4 - Transformadas (Laplace e Fourier)

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DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos da Transformada de Laplace e da Transformada de Fourier.
PROPÓSITO
Compreender as Transformadas de Laplace e Fourier e algumas de suas aplicações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
MÓDULO 2
Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
MÓDULO 3
Aplicar a Transformada de Laplace
MÓDULO 4
Formular a série e a Transformada de Fourier
TRANSFORMADA DE LAPLACE E FOURIER
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
CONCEITOS INICIAIS DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para resoluções de alguns problemas matemáticos, existem métodos que transformam os termos
originais em outros que permitem simplificar a solução.
POR EXEMPLO, A RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL É MUITO MAIS COMPLEXA, NA GRANDE
MAIORIA DOS CASOS, DO QUE UMA EQUAÇÃO
ALGÉBRICA. ASSIM, PODE SE BUSCAR UMA
TRANSFORMAÇÃO PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
ESTUDADA.
Existe uma metodologia, denominada de Transformadas Integrais, que utiliza uma transformação
da equação diferencial em uma equação algébrica, e após resolver essa equação algébrica, utiliza a
transformação inversa para obter a equação da solução diferencial.
 VOCÊ SABIA
Essa transformação é obtida pela multiplicação de cada termo da equação diferencial por uma
função, que denominamos de núcleo. A integração desse termo em relação a variável independente
da equação.
Analisando de outra forma, isso se assemelha a um procedimento de se obter uma substituição de
variável, resolver, e de depois obter a substituição inversa para alcançar a resposta no domínio da
variável inicial.
Esse tipo de transformação é conhecida como Transformadas Integrais, sendo a Transformada de
Laplace uma das integrais mais utilizadas. 
Vamos agora definir a Transformada de Laplace, cuja notação será ℒ.
DEFINIÇÃO
Seja uma função
f ( t )
definida para
t ≥ 0
. A Transformada de Laplace da função
f
será definida por:
F (S ) =L [F (T ) ] = ∫
∞
0E -STF (T )DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para uma função f(t) que atende algumas particularidades, essa integral imprópria convergirá para
certos valores de s, caso em que se definirá uma função em s chamada de Transformada de
Laplace de f, com simbologia F(s).
REPARE QUE O NÚCLEO DA TRANSFORMADA INTEGRAL
DE LAPLACE SERÁ A FUNÇÃO
E−ST
. NÓS MULTIPLICAMOS A FUNÇÃO POR
E−ST
E POSTERIORMENTE INTEGRAMOS DE ZERO ATÉ O
INFINITO.
Obs.: Vamos relembrar como se determina uma Integral Imprópria:
∫
∞
0E -STF (T )DT= LIM
Z→∞
∫
Z
0E -STF (T )DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, seu valor será dado pelo valor do limite e ela convergirá se tal valor for um número
real.
EXEMPLO 1
Determine a Transformada de Laplace para a função
f ( t ) = t
, para
t ≥ 0
.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F ( s ) =L [ t ] = ∫
∞
0e - st t dt
∫
∞
0e - stt dt = lim
z → ∞
∫
z
0e - stt dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫
z
0e− stt dt
Usando integração por partes:
u = t → du = dt
e
dv = e− stdt → v = −
1
s
e− st
Assim,
∫
z
0e - stt dt = -
1
s t e - st
z
0 - ∫
z
0 -
1
s e - st dt = -
1
s t e - st
z
0 -
1
s2
e - st
z
0
∫
z
0e - stt dt = -
1
s z e - sz + 0 -
1
s2
e - sz -
1
s2
=
1
s2
1 - e - sz - sze - sz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
lim
z → ∞
∫
z
0e - stt dt = lim
z → ∞
1
s2
1 - e - sz - sze - sz =
1
s2
( 1 - 0 - 0 ) =
1
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
F ( s ) = L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a Transformada de Laplace para a função f(t)=e^{kt}, com k real.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
𝐹𝑠 = 𝐿𝑒𝑘𝑡 = ∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑒𝑘𝑡 𝑑𝑡
∫0
∞
𝑒(𝑘 - 𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒(𝑘 - 𝑠)𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( )
Vamos, portanto, calcular a integral \int_{0}^{z}{e^{(k-s)t}\ \ dt}
∫0
𝑧 𝑒𝑘 - 𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1
𝑘 - 𝑠 𝑒
𝑘 - 𝑠𝑡
0
𝑧
= 1
𝑘 - 𝑠 𝑒
𝑘 - 𝑠𝑧 - 1
𝑘 - 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒(𝑘 - 𝑠)𝑡 𝑑𝑡 lim
𝑧 → ∞
1
𝑘 - 𝑠 𝑒
𝑘 - 𝑠𝑧 - 1
𝑘 - 𝑠 = ∞ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 ≥ 𝑠
1
𝑠 - 𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 < 𝑠 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
𝐹𝑠 = ℒ[𝑡] = 1
𝑠 - 𝑘, para 𝑠 > 𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Determine a Transformada de Laplace para a função
𝑓𝑡 = 0, 0 < 𝑡 ≤ 4
𝑒4𝑡 , 𝑡 > 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Usando a definição
𝐹𝑠 = L 𝑓𝑡 = ∫0
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0
4 0 . 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫4
∞ 𝑒4𝑡 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝐹𝑠 = ∫4
∞
 𝑒(4 - 𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
∫4
𝑧
𝑒(4 - 𝑠)𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral \int_{4}^{z}{e^{(4-s)t}\ \ dt}
∫4
𝑧
𝑒4 - 𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1
4 - 𝑠 𝑒
4 - 𝑠𝑡
4
𝑧
= 1
4 - 𝑠 𝑒
4 - 𝑠𝑧 - 1
4 - 𝑠 𝑒
4 - 𝑠4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒(4 - 𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = ∞ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 ≤ 4
1
𝑠 - 4𝑒
-4(𝑠 - 4) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 4 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
𝐹𝑠 = 1
𝑠 - 4𝑒
-4(𝑠 - 4) , para 𝑠 > 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA GARANTIR A EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE, UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA É QUE A
FUNÇÃO F(T) DEVE SEGUIR O COMPORTAMENTO: SER
CONTÍNUA POR PARTES EM TODO INTERVALO [0,
\INFTY).
 RELEMBRANDO
Lembre-se de que ser contínua por partes é ser contínua no intervalo, a não ser, possivelmente, em
alguns pontos finitos. Assim, ela pode até conter, por exemplo, um número finito de salto de
descontinuidade, que continuará ser contínua em cada uma de suas partes.
O que a função não pode ter é um intervalo de descontinuidade dentro do seu domínio. Essa é
apenas uma condição necessária, mas não é suficiente. Para a Integral de Laplace existir, a Integral
Imprópria além de existir, tem que convergir.
Se analisarmos o integrando, teremos 𝑒 – 𝑠𝑡 𝑓(𝑡), assim a função f(t) não pode divergir mais rápido do
que a convergência da função 𝑒 – 𝑠𝑡 , para quando tende ao infinito. Se isso acontecer, o integrando
sempre convergirá.
Por isso, uma condição suficiente para existência da Transformada de Laplace é que 𝑓(𝑡) < 𝐶𝑒-𝑘𝑡 , em
que C e K são números reais. A função será de ordem exponencial se atender a tal condição,
garantindo, assim, a convergência nos intervalos em que essa condição existe.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SE A FUNÇÃO F(T) É CONTÍNUA POR PARTES PARA T>0
E DE ORDEM EXPONENCIAL À MEDIDA QUE
T\RIGHTARROW\INFTY, ENTÃO, EXISTIRÁ A
TRANSFORMADA DE LAPLACE
\MATHCAL{L}\LEFT[F\LEFT(T\RIGHT)\RIGHT].
São exemplos de funções que possuem Transformadas de Laplace: 1, 𝑘𝑡𝑛 , 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡, cos𝑘𝑡, 𝑒𝑘𝑡 , entre
outras.
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Vamos, agora, citar algumas propriedades da Transformada de Laplace. Essas propriedades podem
ser demonstradas pela definição da Transformada. E caso seja do seu interesse, podem ser
encontradas nas obras de referência deste conteúdo.
LINEARIDADE
A Transformada de Laplace é uma transformação linear, assim, atende a propriedade da
Linearidade.
𝐿𝑘1 𝑓1 𝑡 + 𝑘2 𝑓2 𝑡 = 𝑘1 𝐿𝑓1 (𝑡) + 𝑘2 𝐿𝑓2 (𝑡)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função f\left(t\right)=senh(kt), com k real.
Solução:
Lembre-se de que 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑘𝑡 = 𝑒𝑘𝑡 - 𝑒-𝑘𝑡
2
Usando a propriedade da linearidade
 𝐿𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) = 𝐿𝑒
𝑘𝑡 - 𝑒-𝑘𝑡
2 = 1
2𝐿𝑒
𝑘𝑡 - 12𝐿𝑒
-𝑘𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo anterior, já obtivemos a Transformada de Laplace da função e^{kt}. Assim,
𝐿𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) = 1
2
1
𝑠 - 𝑘 - 1
2
1
𝑠 - -𝑘
𝐿𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) = 1
2
𝑠 + 𝑘 - (𝑠 - 𝑘)
(𝑠 - 𝑘)(𝑠 + 𝑘) = 𝑘
𝑠2 - 𝑘2 , 𝑠 > 𝑘 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA
Se a Transformada da função f(t) é conhecida, F(s), então, podemos obter facilmente a
Transformada de Laplace da função g(t)=e^{kt}f(t), sendo k uma constante. Para isso, utilizaremos a
propriedade da translação:
𝐿𝑒𝑘𝑡 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠 - 𝑘)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função e^{mt}senh(kt), com k em reais.
Solução:
No exemplo anterior, obtivemos
𝐿𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) = 𝐹𝑠 = 𝑘
𝑠2 - 𝑘2 , para 𝑠 > 𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝐿 [ 𝑒𝑚𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) ] = 𝐹( 𝑠 – 𝑚) = 𝑘
(𝑠 - 𝑚)2 - 𝑘2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 - 𝑚 > 𝑘 → 𝑠 > 𝑚 + 𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADE E MUDANÇA DE ESCALA
Se a Transformada da função f(t) é conhecida, F(s), então, podemos obter facilmente a
Transformada de Laplace da função g(t)=f(kt), sendo k uma constante.
Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
𝐿[ 𝑓𝑘𝑡 ] = 1
𝑘𝐹
𝑠
𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função f(t)=5t.
Solução:
Em exemplos anteriores, obtivemos
𝐹𝑠 = 𝐿 𝑡 = 1
𝑠2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala. Se
𝑓𝑡 = 5𝑡 então 𝐿[5𝑡] = 1
5 𝐹
𝑠
5 = 1
5 
1
𝑠
5
2 = 5
𝑠2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui também poderia ser utilizada a Linearidade
𝐿[5𝑡] = 5 𝐿[𝑡] = 5
𝑠2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE PARA FUNÇÃO 𝑓(𝑡) = 3.
A) 1
𝑠 + 3
B) 3𝑠
C) 3
𝑠 + 9
D) 𝑠
𝑠2 + 9
E) 𝑠
𝑠2 - 9
2. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑓(𝑡) VALE
𝑠
𝑠2 + 9
𝑛 + 1 , SENDO $$N$$ UM NÚMERO INTEIRO, OBTENHA A TRANSFORMADA
DE LAPLACE DE 𝑒5𝑡 𝑓(𝑡).
A) 𝑠
𝑠2 - 10𝑠 + 16
𝑛 + 5
B) 𝑠
𝑠2 - 10𝑠 + 25
𝑛 + 1
C) 𝑠 - 5
𝑠2 - 10𝑠 + 25
𝑛 + 1
D) 𝑠
𝑠2 - 10𝑠 + 34
𝑛 + 1
E) 𝑠 - 5
𝑠2 - 10𝑠 + 34
𝑛 + 1
3. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$F(T)$$
VALE 𝑒4𝑠
𝑠 + 1, OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE $$F(2T)$$.
A) 𝑒4𝑠
𝑠 + 2
B) 𝑒
2𝑠
𝑠 + 1
C) 2𝑒
2𝑠
𝑠 + 2
D) 𝑒2𝑠
𝑠 + 2
E) 4𝑒
2𝑠
𝑠 + 1
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE PARA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 0, 0 < 𝑡 ≤ 1
𝑡, 𝑡 > 1
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 1
𝑠2 + 1
𝑠
B) 1
𝑠2 + 1
𝑠
C) 𝑒-𝑠 1
𝑠2 + 1
𝑠
D) 1
𝑠2 𝑒-𝑠
E) 1𝑠 𝑒-𝑠
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE PARA FUNÇÃO 𝑓𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡), COM $$K$$ REAL.
A) 𝑠
𝑠2 - 𝑘2
B) 1
𝑠2 - 𝑘2
C) 𝑠
𝑠2 + 𝑘2
D) 1
𝑠2 + 𝑘2
E) 1
𝑠2
6. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE PARA FUNÇÃO 𝑓𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑡), $$K$$ REAL.
A) 1
𝑠2 - 𝑘2
B) 1
s2 + k2
C) k
s2 + k2
D) s
s2 + k2
E) s
s2 - k2
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função 𝑓(𝑡) = 3.
A alternativa "B " está correta.
Usando a definição
𝐹𝑠 = 𝐿 [3] = ∫0
∞
3𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
3𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral ∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
∫0
𝑧 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1
-𝑠 𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
= - 1
𝑠 𝑒
-𝑠𝑧 + 1
𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
3𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
3
𝑠(1 - 𝑒-𝑠𝑧 ) = -∞ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 < 0
3
𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐹𝑠 = ℒ[3] = 3
𝑠, para 𝑠 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabendo que a Transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) vale 𝑠
𝑠2 + 9
𝑛 + 1 , sendo $$n$$ um
número inteiro, obtenha a Transformada de Laplace de 𝑒5𝑡 𝑓(𝑡).
A alternativa "E " está correta.
Pelas propriedades da Transformada de Laplace, sabe-se que
L [ 𝑒𝑘𝑡 𝑓(𝑡) ] = 𝐹 ( 𝑠 – 𝑘)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝐹𝑠 = 𝑠
𝑠2 + 9
𝑛 + 1 e 𝑘 = 5, teremos
L 𝑒5𝑡 𝑓𝑡 = 𝐹 𝑠 – 5 = 𝑠 - 5
(𝑠 - 5)2 + 9
𝑛 + 1 = 𝑠 - 5
𝑠2 - 10𝑠 + 34
𝑛 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Sabendo que a Transformada de Laplace da função $$f(t)$$ vale 𝑒4𝑠
𝑠 + 1, obtenha a
Transformada de Laplace de $$f(2t)$$.
A alternativa "D " está correta.
Pelas propriedades da Transformada de Laplace, sabe-se que
L [ 𝑓(𝑘𝑡) ] = 1
𝑘F
𝑠
𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝐹𝑠 = 10 𝑒4𝑠
𝑠 + 1 , então:
L 𝑓2𝑡 = 1
2𝐹
𝑠
2 = 1
2
 𝑒4𝑠
2
𝑠
2 + 1 = 𝑒2𝑠
2 . 𝑠 + 2
2
= 𝑒2𝑠
𝑠 + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função
𝑓𝑡 = 0, 0 < 𝑡 ≤ 1
𝑡, 𝑡 > 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Usando a definição
𝐹𝑠 = ℒ[𝑓(𝑡)] = ∫0
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0
1 0 . 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫1
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑡𝑑𝑡
𝐹𝑠 = ∫1
∞
 𝑒-𝑠𝑡 𝑡𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
∫1
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, calcular a integral ∫1
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡
Usando integração por partes:
𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
𝑑𝑣 = 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = - 1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫1
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡 𝑒
-𝑠𝑡
1
𝑧
- ∫1
𝑧
-1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡 𝑒
-𝑠𝑡
1
𝑧
- 1
𝑠2𝑒
-𝑠𝑡
1
𝑧
∫1
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑧 𝑒-𝑠𝑧 + 1
𝑠 𝑒
-𝑠 - 1
𝑠2𝑒
-𝑠𝑧 - 1
𝑠2𝑒
-𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
lim
𝑧 → ∞
∫1
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = 0 + 1
𝑠 𝑒
-𝑠 - 0 + 1
𝑠2𝑒
-𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
𝐹𝑠 = 𝐿 [𝑡] = 𝑒-𝑠 1
𝑠2 + 1
𝑠, 𝑠 > 0 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função 𝑓𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡),
com $$k$$ real.
A alternativa "A " está correta.
Lembre-se de que
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑘𝑡 = 𝑒𝑘𝑡 + 𝑒-𝑘𝑡
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℒ[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡)] = ℒ𝑒𝑘𝑡 + 𝑒-𝑘𝑡
2 = 1
2ℒ𝑒
𝑘𝑡 + 1
2ℒ𝑒
-𝑘𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já obtivemos a Transformada de Laplace da função $$e^{kt}$$.
Assim,
L [ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡) ] = 1
2
1
𝑠 - 𝑘 + 1
2
1
𝑠 - -𝑘
L [𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡) ] = 1
2
𝑠 + 𝑘 + (𝑠 - 𝑘)
(𝑠 - 𝑘)(𝑠 + 𝑘) = 𝑠
𝑠2 - 𝑘2 
, 𝑠 > 𝑘 .
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
6. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função 𝑓𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑡),
$$k$$ real.
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A função degrau unitário é definida por
𝑢𝑡 - 𝑡0 = 0, 𝑡 < 𝑡0
1, 𝑡 ≥ 𝑡0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo t_0 o ponto onde a função dá um salto de descontinuidade.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Vamos determinar a Transformada de Laplace de u(t-t_0) e de u(t – 1)e^{2t} .
RESOLUÇÃO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$F(T)$$
VALE 1
𝑠2 + 4
2 , OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 𝑓𝑡2.
A) 1
8𝑠2 + 1
2
B) 4
𝑠2 + 4
2
C) 16
𝑠2 + 1
2
D) 8
𝑠2 + 4
2
E) 𝑠
8𝑠2 - 4
2
2. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA A FUNÇÃO 𝑓(𝑡) = 𝑡2 .
A) 2𝑠
𝑠2 + 1
B) 1
𝑠2
C) 2
𝑠3
D) 1
(𝑠 + 1)2
E) 𝑠 + 1
𝑠2
GABARITO
1. Sabendo que a Transformada de Laplace da função $$f(t)$$ vale 1
𝑠2 + 4
2 , obtenha a
Transformada de Laplace de 𝑓𝑡2.
A alternativa "A " está correta.
Sabe-se que
L [ 𝑓(𝑘𝑡) ] = 1
𝑘𝐹
𝑠
𝑘 → L [ 𝑓(0, 5𝑡) ] = 2𝐹2𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝐹2𝑠 = 2
(2𝑠)2 + 4
2 = 2
4𝑠2 + 4
2 = 2
16𝑠2 + 1
2 = 1
8𝑠2 + 1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a Transformada de Laplace para a função 𝑓(𝑡) = 𝑡2 .
A alternativa "C " está correta.
Usando a definição
𝐹𝑠 = 𝐿 [𝑡2 ] = ∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑡2 𝑑𝑡
∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡2 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, calcular a integral ∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡2 𝑑𝑡
Usando integração por partes: 𝑢 = 𝑡2 → 𝑑𝑢 = 2𝑡𝑑𝑡 e 𝑑𝑣 = 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = - 1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡
Assim,
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡
2 𝑒-𝑠𝑡
0
𝑧
- ∫0
𝑧
-1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡 (2𝑡) 𝑑𝑡
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡
2 𝑒-𝑠𝑡
0
𝑧
+ 2
𝑠 ∫0
𝑧
𝑡𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver a integral ∫0
𝑧 𝑡𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡, vamos usar novamente a integração por partes:
Usando integração por partes: 𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 e 𝑑𝑣 = 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = - 1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡
Logo,
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡 𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
- ∫0
𝑧
-1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡 𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
- 1
𝑠2𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo,
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑡
2 𝑒-𝑠𝑡
0
𝑧
+ 2
𝑠-1
𝑠𝑡 𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
- 2
𝑠
1
𝑠2𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = - 1
𝑠𝑡
2 𝑒-𝑠𝑧 + 1
𝑠𝑧
2 - 2
𝑠2𝑧 𝑒-𝑠𝑧 + 2
𝑠2𝑧 - 2
𝑠3𝑒
-𝑠𝑧 + 2
𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
𝑙𝑖𝑚
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑡2 𝑑𝑡 = 0 - 0 + 0 - 0 + 0 + 2
𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, 𝐹𝑠 = 2
𝑠3 
, 𝑠 > 0.
MÓDULO 2
 Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO NA
TRANSFORMADA DE LAPLACE>
DERIVAÇÃO NA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Vamos estudar as propriedades da Transformada de Laplace que envolve a derivação e a
integração. Iniciaremos com a Transformada de Laplace da derivada de uma função, propriedade
de grande aplicação na solução de equações diferenciais.
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DA
FUNÇÃO F(T):
Seja a função f(t) com Transformada de Laplace F(s).
L 𝑓'(𝑡) = ∫0
∞
𝑓'(𝑡)𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes
𝑢 = 𝑒-𝑠𝑡 → 𝑑𝑢 = ( - 𝑠)𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑓'(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑣 = 𝑓(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫0
∞
𝑓'(𝑡)𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡)0
∞
- ∫0
∞ ( - 𝑠)𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡)
∫0
∞
𝑓'(𝑡)𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = - 𝑓0 + 𝑠 ∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℒ𝑓' = - 𝑓0 + 𝑠ℒ𝑓 = 𝑠𝐹𝑠 – 𝑓0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo, sucessivamente, esse procedimento, obtemos
ℒ𝑓'' = 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑓0 - 𝑓'0
ℒ𝑓''' = 𝑠3 𝐹𝑠 - 𝑠2 𝑓0 - 𝑠𝑓' 0 - 𝑓''(0)
. . .
ℒ𝑓
(𝑛)
= 𝑠𝑛 𝐹𝑠 - 𝑠𝑛 - 1 𝑓0 - 𝑠𝑛 - 2 𝑓' 0 - … - 𝑠𝑓𝑛 - 2 (0) - 𝑓𝑛 (0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, obtivemos a fórmula para a Transformada de Laplace da derivada de qualquer
ordem para uma função. Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 4
Obtenha a Transformada de Laplace da função t^2, sabendo que a Transformada de Laplace da
função t^4 vale 24
𝑠5 :
RESOLUÇÃO
Seja a função f(t)\ =\ t^4. Sabe-se que f’(t) = 4 t^3 e f’(t) = 12 t^2
Assim,
L 𝑓'' = L 12 𝑡2 = 12 L 𝑡2
L 𝑓'' = 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑓0 - 𝑓' 0 = 𝑠2 24
𝑠5 - 𝑠 . 04 - 4 . 03 = 24
𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
12 𝐿 𝑡2 = 24
𝑠3 → 𝐿 𝑡2 = 2
𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Obtenha a equação na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial
𝑦’’ + 2 𝑦’ + 3𝑦 = 0, sabendo que 𝑦(0) = 𝑎 e 𝑦’(0) = 𝑏, com a e b reais:
RESOLUÇÃO
Usando a propriedade
L 𝑓' = 𝑠𝐹(𝑠) – 𝑓(0)
L 𝑓'' = 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑓0 - 𝑓'(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Função f(t) = y
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda, sabe-se que a Transformada de
Laplace do termo da direita vale 0.
𝐿 [ 𝑦’’ + 2 𝑦’ + 𝑦 ] = 𝐿 [𝑦’’] + 2 𝐿 [ 𝑦’] + 𝐿[𝑦]
= 𝑠2 𝑌𝑠 - 𝑠 𝑦0 - 𝑦' 0 + 2 𝑠 𝑌(𝑠) – 2𝑦(0) + 𝑌(𝑠) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
𝑠2 + 2𝑠 + 1𝑌𝑠 = 𝑠 + 2𝑦0 + 𝑦' 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
𝑌𝑠 = 𝑠 + 2𝑦0 + 𝑦' 0
𝑠2 + 2𝑠 + 1
= 𝑠 + 2𝑎 + 𝑏
𝑠2 + 2𝑠 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Estudaremos no próximo módulo a Transformada inversa que permitirá sair de Y(s) e obter a solução
da Equação Diferencial Ordinária — EDO.
 ATENÇÃO
A Transformada de Laplace só permite solucionar problemas de valores iniciais, isto é, que forneçam
as condições na origem. Caso as condições forem dadas em outros pontos, devemos usar a
substituição de variável para transformar nas condições na origem.
Vamos analisar, agora, o que acontece se derivarmos a Transformada de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace F(s) da função f(t):
𝐹𝑠 = ℒ [𝑓(𝑡)] = ∫0
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑓𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos derivar ambos os lados em relação a variável s:
𝑑𝐹
𝑑𝑠𝑠 = 𝑑
𝑑𝑠 ∫0
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0
∞ 𝑑
𝑑𝑠(𝑒
-𝑠𝑡 ) 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑑𝐹
𝑑𝑠𝑠 = ∫0
∞
( - 1)𝑡(𝑒-𝑠𝑡 ) 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0
∞
( - 1)𝑡𝑓(𝑡)(𝑒-𝑠𝑡 ) 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝑑𝐹
𝑑𝑠𝑠 = L ( - 1)1 𝑡 𝑓(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando mais uma vez,
𝑑2𝐹
𝑑𝑠2 𝑠 = 𝑑𝐹
𝑑𝑠 ∫0
∞
-1𝑒-𝑠𝑡 𝑡𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0
∞ 𝑑𝐹
𝑑𝑠𝑒
-𝑠𝑡 -1𝑡𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑑2𝐹
𝑑𝑠2 𝑠 = ∫0
∞ -1𝑡 𝑒-𝑠𝑡 -1𝑡𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑑2𝐹
𝑑𝑠2 𝑠 = ∫0
∞
( - 1)2 𝑡2 𝑒-𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑑2𝐹
𝑑𝑠2 𝑠 = ℒ( - 1)2 𝑡2 𝑓(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo-se os passos, prova-se que
𝑑𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
𝑠 = 𝐿 ( - 1)𝑛 𝑡𝑛 𝑓(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se, então, dizer que
L 𝑡𝑛 𝑓(𝑡) = ( - 1)𝑛 𝑑𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PORTANTO,SE MULTIPLICARMOS A FUNÇÃO PELA
FUNÇÃO T^N, DERIVAMOS A TRANSFORMADA DE
LAPLACE EM UMA ORDEM N.
Vamos analisar os exemplos a seguir:
EXEMPLO 6
Obtenha a Transformada de Laplace da função f(t)\ =\ t^3:
RESOLUÇÃO
Poderíamos achar essa Transformada por meio da definição da Transformada de Laplace. Nessa
solução, usaríamos várias vezes a integração por partes, mas existe um caminho mais simples:
Poderemos considerar a função f(t)\ =\ t^3\ =\ t^3.1 e obter a Transformada de Laplace de f(t) = 1.
Usando a definição
𝐹𝑠 = 𝐿 [1] = ∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral \int_{0}^{z}{e^{-st}\ dt}:
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1
-𝑠 𝑒
-𝑠𝑡
0
𝑧
= - 1
𝑠 𝑒
-𝑠𝑧 + 1
𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
𝑧 → ∞
∫0
𝑧
𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧 → ∞
1
𝑠(1 - 𝑒-𝑠𝑧 ) = -∞ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 < 0
1
𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos usar a propriedade:
𝐿 𝑡𝑛 𝑓(𝑡) = ( - 1)𝑛 𝑑
𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
𝐿 𝑡3 . 1 = ( - 1)3 𝑑3𝐹
𝑑𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
𝐹𝑠 = 1𝑠 → 𝐹' 𝑠 = - 1
𝑠2 → 𝐹'' 𝑠 = 2
𝑠3 → 𝐹''' 𝑠 = - 6
𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
𝐿 𝑡3 . 1 = ( - 1)3 𝑑3𝐹
𝑑𝑠3 = 6
𝑠3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Aqui, faremos um raciocínio análogo para as propriedades envolvendo a integração, iniciando com a
integração da Transformada de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace F(s) da função f(t):
𝐹𝑠 = ℒ [𝑓(𝑡)] = ∫0
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑓𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar ambos os lados em relação a variável s
∫𝑠
∞ 𝐹𝑠𝑑𝑠 = ∫𝑠
∞ ∫0
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑓𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠
∫𝑠
∞ 𝐹𝑠𝑑𝑠 = ∫0
∞ 𝑓𝑡 ∫𝑠
∞ 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡
∫𝑠
∞
𝐹𝑠𝑑𝑠 = ∫0
∞
𝑓𝑡1
𝑡𝑒
-𝑠𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫𝑠
∞ 𝐹𝑠𝑑𝑠 = 𝐿 1𝑡𝑓(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, pode se dizer que
L 1
𝑡𝑓(𝑡) = ∫𝑠
∞ 𝐹𝑠𝑑𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POR ISSO, SE CONHECERMOS A TRANSFORMADA DE
F(T) PODEMOS OBTER A TRANSFORMADA DE 1𝑡𝑓(𝑡) POR
MEIO DE UMA INTEGRAÇÃO DE F(S). SE DESEJARMOS A
TRANSFORMADA DE 1
𝑡2𝑓𝑡, INTEGRAREMOS DUAS VEZES
E, ASSIM, SUCESSIVAMENTE.
Confira os exemplos a seguir:
EXEMPLO 7
Obtenha a Transformada de Laplace da função 𝑔(𝑡) = 1𝑡:
RESOLUÇÃO
Já calculamos a Transformada de Laplace de f(t)\ =\ 1.
𝐹(𝑠) = 1
𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo
𝑔𝑡 = 1
𝑡 = 1
𝑡 . 1,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
L 1
𝑡𝑓(𝑡) = ∫𝑠
∞
𝐹𝑠𝑑𝑠
ℒ1
𝑡 = ℒ1
𝑡1 = ∫𝑠
∞ 1
𝑠𝑑𝑠 = ln𝑠𝑠
∞ = ∞ - ln𝑠 = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, essa Integral Imprópria não existe, pois não deu como resultado um número real.
Desse modo, não existe Transformada de Laplace da função g(t)=\frac{1}{t}.
Por fim, vamos aproveitar e ver uma propriedade que ainda não foi vista, que determina a
Transformada de Laplace da integração de uma função f(t). Assim:
ℒ ∫0
𝑡
𝑓𝑤𝑑𝑤 = ∫0
∞
∫0
𝑡
𝑓𝑤𝑑𝑤𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes:
𝑢 = ∫0
𝑡 𝑓𝑣𝑑𝑣 → 𝑑𝑢 = 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = - 1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
∫0
∞
∫0
𝑡
𝑓𝑤𝑑𝑤𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = -1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡 ∫0
𝑡
𝑓𝑣𝑑𝑣
0
∞
- ∫0
∞
-1
𝑠𝑒
-𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∫0
∞
∫0
𝑡
𝑓𝑤𝑑𝑤𝑒-𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 0 + 1
𝑠 ∫0
∞
𝑒-𝑠𝑡 𝑓𝑡𝑑𝑡 = 1𝑠𝐹(𝑠)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a propriedade nos diz que
L ∫0
𝑡
𝑓𝑤𝑑𝑤 = 1
𝑠𝐹(𝑠)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare, portanto, que basta dividir a Transformada de Laplace de F(s) por s que se obtém a
Transformada da integral de uma função.
EXEMPLO 8
Sabendo que a Transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑡) vale 𝐹𝑠 = 𝑠
𝑠2 + 4
. Determine a
Transformada da função 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡).
RESOLUÇÃO
Sabe-se que
∫0
𝑡
cos(2𝑡)𝑑𝑡 = 1
2𝑠𝑒𝑛 2𝑡
0
𝑡 = 1
2𝑠𝑒𝑛2𝑡
L ∫0
𝑡
cos2𝑡𝑑𝑡 = 1
𝑠𝐹𝑠,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo F(s) a Transformada de cos(2t)
L ∫0
𝑡 cos2𝑡𝑑𝑡 = L 1
2𝑠𝑒𝑛(2𝑡) = 1
2 L 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) = 1
𝑠 . 𝑠
𝑠2 + 4
= 1
𝑠2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝐿𝑠𝑒𝑛(2𝑡) = 2
𝑠2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DA FUNÇÃO $$T^3$$, SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DA FUNÇÃO $$T^5$$ VALE 120
𝑠6 .
A) 3
𝑠3
B) 2
𝑠5
C) 6
𝑠3
D) 9
𝑠3
E) 6
𝑠4
2. DETERMINE A EQUAÇÃO ALGÉBRICA NA VARIÁVEL DE LAPLACE QUE
AUXILIARÁ NO CÁLCULO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 𝑦’’ - 3𝑦’ + 5𝑦 = 0,
SABENDO QUE 𝑦(0) = 5 E 𝑦’(0) = 1.
A) 5𝑠 + 14
𝑠2 - 3𝑠 + 5
B) 5𝑠 - 14
𝑠2 - 3𝑠 + 5
C) 5𝑠
𝑠2 - 3𝑠 + 5
D) 5𝑠 + 14
𝑠2 + 3𝑠 - 5
E) 𝑠
𝑠2 + 3𝑠 + 5
3. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑔(𝑡) = 𝑡 cos 𝑡,
SABENDO QUE 𝐿 [𝑐𝑜𝑠 𝑡] = 𝑠
𝑠2 + 1
.
A) 2𝑠
2 - 1
𝑠2 - 1
2
B) 𝑠 - 1
𝑠 + 1
C) 1 - 𝑠2
𝑠2 + 1
2
D) 𝑠2 - 1
𝑠2 + 1
2
E) 𝑠2
𝑠2 + 1
2
4. USANDO A TRANSFORMADA DA INTEGRAL DE $$F(T)$$, OBTENHA A
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑡), SABENDO QUE A
TRANSFORMADA DE 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡) VALE 𝐹𝑠 = 4
𝑠2 + 16
.
A) 𝑠
𝑠2 + 16
B) 𝑠 + 1
𝑠2 - 16
C) 2𝑠
𝑠2 - 16
D) 4
𝑠2 + 16
E) 𝑠2
𝑠2 + 16
5. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO ℎ𝑡 = 𝑡2 𝑒𝑡 cos𝑡.
A) 𝑠
2 - 2𝑠 - 2(2 + 2𝑠)
𝑠2 - 2𝑠 + 2
2
B) 𝑠
2 + 2𝑠 + 2(2 - 2𝑠)
𝑠2 - 2𝑠 + 2
3
C) -𝑠
2 + 2𝑠 + 2(2 - 2𝑠)
𝑠2 - 2𝑠 + 2
3
D) -𝑠
2 + 2𝑠 + 2(2 + 2𝑠)
𝑠2 - 2𝑠 + 2
3
E) -𝑠2 - 2𝑠 - 2
𝑠2 - 2𝑠 + 2
3
6. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑔𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑡 .
A) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑠)
B) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑠 + 𝜋
2
C) 𝜋2
D) 𝜋2 - 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑠)
E) 𝑙𝑛(𝑠)
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace da função $$t^3$$, sabendo
que a Transformada de Laplace da função $$t^5$$ vale 120
𝑠6 .
A alternativa "E " está correta.
Seja a função 𝑓(𝑡) = 𝑡5 .
Sabe-se que𝑓’(𝑡) = 5 𝑡4 e 𝑓’’(𝑡) = 20 𝑡3
Assim,
L 𝑓'' = L 20 𝑡3 = 20 L 𝑡3
L 𝑓'' = 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑓0 - 𝑓' 0 = 𝑠2 120
𝑠6 - 𝑠 . 05 - 5 . 04 = 120
𝑠4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
20𝐿 𝑡3 = 120
𝑠4 → 𝐿 𝑡3 = 6
𝑠4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação
diferencial 𝑦’’ - 3𝑦’ + 5𝑦 = 0, sabendo que 𝑦(0) = 5 e 𝑦’(0) = 1.
A alternativa "B " está correta.
Usando a propriedade
L 𝑓' = 𝑠𝐹(𝑠) – 𝑓(0)
L 𝑓'' = 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑓0 - 𝑓'(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função 𝑓(𝑡) = 𝑦
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda; Sabe-se que a Transformada de
Laplace do termo da direita vale 0.
L [ 𝑦’’ - 3𝑦’ + 5𝑦] = ℒ[𝑦’’] - 3ℒ[𝑦’] + 5 L [𝑦]
= 𝑠2 𝑌𝑠 - 𝑠 𝑦0 - 𝑦' 0 – 3𝑠 𝑌(𝑠) + 3 𝑦(0) + 5 𝑌(𝑠) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
𝑠2- 3𝑠 + 5𝑌𝑠 = 𝑠 - 3𝑦0 + 𝑦' 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝑌𝑠 = 𝑠 - 3𝑦0 + 𝑦' 0
𝑠2 - 3𝑠 + 5
= 𝑠 - 35 + 1
𝑠2 - 3𝑠 + 5
= 5𝑠 - 14
𝑠2 - 3𝑠 + 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a Transformada de Laplace da função 𝑔(𝑡) = 𝑡 cos 𝑡, sabendo que 𝐿 [𝑐𝑜𝑠 𝑡] = 𝑠
𝑠2 + 1
.
A alternativa "D " está correta.
Sabemos pela propriedade que
L 𝑡𝑛 𝑓(𝑡) = ( - 1)𝑛 𝑑
𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
L 𝑔(𝑡) = ℒ𝑡𝑓(𝑡) = ( - 1)1 𝑑𝐹
𝑑𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝐹𝑠 = 𝑠
𝑠2 + 1
:
𝐹’𝑠 = 1 . 𝑠2 + 1 - 𝑠(2𝑠)
𝑠2 + 1
2 = 1 - 𝑠2
𝑠2 + 1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
L 𝑔(𝑡) = – 1 1 - 𝑠2
𝑠2 + 1
2 = 𝑠2 - 1
𝑠2 + 1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Usando a Transformada da integral de $$f(t)$$, obtenha a Transformada de Laplace de
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑡), sabendo que a Transformada de 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡) vale 𝐹𝑠 = 4
𝑠2 + 16
.
A alternativa "A " está correta.
Sabe-se que
∫0
𝑡
𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑑𝑡 = -1
4𝑐𝑜𝑠 4𝑡0
𝑡 = 1
4 - 1
4𝑐𝑜𝑠 4𝑡
ℒ ∫0
𝑡
𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 1
𝑠𝐹𝑠,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo $$F(s)$$ a Transformada de 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡)
ℒ ∫0
𝑡
𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 1
𝑠 . 4
𝑠2 + 16
= 4
𝑠𝑠2 + 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℒ ∫0
𝑡
𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡 = L 1
4 - 1
4𝑐𝑜𝑠 4𝑡 = 1
4 L 1 - 1
4 L 𝑐𝑜𝑠(4𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐿𝑐𝑜𝑠(4𝑡) = 𝐿1 - 4𝐿 ∫0
𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que 𝐿[1] = 1𝑠
Portanto,
𝐿𝑐𝑜𝑠(4𝑡) = 1𝑠 - 4 4
𝑠𝑠2 + 16
= 𝑠2 + 16 - 16
𝑠𝑠2 + 16
= 𝑠2
𝑠𝑠2 + 16
= 𝑠
𝑠2 + 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Obtenha a Transformada de Laplace da função ℎ𝑡 = 𝑡2 𝑒𝑡 cos𝑡.
A alternativa "C " está correta.
6. Obtenha a Transformada de Laplace da função 𝑔𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑡 .
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos obter a solução do problema de valor inicial dado pela equação 𝑦’ – 𝑦 = 0 com 𝑦(0) = 1 .
RESOLUÇÃO
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando a propriedade da derivada, isto
é, 𝐿 𝑓' = 𝑠 𝐹(𝑠) – 𝑓(0)
𝐿 [ 𝑦’ – 𝑦 ] = 𝐿 [ 0] = 0 
𝑠𝑌𝑠 - 𝑦(0) - 𝑌𝑠 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
𝑌𝑠 = 𝑦0
𝑠 - 1 = 1
𝑠 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que 1
𝑠 - 1 é a transformada de Laplace da função e^t
Assim, y(t)=e^t.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 1
4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡
2cos2𝑡,
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SABENDO QUE É A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 𝑡4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) VALE 𝑠
𝑠2 + 4
2 .
A) 𝑠
𝑠2 + 4
2
B) 𝑠2
𝑠2 + 4
2
C) 𝑠2
𝑠2 + 4
D) 𝑠2
𝑠2 - 4
2
E) 2𝑠2
𝑠2 + 𝑠
2
2. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑔𝑡 = 𝑒𝑡 - 1
𝑡 .
A) 𝑠
𝑠 - 1
B) 𝑠
𝑠 + 1
C) 𝑙𝑛 𝑠
𝑠 - 1
D) ln[𝑠𝑠 - 1]
E) 𝑒𝑠 + 1
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace da função
𝑓𝑡 = 1
4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡
2cos2𝑡,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sabendo que é a Transformada de Laplace de 𝑡4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) vale 𝑠
𝑠2 + 4
2 .
A alternativa "B " está correta.
Seja a função
𝑔𝑡 = 𝑡
4𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se que
𝑔' 𝑡 = 1
4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡
2cos(2𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é a função desejada.
Assim,
L 𝑔' = 𝑠𝐺𝑠 – 𝑔0 = 𝑠 𝑠
𝑠2 + 4
2 - 0
4𝑠𝑒𝑛0 = 𝑠2
𝑠2 + 4
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Obtenha a Transformada de Laplace da função 𝑔𝑡 = 𝑒𝑡 - 1
𝑡 .
A alternativa "C " está correta.
Pela propriedade
L 1
𝑡𝑓(𝑡) = ∫𝑠
∞
𝐹𝑠𝑑𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Precisamos descobrir a Transformada de Laplace de 𝑓𝑡 = 𝑒𝑡 - 1
L [ 𝑒𝑡 – 1] = 𝐿[𝑒𝑡] – 𝐿[1] = 1
𝑠 - 1 - 1
𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L 1
𝑡𝑒
𝑡 - 1 = ∫𝑠
∞ 1
𝑠 - 1 - 1
𝑠 𝑑𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma integral imediata
L 1
𝑡𝑒
𝑡 - 1 = ln𝑠 - 1𝑠
∞ - ln𝑠𝑠
∞ = 0 - ln𝑠 - 1 - 0 + ln𝑠
L 1
𝑡𝑒
𝑡 - 1 = ln𝑠 - ln𝑠 - 1 = 𝑙𝑛 𝑠
𝑠 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a Transformada de Laplace
TABELA DA TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE
E SUAS APLICAÇÕES
TABELA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Até aqui, definimos a Transformada de Laplace e aprendemos a obter as Transformadas de diversas
funções. No entanto, existem, na literatura, tabelas que já apresentam as Transformadas das
principais funções matemáticas, não sendo necessário, às vezes, calculá-las. Neste módulo, vamos
analisar como aplicar a Tabela das Transformadas, bem como definiremos a Transformada Inversa
de Laplace.
FUNÇÃO TRANSFORMADA
1 1
𝑠
𝑡𝑛 𝑛!
𝑠𝑛 + 1
𝑒𝑘𝑡 1
𝑠 - 𝑘
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 𝑘
𝑠2 + 𝑘2
𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑘2
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) 𝑘
𝑠2 - 𝑘2
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡) 𝑠
𝑠2 - 𝑘2
𝑒𝑤𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 𝑘
(𝑠 - 𝑤)2 + 𝑘2
𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 2𝑘𝑠
𝑠2 + 𝑘2
𝑒𝑤𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) 𝑠
(𝑠 - 𝑤)2 + 𝑘2
𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) 𝑠2 - 𝑘2
𝑠2 + 𝑘2
𝑡𝑛 - 1 𝑒𝑘𝑡
𝑛 - 1!
1
(𝑠 - 𝑘)𝑛
 (𝑛 ≥ 1)
1
2𝑘3 (𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡 - 𝑘𝑡cos𝑘𝑡) 1
𝑠2 + 𝑘2 2
𝑡
2𝑘𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡
𝑠
𝑠2 + 𝑘2 2
∫0
𝑡 𝑡
2𝑛𝐿
-1 1
𝑠2 + 𝑘2 𝑛𝑑𝑡 1
𝑠2 + 𝑘2 𝑛 + 1
𝑡
2𝑛𝐿
-1 1
𝑠2 + 𝑘2 𝑛
𝑠
𝑠2 + 𝑘2 𝑛 + 1
𝑢(𝑡 – 𝑡0 ) 𝑒-𝑡0𝑠
𝑠
𝑢(𝑡 – 𝑡0 )𝑓(𝑡 – 𝑡0 ) 𝑒-𝑡0 𝑠 𝐹(𝑠)
𝑢(𝑡 – 𝑡0 )𝑓(𝑡) 𝑒-𝑡0 𝑠 𝐹(𝑠 + 𝑡0 )
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela - Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
FUNÇÃO TRANSFORMADA
𝑘1 𝑓𝑡 + 𝑘2 𝑔𝑡 𝑘1 𝐹𝑠 + 𝑘2𝐺𝑠
𝑓’(𝑡) 𝑠𝐹(𝑠) – 𝑓(0)
𝑓’’(𝑡) 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑓0 - 𝑓' 0
𝑓
(𝑛)
(𝑡) 𝑠2 𝐹𝑠 - 𝑠𝑛 - 1 𝑓0 - … - 𝑓𝑛 - 1 0
∫𝑜
𝑡
𝑓𝑡𝑑𝑡 𝐹𝑠
𝑠
∫𝑘
𝑡 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝐹𝑠
𝑠 - 1
𝑠 ∫𝑜
𝑘 𝑓𝑡𝑑𝑡
𝑒𝑘𝑡 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 – 𝑘 )
𝑡𝑛 𝑓𝑡 -1𝑛 𝑑
𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
𝑠
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela - Propriedades das Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira
de Cerqueira
Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 9
Obtenha a Transformada de Laplace de:
ℎ(𝑡) = 4 𝑐𝑜𝑠 (3𝑡) + 8 𝑒2𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L [ 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑡)] = 𝑠
𝑠2 + 𝑘2𝑒 L [ 𝑒𝑘𝑡 ] = 1
𝑠 - 𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L [ 𝑐𝑜𝑠 (3𝑡)] = 𝑠
𝑠2 + 9
𝑒 L [ 𝑒2𝑡 ] = 1
𝑠 - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
L [ 4 𝑐𝑜𝑠 (3𝑡) + 8 𝑒2𝑡 ] = 4 L [𝑐𝑜𝑠(3𝑡)] + 8 L [ 𝑒2𝑡 ] =
= 4 𝑠
𝑠2 + 9
+ 8 1
𝑠 - 2 = 4𝑠𝑠 - 2 + 8(𝑠2 + 9)
(𝑠2 + 9)(𝑠 - 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 10
Obtenha a Transformada de Laplace de:
𝑔𝑡 = ∫0
𝑡
∫0
𝑡
cosh(𝑡)𝑑𝑡𝑑𝑡:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃOO enunciado pede a Transformada da função, que é obtida integrando-se duas vezes a função
cosh(t).
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
𝐿 [ 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑘𝑡)] = 𝑠
𝑠2 - 𝑘2 → 𝐿 [ cosh (t)] = 𝑠
𝑠2 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [ ∫𝑜
𝑡
𝑓𝑡𝑑𝑡] = 𝐹(𝑠)
𝑠 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então
L [ ∫0
𝑡
∫0
𝑡
𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑑𝑡] = 1
𝑠
𝐹(𝑠)
𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑠2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas 𝐹𝑠 = 𝑠
𝑠2 - 1
Assim,
L [ ∫0
𝑡 ∫0
𝑡 𝑓𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡] = 𝐹𝑠
𝑠2 = 1
𝑠𝑠2 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Determine a Transformada de Laplace para a função
𝑓𝑡 = 0, 𝑡 < 2
𝑡4 , 𝑡 ≥ 2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em t=2.
Analisando a tabela, obtemos
L [ 𝑡𝑛 ] = 𝑛!
𝑠𝑛 + 1 → L [ 𝑡4 ] = 4!
𝑠4 + 1 = 24
𝑠5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [ 𝑢(𝑡 – 𝑡0)𝑓(𝑡)] = 𝑒-𝑡0 𝑠 𝐹(𝑠 + 𝑡0 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L [ 𝑢(𝑡 – 2)𝑓(𝑡)] = 𝑒-2𝑠 24
(𝑠 + 2)5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSFORMADA INVERSA
Como já analisamos, a Transformada de Laplace permite transformar uma variável, usando uma
transformação integral. A pergunta é:
COMO FAZER A TRANSFORMAÇÃO INVERSA PARA
QUE, APÓS A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA,
OBTENHAMOS A RESPOSTA NA VARIÁVEL
ORIGINAL?
Existem algumas formas de se fazer isso. Neste módulo, analisaremos juntos o procedimento, por
meio da observação da tabela de Transformadas de Laplace, se for o caso, com o método das
frações parciais.
Representaremos a Transformada inversa pelo símbolo ℒ-1 .
Logo,
𝐿-1 [𝐹(𝑠)] = 𝑓(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Antes de aplicarmos a teoria nos exemplos, vamos ver algumas propriedades da Transformada
Inversa, que podem ser úteis:
A
LINEARIDADE:
𝐿-1 [ 𝑘1 𝐹1 (𝑠) + 𝑘2 𝐹2 (𝑠) ] = 𝑘1 𝐿-1 [𝐹1 (𝑠)] + 𝑘2 𝐿-1 [ 𝐹2 (𝑠)]
B
DESLOCAMENTO:
𝐿-1 [ 𝐹 (𝑠 – 𝑘)] = 𝑒𝑘𝑡 𝐿-1 [𝐹(𝑠)]
C
𝐿-1 [ 𝑠 𝐹(𝑠)] = 𝑑𝑑𝑡 𝐿
-1 [𝐹(𝑠)]
D
𝐿-1 𝐹(𝑠)
𝑠 = ∫0
𝑡
𝐿-1 𝐹𝑠𝑑𝑡
As propriedades das letras C e D garantem que, ao se verificar a inversa, podemos desconsiderar os
termos s que multiplicam ou dividem, para depois apenas derivar ou integrar, respectivamente, a
função inversa obtida:
E
𝐿-1 𝐹(𝑘𝑠) = 1
𝑘𝑓
𝑡
𝑘
F
𝐿-1 𝑑𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
(𝑠) = ( - 𝑡)𝑛 𝐿-1 [𝐹𝑠]
Assim, para determinarmos a inversa de uma derivada devemos obter a inversa da função e depois
multiplicar pelo fator {(-t)}^n. As demonstrações dessas propriedades podem ser analisadas nas
referências deste conteúdo.
Vejamos, agora, um exemplo de aplicação direta da tabela:
EXEMPLO 12
Determine a função f(t), sabendo que
𝐹𝑠 = 5𝑠
𝑠2 + 64
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, verifica-se que existe uma função que tem
Transformada 𝑠
𝑠2 + 64
, que é a função cos(8t).
Pela linearidade
𝐿-1 [ 5 𝐹1 (𝑠) ] = 5 𝐿-1 [𝐹1 (𝑠)] 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, f(t) será 5 𝑐𝑜𝑠 (8𝑡)
Poderíamos também fazer por outro caminho
𝐹𝑠 = 5𝑠
𝑠2 + 64
= 5 𝑠 1
𝑠2 + 64
= 5
8𝑠
8
𝑠2 + 64
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que
𝐿-1 8
𝑠2 + 64
= 𝑠𝑒𝑛(8𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L-1 [𝑠𝐹(𝑠)] = 𝑑
𝑑𝑡 L-1 [𝐹(𝑠)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝐿-1 8𝑠
𝑠2 + 64
= 𝑑
𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛8𝑡 = 8cos(8𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela linearidade
L-1 [58𝐹1(𝑠)] = 5
8 L-1 [𝐹1(𝑠)] = 5𝑐𝑜𝑠(8𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nem sempre esses termos são a resposta que procuramos, necessitando, às vezes, de uma
manipulação matemática.
EXEMPLO 13
Determine a função f(t), sabendo que
𝐹𝑠 = (𝑠 - 1)
𝑠2 - 2𝑠 + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Observando o numerador, verifica-se que existe um descolamento s–1.
Assim, vamos ver se o denominador aparece também com esse fator:
𝑠2 - 2𝑠 + 2 = 𝑠2 - 2𝑠 + 1 + 1 = 𝑠 - 12 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
𝐹𝑠 = 𝐺𝑠 – 1 = (𝑠 - 1)
𝑠 - 12 + 1
𝐿 – 1 [ 𝐺 (𝑠 – 𝑘)] = 𝑒𝑘𝑡 𝐿 – 1 [𝐺(𝑠)]
𝐿 – 1 [ 𝐺 (𝑠 – 1)] = 𝑒𝑡 𝐿 – 1 [𝐺(𝑠)] = 𝑒𝑡 𝐿-1 [ 𝑠
𝑠2 + 1
] = 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Nos problemas mais complexos, necessitaremos usar o método das frações parciais, que já
aprendemos quando estudamos métodos de integração. Por meio das frações parciais, podemos
transformar uma fração em várias parcelas e depois tentar associar cada uma à Transformada
Inversa que se encontra na tabela.
FRAÇÕES PARCIAIS
O método de frações parciais é um método de fatoração de polinômios que transforma um polinômio
de certo grau, em uma sucessão de multiplicações de polinômios de menor grau.
O MÉTODO SE INICIA FATORANDO O POLINÔMIO
DO DENOMINADOR, Q(X), EM FATORES LINEARES
DO TIPO 𝑥 - 𝑝, 𝑝 𝑟𝑒𝑎𝑙, E FATORES QUADRÁTICOS
IRREDUTÍVEIS DO TIPO \LEFT(AX^2+BX+C\RIGHT),
SENDO A, B E C REAIS E 𝑎2 - 4𝑏𝑐 < 0.
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os
fatores lineares correspondem às raízes reais do polinômio Q(x) e os fatores quadráticos irredutíveis
às raízes complexas conjugadas do polinômio Q(x).
Dividiremos o método em quatro casos:
Q(X) APENAS COM RAÍZES REAIS SEM MULTIPLICIDADE
Seja o polinômio Q(x) de grau n, que apresenta apenas n raízes reais sem multiplicidade. Para esse
caso, após a fatoração de Q(x), ele será transformado em um produto de fatores lineares diferentes
entre si:
𝑄𝑥 = 𝑘𝑥 - 𝛼1 𝑥 - 𝛼2 … 𝑥 - 𝛼𝑛 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k real e \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n raízes reais.
Assim, a função
𝑓𝑥 = 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥)
𝑘𝑥 - 𝛼1 𝑥 - 𝛼2 … 𝑥 - 𝛼𝑛
= 𝐴1
𝑥 - 𝛼1
+ 𝐴2
𝑥 - 𝛼2
+ … + 𝐴𝑛
𝑥 - 𝛼𝑛 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com A_1, A_2, \ ...\ , \ A_n reais.
Cada raiz real \alpha_j corresponderá a uma parcela do tipo 
𝐴𝑗
𝑥 - 𝛼𝑗 .
Os valores de A_1,\ A_2,\ ...,\ A_n serão obtidos colocando-se o lado direito com o mesmo
denominador e igualando-se P(x) com o numerador que se obterá na direita.
Veja o exemplo a seguir:
5𝑥 + 2
𝑥2 - 2𝑥 - 3
= 5𝑥 + 2
(𝑥 + 1)(𝑥 - 3) = 𝐴
(𝑥 + 1) + 𝐵
(𝑥 - 3) = 𝐴𝑥 - 3 + 𝐵(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 - 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, escrever
5𝑥 + 2
(𝑥 + 1)(𝑥 - 3) = 𝐴𝑥 - 3 + 𝐵(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 - 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores
5𝑥 + 2 = 𝐴𝑥 - 3 + 𝐵(𝑥 + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos reescrever da seguinte forma
5𝑥 + 2 = 𝐴 + 𝐵𝑥 - 3𝐴 + 𝐵
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando os fatores, temos
5𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝑥
2 = - 3𝐴 + 𝐵
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solucionando o sistema, temos:𝐴 = 3
4 e B=6
Q(X) APRESENTA RAÍZES REAIS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá apenas raízes reais, porém, algumas sem e outras com
multiplicidade. Lembre-se de que multiplicidade é o número de vezes que a mesma raiz
aparece no polinômio.
Após a fatoração de Q(x), ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua
multiplicidade.
𝑄𝑥 = 𝑘(𝑥 - 𝛼1 )𝑟1 (𝑥 - 𝛼2 )𝑟2 … (𝑥 - 𝛼𝑛 )𝑟𝑛 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k real, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n, reais e r_1, r_2, \ldots, r_n naturais diferentes de
zero. O número r_j corresponde à multiplicidade da raiz α_j.
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real \alpha_j sem multiplicidade, ou que seria
sinônimo, de multiplicidade 1 (r=1), será transformada em uma parcela do tipo 
𝐴𝑗
𝑥 - 𝛼𝑗 .
Toda raiz real \alpha_i com multiplicidade (r\neq1) será transformada em r termos do tipo:
𝐵1
𝑥 - 𝛼𝑗 + 𝐵2
𝑥 - 𝛼𝑗
2 + … + 𝐵𝑟
𝑥 - 𝛼𝑗
𝑟 , 𝑐𝑜𝑚 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑟 reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação de 𝑓𝑥 = 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥) na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os
mesmos passos do primeiro caso.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS SEM
MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pelo menos um par de raízes complexas sem
multiplicidade. Lembre-se de que na álgebra as raízes complexas aparecem em pares
(complexos conjugados).
Assim, Q(x), após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um
termo do tipo (ax^2+bx+c), com b^2-4ac, que são fatores quadrados irredutíveis, isto é, não podem
ser transformados no produto de dois fatores lineares.
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 com A,B, a,b e c reais.
As raízes reais com ou sem multiplicidade, que podem aparecer, seguem o raciocínio dos itens
anteriores. Os demais passos são idênticos aos casos apresentados.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS COM
MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com
multiplicidade r. Desse modo, Q(x), após a fatoração, apresentará para cada par de raízes
complexas com multiplicidade r um termo quadrático irredutível elevado a sua multiplicidade, ou seja,
{(ax^2+bx+\ c)}^r, com a, b e c reais e r natural maior do que 1.
Cada par de raízes complexas com multiplicidade r estará associada a uma soma de parcelas do
tipo
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
+ 𝐶𝑥 + 𝐷
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
2
 
+ … + 𝐸𝑥 + 𝐹
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑟
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo r a multiplicidade do par de raízes.
As demais raízes reais e complexas que aparecerem sem multiplicidade seguem os termos vistos
nos casos anteriores. Os demais passos são idênticos aos apresentados.
Vejamos um exemplo de Transformada Inversa usando frações parciais:
EXEMPLO 14
Determine a função cuja Transformada de Laplace vale 3𝑠 - 2
𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o método de frações parciais para desenvolver melhor o quociente
3𝑠 - 2
𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo as raízes do denominado
𝑄(𝑥) = 𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4 = (𝑠 + 1)(𝑠2 + 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, usando o método das frações parciais
3𝑠 - 2
𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
= 𝐴
𝑠 + 1 + 𝐵𝑠 + 𝐶
𝑠2 + 4
3𝑠 – 2 ≡ 𝐴𝑠2 + 4 + 𝐵𝑠 + 𝐶𝑠 + 1 = 𝐴𝑠2 + 4𝐴 + 𝐵𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐶𝑠 + 𝐶
3𝑠 – 2 ≡ (𝐴 + 𝐵)𝑠2 + 𝐵 + 𝐶𝑠 + 4𝐴 + 𝐶
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐵 + 𝐶 = 3
4𝐴 + 𝐶 = - 2
→ 4𝐴 + 3 + 𝐴 = - 2 → 𝐴 = - 1 → 𝐵 = 1 → 𝐶 = 2
3𝑠 - 2
𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
= -1
𝑠 + 1 + 𝑠 + 2
𝑠2 + 4
= -1
𝑠 + 1 + 𝑠
𝑠2 + 4
+ 2
𝑠2 + 4
𝐿 – 1 3𝑠 - 2
𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
= 𝐿 – 1 -1
𝑠 + 1 + 𝐿 – 1 𝑠
𝑠2 + 4
+ 𝐿 – 1 2
𝑠2 + 4
𝐿 – 1 3𝑠 - 2
𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
= - 𝑒-𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + cos2𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE, USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO
𝑓(𝑡) = 9 𝑐𝑜𝑠ℎ(3𝑡) .
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 9
𝑠2 - 9
B) 9𝑠
𝑠2 - 9
C) 𝑠
𝑠2 - 9
D) 9𝑠
𝑠2 + 9
E) 𝑠
𝑠2 + 9
2. DETERMINE A FUNÇÃO $$G(T)$$, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE
VALE 1
(𝑠 - 2)3 .
A) 𝑡
2 𝑒𝑡
4
B) 𝑡2 𝑒2𝑡
4
C) 𝑡
2 𝑒𝑡
2
D) 𝑡𝑒2𝑡
2
E) 𝑡
2 𝑒2𝑡
2
3. USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DA FUNÇÃO
𝑓(𝑡) = 6𝑡 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
É IGUAL A:
A) 4(𝑠 - 3)
𝑠2 + 6𝑠 + 13
2
B) (𝑠 + 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 3
2
C) 24(𝑠 - 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
2
D) 24(𝑠 + 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 9
2
E) (𝑠 + 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
2
4. DETERMINE A FUNÇÃO $$F(T)$$, SABENDO QUE
𝐹𝑠 = 𝑠 + 8
𝑠2 + 16𝑠
.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 𝑒 – 8𝑡 cos(8𝑡)
B) 𝑒 – 8𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(8𝑡)
C) 𝑒 – 4𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(4𝑡)
D) 𝑒 – 4𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(8𝑡)
E) 𝑒8𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(8𝑡)
5. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA A FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 0, 𝑡 < 3
cos(2𝑡), 𝑡 ≥ 3
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 𝑒-𝑠 (𝑠 + 3)
𝑠2 + 6𝑠 + 13
B) 𝑒-3𝑠 (𝑠 - 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
C) 𝑒+3𝑠 (𝑠 - 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
D) 𝑒-3𝑠 (𝑠 + 3)
𝑠2 + 6𝑠 + 13
E) 𝑒3𝑠 𝑠
𝑠2 + 6𝑠 + 13
6. DETERMINE A FUNÇÃO, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 2𝑠2 + 1
𝑠3 + 2𝑠2
A) 12 - 3
2cos(√2𝑡)
B) 12 + 3
2sen(√2𝑡)
C) 12 + 3
2cos(2𝑡)
D) 12 - 3
2sen(2𝑡)
E) 12 + 3
2cos(√2𝑡)
GABARITO
1. Determine, usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
𝑓(𝑡) = 9 𝑐𝑜𝑠ℎ(3𝑡) .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Analisando as tabelas, verificamos que
L [𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑘𝑡)] = 𝑠
𝑠2 - 𝑘2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L [ 𝑐𝑜𝑠ℎ (3𝑡) ] = 𝑠
𝑠2 - 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
𝐿 [9𝑐𝑜𝑠ℎ (3𝑡)] = 9 𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ 3𝑡 = 9𝑠
𝑠2 - 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função $$g(t)$$, cuja Transformada de Laplace vale 1
(𝑠 - 2)3 .
A alternativa "E " está correta.
Analisando a tabela, temos
𝐿𝑡
𝑛 - 1 𝑒𝑘𝑡
𝑛 - 1! = 1
(𝑠 - 𝑘)𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com o enunciado 𝐿 – 1 1
(𝑠 - 2)3 , isso é $$n=3$$ e $$k=2$$.
Portanto,
𝐿 – 1 1
(𝑠 - 2)3 = 𝑡3 - 1 𝑒2𝑡
3 - 1! = 𝑡2 𝑒2𝑡
2! = 𝑡2 𝑒2𝑡
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
𝑓(𝑡) = 6𝑡 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é igual a:
A alternativa "C " está correta.
Analisando as tabelas, verificamos que
L [𝑠𝑒𝑛 2𝑡] = 2
𝑠2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
𝐿 [𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡] = 𝐺𝑠 = 𝐹𝑠 – 3 = 2
(𝑠 - 3)2 + 4
= 2
𝑠2 - 6𝑠 + 13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma que
L [𝑡 𝑔𝑡] = – 11𝐺’𝑠 = – 2(6 - 2𝑠)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
2 = 2(2𝑠 - 6)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
L [ 6𝑡 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡] = 6 4(𝑠 - 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
2 = 24(𝑠 - 3)
𝑠2 - 6𝑠 + 13
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a função $$f(t)$$,sabendo que
𝐹𝑠 = 𝑠 + 8
𝑠2 + 16𝑠
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Observando o numerador, vemos que existe um descolamento $$s+8$$.
Então, vamos verificar se o denominador aparece também com esse fator.
𝑠2 + 16𝑠 = 𝑠2 + 16𝑠 + 64 - 64 = 𝑠 + 82 - 64
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐹𝑠 = 𝐺(𝑠 + 8) = (𝑠 + 8)
𝑠 + 82 - 64
𝐿 – 1 [𝐺(𝑠 – 𝑘)] = 𝑒𝑘𝑡 𝐿 – 1 [𝐺(𝑠)]
𝐿 – 1 [𝐺 (𝑠 + 8)] = 𝑒 – 8𝑡 𝐿 – 1 [𝐺(𝑠)] = 𝑒 – 8𝑡 𝐿-1 𝑠
𝑠2 - 64
= 𝑒 – 8𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(8𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a Transformada de Laplace para a função
𝑓𝑡 = 0, 𝑡 < 3
cos(2𝑡), 𝑡 ≥ 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em $$t = 3$$.
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, obtém-se
L [𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)] = 𝑠
𝑠2 + 𝑘2 → L [𝑐𝑜𝑠(2𝑡)] = 𝑠
𝑠2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [𝑢(𝑡 – 𝑡0)𝑓(𝑡)] = 𝑒-𝑡0 𝑠 𝐹𝑠 + 𝑡0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
ℒ [ 𝑢(𝑡 – 3) 𝑓( 𝑡 ) ] = 𝑒-3𝑠 (𝑠 + 3)
(𝑠 + 3)2 + 4
= 𝑒-3𝑠 (𝑠 + 3)
𝑠2 + 6𝑠 + 13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a função, cuja Transformada de Laplace vale 2𝑠2 + 1
𝑠3 + 2𝑠2
A alternativa "E " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Obtenha a solução da equação diferencial 𝑦’’ + 2𝑦’ + 𝑦 = 𝑒𝑡 ou 𝑦(0) = 𝑦’(0) = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE, USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO
𝑓(𝑡) = cosℎ(4𝑡) – 2 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡) .
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 + 64
(𝑠 - 4)(𝑠 + 4)(𝑠 - 2)(𝑠 + 2)
B) 𝑠3 - 4𝑠2 - 4𝑠 + 64
(𝑠 - 4)(𝑠 + 4)(𝑠 - 1)(𝑠 + 1)
C) 𝑠3 - 4𝑠2 - 4𝑠 + 64
(𝑠 - 4)(𝑠 + 4)(𝑠 - 16)(𝑠 + 16)
D) 𝑠3 - 4𝑠2 - 4𝑠 + 64
(𝑠 - 4)(𝑠 + 4)(𝑠 - 2)(𝑠 + 2)
E) 𝑠3 - 64
(𝑠 - 4)(𝑠 + 4)(𝑠 - 2)(𝑠 + 2)
2. DETERMINE A FUNÇÃO $$G(T)$$, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE
VALE 1
(𝑠 - 4)5 .
A) 𝑡
4 𝑒4𝑡
24
B) t2 e2t
4
C) t
4 e4t
6
D) te
2t
2
E) t2 e2t
2
GABARITO
1. Determine, usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
𝑓(𝑡) = cosℎ(4𝑡) – 2 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡) .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
verificamos que
ℒ[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡)] = 𝑠
𝑠2 - 𝑘2𝑒ℒ[𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡)] = 𝑘
𝑠2 - 𝑘2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
ℒ[𝑐𝑜𝑠ℎ(4𝑡)] = 𝑠
𝑠2 - 16
ℒ[𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡)] = 2
𝑠2 - 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
ℒ[𝑐𝑜𝑠ℎ(4𝑡) – 2𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡)] = L 𝑐𝑜𝑠ℎ 4𝑡 - 2 L 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑡 = 𝑠
𝑠2 - 16
- 2 2
𝑠2 - 4
ℒ[𝑐𝑜𝑠ℎ(4𝑡) – 2𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡)] = 𝑠3 - 4𝑠2 - 4𝑠 + 64
(𝑠 - 4)(𝑠 + 4)(𝑠 - 2)(𝑠 + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função $$g(t)$$, cuja Transformada de Laplace vale 1
(𝑠 - 4)5 .
A alternativa "A " está correta.
Temos
ℒ𝑡𝑛 - 1 𝑒𝑘𝑡
𝑛 - 1! = 1
(𝑠 - 𝑘)𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com o enunciado ℒ-1 1
(𝑠 - 4)5 , ou seja, $$n = 5$$ e $$k = 4$$.
Portanto,
ℒ-1 1
(𝑠 - 4)5 = 𝑡5 - 1 𝑒4𝑡
5 - 1! = 𝑡4 𝑒4𝑡
4! = 𝑡4 𝑒4𝑡
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Formular a série e a Transformada de Fourier
SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER
SÉRIES DE FOURIER
A série de Fourier é uma série trigonométrica e de grande aplicação na aproximação de funções
periódicas. Neste módulo, estudaremos como calcular os termos da série e como aproximar uma
função por meio da série de Fourier.
 VOCÊ SABIA
Para funções não periódicas, a série de Fourier se torna uma Transformada Integral denominada de
Transformada de Fourier, que pode ser utilizada nas soluções de problemas em várias áreas da
Ciência e da Engenharia.
VOCÊ JÁ CONHECE A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA?
Seja a_n uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do
tipo
𝑠𝑛 𝑥 = ∑0
𝑛 𝑎𝑛 cos𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com sua soma dada por
𝑆𝑥 = ∑0
∞ 𝑎𝑛 cos𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O nome trigonométrica vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série
são funções trigonométricas em seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno quanto a
função cosseno são periódicas.
Vamos, agora, definir uma série trigonométrica que convergirá para funções definidas no domínio [–
π, π]. Esta será a série de Fourier.
𝑓𝑥 = ∑0
∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) = 𝑎0
2 + ∑1
∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seus coeficientes, denominados de coeficientes de Fourier, são determinados pelas seguintes
equações:
𝑎0 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥𝑑𝑥
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋 𝑓𝑥cos𝑛𝑥𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 1
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋 𝑓𝑥sen𝑛𝑥𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESSALTA-SE QUE ESSA SÉRIE CONVERGIRÁ PARA
UMA FUNÇÃO F(X) NO INTERVALO [– Π, Π], DESDE QUE
ESSA FUNÇÃO SEJA CONTÍNUA POR PARTES ATÉ A SUA
SEGUNDA DERIVADA. REPARE QUE ESSA SÉRIE SE
REPETE A CADA PERÍODO DE X = 2Π. ASSIM,
S_N\LEFT(X\RIGHT)=S_N\LEFT(X+2K\PI\RIGHT) E S(X) =
S(X+2KΠ), COM K INTEIRO.
As equações dos coeficientes de Fourier podem ser encontradas nas obras de referência deste
conteúdo.
EXEMPLO 15
Seja a função f(x) = x no intervalo de [– π, π]. Determine a série de Fourier para essa função f(x).
RESOLUÇÃO
Determinando os coeficientes
𝑎0 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋
𝑥2
2 -𝜋
𝜋
= 0
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥cos𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑥cos𝑛𝑥𝑑𝑥 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que o integrando é uma função ímpar, por isso, as duas integrais resultaram no valor zero
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 = 2
𝜋 ∫0
𝜋
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo por integração por partes
𝑢 = 2
𝜋𝑥 → 𝑑𝑢 = 2
𝜋𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = - 1
𝑛cos(𝑛𝑥)
𝑏𝑛 = 2
𝜋 ∫0
𝜋
𝑥sen𝑛𝑥𝑑𝑥 = 2
𝜋𝑥-1
𝑛cos(𝑛𝑥)0
𝜋 - 2
𝜋 ∫0
𝜋
-1
𝑛cos(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝑏𝑛 = 2
𝜋-𝑥𝑛cos(𝑛𝑥)0
𝜋 + 2
𝜋
-1
𝑛2 sen(𝑛𝑥)
0
𝜋
𝑏𝑛 = - 2
𝜋
𝜋
𝑛cos𝑛𝜋 = - 2
𝑛cos(𝑛𝜋)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cos(nπ) terá valor de 1 para n par e – 1 para n ímpar. Então, podemos colocar na seguinte
fórmula:
𝑏𝑛 = ( - 1)𝑛 + 1 2
𝑛, para 𝑛 ≥ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a série de Fourier será:
𝑓𝑥 = ∑1
∞ ( - 1)𝑛 + 1 2
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que é uma série ímpar, pois f(x) = x também é ímpar.
No entanto, podemos definir uma série de Fourier para qualquer outro intervalo de convergência
diferente de [– π , π]. Considere uma função definida agora no período T_0, assim, iremos criar uma
série de Fourier para o domínio de -𝑇0
2 , 𝑇0
2 . Vamos definir a frequência f como o inverso do período
𝑓 = 1
𝑇0
 e w = 2πf.
Assim, a série de Fourier será dada por
𝑓𝑥 = ∑0
∞ 𝑎𝑛 cos𝑛𝑤𝑥+ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑥) = 𝑎0
2 + ∑1
∞ 𝑎𝑛 cos𝑛𝑤𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com coeficientes de Fourier dados por
𝑎0 = 2
𝑇0
∫-𝑇0 / 2
𝑇0 / 2 𝑓𝑥𝑑𝑥
𝑎𝑛 = 2
𝑇0
∫-𝑇0 / 2
𝑇0 / 2 𝑓𝑥cos𝑛𝑤𝑥𝑑𝑥 , 𝑛 ≥ 1
𝑏𝑛 = 2
𝑇0
∫-𝑇0 / 2
𝑇0 / 2
𝑓𝑥sen𝑛𝑤𝑥𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se usarmos a definição de seno e cosseno pelas exponenciais:
cos𝑛𝑤𝑥 = 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑥 + 𝑒-𝑗𝑛𝑤𝑥
2 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑥 = 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑥 - 𝑒-𝑗𝑛𝑤𝑥
2𝑗
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo j a unidade imaginária j^2= –1.
Podemos, então, representar a série, substituindo as expressões acima, obtendo
𝑓𝑥 = 𝑎0
2 + 1
2 ∑1
∞ (𝑎𝑛 - 𝑗𝑏𝑛 )𝑒𝑗𝑛𝑤𝑥 + 1
2 ∑1
∞ (𝑎𝑛 + 𝑗𝑏𝑛 )𝑒-𝑗𝑛𝑤𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal série será igual a cada período de T_0, sendo, por isso, utilizada para aproximar funções
periódicas, pois, a cada período, a série dará os mesmos valores.
 ATENÇÃO
Um ponto importante: os coeficientes representam as amplitudes dos senos e dos cossenos,
enquanto o valor de w representa as frequências ou períodos dos senos e dos cossenos.
Observe que para T_0 = 2π, temos w = 1 e a série geral se transforma na série para uma função no
período de [– π, π].
O QUE ACONTECE SE O PERÍODO T_0 TENDER AO
INFINITO?
Teremos uma função de período infinito, o que significa se tratar de uma função não periódica. Neste
caso, a série de Fourier vai se tornar a Transformada de Fourier. Podemos, portanto, dizer que a
série é um caso particular da Transformada de Fourier quando f(t) for periódica, desde que a função
f(t) atenda determinadas condições.
POR ISSO, DIZ-SE QUE A SÉRIE É EMPREGADA EM
FUNÇÕES PERIÓDICAS E A TRANSFORMADA SERÁ
EMPREGADA PARA QUALQUER FUNÇÃO, MESMO AS
NÃO PERIÓDICAS.
Vamos estudar agora a Transformada de Fourier.
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Assim como a Transformada de Laplace, a Transformada de Fourier é uma Transformada integral.
 EXEMPLO
Ela permite tornar uma equação diferencial lineares de coeficientes constantes em equações
algébricas. Enquanto a série de Fourier é bastante utilizada para sinais periódicos, a Transformada
de Fourier pode ser aplicada em um grupo de funções, não periódicas, bem amplo.
A Transformada de Fourier irá decompor uma função em um somatório de senos e cossenos de
diferentes amplitudes, frequência e fases.
Seja uma função f(t) contínua, a Transformada de Fourier de f(t) será definida por
ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) = ∫- ∞
∞ 𝑓(𝑡)𝑒-𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a Transformada inversa de Fourier definida por
ℱ – 1 [𝐹(𝑤)] = 𝑓(𝑡) = 1
2𝜋 ∫- ∞
∞ 𝐹(𝑤)𝑒𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑤
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEMBRE-SE DE QUE
𝑒-𝑗𝑤𝑡 = cos𝑤𝑡 - 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 16
Determine a Transformada de Fourier para a função
𝑓𝑡 = 𝑒-𝑘𝑡 , 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k > 0.
RESOLUÇÃO
ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) = ∫- ∞
∞
𝑓(𝑡)𝑒-𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡
𝐹𝑤 = ∫0
∞ 𝑒-𝑘𝑡 𝑒-𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 = ∫0
∞ 𝑒-(𝑘 + 𝑗𝑤)𝑡 𝑑𝑡 = - 1
𝑘 + 𝑗𝑤𝑒
-𝑗𝑤𝑡
0
∞
= 1
𝑘 + 𝑗𝑤
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de analisar, é que a Transformada de Fourier transforma uma função f(t) no domínio do
tempo, para uma função F(w) no domínio da frequência. Não iremos apresentar matematicamente
como a série se torna a Transformada, ou vice-versa.
FICA O CONCEITO DE QUE QUANDO O PERÍODO T_0
TENDE AO INFINITO E O NÚMERO DE TERMOS N DA
SÉRIE CRESCE INFINITAMENTE, O SOMATÓRIO VIRA
UMA INTEGRAL E A SÉRIE SE CONVERTE NA
TRANSFORMADA DE FOURIER.
Para se existir uma Transformada de Fourier, basta que a integral imprópria que a define apresente
como valor um número real, isto é, seja convergente.
Vejamos algumas propriedades da série de Fourier (Considere que F(w) = ℱ[f(t)]):
LINEARIDADE
DESLOCAMENTO NO TEMPO
MUDANÇA DE ESCALA
LINEARIDADE
ℱ𝑘1 𝑓𝑡 + 𝑘2 𝑔(𝑡) = 𝑘1 𝐹(𝑤) + 𝑘2𝐺(𝑤)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESLOCAMENTO NO TEMPO
ℱ𝑓𝑡 - 𝑘 = 𝑒-𝑗𝑘𝑤 𝐹(𝑤)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MUDANÇA DE ESCALA
𝐹𝑘𝑓𝑡 = 1
𝑘F
𝑤
𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 17
Determine a Transformada de Fourier para a função g(t) = e-kt , com k > 0.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a Transformada da função
𝐹𝑡 = 𝑒-𝑘𝑡 , 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0 → 𝐹𝑤 = 1
𝑘 + 𝑗𝑤
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que podemos definir a função g(t) desse exemplo em função da função f(t)
𝑔𝑡 = 𝑒-𝑘𝑡 , 𝑡 ≥ 0
𝑒𝑘𝑡 , 𝑡 < 0
→ 𝑔𝑡 = 𝑓𝑡 + 𝑓-𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as propriedades linearidade
ℱ [ 𝑔(𝑡) ] = ℱ [ 𝑓(𝑡)] + ℱ [ 𝑓( – 1)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala para ℱ [ 𝑓( – 1)] = 𝐹( – 1 )
ℱ [ 𝑔(𝑡) ] = 𝐺(𝑤) = 𝐹(𝑤) + 𝐹( – 𝑤) = 1
𝑘 + 𝑗𝑤 + 1
𝑘 - 𝑗𝑤 = 2𝑘
𝑘2 + 𝑤2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivada:
𝐹𝑓'𝑡 = 𝑗𝑤𝐹f𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a Transformada da derivada é a Transformada da função multiplicada pelo fator jw.
Para sucessivas derivadas
ℱ𝑓(𝑛) 𝑡 = 𝑗𝑤𝑛ℱ𝑓𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SEJA A FUNÇÃO
 𝑓𝑥 = 0 , - 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 2 + ∑1
∞ 2
𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
B) 4 + ∑1
∞ 4
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
C) 1 + ∑1
∞ 1
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
D) 4 + ∑1
∞ 4
𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
E) 2 + ∑
1
∞ 2
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
2. DETERMINE A TRANSFORMADA DE FOURIER PARA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 2 , - 𝑘 ≤ 𝑡 ≤ 𝑘
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 ,
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
QUE É UM PULSO RETANGULAR DE AMPLITUDE 2 E ABERTURA 2K
CENTRADO NA ORIGEM.
A) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑤)
8𝑤𝑗
B) 2𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑤)
𝑤𝑗
C) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑤)
𝑤𝑗
D) 4𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑤)
𝑤
E) 2𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑤)
𝑤
3. OBTENHA A SÉRIE DE FOURIER PARA A FUNÇÃO
𝑔𝑡 = 𝜋 - 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
-𝜋 - 𝑡, - 𝜋 ≤ 𝑡 < 0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) ∑1
∞ 2
𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
B) ∑1
∞ 2𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
C) ∑
1
∞ 2𝜋
𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
D) ∑1
∞ 1
𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
E) ∑
1
∞ 2
𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
4. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO 𝑓𝑡 = 𝑒𝑗𝑤0 𝑡
VALE 𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿(𝑤 - 𝑤0 ), SENDO 𝛿 A FUNÇÃO IMPULSO, DETERMINE, POR
MEIO DAS PROPRIEDADES, A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO
𝑔(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡).
A) 2𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 ]
B) 𝑗𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 + 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
C) 𝑗𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 - 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
D) 𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 + 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
E) 2𝜋[𝛿(𝑤 + 𝑤0 )]
5. SEJA A FUNÇÃO 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 NO INTERVALO DE $$[– Π, Π]$$. DETERMINE
A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 𝜋2
3 + ∑
1
∞ ( - 1)𝑛 8
𝑛2𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
B) 2𝜋
2
3 + ∑1
∞ ( - 1)𝑛 + 1 8
𝑛2𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
C) 4𝜋
2
3 + ∑1
∞ ( - 1)𝑛 8
𝑛2𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
D) 4𝜋
2
3 + ∑1
∞ ( - 1)𝑛 8
𝑛2𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
E) 4𝜋
2
3 + ∑1
∞ ( - 1)𝑛 + 1 4
𝑛2𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
6. DETERMINE A TRANSFORMADA DE FOURIER PARA A FUNÇÃO
TRIANGULAR
𝑓𝑡 = 1 - 𝑡, - 1 ≤ 1 ≤ 1
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 2 - 2cos(𝑤)
𝑗𝑤2
B) 2 - 2cos(𝑤)
𝑤2
C) 2 + 2sen(𝑤)𝑤2
D) 2 - 2𝑠𝑒𝑛(𝑤)
𝑤2
E) 2 + 2cos(𝑤)
𝑤2
GABARITO
1. Seja a função
 𝑓𝑥 = 0 , - 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "B " está correta.
Determinando os coeficientes
𝑎0 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1
𝜋 ∫0
𝜋
2𝑑𝑥 = 2
𝜋2𝑥0
𝜋 = 4
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥cos𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1
𝜋 ∫0
𝜋
2cos𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑎𝑛 = 2
𝜋
1
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)0
𝜋 = 0
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋 𝑓𝑥sen𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
0 0 . sen𝑛𝑥𝑑𝑥 + 1
𝜋 ∫0
𝜋 2sen𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑏𝑛 = 2
𝜋-1
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
0
𝜋 = 4
𝜋𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a série de Fourier será
𝑓𝑥 = 4 + ∑1
∞ 4
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a Transformada de Fourier para função
𝑓𝑡 = 2 , - 𝑘 ≤ 𝑡 ≤ 𝑘
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é um pulso retangular de amplitude 2 e abertura 2k centrado na origem.
A alternativa "D " está correta.
ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) = ∫- ∞
∞
𝑓(𝑡)𝑒-𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡
𝐹𝑤 = ∫-𝑘
𝑘
2 𝑒-𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 = - 2
𝑗𝑤𝑒
-𝑗𝑤𝑡
-𝑘
𝑘
= 2
𝑗𝑤𝑒
𝑗𝑤𝑘 - 𝑒-𝑗𝑤𝑘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑘 = 𝑒𝑗𝑤𝑘 - 𝑒-𝑗𝑤𝑘
2𝑗
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐹𝑤 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑤)
𝑤
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Obtenha a série de Fourier para a função
𝑔𝑡 = 𝜋 - 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
-𝜋 - 𝑡, - 𝜋 ≤ 𝑡 < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Determinando os coeficientes:
Repare que a função $$g(t)$$ é ímpar, ou seja, $$g(t) = – g(– t)$$ , assim, os termos a0 e an serão
nulos. Se você resolver as integrais dos coeficientes, verificará que se anulam.
Calculando bn
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑡sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = 2
𝜋 ∫0
𝜋
𝑓𝑡sen𝑛𝑡𝑑𝑡,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois o integrando será uma função par
𝑏𝑛 = 2
𝜋 ∫0
𝜋
(𝜋 - 𝑡)sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = 2
𝜋 ∫0
𝜋
𝜋sen𝑛𝑡𝑑𝑡 - 2
𝜋 ∫0
𝜋
𝑡sen𝑛𝑡𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo as integrais
𝑎) ∫0
𝜋
𝜋sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = -𝜋𝑛cos(𝑛𝑡)
0
𝜋 = 𝜋
𝑛(1 + cos𝑛𝜋)
𝑏) ∫0
𝜋 𝑡sen𝑛𝑡𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo por integração por partes
𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡𝑑𝑥 → 𝑣 = - 1
𝑛cos(𝑛𝑡)
∫0
𝜋
𝑡sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = 𝑡-1
𝑛cos(𝑛𝑡)0
𝜋 - ∫0
𝜋
-1
𝑛cos(𝑛𝑡)𝑑𝑡
= -𝑡𝑛cos(𝑛𝑡)0
𝜋 + -1
𝑛2 sen(𝑛𝑡)
0
𝜋 = - 𝜋𝑛cos𝑛𝜋
𝑏𝑛 = 2
𝜋 ∫0
𝜋
𝜋 - 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡𝑑𝑡 = 2
𝜋
𝜋
𝑛1 + cos𝑛𝜋 + 2
𝜋-𝜋𝑛cos𝑛𝜋
𝑏𝑛 = 2
𝑛 + 2
𝑛cos𝑛𝜋 - 2
𝑛cos𝑛𝜋 = 2
𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série de Fourier será:
𝑓𝑥 = ∑1
∞ 2
𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Sabendo que a Transformada de Fourier da função 𝑓𝑡 = 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 vale 𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿(𝑤 - 𝑤0 ), sendo 𝛿
a função impulso, determine, por meio das propriedades, a Transformada de Fourier da
função 𝑔(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡).
A alternativa "D " está correta.
Sabemos que
cos𝑤0 𝑡 = 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 + 𝑒-𝑗𝑤0 𝑡
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℱ[𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡)] = 1
2 F 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 + 1
2 F 𝑒-𝑗𝑤0 𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℱ𝑒-𝑗𝑤0 𝑡 = 𝐹-𝑤0 = 2𝜋𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℱ[𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡)] = 1
2 F 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 + 1
2 F 𝑒-𝑗𝑤0 𝑡 = 1
22𝜋𝛿𝑤 - 𝑤0 + 1
22𝜋𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
ℱ[𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡)] = 𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 + 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 no intervalo de $$[– π, π]$$. Determine a série de Fourier para
essa função $$f(x)$$.
A alternativa "C " está correta.
6. Determine a Transformada de Fourier para a função triangular
𝑓𝑡 = 1 - 𝑡, - 1 ≤ 1 ≤ 1
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos resolver a equação diferencial 𝑦’’ – 𝑦 = 𝑒-𝑡 , utilizando a Transformada de Fourier:
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A FUNÇÃO
 𝑓𝑥 = 0 , - 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 2 + ∑
1
∞ 2
𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
B) 4 + ∑1
∞ 4
πncosnx
C) 1 + ∑1
∞ 1
πncosnx
D) 4 + ∑1
∞ 4
πnsennx
E) 2 + ∑1
∞ 2
πncosnx
2. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 𝑒𝑗𝑤0 𝑡
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
VALE
𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿(𝑤 - 𝑤0 )
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SENDO $$\DELTA$$ A FUNÇÃO IMPULSO, DETERMINE, POR MEIO DAS
PROPRIEDADES, A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO $$G(T) =
SEN(W_0T)$$.
A) 2𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 ]
B) 𝑗𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 + 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
C) 𝑗𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 - 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
D) 𝜋[𝛿𝑤 - 𝑤0 + 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
E) 2𝜋[𝛿(𝑤 + 𝑤0 )]
GABARITO
1. Seja a função
 𝑓𝑥 = 0 , - 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "E " está correta.
Determinando os coeficientes
𝑎0 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1
𝜋 ∫0
𝜋
𝑑𝑥 = 2
𝜋𝑥0
𝜋 = 2
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥cos𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1
𝜋 ∫0
𝜋
cos𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑎𝑛 = 1
𝜋
1
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)0
𝜋 = 0
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫-𝜋
𝜋
𝑓𝑥sen𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋 ∫-𝜋
0
0 . sen𝑛𝑥𝑑𝑥 + 1
𝜋 ∫0
𝜋
sen𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑏𝑛 = 1
𝜋-1
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)0
𝜋 = 2
𝜋𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série de Fourier será
𝑓𝑥 = 2 + ∑1
∞ 2
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabendo que a Transformada de Fourier da função
𝑓𝑡 = 𝑒𝑗𝑤0 𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
vale
𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿(𝑤 - 𝑤0 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo $$\delta$$ a função impulso, determine, por meio das propriedades, a Transformada de
Fourier da função $$g(t) = sen(w_0t)$$.
A alternativa "C " está correta.
Sabemos que
sen𝑤0 𝑡 = 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 - 𝑒-𝑗𝑤0 𝑡
2𝑗
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℱ[𝑠𝑒𝑛(𝑤0 𝑡)] = 1
2𝑗 F 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 - 1
2𝑗 F 𝑒-𝑗𝑤0 𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℱ𝑒-𝑗𝑤0 𝑡 = 𝐹-𝑤0 = 2𝜋
𝑗 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℱ[𝑠𝑒𝑛(𝑤0 𝑡)] = 1
2𝑗 F 𝑒𝑗𝑤0 𝑡 - 1
2𝑗 F 𝑒-𝑗𝑤0 𝑡 = 1
2𝑗2𝜋𝛿𝑤 - 𝑤0 - 1
2𝑗2𝜋𝛿(𝑤 + 𝑤0 )
ℱ[𝑠𝑒𝑛(𝑤0 𝑡)] = 𝜋
𝑗 [𝛿𝑤 - 𝑤0 - 𝛿(𝑤 + 𝑤0 )]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas 1𝑗 = - 𝑗
ℱ[𝑠𝑒𝑛(𝑤0 𝑡)] = 𝑗𝜋[𝛿𝑤 + 𝑤0 - 𝛿(𝑤 - 𝑤0 )]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos o conceito das Transformadas Integrais, denominadas de Laplace e Fourier. Vimos a
definição e os conceitos iniciais da Transformada de Laplace, bem como as propriedades