C1 Notas da Aula 21 - 2023_4

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Objetivos da Aula
� De�nir primitiva de uma função;
� Calcular a primitiva de uma função utilizando as primitivas de funções elementares.
1 Primitivas
Em alguns problemas, é necessário determinar uma função, embora a sua derivada seja conhecida. Por
exemplo, um Biólogo que conhece a taxa segundo a qual uma população de bactérias está crescendo pode
querer deduzir qual o tamanho da população de bactéria em um certo momento (tempo) futuro ou um
Engenheiro que pode medir a taxa de variação do volume d'água que escoa de um tanque quer saber a
quantidade de volume d'água que escoa durante um período de tempo. Em cada uma dessas situações, o
problema é encontrar uma função F (x) cuja derivada é uma função conhecida f(x).
De�nição 1. Uma função F é dita primitiva ou antiderivada da função f em um intervalo I, se
F ′(x) = f(x),
para todo x ∈ I.
Exemplo 1. Determine uma primitiva de cada uma das funções abaixo:
(a) f(x) = 3;
(b) f(x) = 2x;
(c) f(x) = 6x2 + cos(x);
(d) f(x) = −2 sen(2x);
(e) f(x) = 4x+ 6.
Solução:
(a) Pela de�nição, uma função F é uma primitiva da função f(x) = 3, se F ′(x) = f(x) = 3. Dessa
forma, basta encontrar uma função cuja derivada é igual a 3. Como (3x)′ = 3, então F (x) = 3x é
uma primitiva de f(x) = 3.
(b) Neste caso, vamos encontrar uma função F (x) cuja derivada seja f(x) = 2x. Tomando F (x) = x2+2,
temos que F ′(x) = 2x = f(x). Assim, F (x) = x2 + 2 é uma primitiva da função dada.
(c) F (x) = 2x3 + sen(x) é uma primitiva da função dada, pois F ′(x) = 6x2 + cos(x) = f(x).
(d) F (x) = cos(2x) é uma primitiva da função dada, pois F ′(x) = −2 sen(2x) = f(x).
(e) F1(x) = 2x2+6x é uma primitiva de f . Porém, F2(x) = 2x2+6x+10 também é uma primitiva desta
função. Genericamente, F (x) = 2x2 + 6x+ C, com C uma constante, é uma primitiva de f .
�
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2023-4
Aula nº 21: Primitivas.
Cálculo I Aula nº 21
Observação 1. Em geral, se F é uma primitiva de uma função f em um intervalo I, então para todo
x ∈ I,
F ′(x) = f(x).
Logo, para toda constante C, temos
(F (x) + C)′ = F ′(x) + C ′ = F ′(x) = f(x),
o que implica que F (x) + C é também uma primitiva de f . Portanto, se F é uma primitiva de f , então
toda função da forma
F (x) + C,
com C constante, é também uma primitiva de f .
Observação 2. Suponha F e G primitivas de f . Segue que:
G′(x) = f(x) = F ′(x) ⇒ G′(x)− F ′(x) = 0 ⇒ [G(x)− F (x)]′ = 0.
Então a função G(x) − F (x) tem derivada igual a zero. Mas isso acontece se, e somente se, ela for
uma função constante, ou seja, existe uma constante C, tal que
G(x)− F (x) = C ⇒ G(x) = F (x) + C.
Concluímos assim, que as funções da forma F (x) + C são as únicas primitivas de f . Enunciamos o
teorema a seguir.
Teorema 1. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é
F (x) + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Exemplo 2. Se f(x) = x2, então F (x) =
x3
3
+ C, o que signi�ca dizer que
d
dx
[
x3
3
+ C
]
= x2.
�
Exemplo 3. Se f(x) = sen(x) então as primitivas de f são dadas por F (x) = − cos(x)+C, o que signi�ca
dizer que
d
dx
[− cos(x) + C] = sen(x).
�
Exemplo 4. Se f(x) =
4
x3
então F (x) = − 2
x2
+ C, pois
d
dx
[
− 2
x2
+ C
]
=
4
x3
.
�
Observação 3. Na notação F (x) + C, chamamos a constante C de constante de integração.
1.1 Primitivas imediatas
Do nosso conhecimento de derivadas, podemos obter de modo imediato a primitiva de algumas funções
mais simples:
� Se f(x) = k então F (x) = kx+ C, com k uma constante;
� Se f(x) = xn então F (x) =
xn+1
n+ 1
+ C, (com n 6= −1);
� Se f(x) = ex então F (x) = ex + C;
� Se f(x) =
1
x
então F (x) = ln |x|+ C;
� Se f(x) = cos(x) então F (x) = sen(x) + C;
2
Cálculo I Aula nº 21
� Se f(x) = sen(x) então F (x) = − cos(x) + C;
� Se f(x) = sec2(x) então F (x) = tg(x) + C;
� Se f(x) = cossec2(x) então F (x) = − cotg(x) + C;
� Se f(x) = sec(x). tg(x) então F (x) = sec(x) + C;
� Se f(x) = cossec(x). cotg(x) então F (x) = −cossec(x) + C;
� Se f(x) = − 1√
1− x2
então F (x) = arccos(x) + C (com x ∈ (−1, 1));
� Se f(x) =
1√
1− x2
então F (x) = arcsen(x) + C (com x ∈ (−1, 1));
� Se f(x) =
1
x2 + 1
então F (x) = arctg(x) + C.
1.2 Propriedades das primitivas
As primitivas possuem algumas propriedades que serão úteis em nossos cálculos. Essas propriedades
estão listas na seguinte proposição:
Proposição 1. Sejam F e G primitivas das funções f e g, respectivemente e k uma constante. Então
(a) Uma primitiva de kf é kF ;
(b) Uma primitiva de f + g é F +G.
Demonstração: Durante a demonstração omitiremos a constante de integração, contudo faz-se necessário
lembrar que ela deve ser colocada durante os cálculos.
(a) Se F é uma primitiva de f , então
F ′(x) = f(x)
Desse modo, temos:
[k.F ]′(x) = k.F ′(x) = k.f(x)
Portanto, uma primitiva de kf é kF
(b) Se F e G são primitivas de f e g, respectivamente, então
F ′(x) = f(x) e G′(x) = g(x).
Segue que
[F +G]′(x) = F ′(x) +G′(x) = f(x) + g(x).
Logo, umaa primitiva de f + g é F +G.
�
Exemplo 5. Calcule a primitiva G de
g(x) = 3 sen(x).
Solução: Note que
G(x) = −3 cos(x) + C.
�
3
Cálculo I Aula nº 21
Exemplo 6. Calcule a primitiva de
h(x) = x4 − x2
3
.
Solução: Como a função h é a soma das funções f(x) = x4 e g(x) = −x2
3
, basta calcularmos a primitiva
de cada uma dessas funções separadamente e utilizar o item (ii) da proposição anterior. Então, note que
uma primitiva de f é F (x) =
x5
5
+ C1 e uma primitiva de g é G(x) = −x3
9
+ C2. Logo, a primitiva de h,
que será representada por H(x) será dada por
H(x) = F (x) +G(x) =
x5
5
+ C1 −
x3
9
+ C2 =
x5
5
− x3
9
+ C,
onde C = C1 + C2.
�
Observação 4. Note que a soma de constantes é uma constante. Logo, para facilitar a escrita e não
sobrecarregar o cálculo com várias constantes, é comum utilizar apenas uma constante durante o cálculo,
como será mostrado no exemplo seguinte.
Exemplo 7. Calcule a primitiva Z da função
z(x) = x+
1
x3
.
Solução: Como a função z é a soma das funções f(x) = x e g(x) =
1
x3
, devemos, como anteriormente,
determinar as primitivas F e G das funções f e g, respectivamente. Então, note que
F (x) =
x1+1
1 + 1
=
x2
2
,
e que g(x) =
1
x3
= x−3, e assim,
G(x) =
x−3+1
−3 + 1
=
x−2
−2
= − 1
2x2
.
Logo,
Z(x) =
x2
2
− 1
2x2
+ C.
�
Exemplo 8. Calcule F (x) que é a primitiva da função
f(x) =
3x5 + 2x− 5
x3
.
Solução: Temos que
f(x) =
3x5 + 2x− 5
x3
= 3x2 +
2
x2
− 5
x3
= 3x2 + 2x−2 − 5x−3.
Logo, calculando as primitivas de cada uma das parcelas, obtemos
F (x) = 3
(
x2+1
2 + 1
)
+ 2
(
x−2+1
−2 + 1
)
− 5
(
x−3+1
−3 + 1
)
+ C
= 3
x3
3
+ 2
x−1
−1
− 5
x−2
−2
+ C
= x3 − 2
x
+
5
2x2
+ C.
�
4
Cálculo I Aula nº 21
Exemplo 9. Calcule F que é a primitiva de
f(x) =
√
x− 2 3
√
x
x
.
Solução: Note que
f(x) =
√
x− 2 3
√
x
x
=
x
1
2 − 2x
1
3
x
= x−
1
2 − 2x−
2
3 .
Logo,
F (x) =
(
x−
1
2
+1
−1
2 + 1
)
− 2
(
x−
2
3
+1
−2
3 + 1
)
+ C
=
x
1
2
1
2
− 2 · x
1
3
1
3
+ C
= 2
√
x− 6 3
√
x+ C.
�
Exemplo 10. Determine a expressão da função y = y(t) que satisfaz as seguintes condições:{
dy
dt
= 3t− 5
y(0) = 2
Solução: Basta notar que uma primitiva de dy
dt é dada por
y(t) = 3
t2
2
− 5t+ C.
Contudo, precisamos determinar a função que satisfaz a condição y(0) = 2. Para isso, fazemos
y(0) = 2
3
02
2
− 5.0 + C = 2
C = 2.
Logo, a função desejada é y(t) =
3t2
2
− 5t+ 2.
�
Observação 5. O tipo de problema apresentado no exemplo anterior é denominado Problema de Valor
Inicial (P.V.I.) e é muito frequente nas ciências exatas. Sua composição é dada por uma equação cuja
incógnita é uma função y e envolve suas derivadas, chamada de Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) e
também uma condição chamada de condição inicial que consiste em um ponto pertencente ao grá�co da
função solução y.
Para os próximos exemplos devemos lembrar que se x(t) é a função posição de uma partícula, então a
derivada de x(t) pode ser entendida como sendo a velocidade da partícula e a segunda derivada de x(t)
como sendoa aceleração. Então, podemos também entender que a função posição é uma primitiva da
velocidade e que essa é a primitiva da aceleração.
Exemplo 11. Determine a função posição x = x(t) de uma partícula, cuja velocidade é dada por v(t) =
4t− 7 e x(1) = 1.
5
Cálculo I Aula nº 21
Solução: Note que v(t) =
dx
dt
. Logo, procedendo como no exemplo anterior, temos que uma primitiva
para v(t) é
x(t) = 4
t2
2
− 7t+ C = 2t2 − 7t+ C.
Agora, utilizando a condição inicial, temos que
x(1) = 1
2.12 − 7.1 + C = 1
2− 7 + C = 1
C = 6.
Portanto, a função posição é dada por x(t) = 2t2 − 7t+ 6.
�
Exemplo 12. Determine a função posição de uma partícula que possui aceleração dada por a(t) = 7t+ 2
e satisfaz v(0) = 2 e x(0) = 1.
Solução: Note que a velocidade é uma primitiva da aceleração, logo,
v(t) =
7t2
2
+ 2t+ C1.
Utilizando, a condição v(0) = 2, temos que
v(0) = 2
7.02
2
+ 2.0 + C1 = 2
C1 = 2.
Logo,
v(t) =
7t2
2
+ 2t+ 2.
Como x(t) é uma primitiva de v(t), então
x(t) =
7t3
6
+ t2 + 2t+ C2.
Usando a condição x(0) = 1, temos que
x(0) = 1
7.03
6
+ 02 + 2.0 + C2 = 1
C2 = 1.
Portanto,
x(t) =
7t3
6
+ t2 + 2t+ 1.
�
Resumo
Faça a sua própria tabela de primitivas. Coloque nela todas as funções que você já memorizou a derivada.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 4 - Seção 4.9 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.9 do livro texto.
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