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Objetivos da Aula � Apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo; � Calcular área entre curvas utilizando a integral de�nida. 1 Teorema Fundamental do Cálculo Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então∫ b a f(x) dx = F (b)− F (a), onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ′ = f . Exemplo 1. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), calcule∫ b a x dx. Solução: Pelo TFC, temos ∫ b a x dx = F (b)− F (a), onde F é uma primitiva de f(x) = x, ou seja, F (x) = ∫ x dx = x2 2 + C. Assim ∫ b a x dx = [ x2 2 + C ]b a = b2 2 − a2 2 . � Exemplo 2. Calcule ∫ 3 0 (x+ 3) dx. Solução: Pelo TFC, temos ∫ 3 0 (x+ 3) dx = [ x2 2 + 3x ]3 0 = ( 32 2 + 9 ) − ( 02 2 + 0 ) = 27 2 . � 1 Universidade Federal do Pará Cálculo I - 2023-4 Aula nº 23: Teorema Fundamental do Cálculo I e Área entre gráficos. Cálculo I Aula nº 23 Exemplo 3. Calcule ∫ 6 3 1 x dx. Solução: Pelo TFC, temos ∫ 6 3 1 x dx = ln(x)|63 = ln(6)− ln(3) = ln ( 6 3 ) = ln(2). � Exemplo 4. Calcule ∫ 2π π cos θ dθ. Solução: Pelo TFC, temos ∫ 2π π cos θ dθ = sen θ|2ππ = sen 2π − senπ = 0. � Exemplo 5. Calcule ∫ 2 1 v3 + 3v6 v4 dv. Solução: Pelo TFC, temos ∫ 2 1 v3 + 3v6 v4 dv = ∫ 2 1 1 v + 3v2 dv = ln(v)|21 + 3 v3 3 ∣∣∣∣2 1 = ln(2) + 7. � Exemplo 6. Calcule ∫ 3 −1 (|x|+ 1) dx. Solução: Note que |x|+ 1 = { x+ 1, se x ≥ 0 −x+ 1, se x < 0 . Usando uma das propriedades da integral de�nida (ver aula anterior) para calcular a integral, obtemos∫ 3 −1 (|x|+ 1) dx = ∫ 0 −1 (−x+ 1) dx+ ∫ 3 0 (x+ 1) dx = ( −x 2 2 + x )∣∣∣∣0 −1 + ( x2 2 + x )∣∣∣∣3 0 = 9. � 2 Cálculo I Aula nº 23 Exemplo 7. Calcule ∫ 1 −1 | sen(πx)| dx. Solução: Observemos que sen(πx) ≥ 0 se 0 ≤ x ≤ 1 e sen(πx) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 0. Segue que∫ 1 −1 | sen(πx)| dx = ∫ 0 −1 − sen(πx) dx+ ∫ 1 0 sen(πx) dx = cos(πx) π ∣∣∣∣0 −1 − cos(πx) π ∣∣∣∣1 0 = 4 π . � Exemplo 8. Calcule ∫ 8 0 3 √ x(x− 1) dx. Solução: Temos que ∫ 8 0 3 √ x(x− 1) dx = ∫ 8 0 x 3 √ x dx− ∫ 8 0 3 √ x dx = ∫ 8 0 x 4 3 dx− ∫ 8 0 x 1 3 dx = 3x 7 3 7 ∣∣∣∣∣ 8 0 − 3x 4 3 4 ∣∣∣∣∣ 8 0 = 300 7 . � Exemplo 9. Calcule ∫ π −π f(x) dx, onde f(x) = { sen(x), se x ≤ 0 1− cos(x), se x > 0 Solução: Temos que∫ π −π f(x) dx = ∫ 0 −π sen(x) dx+ ∫ π 0 1− cos(x) dx = ∫ 0 −π sen(x) dx+ ∫ π 0 1 dx− ∫ π 0 cos(x) dx = − cos(x)|0−π + x|π0 − sen(x)|π0 = − cos(0) + cos(−π) + π − sen(π) + sen(0) = −2 + π. � 3 Cálculo I Aula nº 23 2 Área entre Curvas De�nição 1. A área A entre a região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b, onde f e g são contínuas e f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], é A = ∫ b a [f(x)− g(x)] dx. Exemplo 10. Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e pelo grá�co de f(x) = x2. Solução: Primeiramente, vamos construir no mesmo plano cartesiano a região que queremos calcular a área. Temos que A = ∫ 1 0 x2 dx = [ x3 3 ]1 0 = 1 3 u.a. (unidades de área). � Exemplo 11. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen(x), y = x, x = π 2 e x = π. Solução: Primeiramente, vamos construir no mesmo plano cartesiano o grá�co destas funções no intervalo[π 2 , π ] . 4 Cálculo I Aula nº 23 Como x ≥ sen(x) para todo x no intervalo [π 2 , π ] , temos que A = ∫ b a [f(x)− g(x)] dx = ∫ π π 2 [x− sen(x)] dx = [ x2 2 + cos(x) ]π π 2 = 3π2 8 − 1 u.a. � Exemplo 12. Calcule a área da região limitada pelo grá�co de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas retas x = −1 e x = 1. Solução: A região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo. Note que ∫ 1 −1 x3 dx = [ x4 4 ]1 −1 = 1 4 − 1 4 = 0. Sendo assim, neste caso, calcular a integral de f no intervalo de −1 a 1 não equivale a calcular a área da região que queremos, pois x3 assume valores negativos em [−1, 0). Entretanto, como x3 é uma função ímpar, temos que A = 2 ∫ 1 0 x3 dx = 2 · 1 4 = 1 2 u.a. � Exemplo 13. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = −x2 + 4x. Solução: A região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo. 5 Cálculo I Aula nº 23 Observe que as curvas se intersectam em dois pontos A e B. Dessa forma, precisamos determinar os pontos A e B, para identi�car os limites de integração. Resolvendo o sistema{ y = x2 y = −x2 + 4x , obtemos os pontos (0, 0) e (2, 4). Como −x2 + 4x ≥ x2, para todo x no intervalo [0, 2], o grá�co de f(x) = −x2 + 4x está acima do grá�co de g(x) = x2. Assim, a área procurada é dada por: A = ∫ 2 0 (−x2 + 4x− x2) dx = ∫ 2 0 (−2x2 + 4x) dx = [ −2x3 3 + 2x2 ]2 0 = 8 3 u.a. � Exemplo 14. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen(x) e y = cos(x), no intervalo [ 0, π 2 ] . Solução: Gra�camente, a região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo. Resolvendo o sistema { y = sen(x) y = cos(x) , obtemos o ponto P = ( π 4 , √ 2 2 ) , que é o único ponto de interseção das curvas no intervalo considerado. Como cos(x) ≥ sen(x), para todo x ∈ [ 0, π 4 ] e sen(x) ≥ cos(x), para todo x ∈ [π 4 , π 2 ] , vamos dividir a região em duas partes. 6 Cálculo I Aula nº 23 Assim, a área A é dada por A = ∫ π 4 0 [cos(x)− sen(x)] dx+ ∫ π 2 π 4 [sen(x)− cos(x)] dx = [sen(x) + cos(x)] π 4 0 + [− sen(x)− cos(x)] π 2 π 4 = 2 √ 2− 2 u.a. � Exemplo 15. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = ex, y = x2 − 1, x = −1 e x = 1. Solução: Gra�camente, a região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo. Como f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [−1, 1], temos que A = ∫ 1 −1 [ex − (x2 − 1)] dx = ∫ 1 −1 [ex − x2 + 1] dx = [ ex − x3 3 + x ]1 −1 = e− 1 e + 4 3 u.a. � Observação 1. Algumas vezes, os problemas �cam mais simples de resolver quando integramos em relação a y e não em relação a x. Assim, seja R a região plana limitada pela direita pela função x = M(y), pela esquerda por x = N(y) e pelas retas y = c e y = d. Não é difícil provar que, se as funções M(y) e N(y) são contínuas em [c, d], então A = ∫ d c [M(y)−N(y)] dy. 7 Cálculo I Aula nº 23 Exemplo 16. Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x e y = x− 4. Solução: Note que as interseções entre as curvas são os pontos (2,−2) e (8, 4). Sejam x =M(y) = y+4 e x = N(y) = y2 2 . Assim, a região que queremos calcular a área está representada a seguir. Então A = ∫ 4 −2 ( y + 4− y2 2 ) dy = [ y2 2 + 4y − y3 6 ]4 −2 = 18 u.a. � Exemplo 17. Calcule a área limitada pela curva (y− 2)2 = x− 1, pela tangente a esta curva no ponto de ordenada y = 3 e pelo eixo x. Solução: Se y = 3, então x = 2. A equação da reta tangente no ponto (2, 3) é a equação da reta tangente y = y′(x0)(x−2)+3. Para obter y′, derivamos implicitamente em relação a x a equação (y−2)2 = x−1. Temos 2(y − 2)y′ = 1. No ponto (2, 3), temos que y′(2) = 1 2 . Logo y = x 2 + 2 ou 2y − x − 4 = 0. A área que procuramos está exibida no grá�co abaixo. 8 Cálculo I Aula nº 23 Integrando em relação a y, teremos x =M(y) = (y − 2)2 + 1 e x = N(y) = 2y − 4, e assim A = ∫ 3 0 [(y − 2)2 + 1− (2y − 4)] dy = ∫ 3 0 (y2 − 6y + 9) dy = [ y3 3 − 3y2 + 9x ]3 0 = 9 u.a. � Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de�nições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 350− 356 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 357− 359 do livro texto. 9