C1 Notas da Aula 22 - 2023_4

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Objetivos da Aula
� De�nir a integral de Riemann;
� Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a de�nição;
� Apresentar funções que são de�nidas por integrais, em particular a função f(x) = ln x.
1 O Problema da Área
O Problema da Área foi apresentado na aula introdutória do curso de cálculo, mas se faz necessário
relembrarmos de algumas ideias importantes vistas nesse tema.
Problema 1. Como calcular a área da região limitada pela função y = 4, o eixo x e as retas x = 0 e x = 5?
A região cuja área queremos calcular é a seguinte:
Como podemos notar, a região é um retângulo de base 5 e altura 4. Logo, sua área é dada por
Área = base× altura = 5× 4 = 20 unidades de área.
Problema 2. Como calcular a área da região limitada pela função y = x, o eixo x e as retas x = 0 e
x = 2?
A região cuja área queremos calcular é vista na �gura abaixo:
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2023-4
Aula nº 22: A Integral de Riemann.
Cálculo I Aula nº 22
Como é fácil ver, a região é um triângulo de base 2 e altura 2, logo, sua área é calculada por:
Área =
base× altura
2
=
2× 2
2
= 2 unidades de área.
Quando as regiões são as �guras planas cujas fórmulas de área são conhecidas, �ca fácil determinar as
suas medidas de área. Contudo, o próximo problema nos ensina um modo de determinar a área de regiões
mais gerais, através da ferramenta matemática chamada INTEGRAL.
Problema 3. Como medir a área A delimitada pelo grá�co da função f(x) = x2, o eixo x e as retas x = 0
e x = 1?
A região cuja área queremos calcular é a seguinte:
Figura 1:
Vamos adotar a seguinte estratégia para resolver este problema:
1. Vamos dividir o intervalo [0, 1] em 4 subintervalos, cujo comprimento será:
∆x =
1− 0
4
=
1
4
.
Teremos, então, os seguintes subintervalos:
[
0,
1
4
]
,
[
1
4
,
1
2
]
,
[
1
2
,
3
4
]
e
[
3
4
, 1
]
.
2. Vamos construir quatro retângulos de base ∆x e altura igual ao valor de f(x) nas extremidades à
esquerda dos subintervalos.
3. Calculamos a soma das quatro áreas destes retângulos, conforme �gura a seguir.
Figura 2:
2
Cálculo I Aula nº 22
Veja que
A =
1
4
· (0)2 +
1
4
·
(
1
4
)2
+
1
4
·
(
1
2
)2
+
1
4
·
(
3
4
)2
=
7
32
= 0, 21875.
Na �gura 2 vemos que a área é maior que 0,21875:
A > 0, 21785.
Podemos repetir esse procedimento com um número maior de retângulos. A �gura 3 mostra o que
acontece quando sob a região A construímos oito retângulos com a mesma largura.
Figura 3:
Calculando a soma da área desses retângulos, temos que
A > 0, 2734375
Podemos obter estimativas melhores aumentando o número de retângulos. A tabela 1 (onde n é o
número de retângulos) mostra os resultados de cálculos semelhantes ao anterior, utilizando o Geogebra para
calcular as áreas.
n An
10 0,2850000
20 0,3087500
30 0,3168519
50 0,3234000
100 0,3283500
1000 0,3328335
Tabela 1:
Logo, utilizando os resultados obtidos na tabela acima, é possível conjecturarmos que a área é 1
3 .
Observação 1. Podemos substituir os extremos à esquerda pelos extremos à direita dos subintervalos no
procedimento realizado acima e obteremos o mesmo resultado.
2 Integral de Riemann
Consideremos uma função não negativa y = f(x) de�nida em um intervalo [a, b]. Chamamos de uma
partição do intervalo [a, b] ao conjunto de pontos x0, x1, ..., xn ∈ [a, b] tais que
a := x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn := b.
A �gura abaixo ilustra essa de�nição.
3
Cálculo I Aula nº 22
Figura 4:
Agora, note que os pontos da partição dividem o intervalo [a, b] em n subintervalos fechados
I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], ..., In−1 = [xn−2, xn−1], In = [xn−1, xn],
como mostra a �gura abaixo,
Figura 5:
com os seus respectivos comprimentos ∆x1,∆x2, ...,∆xn dados por
∆x1 = x1 − x0, ∆x2 = x2 − x1, ...,∆xi = xi − xi−1, .... ,∆xn = xn − xn−1.
Dessa forma, escolheremos em cada subintervalo um ponto
λ1 ∈ I1, λ2 ∈ I2, ... , λn ∈ In
e traçamos o valor de f(λi), para cada i = 1, ..., n, assim como na �gura seguinte.
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Cálculo I Aula nº 22
Figura 6:
Dessa forma, construiremos n retângulos cujas bases são o comprimento ∆xi de cada subintervalo e a
altura é o valor de f(λi), para todo i = 1, 2, ..., n, como ilustrado abaixo.
Figura 7:
A soma da área desses retângulos é dada por
Sn = f(λ1)∆x1 + f(λ2)∆x2 + ...+ f(λn)∆xn =
n∑
i=1
f(λi)∆xi.
A soma Sn é chamada Soma de Riemann, para cada n, e é apenas uma aproximação para a área da
região que queremos. Logo, fazendo n → +∞, estaremos subdividindo o intervalo [a, b] cada vez mais e,
como mostrado anteriormente, conseguimos uma aproximação melhor para a área da região desejada. Logo,
a área A que queremos calcular é dada por
A = lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
n∑
i=1
f(λi)∆xi.
5
Cálculo I Aula nº 22
O número A é o limite das somas de Riemann e é chamado integral de Riemann da função f sobre o
intervalo [a, b]. Em nossos cálculos, esse limite será representado pelo símbolo:
A =
∫ b
a
f(x) dx = lim
n→+∞
n∑
i=1
f(λi)∆xi
Se o limite à direita existir para todo x ∈ [a, b], e independente da escolha de λ1, ..., λn, dizemos que
a função f é integrável em [a, b]. Essa de�nição nos propõe um problema: o de saber quando o limite das
somas de Riemann existe. Como essa é uma questão delicada e foge do objetivo de um curso de cálculo,
enunciaremos e utilizaremos o seguinte resultado:
Teorema 1. Toda função contínua em um intervalo fechado [a, b] é integrável neste intervalo.
Nos seguintes exemplos, onde buscamos apenas exempli�car, com alguns cálculos, a integral de funções
contínuas em um intervalo [a, b] utilizando a de�nição, admitiremos que os comprimentos dos subintervalos
são �xos, ou seja,
∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn = ∆x =
b− a
n
,
e escolheremos o ponto λi como sendo o extremo esquerdo da partição. Desse modo, podemos sintetizar o
procedimento para calcular a integral de uma função contínua f , não negativa, em um intervalo [a, b], da
seguinte forma:
(1) Dividi-se o intervalo [a, b] em n subintervalos Ii, i = 1, ..., n, todos de comprimento igual a ∆x =
b− a
n
.
Sejam a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b, os pontos que dividem o intervalo.
(2) Em cada um destes subintervalos escolhemos um ponto λi como sendo o extremo esquerdo de cada
subintervalo Ii
(3) Formamos então n retângulos com base ∆x e altura f(λi), i = 1, 2, 3, ..., n.
(4) Calculamos a soma Sn das áreas dos retângulos:
Sn = f(λ1).∆x+ f(λ2).∆x+ ...+ f(λn).∆x =
n∑
i=1
f(λi).∆x.
(5) Calculamos o limite lim
n→+∞
Sn
Antes de fazermos os exemplos, vamos listar algumas propriedades que envolvem somatórios:
Proposição 1. Sejam c, x1, ..., xn, y1, ..., yn ∈ R. Então, valem as seguintes propriedades:
(a)
n∑
i=1
cxi = c
n∑
i=1
xi;
(b)
n∑
i=1
(xi + yi) =
n∑
i=1
xi +
n∑
i=1
yi.
Demonstração:
(a) De fato, note que
n∑
i=1
cxi = cx1 + cx2 + ...+ cxn−1 + cxn
= c (x1 + x2 + ...+ xn−1 + xn)
= c
(
n∑
i=1
xi
)
.
6
Cálculo I Aula nº 22
(b) Observe que
n∑
i=1
(xi + yi) = (x1 + y1) + (x2 + y2) + ...+ (xn−1 + yn−1) + (xn + yn)
= (x1 + x2 + ...+ xn−1 + xn) + (y1 + y2 + ...+ yn−1 + yn)
=
(
n∑
i=1
xi
)
+
(
n∑
i=1
yi
)
.
�
Nos próximos exemplos também utilizaremos algumas fórmulas que serão apenas apresentadas, pois suas
demonstrações fogem do objetivo do nosso curso. Elas são:
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
; (1)
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
; (2)
n∑
i=1
i3 =
[
n(n+ 1)
2
]2
. (3)
Vejamos alguns exemplos de cálculo de integral pela de�nição.
Exemplo 1. Calcule
∫ 7
3
c dx, em que c ∈ R.
Solução: Primeiramente, calculamos a soma de Riemann da função no intervalo descrito, que é dada por
n∑
i=1
f(λi)
(
7− 3
n
)
=
n∑
i=1
c
(
4
n
)
= c
4
n
n∑
i=1
1.
Agora note que
n∑
i=1
1 = 1 + 1 + 1 + ...+ 1︸ ︷︷ ︸
n vezes
= n.
Então,
n∑
i=1
f(λi)
(
7− 3
n
)
=
4c
�n
�n = 4c.
Portanto, ∫ 7
3
c dx = lim
n→+∞
4c = 4c.
�
Exemplo 2. Calcule
∫ 3
1
x dx.
Solução: Primeiramente, dividiremos o intervalo [1, 3] em n subintervalos de comprimentos iguais, ou seja,
∆x =
2
n
. Logo, temos que
x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, ..., xn−1 = 1 + (n− 1)∆x,xn = 3.
Logo, como λi = xi−1, i = 1, ..., n, temos que
λ1 = 1, λ2 = 1 +
2
n
, ..., λn = 1 + (n− 1)
2
n
.
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Cálculo I Aula nº 22
Logo, as somas de Riemann são dadas por
n∑
i=1
f(λi)∆x =
n∑
i=1
λi
2
n
=
2
n
n∑
i=1
λi
=
2
n
(
1 + 1 +
2
n
+ 1 + 2 · 2
n
+ ...+ 1 + (n− 1)
2
n
)
=
2
n
(
n+
2
n
+ 2 · 2
n
+ 3 · 2
n
+ ...+ (n− 1)
2
n
)
=
2
n
· n+
2
n
(
2
n
+ 2 · 2
n
+ 3 · 2
n
+ ...+ (n− 1)
2
n
)
= 2 +
4
n2
(1 + 2 + 3 + ...+ (n− 1)) .
Pela fórmula (1), temos que
1 + 2 + ...+ n =
n(n+ 1)
2
=
n2
2
+
n
2
.
Logo,
1 + 2 + 3 + ...+ (n− 1) =
n2
2
+
n
2
− n =
n2
2
− n
2
=
n(n− 1)
2
.
Logo, temos que
n∑
i=1
f(λi)∆x = 2 +
4
n2
(1 + 2 + 3 + ...+ (n− 1))
= 2 +
4
n2
n(n− 1)
2
= 2 +
2(n− 1)
n
Calculando o limite da soma de Riemann, temos que
lim
n→+∞
(
2 +
2(n− 1)
n
)
= lim
n→+∞
2 + 2 lim
n→+∞
(
n− 1
n
)
= 2 + 2 lim
n→+∞
(
1− 1
n
)
= 2 + 2 = 4.
�
Exemplo 3. Calcule
∫ 1
0
x2 dx.
Solução: Utilizando o procedimento prático, dividimos o intervalo [0, 1] em n subintervalos de comprimento
∆x =
1− 0
n
=
1
n
.
Note que essa partição é dada por
x0 = 0,
x1 = 0 + ∆x = ∆x,
x2 = 0 + 2∆x = 2∆x
...
...
...
xi = i∆x
...
...
...
xn−1 = (n− 1)∆x
xn = 1.
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Cálculo I Aula nº 22
Como λi = xi−1, temos que
λ1 = 0
λ2 = ∆x
λ3 = 2∆x
...
...
...
λi = (i− 1)∆x
...
...
...
λn = (n− 1)∆x.
Desse modo, as somas de Riemann são dadas por
Sn =
n∑
i=1
f(λi)∆x
= ∆x
n∑
i=1
f(λi)
= ∆x
(
02 + 12(∆x)2 + 22(∆x)2 + 32(∆x)2 + ...+ (n− 1)2(∆x)2
)
= (∆x)3
(
12 + 22 + 32 + ...+ (n− 1)2
)
.
Agora, note que pela fórmula (2), temos que
12 + 22 + 32 + ...+ (n− 1)2 + n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
=
n3
3
+
n2
2
+
n
6
.
Logo,
12 + 22 + 32 + ...+ (n− 1)2 =
n3
3
+
n2
2
+
n
6
− n2
=
n3
3
− n2
2
+
n
6
=
2n3 − 3n2 + n
6
.
Desse modo, temos que
Sn = (∆x)3
2n3 − 3n2 + n
6
=
2n3 − 3n2 + n
6n3
.
Logo,
lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
2n3 − 3n2 + n
6n3
= lim
n→+∞
��n
3
(
2− 3
n + 1
n2
)
6��n
3
=
2
6
=
1
3
.
�
9
Cálculo I Aula nº 22
Por �m, exibiremos uma lista de propriedades da integral de Riemann. Omitiremos a demonstração, por
acreditar que foge ao objetivo de um curso de cálculo. São elas:
Teorema 2. Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
1.
∫ a
b
f(x) dx = −
∫ b
a
f(x) dx;
2.
∫ a
a
f(x) dx = 0;
3.
∫ b
a
c dx = c(b− a);
4.
∫ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx;
5.
∫ b
a
c.f(x) dx = c.
∫ b
a
f(x) dx;
6.
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx, com c ∈ (a, b);
7. Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], então
∫ b
a
f(x) dx ≥ 0;
8. Se f(x) ≥ g(x), então
∫ b
a
f(x) dx ≥
∫ b
a
g(x) dx.
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 5.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 5.2 do livro texto.
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