Cálculo II - Exercícios Resolvidos

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CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 12
Questão 1. Calcule a integral sobre a região retangular:∫ 2
1
∫ 4
2
(3x2 +
3y2
2
)dydx
Solução: ∫ 2
1
∫ 4
2
(3x2 +
3y2
2
)dydx =
∫ 2
1
(3x2y +
y3
2
)
∣∣∣∣∣
4
2
 dx
=
∫ 2
1
[
12x2 + 32− (6x2 + 4)
]
dx
=
∫ 2
1
(6x2 + 28)dx
=
(
2x3 + 28x
) ∣∣∣∣∣
2
1
= 42.
Questão 2. Calcule a integral dupla:∫∫
R
(x+ y) dy dx
onde R é a região delimitada pelo eixo y e pelas retas x = 4, y = 1 e y = 5.
Solução: ∫∫
R
(x+ y) dy dx =
∫ 4
0
∫ 5
1
(x+ y) dy dx
=
∫ 4
0
[
y2
2
+ xy
]5
1
dx
=
∫ 4
0
(
52
2
+ 5x−
(
12
2
+ x
))
dx
=
∫ 4
0
(12 + 4x) dx
=
[
12x+ 2x2
]4
0
= (12(4) + 2(4)2)− (2(0) + (0)2)
= 48 + 32
= 80
Portanto, o valor da integral dupla é 80.
1
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Questão 3. Considere um sistema físico descrito por uma distribuição de energia E
em uma região retangular R do plano xy. Assumindo que R = [0, a] × [0, b] e que
E(x, y) = xy2 + sen(x), calcule a energia total do sistema, que é dada pela integral
dupla a seguir. Expresse sua resposta em função de a e b.
Energia Total =
∫ a
0
∫ b
0
E(x, y) dydx
Solução:
Vamos começar integrando em relação a y primeiro:∫ b
0
(xy2 + sen (x)) dy =
[
xy3
3
+ y sen (x)
]b
0
=
b3x
3
+ b sen (x)
Agora, temos uma integral em relação a x:
∫ a
0
(
b3x
3
+ b sen (x)
)
dx =
[
b3x2
6
− b cos (x)
]a
0
=
a2b3
6
− b cos a+ b
Questão 4. Seja R a região do plano xy delimitada pelas parábolas y = x2 − 3x+5
e y = 2x2 − 5x+ 5. Esboce a região R e calcule
∫∫
R
(2x+ y)dA.
Solução:
As parábolas se interceptam quando:
x2 − 3x+ 5 = 2x2 − 5x+ 5
−x2 + 2x = 0
x(−x+ 2) = 0
Portanto, x = 0 ou x = 2
Assim, como a região está sendo descrita como uma região entre o gráfico de
duas funções contínuas de x, descrita no intervalo entre as suas interseções, ou seja,
0 ≤ x ≤ 2, com isso, vemos que neste intervalo a parábola y = x2 − 3x + 5 está
situada acima da parábola y = 2x2 − 5x + 5. Logo, podemos escrever a região R
como sendo:
R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 2x2 − 5x+ 5 ≤ y ≤ x2 − 3x+ 5}
Assim, temos:∫∫
R
(2x+ y)dA =
∫ 2
0
∫ x2−3x+5
2x2−5x+5
(2x+ y)dydx
Então:∫ 2
0
[
2xy +
y2
2
]x2−3x+5
2x2−5x+5
dx =∫ 2
0
(2x(x2−3x+5)+
(x2 − 3x+ 5)2
2
−2x(2x2−5x+5)− (2x2 − 5x+ 5)2
2
)dx =∫ 2
0
(
−3x4 + 14x3 − 26x2 + 20x
2
− 2x3 + 4x2)dx =[
−3x5
10
+
14x4
8
− 26x3
6
+
20x2
4
− x4
2
+
4x3
3
]2
0
=[
−3 · 25
10
+
14 · 24
8
− 26 · 23
6
+
20 · 22
4
− 24
2
+
4 · 23
3
]2
0
=
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−96
10
+ 28− 104
3
+ 20− 8 +
32
3
= 40− 96
10
− 72
3
= 40− 24− 48
5
=
32
5
Portanto,
∫∫
R
(2x + y)dA =
∫ 2
0
∫ x2−3x+5
2x2−5x+5
(2x + y)dydx =
32
5
= 6, 4. E a nossa
região R pode ser visualizada como:
Figure 1: Gráfico da região delimitada pelas funções y = x2 − 5x+ 6 e y = 0, 48x2 − 2, 4x+ 6 .
Questão 5. Considere uma placa metálica representada por uma região R no plano
xy, sendo R delimitada por y = 3x − 3 e y = x2 − 3. Assuma que a distribuição de
temperatura na placa é dada por T (x, y) = 3x2y + y2.
a) Esboce a região R no plano xy.
b) Calcule a temperatura média T na placa, isto é:
T =
1
Área(R)
∫∫
R
T (x, y) dA ,
onde dA é o elemento de área infinitesimal.
Solução:
a) A região entre as funções dadas:
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Figure 2: Gráfico da região delimitada pelas funções y = x2 − 3 e y = 2x .
b) Para calcular a integral dupla, notemos que primeiro precisamos encontrar os pontos
de interseção entre as funções que definem a região R, então:
x2 − 3 = 3x− 3 −→ x2 − 3x = 0 −→ x(x− 3) = 0
Daí temos que x = 0 ou x = 3 e, portanto, y = −3 ou y = 6 respectivamente.
Notemos que:
R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, x2 − 3 ≤ y ≤ 3x− 3)}∫∫
R
T (x, y) dA =
∫ 3
0
∫ 3x−3
x2−3
(3x2y + y2)dydx∫ 3
0
[
3x2y2
2
+
y3
3
]3x−3
x2−3
dx =∫ 3
0
(
3x2(3x− 3)2
2
+
(3x− 3)3
3
− 3x2(x2 − 3)2
2
− (x2 − 3)3
3
)
dx =∫ 3
0
(
−x6 + 9x4 + 27x3 − 108x2 + 81x
3
+
3x2(−x4 + 15x2 − 18x)
2
)
dx =∫ 3
0
(
−x6 + 9x4 + 27x3 − 108x2 + 81x
3
+
3(−x6 + 15x4 − 18x3)
2
)
dx =
1
3
[
−x7
7
+
9x5
5
+
27x4
4
− 108x3
3
+
81x2
2
]3
0
+
3
2
[
−x7
7
+
15x5
5
− 18x4
4
]3
0
=
3483
35
Agora para encontrar a área de R fazemos:
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∫ 3
0
3x− 3− (x2 − 3)dx =
∫ 3
0
3x− x2dx =
[
3x2
2
− x3
3
]3
0
=
27
2
− 27
3
=
27
6
=
9
2
Portanto para calcular a temperatura média, temos:
T =
1
Área(R)
∫∫
R
T (x, y) dA =
1
9
2
· 3483
35
=
2
9
· 3483
35
=
774
35
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