APX01-2022-1-Gabarito-Modelo

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX1 – Cálculo II – 2022/1 Gabarito Aluno 
Nota: Neste gabarito as cinco questões foram escolhidas aleatoriamente, as demais questões são resolvidas de 
forma análoga. 
 
Observação: ao usar uma calculadora científica, use‐a no modo RADIANOS quando precisar usar alguma 
função trigonométrica durante os cálculos 
    
Questão  1  (2,0  pontos)  Seja R a região  no  primeiro  quadrante,  limitada  apenas  pelas  curvas  
1 5y x  , 4 0xy   e a reta  48 6 95.( 5)y x   . Calcule a área da região R . 
 
(obs.: A interseção da reta com as outras curvas ocorrem nas abscissas   2x  e 5x  .) 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas, separado com vírgula) 
 
Solução 
 
A região pedida e mostrada na Figura 1 
 
 
Figura 1 
Os ponto de  interseção das curvas com a  reta estão exibidos na  figura, e podem ser obtidos  facilmente 
usando os dados do enunciado. 
 
A região  R  dada é a união das regiões   1R e 2R  mostradas na Figura 2. 
 
 
 
Cálculo II                 APX1 – Gabarito ‐ Aluno    2022/1 
 
 
Figura 2 
A equação da reta pode ser reescrita como  
 
95
6 .( 5)
48
y x    
 
Neste caso, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável independente x:   
1 2( ) ( ) ( )R  A A R A R = ( ) ( )
2 5
( )
0 2
95
[ 1 5 4 ] 1 5 6 .( 5) 
48
xx dx x x dx-
ì üæ öï ïï ï÷ç+ - + + - + -í ý÷ç ÷çï ïè øï ïî þ
ò ò  
     
  Ou de forma equivalente: 
         
( )
5 2 5
( )
0 0 2
2 55 2
3/2
0 0 2
1 5 4 
2 4 95 ( 5)
(5 ) 6 .
15 ln 4 48 2
95
6 .( 5)
48
x
x
x dx dx dx
x
x x x
x-
-
æ ö÷ç= + - - ÷ç ÷çè ø
æ ö æ öæ ö -÷ ÷ç ç÷ç + + - +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷ç çè ø è ø è ø
+ -ò ò ò
 
   
250 4 1 95 9
( ) 5 6.(5 2) . 11,896653366... 11,90
3 ln 4 48 2
A
- -
 = + + - - + = »R 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos) Dada a integral indefinida 
541 cos(4 )xe x dx ,  seja   ( )F x a primitiva  que 
tem   (0) 12F   . 
Calcule  
8
F
 
 
 
. 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas, separado com vírgula) 
 
Cálculo II                 APX1 – Gabarito ‐ Aluno    2022/1 
 
Solução 
 
5 541 cos(4 ) 41 cos(4 )x x
I
e x dx e x dx  

 
 
Para calcular a integral indefinida,  usaremos o método de integração por partes: 
Seja 
5 55 e cos(4 )x xu e du e dx dv x dx      . Logo 
1
sen (4 )
4
v x 
5
55sen (4 ) sen (4 )
4 4
x
xeI x e x dx

    
 
Usaremos novamente o método de integração por partes na integral do segundo membro: 
Seja 
5 55 e sen(4 )x xu e du e dx dv x dx      . Logo 
1
cos (4 )
4
v x  
5
5 55sen (4 ) cos(4 ) cos(4 )
4 4
x
x x
I
e
e x dx x e x dx

    

 
Assim 
5 55 25
sen (4 ) cos(4 ) .
4 16 16
x xe e
I x x I
 
   
 
5 525 5
1 . sen (4 ) cos(4 )
16 4 16
x xe e
I x x
     
 
 
 
 5 4sen (4 ) 5cos(4 )41
.
16 16
xe x x
I
    
 
 
 
Portanto, acrescentando a constante de integração : 
 
 5 541 cos(4 ) 4sen (4 ) 5cos(4 ) ( )x xe x dx e x x D F x     
 
Neste caso :   
 
(0) 5 12 17F D D      
 
 
 5( ) 4sen (4 ) 5cos(4 ) 17xF x e x x    
 
 
 
Cálculo II                 APX1 – Gabarito ‐ Aluno    2022/1 
Por fim, fazendo 
8
x

   obtemos 
 
5
84. 17 17,56
8
F e
      
 
 
 
 
Questão 3 (2,0 pontos) Seja   
2
cos (4 )
sen (2 ) ( )
2 1
( ) 5.3
x
x t
x
H x e dt

   , 
 
Calcule  (0) '(0)H H . 
 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas, separado com vírgula) 
 
 
Solução 
 
Por um lado,  
2
1
0 ( )
1
(0) 5.3 5tH e dt   
 
Por outro lado, derivando a função usando a regra da cadeia e o TFC: 
 
 
  2 2sen (2 ) ( cos (4 ) ) (2 1)'( ) 5.2.cos(2 ).3 .ln 3 4. sen(4 ) . 2.x x xH x x x e e      
 
Avaliando em  0x  , fica 
 
1 1'(0) 5.2.ln 3 0 2 '(0) 10.ln 3 2H e H e       . 
 
 
Portanto: 
 
1(0) '(0) 5 10.ln3 2 15,25H H e     
 
 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) Dada a integral indefinida  
4tg (5 )x dx , seja   ( )F x a primitiva  que tem  
15
20
F
   
 
 . 
Cálculo II                 APX1 – Gabarito ‐ Aluno    2022/1 
Calcule    5. 0
20
F F
       
. 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas, separado com vírgula) 
 
Solução  
Observe‐se que 
4 2 2tg (5 ) tg (5 ) tg (5 )x dx x x dx   
 
2 2 2 2 2tg (5 )[sec (5 ) 1] tg (5 )sec (5 ) tg (5 )x x dx x x dx x dx      
2 2 2tg (5 )sec (5 ) sec (5 ) 1x x dx x dx      
Seja 2 2tg (5 ) 5.sec (5 ) sec (5 )
5
du
u x du x dx x dx     
 
3
2 31 1 1tg (5 ) tg(5 ) ( )
5 5 15 5 15 5
du u u
u du dx x x x x C F x             
 
 
Substituindo  
20
x

  temos: 
 
1 1 8 3
15 15
20 15 5 20 60
F C C
            
 
 
 
 
Logo  
 
31 1 8 3( ) tg (5 ) tg(5 ) 15
15 5 60
F x x x x

     
 
 
 
Portanto:  
 
 
8 3
(0) 15
60
F

  e  
1 1 8 3 8 3
15 15
20 15 5 20 60 30
F
              
 
 
 
 
8 3 8 3 8 3
(0) 15 15 30
20 60 30 20
F F
               
 
 
Cálculo II                 APX1 – Gabarito ‐ Aluno    2022/1 
8 3 8 3
5. (0) 5. 30 150 149,64
20 20 4
F F
                       
 
 
 
 
 
Questão 5 (2,0 pontos) Dada a integral indefinida  
   5 3
2
sen 18arctg(4 ) .cos 18arctg(4 )
1 16
x x
x
dx
 , 
seja   ( )G x a primitiva  que tem   (0) 11G   . 
 
Calcule  
1
3456.
4
G   
 
. 
 
 
 
Solução 
 
   5 3
2
sen 18arctg(4 ) .cos 18arctg(4 )
1 16
x x
x
I dx

   
Considere a substituição  
2
72
18arctg(4 ) 
1 16
u x du dx
x
  

 
 
2
 
72 1 16
du dx
x
 

 
Portanto  
 
5 3 5 2sen .cos sen .(1 sen cos
72 72
)u u u uu
I du du

   
 
Fazendo  sen cosw u dw u du    
 
 
5 2 5 7 6 8.(1
72 72
) ( ) 1
 .
72 6 8
w dw w dww w w w
I
   
     
    
 
6 21
 .
72 6 8
w w
I
 
   
 
 
 
Retornando à variável original, fica 
 
Cálculo II                 APX1 – Gabarito ‐ Aluno    2022/1 
   6 2sen 18arctg(4 ) sen 18arctg(4 )1
( ) .
72 6 8
x x
G x D
          
  
, 
 
onde D  é uma constante. 
 
Fazendo  0x   na função obtida, temos   (0)G D  , portanto  11D   
 
   6 2sen 18arctg(4 ) sen 18arctg(4 )1
( ) . 11
72 6 8
x x
G x
          
  
 
 
 
Substituindo 
1
4
x   , temos que    
 
9
18arctg(4 )=18arctg(1)=
2
x

, logo  
 
  9sen 18arctg(4 ) sen 1
2
x
   
 
 
 
 
 
1 1 1 1 1
. 11 11
4 72 6 8 1728
G               
, portanto multiplicando tudo por  3456  fica 
 
 
1 1
3456. 3456. 11 38018
4 1728
G         
   