2x
]
= 2 · 1 = 2. !
å Como lim
x→0
x2+ln(1−x2) = 0 = lim
x→0
x4, vamos usar a Regra de L’Hôpital para calcular
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
:
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
= lim
x→0
2x+
1
1− x2
· (−2x)
4x3
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
= lim
x→0
2− 2
1− x2
4x2
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
= lim
x→0
2(1− x2)− 2
1− x2
4x2
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
= lim
x→0
−2x2
4x2 (1− x2)
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
=
−1
2
Portanto,
lim
x→0
x2 + ln(1− x2)
x4
=
−1
2
. !
Questão 2 [2.5 pontos]
Sejam a e b contantes reais e f : R −→ R a função definida por f(x) = x3+ax2+bx−2.
Sabendo que x = 1 é um ponto crı́tico de f e que f tem um ponto de inflexão em
x = 2, é correto afirmar que a região de crescimento da função f é dada por:
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Cálculo I Gabarito APX2 2/2021
(a) (−∞, 1) ∪ (3,+∞);
(b) (−∞, 1) ∪ (2,+∞);
(c) (−∞, 2) ∪ (3,+∞);
(d) (−∞, 2) ∪ (4,+∞);
(e) (−∞, 1) ∪ (4,+∞).
Solução: Resposta correta no item (a).
Calculando a derivada f ′(x) = 3x2 + 2ax + b e usando a informação que x = 1 é um
ponto crı́tico, obtemos
f ′(1) = 3 + 2a+ b = 0
e a relação b = −2a − 3. Derivando uma segunda vez, f ′′(x) = 6x + 2a e usando a
informação x = 2 é ponto de inflexão, obtemos
f ′′(2) = 12 + 2a = 0
que determina a = −6. Usando a relação anterior, obtemos b = 9. Daı́, o polinômio
f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 2 tem derivada
f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9 = 3(x2 − 4x+ 3) = 3(x− 1)(x− 3).
Logo, seus pontos crı́ticos são x = 1 e x = 3. Fazendo a análise de sinais da derivada,
obtemos que f ′(x) positiva em (−∞, 1) ∪ (3, +∞) e é negativa em (1, 3).
Portanto, f é crescente na região (−∞, 1) ∪ (3, +∞). !
Questão 3 [2.5 pontos]
Uma fábrica de embalagens recebeu uma encomenda para produzir uma caixa de um
tipo especial de papelão impermeabilizado de custo relativamente alto. A caixa deve ter
o formato de um paralelepı́pedo retangular com uma base de área igual a 800 cm2 e com
um volume total de 20 litros. As dimensões da caixa são denotadas por x, y e z, de
acordo com a figura abaixo:
z
x
y
Para que o custo do material seja mı́nimo, a soma das dimensões da caixa (x+y+z) deve
ser aproximadamente:
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Cálculo I Gabarito APX2 2/2021
(a) 81.56 cm;
(b) 82.22 cm;
(c) 83.44 cm;
(d) 84.31 cm;
(e) 85.15 cm.
Solução: Resposta correta no item (a).
Vamos escrever o volume em cm3, fazendo 1 litro = 1000 cm3, obtendo:
x× y × z = 20 000.
Por outro lado, sabemos que a área da base é x × y = 800 cm3. Assim, xyz = 20000 e
xy = 800, resultando que
z =
20000
xy
= 25.
A área da caixa é dada pela fórmula A = 2(xy + xz + yz), que queremos minimizar.
Substituindo y =
800
x
e z = 25, obtemos
A = 2(xy + xz + yz) = 2
(
800 + 25x+
25× 800
x
)
Queremos encontrar o mı́nimo da função A(x) = 2
(
800 + 25x+
20000
x
)
. Daı́,
A′(x) = 2
(
25− 20000
x2
)
Fazendo A′(x) = 0, obtemos
20000
x2
= 25, ou seja, x2 = 800. Logo, as dimensões da caixa
devem ser aproximandamente: x = 28.28 cm, y = 28.28 cm e z = 25 cm. Portanto, a
soma procurada é aproximandamente 81.56 cm. !
Questão 4 [2.5 pontos]
A função f : R −→ (−π/2, π/2) definida por f(x) = arctg(x − 1)3 é inversı́vel. A
equação da reta tangente ao gráfico da função f−1 no ponto
(
π/4, f−1(π/4)
)
é:
(a) 4x− 6y = π − 12;
(b) 4x+ 6y = π − 12;
(c) 4x− 6y = π + 12;
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(d) 6x− 4y = π − 12;
(e) 6x− 4y = π + 12.
Solução: Resposta correta no item (a).
Vamos usar o Teorema da Função Inversa para resolver essa questão: precisamos calcular
f−1(π/4) = b, isto é, vamos resolver a equação f
(
f−1(π/4)
)
= f(b) = π/4. Assim,
teremos como calcular:(
f−1
)′
(π/4) =
(
f−1
)′(
f(b)
)
=
1
f ′
(
f−1(π/4)
) = 1
f ′(b)
.
Temos que:
arctg((b− 1)3) = π/4
(b− 1)3 = 1
(b− 1) = 1
b = 2
Agora, para o cálculo de
(
f−1
)′
(π/4), usaremos a fórmula:(
f−1
)′
(f(x)) =
1
f ′(x)
.
f(x) = arctg((x− 1)3)
f ′(x) =
1
1 + (x− 1)6
· 3(x− 1)2
f ′(x) =
3(x− 1)2
1 + (x− 1)6
f ′(2) =
3
2(
f−1
)′
(π/4) =
1
3/2
=
2
3
.
Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de f−1 no ponto
(
π/4, 2) é
y − 2 = 2
3
(x− π/4) ⇒
6y − 12 = 4x− π ⇒
4x− 6y = π − 12
!
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