Cálculo II - Exercícios Resolvidos

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CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 13
Questão 1. Encontre as coordenadas cartesianas retangulares do ponto de coorde-
nadas polares:
a) P = (7, π
2
)
b) P = (−5, 3π
2
)
Solução:
a) Para encontrar o ponto em coordenadas retangulares, podemos utilizar as relações
x = r cos θ e y = r sen θ sabendo que as coordenadas polares são escritas na forma
P = (r, θ). Então:
x = 7 · cos π
2
= 7 · 0 = 0
y = 7 · sen π
2
= 7 · 1 = 7
Portanto em coordenadas retangulares P = (0, 7)
b) Assim como no item a, temos:
x = −5 · cos 3π
2
= −5 · 0 = 0
y = −5 · sen 3π
2
= −5 · (−1) = 5
Portanto em coordenadas retangulares P = (0, 5)
Questão 2. Encontre as coordenadas polares (r, θ), com r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π, para
o ponto P em coordenadas retangulares:
a) P = (0, 5)
b) P = (7, 7)
Solução:
a) Para encontrar o ponto em coordenadas polares, podemos utilizar as relações x =
r cos θ,y = r sen θ e r2 = x2 + y2 sabendo que as coordenadas polares são escritas
na forma P = (r, θ). Então:
x2 + y2 = r2 =⇒ 52 + 02 = r2 =⇒ r = 5, pois foi definido no enunciado r > 0.
y = r sen θ =⇒ 5 = 5 · sen θ =⇒ sen θ = 1 , portanto θ = π
2
.
Então em coordenadas retangulares P = (5, π
2
)
1
Cálculo II Lista de Exercícios 14
b) Assim como no item a, temos:
r2 = x2 + y2 =⇒ r2 = 72 + 72 =⇒ r = 7
√
2
x = r cos θ =⇒ 7 = 7
√
2 cos θ =⇒ cos θ =
√
2
2
, portanto, θ = π
4
ou θ = 7π
4
y = r sen θ =⇒ 7 = 7
√
2 sen θ =⇒ sen θ =
√
2
2
, portanto, θ = π
4
ou θ = 3π
4
.
Das relações acima para x e y temos que θ = π
4
,então, o ponto P em coordenadas
polares é P = (7
√
2, π
4
).
Questão 3. Considere a função f(x, y) = 6x2 + 6y2 + 12. Calcule a integral dupla
de f sobre a região D delimitada pelo círculo de raio r = 7.
Solução: Inicialmente notemos que nossa região D pode ser escrita em forma de
coordenadas polares como sendo:
D = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 7; 0 ≤ θ ≤ 2π}
A integral dupla de f sobre a região D pode ser escrita como:∫∫
D
f(x, y)dA =
∫ β
α
∫ b
a
f(r cos θ, r sen θ)rdrdθ =∫ 2π
0
∫ 7
0
(6r2 cos2 θ + 6r2 sen2 θ + 12)rdrdθ =∫ 2π
0
∫ 7
0
(6r2(cos2 θ + sen2 θ) + 12)rdrdθ =
∫ 2π
0
∫ 7
0
6r3 + 12rdrdθ =∫ 2π
0
[
6r4
4
+
12r2
2
]7
0
dθ =∫ 2π
0
7791
2
dθ =
[
7791
2
θ
]2π
0
=
7791
2
· 2π = 7791π.
Questão 4. Considere a função f(x, y) = xy2. Calcule a integral dupla de f sobre a
região D colocando-a em coordenadas polares, onde D é a região do primeiro quadrante
limitada pelo círculo x2 + y2 = 9 e pelas retas y = 0 e y =
√
3x
Solução:
Inicialmente vamos ver como é a nossa região D, note que a reta y=0 é o próprio
eixo x e a reta y =
√
3x é a reta que possui coeficiente angular igual a
√
3, ou seja,
a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x é igual a
√
3 e a reta corta os
eixos coordenados na origem (0, 0), note que o ângulo cujo valor de sua tangente é√
3 e pertence ao primeiro quadrante é o de π
3
, assim vemos que a região que está no
primeiro quadrante, que está limitada pelo círculo e as retas y = 0 e y =
√
3x é o
setor circular de ângulo central π
3
visto abaixo:
Figure 1: Gráfico da região delimitada pelas funções x2 + y2 = 9 ,y = 0 e y =
√
3
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Cálculo II Lista de Exercícios 14
Assim, podemos escrever nossa região D como sendo:
D = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 3; 0 ≤ θ ≤ π
3
}
então a integral dupla em coordenadas polares pode ser escrita como:∫ π
3
0
∫ 3
0
r(cos θ) · (r2 sen2 θ)rdrdθ =
∫ π
3
0
∫ 3
0
r4 cos θ sen2 θdrdθ =∫ π
3
0
[
r5 cos θ sen2 θ
5
]3
0
dθ =∫ π
3
0
243
5
sen2 θ cos θdθ =[
81
5
sen3 θ
]π
3
0
=
81
5
· sen3 π
3
− 81
5
· sen3 0 =
243
√
3
40
.
Questão 5. Qual é a massa total de um objeto cuja densidade é dada por ρ(x, y) =
− sen
(
x2 + y2
π
)
e cuja representação no plano xy é a região delimitada pelas curvas
x2 + y2 = π2 e x2 + y2 = 4π2?
Solução:
A massa total de um objeto pode ser calculada a partir de sua densidade calculando
a integral dupla abaixo:
m =
∫∫
D
ρ(x, y)dA
Podemos transformar nossa integral em coordenadas retangulares para uma integral
em coordenadas polares como podemos ver abaixo:
m =
∫ β
α
∫ b
a
ρ(r cos θ, r sen θ)rdrdθ)
Note que para isso precisamos definir nossa região delimitada pelas curvas x2+y2 =
π2 e x2 + y2 = 4π2, assim podemos escrever essa região D em coordenadas polares
como:
D = {(r, θ)|π ≤ r ≤ 2π; 0 ≤ θ ≤ 2π})
Desse modo já temos tudo definido para poder calcular a integral, então:
m =
∫ 2π
0
∫ 2π
π
−r sen
(
r2 cos2 θ + r2 sen2 θ
π
)
drdθ =∫ 2π
0
∫ 2π
π
−r sen
(
r2(cos2 θ + sen2 θ)
π
)
drdθ =∫ 2π
0
∫ 2π
π
−r sen
(
r2
π
)
drdθ =∫ 2π
0
[
π
2
cos
(
r2
π
)]2π
π
dθ =∫ 2π
0
π
2
cos
(
4π2
π
)
− π
2
cos
(
π2
π
)
dθ =∫ 2π
0
π
2
+
π
2
dθ = [πθ]2π0 = 2π · π = 2π2
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