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Objetivos da Aula � Apresentar as funções dadas por uma integral; � Apresentar o Teorema do Valor Médio para Integrais; � Apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo II; � De�nir Integral Inde�nida. 1 Funções de�nidas por uma integral Considere a integral ∫ b a f(t) dt Na aula anterior aprendemos que, sob certas condições sobre f , podemos calcular o valor da integral e que o mesmo é um número. Contudo, se substituirmos o limite superior b por uma variável x, x ∈ [a, b], podemos entender a integral como sendo uma função, dada por F (x) = ∫ x a f(t) dt, que associa a cada valor de x ao número F (x). Dessa forma, obtemos uma função que é dada por uma integral. Vejamos um exemplo. Exemplo 1. Considere a função F (x) = ∫ x 0 cos(t) dt e determine F (0), F (π 6 ) , F (π 4 ) . Solução: Substituindo x por cada um dos valores mencionados acima na integral, obtemos F (0) = ∫ 0 0 cos(t) dt = 0 F (π 6 ) = ∫ π 6 0 cos(t) dt = sen (π 6 ) − sen (0) = 1 2 F (π 4 ) = ∫ π 4 0 cos(t) dt = sen (π 4 ) − sen (0) = √ 2 2 . � 1 Universidade Federal do Pará Cálculo I - 2023-4 Aula nº 24: Teorema do Valor Médio para Integrais, Teorema Fundamental do Cálculo II e Funções dadas por uma integral. Cálculo I Aula nº 24 Poderíamos entender também o valor de F como sendo o valor da área compreendida entre o eixo t e o grá�co da função f(t) = cos(t) entre as retas t = 0 e t = x, como mostrado abaixo: Uma forma de de�nirmos a função logarítmica f(x) = ln(x) é pela função dada por integral ln(x) = ∫ x 1 1 t dt, e entendendo que os valores dessa função é o valor da área abaixo de g(t) = 1 t entre t = 1 e t = x, obtemos que Observação 1. No ensino médio, de�nimos a função logarítmica após de�nirmos a função exponencial, como sendo a inversa desta última. Contudo, pode ocasionar uma dúvida em como de�nir o valor de números como eπ, por isso, alguns autores preferem a abordagem contrária, isto é, de�nir a função logarítmica utilizando a integral e após isso, de�nir a função exponencial como sendo a inversa da primeira. 2 Teorema Fundamental do Cálculo II Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo II). Se f for contínua em [a, b], então a função g de�nida por g(x) = ∫ x a f(t) dt a ≤ x ≤ b é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e g′(x) = f(x). Observação 2. O Teorema Fundamental do Cálculo II nos diz basicamente que as funções dadas por integral da forma g(x) = ∫ x a f(t) dt são primitivas de f . Exemplo 2. Encontre a derivada da função g(x) = ∫ x 0 √ 1 + t2 dt. Solução: Uma vez que f(t) = √ 1 + t2 é contínua, a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo fornece g′(x) = √ 1 + x2. � 2 Cálculo I Aula nº 24 Exemplo 3. Encontre d dx ∫ x4 1 sec(t) dt. Solução: Seja u = x4, temos d dx ∫ x4 1 sec(t) dt = d dx ∫ u 1 sec(t) dt = d du [∫ u 1 sec(t) dt ] du dx = sec(u) du dx = 4x3 sec(x4). � Exemplo 4. Se xsen (πx) = ∫ x2 0 f(t) dt, onde f é uma função contínua, calcule f(4). Solução: Derivando ambos os membros, temos d dx [xsen (πx)] = d dx [∫ x2 0 f(t) dt ] sen (πx) + πx cos(πx) = 2xf(x2). Para x = 2, temos sen (πx) + πx cos(πx) = 2xf(x2) ⇒ sen (2π) + 2π cos(2π) = 4f(4) ⇒ f(4) = π 2 . � Em aulas anteriores, vimos que, se uma função f possui duas primitivas F e G, de�nidas sobre um mesmo intervalo, então elas são iguais a menos de uma constante, isto é, F (x) = G(x) + C, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo II, se tomarmos dois pontos quaisquer x0 e x1 em um intervalo [a, b] contido no domínio de f , as funções F (x) = ∫ x x0 f(t) dt e G(x) = ∫ x x1 f(t) dt que são primitivas de f (de�nidas no intervalo [a, b]), são iguais a menos de uma constante (nesse caso, você seria capaz de dizer quanto vale a constante C, tal que F (x) = G(x) + C?). Desse modo, representamos as primitivas utilizando a notação de integral sem os limites de integração e substituindo a variável muda t por x, da seguinte forma: ∫ f(x) dx = F (x) + C. Essa �integral� (que, de fato, não é uma integral, mas sim uma notação pra designar a família de primitivas da função f) é chamada de integral inde�nida. Exemplo 5. Determine a primitiva da função f(x) = sen (x) cos2(x) . Solução: Note que∫ sen (x) cos2(x) dx = ∫ sen (x) cos(x) 1 cos(x) dx = ∫ tg (x) sec(x) dx = sec(x) + C. � 3 Cálculo I Aula nº 24 Exemplo 6. Se deixarmos cair uma pedra, podemos admitir que a resistência do ar é desprezível. Segundo essa suposição, experimentos mostram que a aceleração desse movimento é constante e igual a chamada aceleração da velocidade g = 9, 8m/s2. Determine a função posição x = x(t) em relação ao tempo da pedra. Solução: Como a aceleração é constante e igual a g, temos que a(t) = g. Já sabemos que a velocidade é uma primitiva da aceleração, então v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ g dt = gt+ C1. Como a pedra foi solta, então v(0) = 0. Logo, v(0) = 0 ⇒ g · 0 + C1 = 0 ⇒ C1 = 0. Desse modo, v(t) = gt. Também sabemos que a função posição é uma primitiva da função velocidade, logo, x(t) = ∫ v(t) dt = ∫ gt dt = gt2 2 + C2. Considerando a posição x = 0 como sendo aquela de onde a pedra cai, temos que x(0) = 0, e desse modo, temos que x(0) = 0 ⇒ g · 02 2 + C2 = 0 ⇒ C2 = 0. Portanto, x(t) = gt2 2 . � 3 Teorema do Valor Médio para Integrais De�nição 1 (Valor Médio de uma Função). O valor médio de uma função f no intervalo [a, b] é de�nido por: fmed = 1 b− a ∫ b a f(x) dx. Exemplo 7. Encontre o valor médio da função f(x) = 1 + x2 no intervalo [−1, 2]. Solução: Com a = −1 e b = 2, temos fmed = 1 2− (−1) ∫ 2 −1 (1 + x2) dx = 1 3 [ x+ x3 3 ]2 −1 = 2. � Exemplo 8. O custo unitário C = C(x) para produzir um certo artigo num período de 10 anos é dado por C(x) = 25− 0, 2x+ 0, 5x2 + 0, 03x3, onde x é o tempo em meses. Determine o custo unitário médio durante o período. Solução: Note que 0 ≤ x ≤ 120, logo Cmed = 1 120− 0 ∫ 120 0 (25− 0, 2x+ 0, 5x2 + 0, 03x3) dx = 15.373. � 4 Cálculo I Aula nº 24 Exemplo 9. Uma distribuidora estoca 24000 caixas de seu principal produto para as vendas de natal. Em geral, as vendas são baixas no início do mês de dezembro e à medida que se aproxima o dia 24, as vendas aumentam de tal modo que após x dias desde primeiro de dezembro o estoque é dado por f(x) = 24000− 3x3, 1 ≤ x ≤ 20. Determine o número médio de caixas disponível no período de 20 dias. Solução: Neste caso, a = 1 e b = 20. Temos que fmed = 1 20− 1 ∫ 20 1 (24000− 3x3) dx = 70737 4 = 17684, 25. � Teorema 2 (Teorema do Valor Médio para Integrais). Se f for contínua em [a, b], então existe um número c em [a, b] tal que f(c) = fmed = 1 b− a ∫ b a f(x) dx, ou seja, ∫ b a f(x) dx = f(c)(b− a). Exemplo 10. No Exemplo 7, calculamos o fmed=2 para a função f(x) = 1 + x2. Como esta função é contínua no intervalo [−1, 2], o Teorema do Valor Médio para integrais indica que existe um número c em [−1, 2] tal que ∫ 2 −1 (1 + x2) dx = f(c)[2− (−1)]. Neste caso particular, podemos encontrar c: 1 + c2 = 2⇔ c = ±1. � Do teorema do Valor Médio para integrais, se f é contínua em [a, b], então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 1 b− a ∫ b a f(x) dx que pode ser escrito na forma f(c)(b− a) = ∫ b a f(x) dx. Geometricamente, podemos entender essa equação como sendo a igualdade entre as áreas de um retângulo cuja base é o comprimento do intervalo [a, b] e altura f(c) e a área da região abaixo do grá�co de f , acima do eixo x entre as retas x = a e x = b. Observe abaixo. 5 Cálculo I Aula nº 24 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de�nições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 350− 356 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 357− 359 do livro texto. 6
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