Questão resolvida - O cálculo de volumes de sólidos de rotação utilizando integrais é uma ferramenta poderosa para explorar áreas que a geometria plana ... - Cálculo II - Volume usando integrais

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
O cálculo de volumes de sólidos de rotação utilizando integrais é uma ferramenta poderosa 
para explorar áreas que a geometria plana clássica não consegue alcançar. Para ilustrar 
isso, considere a função no intervalo . Determine o volume do sólido gerado f x = x( ) 3 0, 2[ ]
pela rotação da região sob o gráfico de em torno do eixo nesse intervalo.f x( ) x
 
Resolução:
 
Para determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico de:
 
f x = x³( )
 
 
no intervalo em torno do eixo , podemos usar o método dos discos ou cilindros.0, 2[ ] x
 
O volume V é dado pela integral:
V = 𝜋 f(x) dx
2
0
∫ 2
 
Substituindo nesta fórmula, temos:f x = x( ) 3
 
V = 𝜋 x dx
2
0
∫ 6
 
Primeiro, resolvemos a integral em sua forma indefinida
 
V = 𝜋 x dx = + C = + C∫ 6 x
6 + 1
6+1( ) x
7
7
 
 
Calculando a integral em sua forma definida, obtemos:
V = 𝜋
x
7
7
2
0
 
V = 𝜋 - V = 𝜋 - 0 V = u. v.
2
7
7 0
7
7
→
128
7
→
128𝜋
7