Apostila DINÂMICA DE MÁQUINAS E MECANISMOS

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Professor Me. Jean Carlos Rodrigues
DINÂMICA DE MÁQUINAS E 
MECANISMOS
REITORIA Prof. Me. Gilmar de Oliveira
DIREÇÃO ADMINISTRATIVA Prof. Me. Renato Valença 
DIREÇÃO DE ENSINO PRESENCIAL Prof. Me. Daniel de Lima
DIREÇÃO DE ENSINO EAD Profa. Dra. Giani Andrea Linde Colauto 
DIREÇÃO FINANCEIRA Eduardo Luiz Campano Santini
DIREÇÃO FINANCEIRA EAD Guilherme Esquivel
COORDENAÇÃO DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO Profa. Ma. Luciana Moraes
COORDENAÇÃO ADJUNTA DE ENSINO Profa. Dra. Nelma Sgarbosa Roman de Araújo
COORDENAÇÃO ADJUNTA DE PESQUISA Profa. Ma. Luciana Moraes
COORDENAÇÃO ADJUNTA DE EXTENSÃO Prof. Me. Jeferson de Souza Sá
COORDENAÇÃO DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Prof. Me. Jorge Luiz Garcia Van Dal
COORDENAÇÃO DE PLANEJAMENTO E PROCESSOS Prof. Me. Arthur Rosinski do Nascimento
COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA EAD Profa. Ma. Sônia Maria Crivelli Mataruco
COORDENAÇÃO DO DEPTO. DE PRODUÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS Luiz Fernando Freitas
REVISÃO ORTOGRÁFICA E NORMATIVA Beatriz Longen Rohling 
 Carolayne Beatriz da Silva Cavalcante
 Caroline da Silva Marques 
 Eduardo Alves de Oliveira
 Jéssica Eugênio Azevedo
 Marcelino Fernando Rodrigues Santos
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DE VÍDEO Carlos Firmino de Oliveira 
 Carlos Henrique Moraes dos Anjos
 Kauê Berto
 Pedro Vinícius de Lima Machado
 Thassiane da Silva Jacinto 
 
FICHA CATALOGRÁFICA
 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP
R696d Rodrigues, Jean Carlos
 Dinâmica de máquinas e mecanismos/ Jean Carlos
 Rodrigues. Paranavaí: EduFatecie, 2024.
 104 p. : il. Color.
 Movimento mecânico. 2. Máquinas. 3. Dinâmica.
 I. Centro Universitário UniFatecie. II. Núcleo de Educação a
 Distância. III. Título.
 
 CDD : 23 ed. 621.3133
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577
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AUTOR
Professor Me. Jean Carlos Rodrigues
Possui mais de 14 anos de experiência nas áreas educacional e de engenharia, 
atuando como: técnico em eletrônica Industrial, engenheiro industrial mecânico, professor, 
coordenador de curso superior e consultor. Graduado em Física pela UFMG, em Engenharia 
Industrial Mecânica pelo CEFET MG, Mestre em Engenharia Metalúrgica e de Materiais 
pela UFMG e Doutorando em Engenharia Mecânica. Além de Especialista em Tecnologias 
Educacionais, Especialista em Didática e Metodologias Ativas, Especialista em Design 
Instrucional, Especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho e em Perícias.
Para maiores informações acesse: 
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/0490596902713548 
http://lattes.cnpq.br/0490596902713548
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APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Olá querido(a) aluno(a), seja muito bem-vindo(a)!
Conhecer sobre a dinâmica de movimento das máquinas, mecanismos e corpos, 
é uma competência fundamental para qualquer profissional de engenharia que queira 
trabalhar com projeto mecânicos, além disso, diz respeito à capacidade do(a) engenheiro(a) 
em usar suas habilidades construtivas para desenvolver produtos confiáveis. Os projetistas 
de máquinas, mecanismos e seus elementos são profissionais que executam múltiplas 
tarefas a partir de seus conhecimentos para viabilizar, executar a ideia do produto e 
conferir segurança, robustez e economia. Para iniciar os estudos sobre mecanismos, na 
unidade I vamos resgatar juntos alguns conceitos fundamentais sobre movimento circular, 
posição angular, velocidade angular e aceleração angular. Na unidade II, abordaremos, 
entre outros temos, momento de inércia, raio de giração, toque e energia de rotação. 
Na unidade III, você vai estudar sobre a análise tridimensional do movimento de corpos 
rígidos. Vai conhecer o conceito de grau de liberdade aplicado a corpos rígidos. Aprenderá 
que o movimento dos corpos rígidos está diretamente relacionado às várias aplicações 
industriais da Engenharia. De maneira geral, os corpos podem se mover e estarem sujeitos 
a uma grande variedade de solicitações, em todas orientações do espaço tridimensional. 
Na unidade IV, você irá conhecer os princípios e fundamentos da cinemática e dinâmica 
dos cames. Você desenvolverá a capacidade de analisar as causas do movimento de um 
came. Estudará a aplicação desse comportamento cinemático e dinâmico na engenharia 
mecânica e verá que um came seguidor é um mecanismo bastante interessante, composto 
por quatro barras, no qual os elos possuem comprimentos variáveis.
Bons estudos!
5
UNIDADE 4
Mecanismo de Came e Seguidor 
Dinâmica Tridimensional dos 
Mecanismos
UNIDADE 3
Dinâmica Rotacional de Corpos e 
Mecanismos 
UNIDADE 2
Introdução à Dinâmica do Movimento
UNIDADE 1
SUMÁRIO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Plano de Estudos
• Importantes Variáveis: posição Angular, velocidade angular e ace-
leração angular;
• Momento Angular: conceito e aplicações;
• Aplicações na Transmissão de Movimento.
Objetivos da Aprendizagem
• Conhecer as principais variáveis do movimento de rotação dos 
corpos rígidos;
• Conceituar momento Angular;
• Compreender a transmissão de movimento por engrenagens.
Professor Me. Jean Carlos Rodrigues
INTRODUÇÃO À INTRODUÇÃO À 
DINÂMICA DO DINÂMICA DO 
MOVIMENTOMOVIMENTO1UNIDADEUNIDADE
INTRODUÇÃO
7UNIDADE 1
Olá querido (a) aluno (a), seja muito bem-vindo (a)!
Conhecer sobre a dinâmica de movimento das máquinas, mecanismos e corpos, é 
uma competência fundamental para qualquer profissional de engenharia que queira traba-
lhar com projetos mecânicos, além disso, diz respeito à capacidade do (a) engenheiro (a) 
em usar suas habilidades construtivas para desenvolver produtos confiáveis. Os projetistas 
de máquinas, mecanismos e seus elementos são profissionais que executam múltiplas 
tarefas a partir de seus conhecimentos para viabilizar,executar a ideia do produto e con-
ferir segurança, robustez e economia. Para iniciar os estudos sobre mecanismos, vamos 
resgatar juntos alguns conceitos fundamentais sobre movimento circular, posição angular, 
velocidade angular e aceleração angular.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
IMPORTANTES VARIÁVEIS: 
POSIÇÃO ANGULAR, 
VELOCIDADE ANGULAR E 
ACELERAÇÃO ANGULAR1
TÓPICO
8UNIDADE 1
Para iniciarmos nossos estudos sobre a cinemática e a dinâmica dos mecanismos, 
precisamos, primeiramente, relembrar algumas variáveis importantes dos movimentos 
circular e curvilíneo geral. O movimento circular é um caso especial de movimento curvilíneo, 
no qual o raio de rotação permanece constante. A forma mais simples de movimento circular, 
é o movimento circular uniforme (MCU). Nele, o módulo da velocidade é constante, mas a 
direção do vetor velocidade muda com o movimento, conforme ilustra a figura 1.
FIGURA 1: PONTO MATERIAL EM MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Fonte: elaborada pelo autor (2023)
Por exemplo, qualquer ponto em uma hélice girando a uma velocidade constante 
em módulo, está executando um movimento circular uniforme. Outros exemplos são os 
ponteiros de segundos, minutos e horas de um relógio. A Figura 1 reforça esta análise. 
Nela, um ponto material realiza movimento circular uniforme, visto que, o comprimento dos 
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
9UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
vetores V1, V2 e V3 permanece constante, porém houve mudança na direção. Esta variação 
na direção do vetor velocidade, dá origem a uma aceleração dirigida para o centro da 
trajetória, denominada aceleração centrípeta. Observe na figura 2 a direção dos vetores 
velocidade e aceleração centrípeta de um ponto material em movimento circular uniforme.
FIGURA 2: DIREÇÃO DOS VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
Fonte: elaborada pelo autor (2023)
O vetor aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória circular do movi-
mento e é uma aceleração na direção radial. O vetor velocidade também é mostrado e é 
tangente ao círculo. A palavra centrípeta vem das palavras latinas centrum (que significa 
“centro”) e petere (que significa "buscar") e, portanto, assume o significado de “busca de 
centro”. O módulo da aceleração centrípeta pode ser calculado por meio da expressão a 
seguir.
Em que:
v = velocidade da partícula em m/s
r = raio da trajetória em m
ca = aceleração centrípeta em m/s²
A aceleração centrípeta pode ter uma ampla gama de valores, dependendo da 
velocidade e do raio de curvatura da trajetória circular. O movimento circular não precisa 
ser apenas em velocidade constante. Uma partícula pode se deslocar circularmente e 
acelerar ou desacelerar, ou seja, variar o módulo da sua velocidade com o tempo. Este 
último movimento é denominado como movimento circular variado. 
²
c
va
r
=
10INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
Nele, além da aceleração centrípeta, haverá uma aceleração tange à trajetória, 
denominada como aceleração tangencial (HIBBELER, 2018). A figura 3 ilustra as direções 
dos vetores das acelerações: centrípeta (ac), tangencial (at) e total (a).
FIGURA 3: DIREÇÃO DOS VETORES ACELERAÇÃO: CENTRÍPETA, TANGENCIAL E TOTAL.
Fonte: elaborada pelo autor (2023)
A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo. A aceleração tangencial 
é tangente ao círculo descrito pelo movimento da partícula. A aceleração total é a soma 
vetorial das acelerações tangencial e centrípeta, que são perpendiculares, conforme mostra 
a expressão a seguir (HIBBELER, 2018).
Seu módulo pode ser calculado pelo teorema de Pitágoras, da seguinte forma:
É possível observar e concluir que a aceleração centrípeta é a taxa de variação 
no tempo da direção do vetor velocidade. Caso a velocidade da partícula esteja mudando, 
também em módulo, então, haverá uma aceleração tangencial que é a taxa de variação 
temporal da magnitude da velocidade e pode ser definida matematicamente, segundo Hi-
bbeler (2018), como:
Em outras palavras, podemos definir a aceleração tangencial como a derivada 
primeira da função velocidade da partícula em relação ao tempo. 
Total T Ca a a= +
r r r
2 2 2
Total T Ca a a= +
r r r
dva = 
dttan
11INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
Para o melhor entendimento do movimento circular, é importante apresentarmos 
algumas outras grandezas físicas inerentes a este campo de estudo. Observe a figura 4.
FIGURA 4: PONTO MATERIAL EM MOVIMENTO CIRCULAR
Fonte: elaborada pelo autor (2023)
A figura 4 mostra um ponto material se deslocando da posição A0 até a posição At. 
Este deslocamento pode ser estudado como um segmento de arco S ou como um ângulo ⊖ 
descrito pelo ponto material. Neste último caso, chamaremos o deslocamento de deslocamen-
to angular. No próximo bloco, apresentaremos outras grandezas físicas importantes dentro 
do movimento circular, tendo em vista que elas requerem uma demonstração matemática 
mais cuidadosa. Caso a magnitude da velocidade sofra algum tipo de variação, o movimento 
passa a ser variado. Vamos considerar o movimento circular de uma partícula em torno de um 
eixo fixo de rotação, ou seja, com raio constante, conforme mostra a figura 5.
FIGURA 5: PARTÍCULA EM MOVIMENTO CIRCULAR
Fonte: elaborada pelo autor (2023)
Da trigonometria, temos uma definição matemática bastante importante que é a 
definição de radiano.
. S rθ=
12INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
S = arco descrito pela trajetória da partícula.
θ = ângulo descrito pela trajetória da partícula.
r = raio da trajetória circular.
Observe que esta expressão relaciona o arco S com o ângulo θ , descritos pela 
partícula durante o movimento circular. Para um determinado ângulo /s r, a razão /s r é inde-
pendente do tamanho do círculo. Para ilustrar bem o conceito de radiano, vamos utilizar o 
seguinte exemplo. Quantos radianos correspondem ao ângulo de 180.º, ilustrado na figura 
6?
FIGURA 6: SEMICÍRCULO
Fonte: elaborada pelo autor (2023)
A circunferência completa corresponde a um comprimento igual a:
Aplicando a definição de radiano, temos que:
O ângulo .θ representa a posição angular e, sua variação, o deslocamento angular. 
Para realizar as demonstrações matemáticas de algumas outras grandezas importantes no 
movimento circular, retomaremos a definição de radiano, temos:
Derivando ambos os lados da igualdade em relação ao tempo, a expressão resul-
tante será:
A parcela dS/dt representa a velocidade linear, logo: 
2C rπ=
. S rθ=
. dS d r
dt dt
θ
=
13UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
Nesse movimento, a velocidade angular é a taxa de variação do deslocamento 
angular em relação ao tempo. Já a aceleração angular é definida pela derivada da veloci-
dade angular em relação ao tempo. Para obter uma relação entre a aceleração linear e a 
aceleração angular, basta derivar em relação ao tempo a expressão: 
Assim, encontraremos a relação:
Que é equivalente a:
Lembre-se que no movimento circular as grandezas lineares e angulares podem se 
relacionar pelo raio da circunferência (r). É válido reforçar que as equações da cinemática 
podem ser reescritas para o movimento circular. Caso o objetivo seja estudar a posição an-
gular, a velocidade angular e a aceleração angular de uma partícula em movimento circular, 
então, são válidas as relações:
Se α = constante, então: 
A velocidade angular também pode ser escrita em função do tempo (período de 
rotação) e da frequência de rotação, da seguinte forma.
ou
Em que:
f é a frequência de rotação em hertz (Hz).
T é o período de tempo necessário para um ciclo completo em segundos (s).
 é a velocidade angular em rad /s.
. Ldv d r
dt dt
ω
=
MOMENTO ANGULAR: 
CONCEITO E APLICAÇÕES2
TÓPICO
14UNIDADE 1
Podemos compreender o momento angular como sendo a contrapartida angular do 
momento linear. Assim, se o momento linear é definido como a quantidade de movimento 
associado a um sistema em movimento translacional,o momento angular pode ser 
interpretado como sendo a quantidade de movimento angular associado a um sistema em 
rotação em relação a um eixo particular. Como consequência dessa correspondência entre 
esses dois tipos de movimento, muitos conceitos que são inerentes ao momento linear 
acabam, de certa forma, sendo transferidos para o estudo do momento angular. O Quadro 
1 apresenta um comparativo entre as grandezas associadas ao movimento translacional 
de um sistema, a partir do qual são definidos, o momento linear e as grandezas a ele 
associadas, e a contrapartida dessas grandezas associadas ao movimento rotacional, de 
onde se definem o momento angular e todas as grandezas a ele associadas. As equações 
apresentadas no Quadro 1 são, por ora, apenas para efeito de comparação. Na próxima 
seção será abordada a parte matemática em detalhes. Você pode notar pelo quadro, que 
o momento angular possui propriedades muito semelhantes ao momento linear, inclusive 
sua definição, feita em termos do momento linear. Portanto, ter uma lei de conservação 
associada ao momento angular não é surpresa alguma. Podemos dizer até que é uma 
consequência natural, pela forma como o momento angular é concebido, seja para uma 
partícula independente ou um sistema de partículas, incluindo um corpo rígido.
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
15INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
QUADRO 1. RELAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIA ENTRE ALGUMAS GRANDEZAS FÍSICAS 
PRESENTES NO MOVIMENTO TRANSLACIONAL E NO MOVIMENTO ROTACIONAL
Fonte: adaptado de (HIBBELER, R.C, 2018, p.312)
Pelo Quadro 1, podemos perceber também que tanto a lei de conservação do 
momento linear como a lei de conservação do momento angular somente podem existir, se 
uma condição for satisfeita: se o sistema em questão for um sistema isolado. Para que um 
sistema translacional seja considerado isolado, a força resultante externa aplicada sobre 
o sistema deverá ser nula. Já para um sistema rotacional, a condição de sistema isolado é 
ligeiramente diferente, haja vista que, conforme exposto no Quadro 1, a variável equivalente 
da força F é o torque (τ). Assim, para que um sistema rotacional seja considerado isolado, 
o torque externo resultante aplicado sobre o sistema deverá ser nulo. O Quadro 1 nos 
mostra ainda que a lei de conservação, seja do momento angular, seja do momento linear, 
se manifesta da seguinte forma: P = constante para o momento linear e L= constante para 
o momento angular. Mas você pode estar se perguntando o que, exatamente, significa dizer 
que o momento linear ou o momento angular são constantes? A resposta a essa pergunta 
vai ao encontro do significado conceitual da lei de conservação do momento angular (e linear 
também). Dizer que o momento linear ou o momento angular se conservam, significa dizer 
que essas quantidades terão sempre o mesmo valor, ou, ainda, que esse valor é invariável 
no tempo, desde que o sistema permaneça isolado. Conforme a segunda lei de Newton, 
seja para translações, seja para rotações, é definida em termos da derivada temporal das 
grandezas P e L, respectivamente. Portanto, podemos resumir a lei de conservação do 
16INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
momento angular da seguinte forma: quando um sistema for considerado como isolado, isto 
é, quando o torque resultante sobre o sistema for nulo, o momento angular permanecerá 
com seu valor inalterado, não importando quais variações internas o sistema possa vir a 
sofrer. Observando mais uma vez o Quadro 1, ele nos traz outra informação importante: 
tanto o momento linear quanto o momento angular são grandezas vetoriais. Toda grandeza 
física que tenha uma natureza vetorial possui três características associadas: um módulo, 
uma direção e um sentido. A primeira quantidade diz respeito à magnitude do vetor, já as 
outras duas dizem respeito à orientação espacial do vetor. Portanto, a lei de conservação 
do momento angular diz respeito a essas três características do vetor, não apenas à sua 
magnitude. Assim, ao dizermos que, sobre um sistema, L = constante, devemos ter em 
mente que a lei de conservação do momento angular se estende automaticamente ao seu 
módulo, à sua direção e ao seu sentido. Sempre que o vetor momento angular L ou l puder 
ser definido em termos da velocidade angular ω, sua direção e seu sentido podem ser 
obtidos mediante a aplicação da regra da mão direita, conforme a convenção estabelecida 
pela Figura 7.
FIGURA 7. CONVENÇÃO DA REGRA DA MÃO DIREITA UTILIZADA NA DETERMINAÇÃO DA 
DIREÇÃO E DO SENTIDO DO VETOR MOMENTO ANGULAR.
Fonte: adaptado de SHAPIRO (2010, p.110)
A Figura 8 mostra uma pessoa sentada em uma cadeira giratória, a qual pode girar 
livremente ao redor do eixo vertical. Inicialmente, o conjunto pessoa + cadeira se encontra 
em repouso. A pessoa, no entanto, segura um volante, que rotaciona no sentido anti-horário 
com velocidade angular ωwh, conforme representado pela Figura 8a. Em um momento pos-
terior, a pessoa inverte o sentido do volante, representado pela Figura 8b. Qual deve ser a 
condição para que haja conservação do momento angular para esse sistema?
17INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
FIGURA 8. UM SISTEMA ISOLADO ILUSTRANDO A CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Fonte: adaptado de SHAPIRO (2010, p.115)
Pela regra da mão direita, o momento angular inicial Lwh do sistema composto por 
pessoa + cadeira + volante possui direção vertical e sentido para cima. Essa situação está 
indicada pela Figura 1a. A partir da inversão do volante, verifica-se que o volante continua 
a girar com a mesma velocidade angular de antes, ωwh, mas em sentido horário, conforme 
indicado pela Figura 1b. Com efeito, o momento angular do volante continua na direção 
vertical, porém, apresenta agora sentido para baixo, – Lwh. O sinal negativo se deve à 
inversão no sentido do momento angular. Para que haja conservação do momento angular 
inicial, é preciso que o sistema cadeira + pessoa rotacione no sentido anti-horário com 
velocidade ωb, a fim de gerar um momento angular Lb que seja vertical e para cima, opondo-
se à inversão do momento angular inicial do sistema. Assim, para que o momento angular 
se mantenha constante, haja vista que o sistema é isolado, pois nenhum torque externo 
atua sobre ele, é preciso que a seguinte condição seja satisfeita:
 
 – 
 2
i f
wh b wh
b wh
L L
L L L
L L
=
=
=
18INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
Portanto, o momento angular total do sistema pessoa + cadeira + volante será 
conservado mediante a seguinte condição:
A compreensão do exemplo apresentado é de extrema importância, pois ele 
encerra o princípio fundamental da lei de conservação associado ao momento angular. 
Perceba que trabalhamos a solução apenas com a parte conceitual do momento angular, 
envolvendo poucas relações matemáticas. É evidente que, em problemas mais complexos, 
a modelagem matemática deverá se fazer presente. Para efeitos didáticos, construiremos o 
arcabouço matemático do momento angular para o caso de uma partícula pontual. A partir 
dos resultados obtidos para esse sistema mais simples, podemos expandi-los para sistemas 
mais complexos, como um sistema de partículas, incluindo o corpo rígido. Consideremos o 
caso de uma partícula de massa m e velocidade v executando um movimento em relação a 
uma origem. Para essa partícula, definimos seu momento linear p como sendo:
O momento angular associado a essa partícula pode ser definida mediante a se-
guinte equação:
Onde r é o vetor posição que localiza a partícula com relação à origem do sistema. 
É importante notar que L é definido em termos de um produto vetorial (SHAPIRO, 2010, p. 
197).
Se a partícula está se movendo ao longo de uma curva espacial, o momento angular 
em componentes cartesianas será: 
A Figura 9 ilustra graficamente o momento angular de uma partícula que se movi-
menta no espaço tridimensional.
 2b whL L=
p m v= ⋅
( ) L r p mr v= × = ⋅ ×
19INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
FIGURA 9. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MOMENTO ANGULAR.
Fonte: adaptado de (HIBBELER, R.C, 2018, p.456)
Sendo L perpendicular ao plano formado pelos vetores r e mv , você pode reescre-
ver a relação:
em função do ânguloφ :
A definição do vetor momento angular nos informa que a direção do vetor momento 
angular será sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores r e p, independentemente 
de qual plano seja esse, haja vista que o momento angular é o resultado de um produto 
vetorial entre dois vetores. A conservação do Momento Angular é muito útil para analisar o 
movimento de objetos giratórios isolados de torques externos. Por exemplo, uma estrela 
brilha convertendo hidrogênio em hélio em uma reação nuclear. Quando o Hélio é consumido, 
a gravidade faz com que a estrela imploda (colapso para dentro), conforme ilustra a figura 
10.
FIGURA 10: ESTRELA EM COLAPSO
Fonte: elaborada pelo autor (2020)
( ) L m r v= ⋅ ×
. . .L m v r senφ=
20INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
À medida que a estrela entra em colapso, ela gira cada vez mais rápido, como 
forma de conservar o momento angular do sistema. Existem vários exemplos que podem 
demonstrar o princípio da conservação do momento angular. Tornados são um exemplo. Os 
sistemas de tempestade que criam tornados giram lentamente. Quando o raio de rotação 
diminui, a velocidade angular aumenta, às vezes até o nível vem perigoso de tornado. O 
sistema solar é outro exemplo de como a conservação do momento angular funciona no 
universo. O sistema solar foi criado a partir de uma enorme nuvem de gás e poeira que 
inicialmente tinha energia rotacional. As forças gravitacionais causaram a contração da 
nuvem e a taxa de rotação aumentou devido à conservação do momento angular. Para um 
corpo rígido, podemos representar a lei de conservação do momento angular mediante a 
seguinte equação:
Em que:
I é o momento de inércia de massa de um corpo, ou seja, uma grandeza associada 
à forma com a qual a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação.
ω é a velocidade angular do corpo.
Aplicando a lei de conservação do momento angular, ou seja, L= constante, tere-
mos:
Podemos interpretar esta equação da seguinte forma: ainda que a velocidade an-
gular ou o momento de inércia de um corpo rígido se altere, caso essas alterações forem 
internas, isto é, se não ocorrerem mediante a aplicação de um torque externo resultante, o 
momento angular vai se conservar. Logo, o produto entre o momento de inércia do sistema 
e a sua respectiva velocidade angular deverá manter-se constante em qualquer instante 
de tempo. Esta interpretação exige certa cautela, pois é preciso considerar que o sistema 
esteja isolado e que todas as partículas que compõem o sistema se movam com a mesma 
velocidade angular. Imagine a seguinte situação: uma pessoa está sentada em um banco 
que pode girar livremente ao redor do eixo vertical (eixo de rotação), conforme mostra a Fi-
gura 11. A pessoa segura dois halteres, um em cada mão. Inicialmente, o sistema composto 
pessoa + halteres possui um momento de inércia Ii e gira, com os braços abertos, com 
velocidade angular ωi, como mostrado em (a). O que ocorrerá ao sistema caso a pessoa 
traga para junto de si os halteres que estão afastados do corpo?
.L I ω=
 i i f fI Iω ω⋅ = ⋅
21INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
FIGURA 11. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR EM UM PIÃO HUMANO
Fonte: adaptado de SHAPIRO (2010, p.119)
Ao aproximar os halteres do corpo, a pessoa muda seu momento de inércia para 
uma condição If, diminuindo-o. Dessa forma, para compensar essa diminuição e manter o 
momento angular L constante, sua velocidade de rotação aumenta para ωf, como indicado 
na situação (b). Assim, aplicamos a relação de conservação do momento angular (NOR-
TON, R, 2010):
Perceba que a todo instante o momento angular permaneceu orientado paralelamente 
ao eixo de rotação (vertical), com sentido para cima, como dado pela regra da mão direita. 
Além disso, a velocidade angular ωf vai aumentar à medida que o momento de inércia 
If diminuir, tal que o produto jamais se alterará se o sistema permaneça isolado. 
Consequentemente, o momento angular do sistema permanecerá constante, conforme a lei 
de conservação do momento angular impõe aos sistemas isolados.
 i i f fI Iω ω⋅ = ⋅
APLICAÇÕES NA TRANSMISSÃO DE 
MOVIMENTO3
TÓPICO
22UNIDADE 1
Dentro da área de projetos de engenharia, o conceito de velocidade angular está 
associado com a relação entre deslocamento angular e o intervalo de tempo gasto. Usa-se 
a letra grega ômega (ω) para representá-la. A velocidade angular média (ωm) se dá pelo 
deslocamento angular (Δ⊖) dividido pela variação de tempo (Δt):
A velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s) no SI, embora 
rotações por minuto (rpm) seja uma unidade mais utilizada na prática. Como um giro com-
pleto é 360º (ou 2π), pode-se estimar o período (T) em segundos e o inverso do período, 
que é a frequência (f) em Hertz.
A velocidade angular independe do raio. Diferentemente da velocidade linear ou 
tangencial definida como: , ou seja, uma grandeza vetorial resultante do produto da 
velocidade angular e do raio. Outro conceito físico dentro da mecânica aplicada é o torque. 
O conceito de torque surgiu com Arquimedes e seu estudo do uso de alavancas. O torque 
pode ser descrito da seguinte forma: O torque ou momento de uma força é análogo de uma 
“força rotacional” ou angular, e atua no âmbito de movimento rotacional; é uma medida da 
intensidade da tendência de giro de um corpo rígido em torno de um ponto ou um eixo, 
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
23INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
devido a uma força ou conjunto de forças. Seu efeito é produzir uma variação no estado de 
rotação do corpo (MOTT, 2015). O torque, definido como vetor, é o produto da magnitude 
da força (F) e a distância perpendicular da linha de ação de uma força ao eixo de rotação 
(r). Para compreender melhor a definição de torque segundo Norton (2010), observe a 
equação a seguir:
A unidade de torque no SI é o newton-metro [N⋅m]. Dentro da cinemática rotacional, 
o torque ocupa o lugar de força da cinemática linear e existe uma equivalência direta com 
a 2ª Lei de Newton ( , sendo que , onde I é o momento de inércia do objeto 
rotatório e α é a aceleração angular. No nosso caso, estamos interessados na potência 
mecânica e sua relação com o torque, que se dá por:
É comum, também, utilizarmos uma relação matemática relacionado torque T, 
potência P e rotação n, conforme expressão a seguir:
Portanto, estas são as relações matemáticas mais aplicadas no estudo da trans-
missão de movimento, torque e potência. A maneira mais simples de transferir movimento 
rotatório de um eixo a outro é através de um par de cilindros rolantes; estes cilindros podem 
ser externos ou internos, tal como mostra a Figura 12. Se há o atrito necessário na interface 
de rolagem dos cilindros, o mecanismo funciona plenamente. Não há deslizamento entre as 
faces dos cilindros, desde que a força de atrito máximo entre elas não seja excedida pelo 
torque transferido (NORTON, R, 2010).
24INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
FIGURA 12: RODAS DE ATRITO
Fonte: elaborada pelo autor (2022)
Um exemplo extrapolado deste mecanismo é a roda de um veículo viajando por 
uma estrada. O pneu é um cilindro rolante, enquanto que a estrada é outro (tendo um raio 
muito maior). O atrito é a força que impede o deslizamento, mas o coeficiente de atrito 
não é constante e depende dos materiais envolvidos. Assim sendo, uma pista coberta de 
gelo pode provocar o deslizamento do pneu, uma vez que o coeficiente de atrito entre a 
borracha e o gelo é menor do que o coeficiente de atrito entre a borracha e o asfalto. Dito 
isso, a baixa capacidade de torque e a possibilidade de deslizamento das rodas de atrito 
não as tornamviáveis em todas as aplicações. Para resolver esses problemas, dentes são 
adicionados às rodas de atrito, o que as torna engrenagens. Quando duas engrenagens 
estão unidas, chamamos tal mecanismo de par de engrenagens e, por convenção, o nome 
de pinhão é dado para a menor das duas e a coroa para a maior, como mostra a Figura 13.
FIGURA 13: PAR DE ENGRENAGENS EXTERNAS, EVIDENCIANDO PINHÃO E COROA
Fonte: elaborada pelo autor (2022)
25INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
Existem diversos tipos de engrenagens, classificadas por sua geometria: engrena-
gens cilíndricas de dentes retos, engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais, engrenagens 
cônicas, cremalheira de dentes retos, coroa e parafuso sem-fim, entre outras variações. Em 
teoria, dentes de qualquer formato evitam o deslizamento das rodas. Antigamente, moinhos 
de água e vento usavam engrenagens de madeira, cujos dentes eram simples estacas 
arredondadas presas entre os aros dos cilindros, embora a geometria das estacas não 
permita transmissão suave de velocidade e violem a Lei Fundamental do Engrenamento. 
Na Teoria do Dente da Engrenagem, a Lei Fundamental do Engrenamento nos diz que “a 
razão de velocidade angular mV das engrenagens de um par de engrenagens permanece 
constante durante o engrenamento”. Segundo Norton (2010), a razão de velocidades é 
dada por mv e, para um trem simples é:
Visto isto, um sistema de engrenagens é basicamente um mecanismo que troca 
torque por rotação, ou seja: 
 =
Um conjunto de engrenagens pode reduzir a velocidade e aumentar o torque 
para dirigir cargas pesadas, tal como a transmissão de um automóvel. Para o aumento da 
velocidade, uma redução no torque deve ser aceita. De qualquer forma, é desejado que 
se mantenha constante a razão entre as engrenagens quando elas rotacionam. Qualquer 
variação na razão aparecerá como uma oscilação na velocidade e no torque de saída. Um 
trem de engrenagens, trata-se de um sistema de duas ou mais engrenagens acopladas. 
O par de engrenagens é a forma mais simples de um trem, porém sua razão máxima é 
limitada a 10:1 e, a fim de gerar razões maiores, aplicamos o uso de trens. Os trens podem 
ser simples, compostos ou elípticos. Lembre-se que ao reduzir a velocidade, o torque au-
menta. Isso acontece quando uma engrenagem menor (pinhão) é a motora em um par de 
engrenagens e move uma engrenagem maior, em uma relação de redução de velocidade. 
O oposto também é verdade, uma vez que se aumenta a velocidade, o torque diminui. 
Nesse caso, à amplificação de velocidade ocorre quando a engrenagem motora é maior do 
que a engrenagem movida (overdrive). Um trem de engrenagens simples consiste em um 
sistema em que cada eixo carrega uma única engrenagem (HIBBELER, R.C, 2018). 
Um sistema simples é mostrado na Figura 14, no qual a transmissão de potência é 
feita entre dois pares.
26INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
FIGURA 14: TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES
Fonte: elaborada pelo autor (2020)
A razão de velocidades é dada por mv e, para um trem simples, é:
O sinal negativo exprime o fato de uma das engrenagens em cada par ter seu 
sentido de rotação anti-horário. Os efeitos de todas as engrenagens intermediárias (vazias 
ou sem carga) em um trem simples se cancelam e, dessa forma, a razão é simplificada para 
a razão entre o número de dentes da primeira e da última engrenagem. Em um trem de 
engrenagens composto, por sua vez, pelo menos um eixo possui mais de uma engrenagem. 
Ele tem um arranjo paralelo ou série-paralelo, em vez das conexões puras em série do trem 
simples. A Figura 15 (a) mostra um trem composto de 4 engrenagens, sendo que duas 
delas, engrenagens 3 e 4, estão no mesmo eixo (e mesma velocidade angular). Um trem 
composto revertido é visto na figura 15 (b), no qual os eixos de entrada e de saída são 
coincidentes.
27INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
FIGURA 15: TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS (A) SEM REVERSÃO E (B) COM REVERSÃO.
Fonte: NORTON (2010, p. 697)
Para um trem de engrenagens composto, a relação de velocidades é:
Essa relação pode ser generalizada para qualquer número de engrenagens no 
trem da seguinte forma:
E a razão do engrenamento é a recíproca da razão de velocidades, tal como visto 
anteriormente. Na literatura, a razão de velocidades também é dada como: 
Ou seja, a razão de velocidade, ou razão de trem, na forma apresentada acima é 
a relação da velocidade de entrada (para a primeira engrenagem no trem) pela velocidade 
de saída. (NORTON, 2015).
28INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTOUNIDADE 1
Uma fábrica tem vários equipamentos, entre os quais uma máquina que estava em manutenção, pois 
apresentava correntes de roletes que estavam chicoteando. Quais as possíveis causas desse problema? 
Após uma avaliação minuciosa, os operadores chegaram à conclusão de que as razões foram as seguintes: 
folga excessiva, carga pulsante, articulações endurecidas e desgaste desigual. E se a correia estivesse com 
ruído, quais seriam as causas? Pare e pense um pouco!
Fonte: MOTT, Robert L (2010)
Você sabe calcular a rotação das polias acionadas por uma correia? O vídeo mostra o passo a passo de uma 
transmissão por correia e polia, em que a polia motora trabalha a 1.600 rpm e tem diâmetro de 3.1/2”, e a 
polia movida tem diâmetro de 6”. O vídeo vai mostrar, nessas condições, como calcular a rotação da polia 
movida.
Disponível: https://www.youtube.com/watch?v=0XwToOo1Xyw
https://www.youtube.com/watch?v=0XwToOo1Xyw
29
CONSIDERAÇÕES FINAIS
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
O projeto de sistemas mecânicos e seus elementos nada mais é do que o design 
de itens, considerando o conhecimento técnico do engenheiro para desenvolver sistemas 
capazes de transmitir e conduzir movimento ou potência de um lugar ao outro, tais como 
um par de engrenagens acopladas e fixas ou duas polias ligadas por uma correia. Uma 
consideração importante a respeito do projeto de sistemas mecânicos é que ao longo de 
sua vida útil, os materiais são expostos a uma variação de esforços e tensões cíclicas, o 
que provoca trincas microscópicas que vão aumentando até que ocorra fratura. Conhecer 
sobre a dinâmica de movimento das máquinas, mecanismos e corpos, é uma competência 
fundamental para qualquer profissional de engenharia que queira trabalhar com projeto 
mecânicos, além disso, diz respeito à capacidade do (a) engenheiro (a) em usar suas 
habilidades construtivas para desenvolver produtos confiáveis. Os projetistas de máquinas, 
mecanismos e seus elementos são profissionais que executam múltiplas tarefas a partir 
de seus conhecimentos para viabilizar, executar a ideia do produto e conferir segurança, 
robustez e economia.
UNIDADE 1
30
LEITURA COMPLEMENTAR
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
Nome: Uma Proposta Para o Uso do Giroscópio No Estudo Da Conservação do 
Momento Angular. 
Ano: 2018
Comentário: o artigo sugerido para leitura traz um estudo sobre a conservação do 
momento angular, por meio do projeto e uso do giroscópio. Para realizar a leitura do texto, 
acesse o link disponível em: https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fif.ufmt.
br%2Feenci%2Fartigos%2FArtigo_ID460%2Fv13_n1_a2018.pdf&embedded=true&chro-
me=false&dov=1 .
UNIDADE 1
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fif.ufmt.br%2Feenci%2Fartigos%2FArtigo_ID460%2Fv13_n1_a2018.pdf&embedded=true&chrome=false&dov=1
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fif.ufmt.br%2Feenci%2Fartigos%2FArtigo_ID460%2Fv13_n1_a2018.pdf&embedded=true&chrome=false&dov=1
https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fif.ufmt.br%2Feenci%2Fartigos%2FArtigo_ID460%2Fv13_n1_a2018.pdf&embedded=true&chrome=false&dov=1
31
MATERIAL COMPLEMENTAR 
INTRODUÇÃO À DINÂMICA DO MOVIMENTO
LIVRO 
 ● Título: Projeto de máquinas: uma abordagem integrada
 ● Editora: Bookman.
 ● Autor: Robert. L. Norton.
 ● Sinopse: o livro apresenta diversos estudos de casos reais, o 
que possibilita ao estudante ter acessoa diversas situações que 
podem ser encontradas em sua futura profissão. O livro também 
utiliza métodos computadorizados para a solução de problemas, o 
que faz o estudante se familiarizar com esse tipo de abordagem.
FILME/VÍDEO 
 ● Título: Elementos de Máquinas - Introdução aos elementos de 
transmissão
 ● Ano: 2011.
 ● Sinopse: o vídeo mostra alguns elementos de transmissão, 
como as correias, além de tratar sobre os variadores de velocidade 
por engrenagens, por correias e por atrito e sobre as roscas que 
transformam o movimento giratório em retilíneo, e vice-versa. O 
vídeo permite ao estudante ter contato visual com alguns dos ele-
mentos que estão sendo estudados no nosso curso.
 ● Link: https://www.youtube.com/watch?v=NL-Ldch3GQw 
UNIDADE 1
https://www.youtube.com/watch?v=NL-Ldch3GQw
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
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Plano de Estudos
• Momento de Inércia de massa (inércia rotacional);
• Teorema dos eixos paralelos para a inércia rotacional e Raio de 
Giração;
• Energia total de rotação.
Objetivos da Aprendizagem
• Conceituar o momento de inércia de massa de um corpo;
• Compreender o teorema dos eixos paralelos para a inércia 
rotacional;
• Conhecer Raio de Giração no contexto da dinâmica dos corpos;
• Descrever a energia total de rotação de um corpo rígido qualquer.
Professor Me. Jean Carlos Rodrigues
DINÂMICA DINÂMICA 
ROTACIONAL ROTACIONAL 
DE CORPOS E DE CORPOS E 
MECANISMOSMECANISMOS
UNIDADEUNIDADE2
INTRODUÇÃO
33UNIDADE 2
Olá querido(a) aluno(a), seja muito bem-vindo(a)!
Durante a realização das tarefas do seu cotidiano, possivelmente, você utiliza algum 
equipamento ou elemento de máquina projetado por um(a) engenheiro(a). Um automóvel, 
por exemplo, é um produto que possui diversos sistemas (motor, freios, suspensões, etc.) 
que devem ser projetados para atender a determinados requisitos ou especificações. Neste 
contexto, o projeto de máquinas, mecanismos e seus elementos, nada mais é do que o 
design de componentes, considerando o conhecimento técnico do(a) engenheiro(a) para 
desenvolver sistemas capazes de transmitir e conduzir movimento, torque ou potência de um 
lugar a outro. Dois exemplos interessantes seriam: um par de engrenagens acopladas e fixas 
ou duas polias ligadas por uma correia. Para isso, é necessário conhecer o comportamento 
rotacional dos corpos rígidos. Nessa aula, abordaremos a teoria de momento de inércia 
de massa e definiremos matematicamente o conceito de raio de giração. Estudaremos o 
Teorema dos Eixos Paralelos para calcular o momento de inércia de superfícies planas em 
relação a um eixo de rotação qualquer. Veremos como analisar o movimento dos corpos 
rígidos, considerando as forças e momentos externos atuantes. Portanto, exploraremos 
estes conceitos para obtermos uma boa compreensão sobre o movimento de rotação dos 
corpos rígidos em geral.
Bons estudos!
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
34UNIDADE 2
MOMENTO DE INÉRCIA DE 
MASSA (INÉRCIA ROTACIONAL)1
TÓPICO
Massa é definida por uma quantidade de matéria que possui forma e ocupa lugar 
no espaço e, no sistema internacional de unidades (SI), é descrita pela unidade quilograma 
(kg). Quanto maior a massa de um corpo, maior a resistência à mudança de seu estado de 
movimento, ou seja, maior sua inércia. Para que um corpo de massa (m) altere seu estado 
de movimento, saindo do equilíbrio estático ou dinâmico, é necessário que a inércia seja 
vencida. Dessa forma, compreender as Leis de Newton, no estudo da dinâmica dos corpos, 
é fundamental para analisar a alteração de estado de movimento de um corpo, devido às 
forças externas atuantes. Para uma partícula ou corpos rígidos homogêneos, a massa pode 
ser calculada pela densidade que um corpo apresenta. A densidade ( r ) é uma propriedade 
física que determina quanto de massa m é necessário para ocupar um determinado volume 
m
V
r = . Matematicamente, é dada por:
Então, ao isolar a massa na equação da densidade, temos:
Para um caso geral, no espaço, podemos considerar cada elemento infinitesimal de 
massa que compõe o volume do corpo. Assim:
Integrando os dois lados da equação:
m
V
r =
m Vr=
( , , )dm x y z dVr=
( , , )
V
m x y z dVr= ò
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
35UNIDADE 2 DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
Para corpos rígidos finos, como chapas e lâminas, em que a espessura pode ser 
desconsiderada, apenas a área da superfície é avaliada. Assim, a integral de volume pode 
ser simplificada em uma integral de área. Nesse caso, a densidade utilizada será a densida-
de de área, também chamada de densidade superficial, ( , )x ys e a massa pode ser descrita 
como HALLIDAY (2016):
Para corpos de uma dimensão, como fios e barras, é utilizada a densidade linear 
( )xl e a massa é calculada por:
Para demonstrar matematicamente o momento de inércia, considere uma massa m 
no final da haste de luz de comprimento r: aplica-se uma força F à massa, mantendo a força 
perpendicular ao braço de alavanca, conforme a Figura 2.
FIGURA 1: CORPO
Fonte: o autor (2020)
Aceleração tangencial será: 
Aplicando: F= m a, ao longo da direção tangencial, teremos:
Multiplicando ambos os lados por r (para obter torque), obteremos: 
Tendo em vista a Figura 3, pode-se generalizar a definição de momento de inércia 
( )
x
m x dxl= ò
( , )
A
m x y dAs= ò
36DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
FIGURA 2: ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE
Fonte: o autor (2020)
O momento de inércia de um corpo qualquer de massa “m” e com eixo de rotação 
distante de “r” será:
 
A Figura 3 mostra um sistema composto por duas pequenas massas em hastes de 
comprimento r,
FIGURA 3: CORPO
Autor (2020)
O momento de inércia de um sistema composto por duas pequenas massas em 
hastes de comprimento r ilustrado na Figura 3, será:
Observe que não se trata de um corpo extenso, mas somente de massas 
concentradas e com distâncias bem definidas em relação ao eixo de rotação. O momento 
de inércia de um aro de massa total M, raio R, com eixo através do centro é ilustrado na 
Figura.
37DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
FIGURA 4: ARO DE RAIO R
Fonte: o autor (2020)
(desde para todos ), têm-se:
O momento de inércia de um disco sólido de massa total M e raio R, é ilustrado na 
Figura 5.
FIGURA 5: DISCO DE RAIO R
Fonte: o autor (2020)
38DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
Um disco sólido de massa M, raio R, com eixo de rotação passando através do seu 
centro, terá momento de inércia de massa igual a: 
Momento de inércia é uma espécie de “massa rotacional”. Quando maior o momento 
de inércia de massa de um corpo, maior deverá ser o torque externo para produzir aceleração 
angular de acordo com a relação matemática a seguir (NORTON, 2010):
Em que:
 = torque ou momento de uma força em N.m
= Momento de inércia de Massa em kg.m²
 = aceleração angular em rad/s².
Vejamos um exemplo de cálculo do raio de giro ou giração de um disco homogêneo 
de raio R com eixo de rotação ao longo do eixo z, passando pelo centro do disco, perpendicular 
a sua superfície. Pela simetria do disco e por ser homogêneo, podemos afirmarque o centro 
de massa do disco está exatamente em seu centro. O momento de inércia de um disco em 
relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
 
Logo, o raio de giração será:
 
Repare que o raio efetivo pelo qual o disco gira não é seu centro de massa, mas 
sim uma distância um pouco mais próxima de sua borda. O momento de inércia de massa, 
também conhecido como inércia rotacional, é uma grandeza física usada para medir a 
resistência de um corpo em sofrer mudança em sua de rotação, ou seja, em apresentar 
aceleração angular. A medida da distribuição da massa de um corpo ao redor de um eixo 
fixo de rotação, também está associada diretamente ao conceito de momento de inércia de 
um corpo. Quando um torque externo é aplicado em um corpo, quanto maior o momento 
de inércia da massa do corpo, menor será sua aceleração angular. Se aplicarmos um ou 
mais torques ao longo do eixo ilustrado na Figura 6, todo o conjunto entrará em movimento 
de rotação. Entretanto, para saber a aceleração angular do eixo, é necessário considerar 
21
2x yI I I MR= = =
21
2 0,707
2
MRI RK R
M M
= = = »
39DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
não apenas os esforços de atrito, mas também, os momentos de inércia do eixo e das 
engrenagens (BEER, 2019).
FIGURA 6: EIXO SOB EFEITO DO TORQUE
Fonte: BEER (2019, p. 98).
Outro ponto relevante sobre o sistema mecânico da figura 6 é que quanto maior o 
momento de inércia dos componentes que estão em rotação, maior será a potência gasta 
para variar a velocidade angular do conjunto. É importante lembrar que a aceleração angular 
é a variação temporal da velocidade. Podemos relacionar potência, torque e velocidade 
angular por meio da expressão (NORTON, 2010):
 é a velocidade angular do conjunto em rad/s;
 é a potência consumida para mover todo o sistema mecânico em W (watts).
Vejamos outro exemplo. Considere um cilindro e uma esfera, ambos maciços 
(Figura 7), com massa de 5 kg e raio de 20 cm. Qual deles possui maior momento de 
inércia? 
40DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
FIGURA 7: CILINDRO E ESFERA MACIÇOS
 
Fonte: elaborado pelo autor (2023)
Considerando que o cilindro gira ao redor de seu eixo central e a esfera em torno 
de qualquer eixo passando pelo seu centro. Assim, para o cilindro, teremos o momento de 
inércia dado por:
 
E para esfera:
Nota-se, portanto, que o cilindro oferece maior resistência à rotação do que a 
esfera de mesma massa e raio. Agora, vamos analisar um volante de inércia, que pode ser 
simplificado como um disco composto por um material menos denso envolto por um anel de 
material mais denso. Sabendo que o raio de rotação de um volante de inércia passa pelo 
centro do disco e é perpendicular ao próprio disco (figura 8), qual o momento de inércia do 
volante de inércia? Considere a massa desse volante de inércia composto por um disco 
de alumínio ( 32,70 /AL g cmr = ) de raio 10 cm e espessura 1 cm e um anel de chumbo (
311,36 /Pb g cmr = ) de raio interno 10 cm, raio externo 12 cm e espessura 1 cm.
41DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
FIGURA 8: EIXO DE ROTAÇÃO DO VOLANTE DE INÉRCIA.
Fonte: autor (2023)
Considerando as coordenadas cilíndricas, o momento de inércia pode ser calculado 
por:
Como a função da densidade está definida em relação à r, podemos reescrever a 
integral por:
Calculando a integral em relação à z, teremos:
Calculando a integral em relação à q :
E por fim, a integral em r será:
Assim, o momento de inércia será:
2 ( )
V
I r r r dr d dzr q= ò
10 10
0
0
10 0 10z dz dz z= = = - =ò ò
2 2
0
0
2 0 2d d
p p
q q p pq= = = - =ò ò
10 12
2 3 3 3
0 10
( ) ( ) 2500 2684AL Pb AL Pb
r r
I r r r dr r r dr r dr r drr r r r r r= = = + = +ò ò ò ò
2(10)(2 )(2500 2684 ) 2340AL PbI kg mp r r= + =
2 ( )
r z
I r r r dr d dz
q
r q= ò ò ò
42UNIDADE 2
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
PARA A INÉRCIA ROTACIONAL E 
RAIO DE GIRAÇÃO2
TÓPICO
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
A primeira lei de Newton afirma que se um objeto estiver em repouso ele tende a 
continuar em repouso e se estiver em movimento, tende a permanecer em movimento, com 
velocidade constante, até que uma força externa atue sobre ele. O conceito de momento 
de inércia de massa possui forte relação com a primeira lei de Newton, entretanto, ela se 
aplica a corpos em rotação. Um corpo com grande momento de inércia de massa, exige 
um alto valor de torque externo, tanto para iniciar o movimento de rotação, quanto para 
sofrer mudanças na sua velocidade angular, caso já esteja em movimento. Em sistemas de 
partículas ou em corpos rígidos, essa resistência à alteração do estado de movimento deve 
ser avaliada tanto para o movimento de translação quanto para o movimento de rotação. 
Na análise dos movimentos, a resistência ao movimento de translação associa-se com 
a inércia e a resistência ao movimento de rotação vincula-se com o momento de inércia 
massa. Considerando o corpo rígido, o momento de inércia ( I ) é definido pela integral da 
distância ao quadrado ( 2r ) ao eixo de rotação vezes o elemento infinitesimal de massa (
dm ) (BEER, 2019), ou seja:
Resolvendo a integral, é possível obter o momento de inércia para corpos rígidos 
das mais diversas formas em qualquer que seja a direção do eixo de rotação. Não se 
esqueça de que o momento de inércia para figuras planas simples é tabelado e podemos 
utilizá-lo na resolução dos exercícios. Tenha atenção com relação ao eixo em que o mo-
mento de inércia será calculado (BEER, 2019).
43DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
Além do momento de inércia, em algumas aplicações será necessário calcular o 
momento polar de inércia, que é uma característica geométrica de um material quando 
há uma força de torção atuante. Então, podemos definir momento polar de inércia como a 
resistência ao movimento de torção, definido pelo movimento de rotação em que o eixo está 
contido no corpo estudado. Assim, para o cálculo do momento polar de inércia, a distância 
até o eixo de rotação será o próprio raio do corpo que descreve o movimento. Conhecendo 
o centro de massa da geometria que define o objeto estudado, considerando o plano carte-
siano ( xy ), podemos obter o momento de inércia em cada direção por (BEER, 2019):
Estas equações fornecem o momento de inércia da superfície S de massa m em 
relação aos eixos x e y, com a origem do sistema cartesiano no centro de massa da super-
fície. Ainda considerando o plano cartesiano, se conhecermos os momentos de inércia 
xI e 
yI da área da superfície S em relação aos eixos x e y que passam pelo centroide do objeto, 
podemos considerar um novo eixo, x’ e y’, paralelo ao eixo original (Figura 1), e calcular o 
momento de inércia em ' 'x y (BEER, 2019).
FIGURA 9: EIXOS PARALELOS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA
Fonte: autor (2023)
Nesse caso, podemos aplicar o teorema dos eixos paralelos em que cx será a 
distância horizontal que separa os eixos y de y’. Já cy é a distância vertical que separa os 
eixos x de x’. Para o eixo x’ paralelo a x, o momento de inércia será:
2
xI y dm= ò
2
yI x dm= ò
44DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
De modo análogo, para o eixo y’ paralelo ao eixo y, o momento de inércia será:
Outra propriedade importante com relação ao movimento de rotação é definida 
como raio de giro, ou raio de giração. Considere uma superfície de massa m que possui um 
momento de inércia de massa ².I K m= relativamente a um eixo qualquer, conforme equação 
a seguir.
A distância K é conhecida como raio de giração e pode ser obtida por:
Esta variável diz respeito ao momento de inércia de um corpo em relação a um eixo 
em específico que se encontra a uma distância K do centro de massa desse corpo (BEER, 
2019).
2
' .x x cI I m y= +
2
' .y y cI I m x= +
².I K m=
IK
m
=
45UNIDADE 2
ENERGIA TOTAL DE 
ROTAÇÃO3
TÓPICO
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
Para demonstrarmosmatematicamente a dinâmica de rotação dos corpos rígidos, 
considere uma massa m no final da haste de luz de comprimento r: aplica-se uma força F à 
massa, mantendo a força perpendicular ao braço de alavanca, conforme a Figura 10.
FIGURA 10: CORPO
Fonte: autor (2023)
Aceleração tangencial será: 
Aplicando: RF= m a, ao longo da direção tangencial, teremos:
46DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
Multiplicando ambos os lados por r (para obter torque), encontraremos: 
Observe que, quanto maior o momento de inércia de massa de um corpo, maior 
deverá ser o torque externo para produzir aceleração angular de acordo com a relação 
matemática a seguir:
Em que:
 = torque ou momento de uma força em N.m
= Momento de inércia de Massa em Kg.m²
 = aceleração angular em rad/s².
Imagine que uma força F atue sobre uma polia, que consiste em um disco sólido de 
raio R, massa M, conforme ilustra a Figura 11. 
FIGURA 11: CORPO
Fonte: autor (2023)
Podemos determinar a expressão para a aceleração angular realizando a seguinte 
análise.
47DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
É possível considerar o momento de inércia de massa da polia igual ao de um disco 
sólido, então:
Já para calcular a energia cinética de rotação, em um corpo qualquer, como o da 
Figura 12. Considere que o corpo extenso é composto por vários elementos de massa 
(NORTON, 2010).
FIGURA 12: DISTÂNCIA DOS ELEMENTOS DE MASSA EM RELAÇÃO AO EIXO DE ROTAÇÃO
Fonte: autor (2023)
A energia cinética total do corpo será a soma das energias cinéticas das massas 
menores, então:
A velocidade linear de cada massa menor será:
48DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
Substituindo a velocidade linear individual de cada massa na equação da energia 
cinética, teremos:
Assim, a energia cinética de rotação de um corpo pode ser escrita em função do 
momento de inércia de massa e da velocidade angular.
Considerando a soma das energias de translação e de rotação na Figura 13:
FIGURA 13: CORPO EM TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Fonte: autor (2023)
A energia total do corpo será:
Para aprofundarmos mais, vamos calcular o momento de inércia de um corpo rígido 
composto por duas partículas em relação a um eixo de rotação passando pelo seu centro 
de massa. Em seguida, encontraremos o momento de inércia de massa do mesmo corpo, 
porém em relação a um eixo que passa pela extremidade esquerda da barra, conforme 
mostra a figura 14. Se ambos os sistemas fossem submetidos a um mesmo torque, qual 
apresentaria maior aceleração angular?
49DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
FIGURA 14: CORPO RÍGIDO COMPOSTO POR DUAS PARTÍCULAS
Fonte: Adaptado de Halliday, Resnick e Walker (2016, p. 156).
Como temos apenas duas partículas no corpo rígido, podemos calcular o momento 
de inércia em relação ao eixo que passa no centro de massa do corpo usando a equação:
Com o eixo de rotação localizado na extremidade esquerda, o momento de inércia 
passa a ser:
Observe que a partícula localizada à esquerda encontra-se sobre o eixo de rotação, 
portanto seu momento de inércia será zero. Já a partícula da direita ficou distante em “L” 
do eixo de rotação. Agora, iremos responder à pergunta “Se ambos os sistemas fossem 
submetidos a um mesmo torque, qual apresentaria maior aceleração angular?” A relação 
entre torque, momento de inércia e aceleração angular é:
. ²I m L=
50DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
Para o mesmo torque
Observe que o momento de inércia de massa é o dobro quando o eixo de rotação 
encontra-se em uma das extremidades. Logo, nesta configuração seria necessário o dobro 
de torque para que a aceleração angular seja a mesma nos dois casos.
51UNIDADE 2
Como calcular e modelar uma engrenagem cilíndrica de dentes retos
Ano: 2020
Comentário: Nesse vídeo, o desenvolvedor de projetos mecânicos Andreu Medinger demonstra alguns dos 
cálculos essenciais no dimensionamento de ECDRs e seu modelamento em software de desenho assistido 
por computador.
Para conhecer mais, acesse o link: https://www.youtube.com/watch?v=gE6I3MlNrtg 
Além da prevenção de falhas, que outras vantagens a lubrificação pode fornecer a um mecanismo de 
engrenagens? É possível que a potência de saída seja impactada pelo uso de lubrificante, em comparação 
com um sistema não lubrificado? Pense a respeito.
Fonte: elaborado pelo autor
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
https://www.youtube.com/watch?v=gE6I3MlNrtg
52
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na engenharia, aprendemos como resolver problemas complexos envolvendo 
velocidade, aceleração e deslocamento em corpos ou em mecanismos, de modo a transladá-
lo, rotacioná-lo ou, até mesmo, induzir um movimento combinado. As equações dinâmicas 
do movimento plano servem para descrever como acontecem os movimentos de translação 
e rotação de corpos rígidos, influenciados por forças e momentos externos aplicados sobre 
o corpo. O conhecimento acerca dessa dinâmica possibilita o projeto e o entendimento 
aprofundado de como funcionam os mais variados elementos de mecanismos, como por 
exemplo: motores, fresadoras, tornos, guindastes, moinho de bolas, dentre outros.
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
53
LEITURA COMPLEMENTAR
Para uma revisão dos tipos de movimentos que um corpo rígido pode apresentar, 
cinemática e dinâmica de corpos rígidos, incluindo a aceleração para referenciais inerciais 
e não inerciais, dê uma olhada no capítulo 17 do livro: Mecânica Vetorial para Engenheiros. 
Faça os exemplos e exercícios para aprofundar seu conhecimento nesse assunto. BEER, 
Ferdinand. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. Grupo A, 2019. E-book. ISBN 
9788580556186. 
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/ 
Acesso em: 29 abril de 2023 Bons estudos!
UNIDADE 2 DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOS
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/
54
MATERIAL COMPLEMENTAR 
LIVRO 
 ● Título: Física Mecânica
 ● Ano: 2019
 ● Autor: Jearl Walker
 ● Sinopse: estudar a inércia é fundamental no estudo da dinâmica 
dos corpos rígidos. Entender as grandezas associadas ao estado 
de equilíbrio do corpo auxilia a compreender os fatores necessários 
para alterar o estado de movimento desse corpo, seja no movimen-
to de translação ou de rotação. Para aprofundar seu conhecimento 
a respeito da inércia de corpos rígidos, leia o capítulo 10.5 do livro 
Fundamentos da Física. Faça os exemplos e exercícios, eles te 
ajudarão a fixar o conteúdo. 
FILME/VÍDEO 
 ● Título: Conjunto de Engrenagem Planetária
 ● Ano: 2021
 ● Sinopse: o canal Lesics tem como objetivo mostrar a física 
por trás da engenharia. Neste vídeo, o tópico sobre engrenagens 
planetárias é brevemente resumido em 5 minutos, dando ênfase no 
funcionamento deste tipo de sistema e apresentando os conceitos 
vistos nesta unidade através de uma animação. 
 ● Link: https://www.youtube.com/watch?v=4PkRAAx4dgo&-
t=67s&ab_channel=Lesicsportugu%C3%AAs 
DINÂMICA ROTACIONAL DE CORPOS E MECANISMOSUNIDADE 2
https://www.youtube.com/watch?v=4PkRAAx4dgo&t=67s&ab_channel=Lesicsportugu%C3%AAs
https://www.youtube.com/watch?v=4PkRAAx4dgo&t=67s&ab_channel=Lesicsportugu%C3%AAs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
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. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Plano de Estudos
• Mecanismos: Força e Momento em Três Dimensões;
• Mecanismos e Tipos de Movimento: rotação, translação e movi-
mento plano geral;
• Movimento e Graus de Liberdade.
Objetivos da Aprendizagem
• Compreender os Tipos de Movimento: rotação, translação e 
movimento plano geral;
• Descrever matematicamente força e momento em três 
dimensões;
• Conhecer os graus de liberdade possíveis para os mecanismos e 
sistemas mecânicos.
Professor Me. Jean Carlos Rodrigues
DINÂMICA DINÂMICA 
TRIDIMENSIONAL TRIDIMENSIONAL 
DOS MECANISMOSDOS MECANISMOS
UNIDADEUNIDADE3
56UNIDADE 3
INTRODUÇÃO
Olá querido(a) aluno(a), seja muito bem-vindo(a)!
O movimento dos corpos rígidos está diretamente relacionado às várias aplicações 
industriais da Engenharia industrial mecânica. De maneira geral, os corpos estão sujeitos 
a grandes variedades de solicitações e em todas as orientações no espaço tridimensional. 
Nesse cenário, corpos rígidos podem se manter em movimento ou em equilíbrio, desde que 
algumas condições sejam satisfeitas. Entretanto, no espaço em três dimensões, existem 
mais componentes de força, momento e graus de liberdade. Em duas dimensões, um corpo 
sem restrições pode possuir três graus de liberdade, translação em x, translação em y e 
rotação no plano. Já em três dimensões, este mesmo corpo sem restrições pode possuir 
até seis graus de liberdade: três componentes de translação e mais três componentes 
de rotação. Nesta aula, você vai estudar sobre a análise tridimensional do movimento de 
corpos rígidos. Vai conhecer o conceito de grau de liberdade aplicado a corpos rígidos.
Bons estudos!
DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOS
MECANISMOS: FORÇA 
E MOMENTO EM TRÊS 
DIMENSÕES1
TÓPICO
57UNIDADE 3
Em sistemas tridimensionais, é mais adequado trabalhar o momento em sua forma 
vetorial. Considere que um corpo rígido foi submetido a uma força F⃗ aplicada exatamente 
no ponto A, como ilustra a Figura 1. Sabe-se que a força F⃗ é um vetor com módulo e 
orientação definidos no espaço tridimensional. A força F⃗ é aplicada fora do (CG) centro de 
massa, no ponto O, e seu efeito depende da distância entre o ponto de aplicação A e seu 
CG. Logo, a posição de A pode ser definida de forma mais conveniente por um vetor r⃗ que 
liga os pontos “A” e “O” (BEER, 2011). 
FIGURA 1: MOMENTO DE F⃗ EM RELAÇÃO AO PONTO O.
Fonte: autor (2020)
DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOS
58UNIDADE 3 DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOS
O vetor r⃗ é o vetor posição, e o momento da força F⃗ no ponto O é definido como 
o produto vetorial de r⃗ e F⃗. 
M⃗= r⃗ × F⃗ (1)
O momento é definido como o produto vetorial do vetor posição r⃗ pela força 
tangencial no plano que os contém, sendo perpendicular à direção de r⃗ e da força. Essa 
interpretação faz sentido visto que o componente radial aponta diretamente para o eixo e 
não pode produzir um torque (KNIGHT, 2009). A direção do vetor M⃗ é perpendicular em 
relação plano definido por r⃗ e F⃗ e pode ser visualizado por meio da regra da mão direita 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Na análise em duas dimensões, não é necessário 
usar o cálculo vetorial. Só é necessário decompor as forças e trabalhar de forma escalar em 
cada uma das dimensões. Esse tipo de análise não é possível em três dimensões. Neste 
caso, todos os cálculos devem ser na forma vetorial. Você deve aprender a representar as 
forças no espaço. Seja F⃗ uma força que atua na origem dos eixos do sistema retangular 
com coordenadas x, y e z. Para decompor as componentes em cada um dos eixos, define-
se um plano formado entre o vetor e o eixo z, como mostra a Figura 2. 
FIGURA 2: FORÇA NO ESPAÇO CARTESIANO DE TRÊS DIMENSÕES.
Fonte: autor (2020)
59DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
A componente em z é encontrada da seguinte forma:
Fz = |F⃗| · cos (θz) (2)
Para encontrar as componentes, você precisa encontrar a projeção da força F⃗ no 
plano xy:
Fxy = |F⃗| · sen (θz) (3)
Com a projeção, você pode encontrar as componentes em x e em y:
Fx = Fxy · cos (θx) (4)
Fy = Fxy · cos (θy) (5)
Um exemplo simples e ilustrativo: uma força F⃗ = (2i + 3ĵ – 2k̂)N é aplicada a um 
corpo num ponto A, que possui vetor posição r⃗ com relação ao CG r⃗ = (2i – 2ĵ + 1k̂)m. 
Determine o momento causado por essa força nesse corpo. Aplique o produto vetorial e 
calcule o momento da força:
M⃗= r⃗ × F⃗
M⃗= = (2i – 2ĵ + 1k̂)m × (2i + 3ĵ – 2k̂)N = (1i + 6ĵ + 10k̂)N.m
O vetor posição r⃗ inicia-se na origem e vai até um ponto P (YOUNG; FREEDMAN, 
2016). Em um sistema de coordenadas, é possível definir o vetor posição pela soma de 
cada um de seus componentes (Figura 3). Veja:
r⃗ = xî + yĵ + zk̂ (6)
FIGURA 3: VETOR POSIÇÃO NO ESPAÇO CARTESIANO
Fonte: autor (2020)
60DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
O vetor unitário é obtido pela razão de cada componente do vetor posição pelo 
seu módulo:
 
O vetor unitário apresenta como propriedade, possuir a mesma orientação e 
também sentido igual à do vetor posição, seu módulo vale 1.
MECANISMOS E TIPOS DE 
MOVIMENTO: ROTAÇÃO, 
TRANSLAÇÃO E MOVIMENTO 
PLANO GERAL2
TÓPICO
61UNIDADE 3
A cinemática dos corpos é a área da Física e da engenharia que estuda os seus 
movimentos. Em muitas aplicações na Engenharia, considera-se um corpo como uma par-
tícula, simplificando a resolução dos problemas. Porém, há casos nos quais não é possível 
aplicar esse tipo de simplificação, por exemplo, com os elementos de um mecanismo. A 
cinemática desses elementos analisa suas posições, velocidades e acelerações e a relação 
entre elas. Dentre os movimentos possíveis de serem realizados por um corpo rígido, está 
o do plano, que ocorre quando todas as partículas desse corpo se deslocam em trajetórias 
equidistantes em um plano fixo (HIBBELER, 2011). Existem três tipos de movimento plano 
de corpos rígidos:
 ● translação;
 ● rotação em torno de um eixo;
 ● movimento plano geral.
Na translação, qualquer linha reta dentro de um corpo mantém a mesma direção 
ao longo do movimento. Todas as partículas se movem ao longo de trajetórias paralelas. 
Quando essas trajetórias forem retas (Figura 4a), o movimento é chamado de translação 
retilínea. Já, quando as trajetórias são linhas curvas (Figura 4b), o movimento é denomina-
do de translação curvilínea (HIBBELER, 2011).
DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOS
62DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
FIGURA 4: (A) MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO RETILÍNEO E (B) CURVILÍNEO
Fonte: Beer, Johnston Jr e Cornwell (2012, p. 920).
No movimento de rotação em torno de um eixo fixo, todas as partículas do corpo 
rígido se movem em planos paralelos em trajetórias circulares que têm seu centro em um 
eixo fixo. Caso esse eixo de rotação intercepte o corpo, as partículas que estiverem sobre 
ele terão aceleração e velocidade nulas. Esse tipo de movimento é chamado plano, uma 
vez que cada partícula se move em um dado plano (BEER; JOHNSTON JR.; CORNWELL, 
2012). O movimento de rotação não pode ser confundido com o de translação curvilínea, 
conforme demonstrado na Figura 5 (BEER; JOHNSTON JR.; CORNWELL, 2012).
FIGURA 5. DIFERENÇA ENTRE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA E ROTAÇÃO
Fonte: Beer, Johnston Jr. e Cornwell (2012, p. 921).
Já o movimento plano geral ocorre quando o movimento executado por um corpo 
não pode ser classificado nem apenas como rotação, nem apenas como translação, mas 
todas as suas partículas ainda se movem em planos paralelos (BEER; JOHNSTON JR.
CORNWELL, 2012), ou seja, eles combinam rotação e translação. A Figura 6 indica os tipos 
de movimentos planos presentes em certo mecanismo.
63DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
FIGURA 6: ESSE MECANISMO APRESENTA OS TRÊS TIPOS DE MOVIMENTO PLANO GERAL
Fonte: Hibbeler (2011, p. 249).
Além dos movimentos planos,os corpos rígidos podem se movimentar de maneira 
tridimensional. Esse tipo de movimento é dividido em:
 ● movimento em torno de um ponto fixo;
 ● movimento geral.
No movimento em torno de um ponto fixo, a distância entre este ponto e qualquer 
partícula do corpo rígido permanece constante durante todo o movimento. Assim, a trajetória 
descrita por essa partícula se encontra sobre uma esfera de raio “r” e centrada no ponto fixo 
(HIBBELER, 2011). Um pião girando com a ponta em um ponto “O” fixo é um bom exemplo 
para esse tipo de movimento, como pode ser observado na Figura 7.
64DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
FIGURA 7: SE A PONTA DO PIÃO FICAR PARADA SOBRE UM ÚNICO PONTO, ELE 
MOVIMENTARÁ SEU CORPO EM TORNO DE UM PONTO FIXO.
Fonte: WIKIMEDIA, Commons. Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/
Snap_Top_and_Trompo.jpg. Acesso em: 31 maio. 2023. 
Por fim, qualquer movimento que não se encaixe em qualquer outra classificação 
pode ser considerado um movimento geral (BEER; JOHNSTON J.R.; CORNWELL, 2012). 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Snap_Top_and_Trompo.jpg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Snap_Top_and_Trompo.jpg
MOVIMENTO E GRAUS DE 
LIBERDADE3
TÓPICO
65UNIDADE 3
Um mecanismo pode ser definido como um sistema composto por corpos rígidos 
unidos entre si e organizados de forma a transmitir movimentos de uma determinada ma-
neira. Esses corpos são chamados de elos e têm, ao menos, dois pontos de conexão (de-
nominados nós) com outros elos (NORTON, 2010). Em um mecanismo, os elos são ligados 
entre si por juntas, que são conexões entre dois ou mais elos (em seus nós) e permitem 
movimento entre eles. Existem vários tipos de juntas, com diferentes graus de liberdade 
(GDL) (NORTON, 2010). Uma importante propriedade para a análise de mecanismos é o 
seu número de graus de liberdade. O grau de liberdade de um mecanismo pode ser defini-
do como o número de entradas independentes necessárias para definir a posição de todos 
seus elos em relação a um referencial. Esse atuador pode ser a mão de uma pessoa que 
movimenta o elo de um mecanismo, um motor elétrico ou um cilindro hidráulico (MYSZKA, 
2011). Por exemplo, quando a configuração de um mecanismo é completamente definida 
pelo posicionamento de um único elo, esse sistema apresenta um grau de liberdade. É o 
caso do mecanismo (a) da Figura 8, nele, o movimento de rotação de um motor elétrico é 
capaz de “comandar” o mecanismo inteiro. Já o mecanismo (c) apresenta dois graus de 
liberdade, uma vez que, utilizando a lógica dos atuadores, para se obter uma posição defi-
nida de todos os elos do mecanismo, é necessário um motor comandando a rotação de um 
dos elos e um cilindro hidráulico movimentando o bloco deslizante. É importante observar 
que a distância entre os pontos de apoio da base é variável, pelo fato de um dos apoios ser 
um bloco deslizante. Por outro lado, o mecanismo (b) não tem graus de liberdade, uma vez 
que não pode ser movimentado.
DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOS
66DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
FIGURA 8. GRAUS DE LIBERDADE DE MECANISMOS
Fonte: Myszka (2011, p. 08).
Na Figura 8, também é possível observar que o mecanismo (a) tem quatro elos, 
sendo conhecido como mecanismo de quatro barras: três de seus elos são facilmente iden-
tificáveis, o quarto elo, um elo fixo, é representado pelo solo. Nesse tipo de mecanismo, 
o elo por onde o movimento é introduzido no mecanismo é chamado de elo de entrada. A 
barra, para onde o movimento é transmitido é chamada de elo de saída. Já o elo móvel que 
conecta os elos de entrada e saída é chamado de acoplador (ERDMAN; SANDOR, 1984). 
A Figura 9 ilustra um braço robótico com uma garra fixa em sua extremidade, que apresenta 
três graus de liberdade de rotação.
FIGURA 9. GRAUS DE LIBERDADE DE UM BRAÇO ROBÓTICO
Fonte: Myszka (2011, p. 11)
67DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
Um ponto localizado em um elo de um mecanismo plano pode ter sua posição 
em relação a um referencial definida por um vetor posição, que pode ser expresso em 
coordenadas polares ou cartesianas, conforme a Figura 10. Na forma polar, o vetor é definido 
pelos seus módulos e ângulos. Já na forma cartesiana, ele é definido em coordenadas x-y.
FIGURA 10: POSIÇÃO DO PONTO A EXPRESSO NAS FORMAS POLARES E CARTESIANAS.
Fonte: Norton (2010, p. 191).
A distância em linha reta entre a posição inicial e a final de um ponto que se mo-
veu é chamada de deslocamento (NORTON, 2010). Na Figura 11a, é possível observar a 
trajetória percorrida por uma partícula entre as posições A e B. O vetor RBA define o seu 
deslocamento relativo ao ponto A. Já a Figura 11b ilustra seu deslocamento em relação a 
um referencial XY (NORTON, 2010).
FIGURA 11: DESLOCAMENTO DE UMA PARTÍCULA
Fonte: Norton (2010, p. 192).
68DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
Conforme identificado na Figura 11, as posições absolutas dos pontos A e B são de-
finidas, respectivamente, pelos vetores RA e RB. É possível encontrar o vetor deslocamento, 
ou diferença de posições, RBA por meio da diferença entre eles (HIBBELER, 2011):
RB’B= RB’A – RBA
Assim, pode-se dizer que a posição de B em relação ao ponto A é igual à posição 
absoluta de B (RB) menos a posição absoluta de A (RA) (NORTON, 2010), cuja operação 
é ilustrada na Figura 8c. Além do conceito de deslocamento, ou seja, uma diferença de 
posição de um mesmo corpo em dois momentos diferentes, é possível analisar a Figura 8 
de forma a considerar o vetor RBA como a diferença de posição entre duas partículas em 
um mesmo instante — nesse caso, a posição de B em relação a “A”. Para essa situação, as 
mesmas considerações e equações continuam válidas (NORTON, 2010). Para movimentos 
de corpos rígidos, ou elos de mecanismos, é necessário evolver tanto a posição de pontos 
como a orientação das linhas entre eles. Na Figura 12a, é possível observar um elo com os 
pontos A e B. A diferença de posição entre estes pontos é dada pelo vetor RBA, e o sistema 
de eixos foi fixado ao ponto A para facilitar o problema (NORTON, 2010). Na Figura 12b, o 
elo AB realiza um movimento de translação até a posição A’B’, assim, surgem os desloca-
mentos A’A e B’B que, pela definição de translação, devem ser iguais (NORTON, 2010). Já 
na Figura 12c, o elo AB realiza o movimento de rotação. Assim, o ponto A permanece na 
mesma posição, e o ponto B vai para a posição B’, por meio do vetor RB’B, que pode ser 
descrito como:
RB’B= RB’A – RBA
A soma desses dois movimentos é classificada como um movimento plano geral e 
está representada na Figura 12d. É importante notar que a ordem dos movimentos não al-
tera o resultado final, uma vez que o deslocamento dos pontos é o mesmo, não importando 
sua trajetória (NORTON, 2010).
69DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
FIGURA 12: MOVIMENTOS DE UM ELO AB.
Fonte: Norton (2010, p. 194).
Assim, o deslocamento total do ponto B, ou seja, em relação ao seu ponto inicial B, 
pode ser representado por:
RB’’B= RB’B + RB’’B’
Já a nova posição absoluta do ponto B em relação à origem é:
RB’’A = RA’A + RB’’A’
Para aplicar a análise de posições a um mecanismo, pode-se criar uma malha 
fechada de vetores que representam os elos deste. A Figura 13 mostra um mecanismo 
de quatro barras, como o da Figura 5a, representado por uma malha fechada de vetores 
(NORTON, 2010).
70DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DOS MECANISMOSUNIDADE 3
FIGURA 13: CADEIA DE VETORES PARA UM MECANISMO DE 4 BARRAS
Fonte: adaptado de Norton (2010, p. 198).
Essa malha termina em si mesma, resultando na somatória dos seus vetores igual 
a zero. O comprimento de seus vetores é a distância entre os nós de cada elo, que já 
é conhecida, e a posição atual do mecanismo é definida pelo ângulo do elo de entrada 
θ2, uma vez que é um mecanismo de 1 GDL. Todas as transmissões por engrenagens 
convencionais que estudamos até