Cálculo II - Exercícios Resolvidos

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CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 14
Questão 1. Determine os momentos de inércia em relação aos eixos x e y e o momento
polar de inércia da lâmina que ocupa a região R e tem função densidade ρ quando:
R é a região triangular delimitada pelo eixo x e pelas retas y = x e x + y = 2; e
ρ(x, y) = x2 .
Solução: Antes de começar a calcular os momentos de inércia vejamos como fica a
nossa região triangular R:
Figure 1: Gráfico da região delimitada pelas retas x = y ,y = 0 e x+ y = 2
Assim, podemos escrever a nossa região R como:
R = {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1; y ≤ x ≤ −y + 2}
Agora, calculemos os momentos de inércia Ix, Iy e I0, sabendo que:
Ix =
∫∫
R
y2ρ(x, y)dA
Iy =
∫∫
R
x2ρ(x, y)dA
I0 = Ix + Iy
Assim, para Ix temos:
Ix =
∫ 1
0
∫ −y+2
y
y2x2dxdy =
∫ 1
0
[
y2x3
3
]−y+2
y
dy =
=
∫ 1
0
y2(2− y)3
3
− y2 · y3
3
dy =
∫ 1
0
y2 · (8− 12y + 6y2 − y3)
−
y53dy =
=
∫ 1
0
−2y5 + 6y4 − 12y3 + 8y2
3
dy =
1
3
[
−y6
3
+
6y5
5
− 3y4 +
8y3
3
]1
0
=
=
1
3
·
(
−1
3
+
6
5
− 3 +
8
3
)
=
1
3
· 8
15
=
8
45
1
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Para Iy:
Ix =
∫ 1
0
∫ −y+2
y
x2x2dxdy =
∫ 1
0
∫ −y+2
y
x4dxdy =
∫ 1
0
[
x5
5
]−y+2
y
dy =
=
∫ 1
0
(2− y)5 − y5
5
dy =
1
5
∫ 1
0
32− 80y + 80y2 − 40y3 + 10y4 − 2y5dy =
=
1
5
[
−y6
3
+ 2y5 − 10y4 +
80y3
3
− 40y2 + 32
]1
0
=
=
1
5
(
−1
3
+ 2− 10 +
80
3
− 40 + 10− 2
)
=
1
5
· 31
3
=
31
15
Para I0:
I0 = Ix + Iy =
8
45
+
31
15
=
8
45
+
93
45
=
101
45
Questão 2. Calcule
I =
∫∫
D
y2 dA
Onde:
- I é o momento de inércia,
- D é o retângulo: D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, onde a, b, c, d são
constantes positivas,
- y é a distância perpendicular ao eixo de rotação, e
- dA é o elemento de área diferencial.
Solução:
Pelo teorema de Fubini temos que:∫ b
a
∫ d
c
y2dydx =
∫ d
c
∫ b
a
y2dxdy
Assim∫ b
a
∫ d
c
y2dydx =
∫ b
a
[
y3
3
]d
c
dx =
=
∫ b
a
d3 − c3
3
dx =
(
d3 − c3
3
)
x|ba =
(
d3 − c3
3
)
(b− a)
Questão 3. Utilizando integral dupla, determine a área da região delimitada pela
curva y = x2 − 1, o eixo x e as retas x = −2 e x = 2.
Solução: Para vermos na forma de integral é importante entender de qual região
estamos tratando nesse intervalo, como podemos ver abaixo pelo gráfico;
Figure 2: Gráfico da região delimitada pelas funções y = x2 − 1, x = −2, x = 2
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Como podemos ver no gráfico no intervalo [−2,−1) a função y = x2 − 1 está
acima do eixo x, no intervalo (−1, 1) a função y = x2 − 1 está abaixo do eixo x e no
intervalo (1, 2] está acima do eixo x, portanto, podemos escrever na forma de integral
dupla da seguinte maneira:∫ −1
−2
∫ x2−1
0
1dydx+
∫ 1
−1
∫ 0
x2−1
1dydx+
∫ 2
1
∫ x2−1
0
1dydx =
=
∫ −1
−2
y|x2−1
0 dx+
∫ 1
−1
y|0x2−1dx+
∫ 2
1
y|x2−1
0 dx =
=
∫ −1
−2
x2 − 1dx+
∫ 1
−1
−x2 + 1dx+
∫ 2
1
x2 − 1dx =
=
[
x3
3
− x
]−1
−2
+
[
−x3
3
+ x
]1
−1
+
[
x3
3
− x
]2
1
=
= −1
3
+ 1 +
8
3
− 2− 1
3
+ 1− 1
3
+ 1 +
8
3
− 2− 1
3
+ 1 =
12
3
= 4
Questão 4. Qual é o volume do sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0 e z = 0
e a superfície z = 4− x2 − y2 ?
Solução: Se tomarmos z = 0 na equação do parabolóide, encontramos x2 + y2 = 4
o que significa que o plano intercepta o parabolóide no círculo x2 + y2 = 4 e o sólido
está abaixo do parabolóide e acima do disco circular D dado por x2 + y2 ≤ 4. Assim
podemos visualizar a nossa região D no plano xy como:
Figure 3: Gráfico da região delimitada pelo círculo x2 + y2 = 4 e pelas retas x = 0 e y = 0
Em coordenadas polares, D pode ser visto como:
D = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ π
2
}
Para ver nosso parabolóide em coordenadas polares, basta fazer as substituições
x = r cos θ e y = r sen θ:
z = 4 − x2 − y2 = 4 − (r cos θ)2 − (r sen θ)2 = 4 − r2 cos2 θ − r2 sen2 θ =
4− r2(cos2 θ + sen2 θ) = 4− r2
Assim, podemos calcular o volume V por meio da integral dupla abaixo:
V =
∫ π
2
0
∫ 2
0
(4− r2)rdrdθ =
∫ π
2
0
∫ 2
0
4r − r3drdθ =
=
∫ π
2
0
[
2r2 − r4
4
]2
0
dθ =
∫ π
2
0
8− 16
4
dθ =
∫ π
2
0
4dθ = 4θ|
π
2
0 = 4 · π
2
= 2π
Questão 5. Qual é a massa de um objeto com formato irregular, com densidade
variável ρ(x, y, z) = x, delimitado pelo sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0,
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z = 0, x = 2, y = 3 e z = 4, onde a densidade ρ é dada em kg/m³, e representa a
concentração de um material em um determinado ponto (x, y, z)?
Solução: Assim como na integral dupla, o cálculo de massa a partir da densidade
pode ser extendido para integrais triplas, desse modo podemos ver nossa região que
delimita as integrais como sendo:
R = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 3; 0 ≤ z ≤ 4}
Agora a massa pode ser escrita como a integral tripla sobre a região R da densidade
ρ, assim:∫ 2
0
∫ 3
0
∫ 4
0
xdzdydx =
∫ 2
0
∫ 3
0
xz|40dydx =
=
∫ 2
0
∫ 3
0
4xdydx =
∫ 2
0
4xy|30dx =
∫ 2
0
12xdx = 6x2|20 = 24Kg
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