APX01-C2-2021-1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX1 – Cálculo II – 2021/1 Gabarito Aluno 
Observação: Neste gabarito as cinco questões foram escolhidas aleatoriamente, as demais questões são 
resolvidas de forma análoga. 
 
 
Questão 1 (2,0 pontos). Seja R a região do segundo quadrante, limitada pelas curvas: 
23 2 ( 1) 0x y − + − =  , ( 2) 6y x + = ,
283 ( 2) 0
3
y x
 
− + + = 
 
, 3xy = e 0x = . Escolha a 
alternativa correta com a expressão que representa a área da região R . 
 
Obs. Para facilitar seus cálculos, note que a interseção do gráfico da função exponencial base 3 com 
uma das curvas dadas ocorre no ponto de abcissa 1x = − . 
 
 
 
Solução da Questão 1 
A região pedida e mostrada na Figura 1 
 
 Figura 1 Figura 2 
A região R dada é a união das regiões 1R e 2R mostradas na Figura 2. 
Neste caso, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável independente x: 
1 2
( ) ( ) ( )R = +A A R A R = 
( ) ( )
1 0
2 2
2 1
8 6
6 3( 1) 3 ( 2) 3 
3 2
x
x x dx
x
dx
−
− −
             = − + − − + + −           +    
∫ ∫ 
Cálculo II APX1 Gabarito Aluno 2021/1 
2 
 
01
2 2
12
8 3
6 3( 1) 3 ( 2) 6ln 2
3 ln3
x
x x xdx
−
−−
      = − + − + + + + −        
∫ 
�
1
3
3
2 0
8 ( 2) 1 1
3 ( 1) 6ln 2 6ln 1
3 3 ln3 3ln3
x
x x
−
−
    +   = − + + + − − +         
 
8 1 2
3 6 1 6ln 2
3 3 3ln3
           = − + + − + −             
 
26 2
6ln 2
9 3ln3
= + − é a escolha correta. 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos). Seja 
5
5
sen ( )
( ) arctg( ).
x
x
t
G x x dt
t
 
=  
 
, onde 0x > . Escolha a alternativa 
correta com a expressão que representa (5)G′ . 
 
 
Solução da Questão 2 
 
Observe-se que 
5 5
5 5
sen ( ) sen ( )
( ) arctg( ) arctg( )
x x
x x
t t
G x x dt x dt
t t
 
= = 
  
 
2
5 5
5 5
sen ( ) sen ( ) 1
( ) arctg( )
1
x x
x x
t t
G x x dt dt
t t x
′       
′ = +    
+       
  . 
 
5
2
5
5 5
sen ( ) sen ( ) sen ( ) 1
( ) arctg( )
1
x x
c c
x
x
t t t
G x x dt dt dt
t t t x
′       
′ = − + +    
+      
   
 
Aplicando a 1ª parte do TFC no primeiro somando temos: 
 
5
55
5
5 2
sen ( ) sen (5 ) sen ( ) 1
( ) arctg( ) .( ) .(5 )
5 1
x
x
x
x
x
x t
G x x x dt
x t x
     
′ ′ ′= − + +    
+     
 
 
5
55
4
5 2
sen ( ) sen (5 ) sen ( ) 1
( ) arctg( ) .(5 ) .(5 ln 5)
5 1
x
x
x
x
x
x t
G x x x dt
x t x
     
′ = − + +    
+     
 
Assim 
Cálculo II APX1 Gabarito Aluno 2021/1 
3 
 
5
55
2
sen ( ) sen ( ) 1
( ) arctg( ) .5 sen (5 ).(ln 5)
1
x
x
x
x t
G x x dt
x t x
     
′ = − + +    
+     
 . Isto é 
5
5
55
5
2
5
0
sen (5 ) sen ( ) 1
(5) arctg(5) .5 sen (5 ).(ln5)
5 1 5
t
G dt
t
 
     
′ = − + +     
+    
  

�����
 
( )5(5) arctg(5).sen(5 ). ln 5 1G′ = − isto é 
 
( )(5) arctg(5).sen(3.125). ln 5 1G′ = − é a escolha correta. 
 
 
 
Questão 3 (2,0 pontos). Escolha a alternativa contendo a expressão que representa corretamente o cálculo 
da integral definida 
3
5
71
log (3 )
log (9 )
x dx
x x . 
 
 
Solução da Questão 3. 
 
5
2
7
ln 3
log ( ) ln 7 ln 3 ln 7 ln 3 ln 7ln 5
ln 9log ( ) ln 5 ln 9 ln 5 (ln 3 ln 3 ) ln 5 ln 3
ln 7
x
a x dx dx x dx x dx u
du
xa x x x x x x x u
= = = =
+ +     
 
Onde ln 3u x= então 
dx
du
x
= , assim 
( )5
2
7
log ( ) ln 7 ln 7 ln 3 ln 7
1 ln 3.ln | ln 3 |
log ( ) ln 5 ln 3 ln 5 ln 3 ln 5
a x dx u
du du u u C
a x x u u
 
= = − = − + + 
+ +   
 
 
 ( )
ln 7
ln 3 ln 3.ln | ln 3 ln 3 |
ln 5
x x C= − + + ( )
ln 7
ln 3 ln 3.ln | ln 9 |
ln 5
x x C= − + 
Logo 
3
5
71
log (3 )
log (9 )
x dx
x x
= ( )
ln 7
ln9 ln 3.ln | ln 27 |
ln5
− ( )
ln 7
ln 3 ln 3.ln | ln 9|
ln 5
− − 
 
( )ln 7. ln 3 2 ln | 3ln 3 | 1 ln 2ln 3 ln 5= − − + 
( )ln 7. ln 3 . 1 ln 3 ln ln 3 ln 2 ln ln 3 ln 5= − − + + 
 
Cálculo II APX1 Gabarito Aluno 2021/1 
4 
 
( )ln 7.ln3. 1 ln3 ln 2 ln 5= − + é a escolha correta. 
 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos). Calcule 
2
5
0
cos( )
k
x
e k x dx
π
−
 , onde k é uma constante e 0k > 
Escolha a alternativa contendo a expressão que representa corretamente o cálculo da integral definida. 
 
Solução da Questão 4 
 
Usaremos o método de integração por partes: 
Seja 
5 55 e cos( )x xu e du e dx dv k x dx− −=  = − = . Logo 
1
sen ( )v k x
k
= 
5 cos( )xe k x dx− = 
5
55sen ( ) sen ( )
x
xe
k x e k x dx
k k
−
−+  
 
Usaremos novamente o método de integração por partes na integral do segundo membro: 
Seja 
5 55 e sen( )x xu e du e dx dv k x dx− −=  = − = . Logo 
1
cos ( )v k x
k
= − 
5
5 55sen ( ) cos( ) cos( )
x
x xe
e k x dx k x e k x dx
k k
−
− −= − −  
Assim 
5 cos( )xe k x dx− = 
5 5
5
2 2
5 25
sen ( ) cos( ) cos( )
x x
xe e
k x k x e k x dx
k k k
− −
−− −  
 
2
5
2
0
25
1 cos( )
k
x
e k x dx
k
π
− 
+ = 
  
 
5 5 2
2
0
5
sen ( ) cos( )
x x ke e
k x k x
k k
π
− − 
− 

 
 
5 5 5
2 2 2
5
2
2 2 2 2
1
1 0
5 5 5 5
sen ( ) cos( ) cos(0)
2 2
k k k
ke e e ke
k k k k k k
π π ππ
π π
− − −−
+
= − + = + =
���
����� ���
 
22
5
2
0
25
cos( )
k
xk
e k x dx
k
π
− +
 
 
 
5
2
2
5kke
k
π
−
+
= 
Ou seja 
5
2 2
5
2
0
5
cos( )
25
k k
x ke
e k x dx
k
π π
−
− +
=
+ é a escolha correta. 
 
Cálculo II APX1 Gabarito Aluno 2021/1 
5 
 
____________________________________________________________________________________ 
 
Questão 5 (2,0 pontos). Calcule 
2
4
4
cotg ( )
k
k
kx dx
π
π
 , onde k é uma constante e 0k > . 
Escolha a alternativa correta que representa esta integral definida. 
 
Solução da Questão 5. 
Observe-se que 
4 2 2cotg ( ) cotg ( )cotg ( )kx dx kx kx dx=  
 
2 2 2 2 2cotg ( )[cossec ( ) 1] cotg ( )cossec ( ) cotg ( )kx kx dx kx kx dx kx dx= − = −   
2 2 2cotg ( )cossec ( ) cossec ( ) 1kx kx dx kx dx = − −   
Seja 
2 2cotg ( ) cossec ( ) cossec ( )
du
u kx du k kx dx kx dx
k
=  = −  − = 
 
3
2 31 1 1 1 1cotg ( ) cotg( )
3 3
du u
u du dx u x C kx kx x C
k k k k k k
= − − − + = − + + + = − + + +   
 
2
4
4
cotg ( )
k
k
kx dx
π
π
 
2
3
4
1 1
cotg ( ) cotg( )
3
k
k
kx kx x
k k
π
π

= − + + 
 
 
 
3 3
0 0 1 1
1 1 1 1
cotg ( ) cotg( ) cotg ( ) cotg( )
3 2 2 2 3 4 4 4k k k k k k
π π π π π π
   
   
= − + + − − + +   
  
  
����� ����� ����� �����
 
 
( ) ( )
2 3 8
3 8 12
4 3 12
k
k k k
π π
π
−
= − = = − é a escolha correta.