Centro de Massa e Centroide

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Objetivos da Aula
� De�nir momento em relação a um ponto �xo e a uma reta.
� De�nir e calcular o centro de massa de um conjunto de massas pontuais.
� De�nir e calcular o centroide de uma lâmina.
1 Momento de uma massa.
Consideremos um ponto �xo P sobre uma reta e em outro dispomos uma massa de m quilogramas.
Sabendo que a distância entre estes pontos é de x metros, de�nimos o momento M de m em relação ao
ponto P0 como sendo o produto
M = mx
A de�nição de momento de massa pode ser ilustrado na seguinte situação: Imagine uma gangorra e dois
garotos,um com 30 kg e outro com 45 kg, dispostos a 3 metros do ponto de apoio da gangorra. Se
considerarmos o ponto de apoio da gangorra como sendo o ponto P �xo da nossa de�nição anterior, então
o momento de massa do garoto de 30 kg é de 90 kg.m e do segundo 135 kg.m
Sabemos que na situação apresentada acima, a gangorra irá baixar no lado onde se encontra o garoto
de 45 kg. Isso ocorre por que o momento de massa deste é maior que o do outro. Contudo, se o garoto de
45 kg se sentar a 2 metros do ponto de apoio da gangorra, então a gangorra �cará equilibrada. Isso se dá
por que os momentos de massa das duas crianças será igual.
Após essa ilustração, podemos generalizar a situação imaginando que a gangorra é uma reta, por exemplo
o eixo x, e que o ponto de apoio é o ponto de abscissa x = 0. Logo, se tomarmos pontos x1, x2, ..., xn
dispostos sobre o eixo x e neles colocarmos massas m1,m2, ...,mn, temos que o momento de massa em
relação à origem é dado por
M0 = m1x1 +m2x2 + ...+mnxn =
n∑
i=1
mixi
Se M0 = 0 então dizemos que o sistema acima descrito está em equilíbrio.
De�nição 1. De�nimos o ponto x como sendo o Centro de Massa do sistema de �massas pontuais�
m1,m2, ...,mn se o momento de massa em relação a x é 0.
Supondo que o sistema de massas �pontuais� m1,m2, ...,mn não está em equilíbrio e que x é o centro
de massa do sistema, basta transladarmos as massas x unidades e calcularmos o momento de massa
do sistema em relação a esse novo ponto. Notemos que as distâncias x1, x2, ..., xn são substituídas por
(x1 − x), (x2 − x), ..., (xn − x) e assim, como o sistema está em equilíbrio, segue que:
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2023-4
Aula nº 29: Aplicações da Integral: Momentos. Centro de Massa
Cálculo I Aula nº 29
n∑
i=1
mi(xi − x) = 0
n∑
i=1
mixi −
n∑
i=1
mix = 0
n∑
i=1
mix =
n∑
i=1
mixi
x
n∑
i=1
mi =
n∑
i=1
mixi
x =
n∑
i=1
mixi
n∑
i=1
mi
x =
m1x1 +m2x2 + ...+mnxn
m1 +m2 + ...+mn
Observemos que a localização do centro de massa é o momento de massa em relação à origem dividido
pela massa total do sistema. Resumindo, o momento de massa em relação à origem é
M0 = m1x1 +m2x2 + ...+mnxn
a massa total do sistema é
m = m1 +m2 + ...+mn
e o centro de massa é
x =
M0
m
Exemplo 1. Considere o eixo x e supondo que nos pontos de abscissa x = −5, x = 0, x = 4 e x = 7,
dispomos massas de 10, 15, 5 e 10 quilogramas, respectivamente. Determine o centro de massa do sistema.
Solução: Note que
M0 = −5.10 + 15.0 + 4.5 + 7.10 = 40
e
m = 10 + 15 + 5 + 10 = 40
Logo,
x = 1
�
Supondo que um sistema de massas pontuais m1, ...,mn está localizado nos pontos x1, ..., xn, segue da
segunda lei de Newton que a força total do sistema é dada por
F = m1a+m2a+ ...+mna = ma
O torque em relação à origem é dado por
T0 = (m1a)x1 + (m2a)x2 + ...+ (mna)xn = M0a
Desse modo ao calcular o centro de gravidade do sistema, notamos que
T0
F
=
M0a
ma
=
M0
m
= x
Logo, o centro de gravidade e o centro de massa possuem a mesma localização.
2
Cálculo I Aula nº 29
Consideremos agora um conjunto de n partículas com massas m1,m2, ...,mn dispostas nos pontos
(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn). O momento do sistema em relação ao eixo x é dado por
Mx = m1y1 +m2y2 + ...+mnyn =
n∑
i=1
miyi
e em relação ao eixo y é
My = m1x1 +m2x2 + ...+mnxn =
n∑
i=1
mixi
Por cálculos semelhantes aos efetuados para o caso unidimensional, o centro de massa (x, y) possui coor-
denadas
x =
My
m
e y =
Mx
m
Exemplo 2. Calcule o centro de massa do sistema de objetos que tem massa 3, 4 e 8 quilogramas nos
pontos (−1, 1), (2,−1) e (3, 2), respectivamente.
Solução: Note que
Mx = 3.1 + 4.(−1) + 2.8 = 15
My = 3.(−1) + 4.2 + 8.3 = 29
e
m = 3 + 4 + 8 = 15
Logo,
x =
29
15
e y =
15
15
= 1
Então o centro de massa desse sistema é o ponto
(
29
15
, 1
)
. �
2 Centro de Massa de uma lâmina.
Consideremos agora uma lâmina (placa plana) como na �gura abaixo com densidade uniforme ρ que
ocupa uma região do plano. Desejamos encontrar o centro de massa dessa lâmina, chamado centroide
ou centro geométrico. Para isso, utilizaremos o princípio da simetria que nos diz que se uma região < é
re�etida em relação a uma reta l, então o seu centroide só pode está localizado nessa reta. Dessa forma,
podemos entender que o centroide de um retângulo é o seu centro. Além disso, precisamos notar que os
momentos de duas regiões sem interseção é igual a soma dos momentos das regiões individuais.
Suponha que a região em questão está localizada entre as retas x = a e x = b, acima do eixo x e abaixo
do grá�co da função y = f(x), sendo f uma função contínua.
Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades a = x0, x1, x2, ..., xn = b e de mesmo
comprimento, a saber
∆x =
b− a
n
3
Cálculo I Aula nº 29
Tomando em cada subintervalo [xi−1, xi] o ponto médio xi, dado por
xi =
xi−1 + xi
2
, i = 1, 2, ...n
podemos traçar sobre a região < n retângulos cuja base é o intervalo [xi−1, xi] e altura será dada por f(xi),
i = 1, 2, ..., n. E como sabemos que o centroide de um retângulo é o seu centro, segue que o centroide do
i-ésimo retângulo é o ponto
Ci =
(
xi,
1
2
f(xi)
)
, i = 1, 2, ..., n
como ilustrado abaixo:
Dessa forma, a área do i-ésimo retângulo é dada por
Ai = f(xi)∆x
e, sua massa é dada por
mi = ρAi = ρf(xi)∆x (1)
O momento do i-ésimo retângulo (Ri) em relação ao eixo y é o produto de sua massa pela distância
entre Ci e o eixo y que é xi. Logo,
My(Ri) = mixi = ρxif(xi)∆x
Agora, somando os momentos dos retângulos em relação ao eixo y, temos que
My ≈
n∑
i=1
My(Ri) =
n∑
i=1
ρxif(xi)∆x
Aumentando o número de retângulos formados, obtemos uma aproximação cada vez melhor paraMy. Sendo
assim,
My = lim
n→∞
n∑
i=1
ρxif(xi)∆x = ρ
∫ b
a
xf(x) dx
Para calcular Mx, utilizamos cálculo semelhantes aos efetuados acima, contudo, devemos lembra que a
distância de Ci para o eixo x é
1
2
f(xi). Portanto,
Mx(Ri) = mi
1
2
f(xi) =
1
2
ρ[f(xi)]
2∆x
Logo,
Mx = lim
n→∞
1
2
ρ[f(xi)]
2∆x =
1
2
ρ
∫ b
a
[f(x)]2 dx
Passando o limite para n→∞ em (1), obtemos que
m = ρ
∫ b
a
f(x) dx
4
Cálculo I Aula nº 29
Usando argumentos semelhantes aos da seção anterior, temos que as coordenadas do centroide da região
< são dadas por
x =
My
m
=
�ρ
∫ b
a
xf(x) dx
�ρ
∫ b
a
f(x) dx
=
1
A
∫ b
a
xf(x) dx
y =
Mx
m
=
1
2 �
ρ
∫ b
a
[f(x)]2 dx
�ρ
∫ b
a
f(x) dx
=
1
2A
∫ b
a
[f(x)]2 dx
onde A =
∫ b
a
f(x) dx.
Exemplo 3. Encontre o centroide de uma lâmina de densidade uniforme ρ limitada pelo grá�co da função
f(x) = 4− x2 e o eixo x.
Solução: Note que a lâmina possui uma simetria em relação ao eixo y. Logo, pelo princípio de simetria,
x = 0. Agora, devemos determinar y. Para isso, tomemos uma partição do intervalo [-2,2] igualmente
espaçada, com ∆x sendo esse espaçamento, e adotemos o i-ésimo retângulo Ri gerado pelo procedimento
abordado no início da seção, notemos que a massa do i-ésimo retângulo é dada por
m(Ri) ≈ ρf(xi)∆x = ρ(4− x2i )∆x
Sendo assim,a massa da lâmina é dada por
m = ρ
∫ 2
−2
f(x) dx
= ρ
∫ 2
−2
(4− x2) dx
= ρ
[
4x− x3
3
]∣∣∣∣2
−2
=
32ρ
3
Agora, a distância do seu centro desse retângulo Ri ao eixo x é yi =
f(xi)
2
, isto é,
yi =
1
2
f(xi) =
4− x2i
2
E com isso,
Mx(Ri) ≈ miyi = ρ(4− x2i )
4− x2i
2
∆x =
1
2
ρ(16− 8x2i + x4i )∆x
Logo,
Mx = lim
n→+∞
n∑
i=1
Mx(Ri)
= lim
n→+∞
n∑
i=1
1
2
ρ(16− 8x2i + x4i )∆x
=
∫ 2
−2
ρ
2
(16− 8x2 + x4) dx
=
ρ
2
(
16x− 8x3
3
+
x5
5
)∣∣∣∣2
−2
=
256ρ
15
5
CálculoI Aula nº 29
Dessa forma, obtemos que
y =
Mx
m
=
256�ρ
15
32�ρ
3
=
8
5
�
Exemplo 4. Encontre o centroide da região delimitada pelas curvas y = cos(x), y = 0, x = 0 e x =
π
2
.
Solução: A área da região é
A =
∫ π
2
0
cos(x) dx = sen(x)
∣∣∣∣∣
π
2
0
= 1
E dessa forma,
x =
1
A
∫ π
2
0
xf(x) dx
=
∫ π
2
0
x cos(x) dx
= x sen(x)|
π
2
0 −
∫ pi
2
0
sen(x) dx
=
π
2
.1 + cos(x)
∣∣∣π2
0
=
π
2
− 1
E também,
y =
1
2A
∫ π
2
0
[f(x)]2 dx
=
1
2
∫ π
2
0
cos2(x) dx
=
1
2
∫ π
2
0
(
1
2
+
1
2
cos(2x)
)
=
1
2
(
1
2
x+
1
4
sen(2x)
)∣∣∣∣π2
0
=
π
8
Logo, o centroide da região é
(π
2
− 1,
π
8
)
.
�
Exemplo 5. Encontre o centroide de uma placa semicircular de raio r.
Solução: Consideremos que a placa está disposta da seguinte forma:
6
Cálculo I Aula nº 29
Desse modo, f(x) =
√
r2 − x2 e −r ≤ x ≤ r. Note que pelo princípio da simetria, não há necessidade
de determinar o x porque, a região é simétrica em relação ao eixo y, logo, o centro de massa deve estar
sobre esse eixo, o que nos garante que x = 0. Logo,
A =
∫ r
−r
f(x) dx =
∫ r
−r
√
r2 − x2 dx = 2
∫ r
0
√
r2 − x2 dx
Usando a substituição:
x = r sen(θ), dx = r cos(θ) dθ x = 0⇒ θ = 0, x = r ⇒ θ =
π
2
temos que
A = 2
∫ r
0
√
r2 − x2 dx
= 2
∫ π
2
0
r cos(θ)r cos(θ) dθ
= 2r2
∫ π
2
0
cos2(θ) dθ
= 2r2
∫ π
2
0
(
1
2
+
1
2
cos(2θ)
)
dθ
= r2θ + r2
1
2
sen(2θ)
∣∣∣∣π2
0
=
πr2
2
Logo,
y =
1
2A
∫ r
−r
[f(x)]2 dx
=
1
�2
πr2
�2
2
∫ r
0
(
√
r2 − x2)2 dx
=
2
πr2
∫ r
0
(r2 − x2) dx
=
2
πr2
r2x− x3
3
∣∣∣∣r
0
=
2
πr2
(
r3
r3
3
)
=
2
πr2
2r3
3
=
4r
3π
�
7
Cálculo I Aula nº 29
Se a região < estiver entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ (a, b),
podemos utilizar os mesmos argumentos utilizados anteriormente para mostrar que o centro de massa da
região < é dado por
x =
1
A
∫ b
a
x[f(x)− g(x)] dx (2)
y =
1
2A
∫ b
a
([f(x)]2 − [g(x)]2) dx (3)
Exemplo 6. Encontre o centroide da região limitada pelos grá�cos das funções f(x) = 4−x2 e g(x) = x+2.
Solução: Primeiramente, determinaremos as interseções dos dois grá�cos. Note que,
4− x2 = x+ 2⇒ x2 + x− 2 = 0⇒ x = −2 oux = 1
Agora, calculando a área da região, temos que
A =
∫ 1
−2
(4− x2 − x− 2) dx
=
∫ 1
−2
(−x2 − x+ 2) dx
= −x
3
3
− x2
2
+ 2x
∣∣∣∣1
−2
=
9
2
Logo, calculando as coordenadas do centroide, temos que
x =
1
9
2
∫ 1
−2
x(4− x2 − x− 2) dx
=
2
9
∫ 1
−2
(−x3 − x2 + 2x) dx
=
2
9
(
−x
4
4
− x3
3
+ x2
)∣∣∣∣1
−2
= −1
2
y =
1
�2
9
�2
∫ 1
−2
([4− x2]2 − [x+ 2]2) dx
=
1
9
∫ 1
−2
(
16− 8x2 + x4 − x2 − 4x− 4
)
dx
=
1
9
∫ 1
−2
(
x4 − 9x2 − 4x+ 12
)
dx
=
1
9
[
x5
5
− 3x3 − 2x2 + 12x
]∣∣∣∣1
−2
=
12
5
Então, o centroide dessa região é
(
−1
2
,
12
5
)
. �
8
Cálculo I Aula nº 29
Exemplo 7. Encontre o centroide da região limitada por cima pela reta y = x e pela parábola y = x2 por
baixo.
Solução: Note que
A =
∫ 1
0
(x− x2) dx =
x
2
− x3
3
∣∣∣∣1
0
=
1
6
Logo,
x =
1
A
∫ 1
0
x(x− x2) dx
=
1
1
6
∫ 1
0
(x2 − x3) dx
= 6
(
x3
3
− x4
4
)∣∣∣∣1
0
=
1
2
y =
1
2A
∫ 1
0
((x)2 − (x2)2) dx
=
1
�2
1
�6
∫ 1
0
(x2 − x4) dx
= 3
(
x3
3
− x5
5
)∣∣∣∣1
0
=
2
5
logo, o centroide da região é
(
1
2
,
2
5
)
. �
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 8.3 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 8.3 do livro texto.
9