Prévia do material em texto
Você acertou 10 de 10 questões Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas vezes quiser. Verificar Desempenho A B C D E 1 Marcar para revisão A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de , sabendo que compreende a região contida dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone . ∭ E x2dV E x2 + y2 = 1 z = 0 z2 = 4x2 + 4y2 .2π 5 .2 5 .π 5 . 5π 2 π. Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Transformando em coordenadas cilíndricas: Definindo os limites de integração: Sabemos que e que , e que a região está dentro do cilindro , logo: (x, y, z) → (r, θ, z) ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ x = r cos θ y = r sen θ z = z x = r cos θ y = r sen θ x2 + y2 = 1 A B C D E Como a região está entre o plano e abaixo do cone , temos: Como não temos restrição para o ângulo : Montando a integral, Calculando a integral, temos: Logo, x2 + y2 ≤ 1 (r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 1 r2(cos2 θ + sen2 θ) 1 ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1 z = 0 z2 = 4x2 + 4y2 0 ≤ z2 ≤ 4x2 + 4y2 0 ≤ z2 ≤ 4(r cos θ)2 + 4(r sen θ)2 0 ≤ z2 ≤ 4r2(cos2 θ + sen2 θ) 1 0 ≤ z ≤ 2r θ 0 ≤ θ ≤ 2π 2 Marcar para revisão Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral .∫ π 0 ∫ π 0 ∫ π 0 cos (u + v + w) dudvdw .π 2 π. 2π. . 3π 2 0. Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Integrando de dentro para fora. Primeiro, integrando em relação ao : Como a derivada de pela regra da cadeia é: Voltado a integral: Segundo, integrando em relação ao : Terceiro, integrando em relação ao : Sabendo que para qualquer Logo: Portanto, Logo, u sen (u + v + w) (sen (u + v + w))′ = cos (u + v + w) ∙ (u + v + w) ′ = cos (u + v + w) ∙ (1 + 0 + 0) = = cos (u + v + w) v sen (kπ) = 0 k ∈ Z sen (3π) = sen (2π) = sen (π) = sen (0) = 0 = [−sen (3π) + 2sen (2π) − sen (π) − (−sen (2π) + 2sen (π) − sen (0))] = 0 3 Marcar para revisão Marque a alternativa que apresenta a integral em coordenadas cilíndricas, onde V é o sólido limitado inferiormente pelo cone e superiormente pelo paraboloide ∭ V e(x2+y2)3/2 dV z2 = x2 + y2 z = 4 − x2 − y2 A B C D E A B C 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρeρ 2 dzdρdθ 2π ∫ 0 4 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 eρ 2 dzdρdθ 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρ2eρ 3 senθ dzdρdθ π ∫ 0 1 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρeρ 3 dzdρdθ 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρ3 dzdρdθ Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado A alternativa correta é a letra A, que apresenta a integral em coordenadas cilíndricas. A integral é calculada sobre o sólido V, que é limitado inferiormente pelo cone e superiormente pelo paraboloide . A integral é dada por , onde é a distância radial no sistema de coordenadas cilíndricas. As outras alternativas não apresentam a integral correta. z2 = x2 + y2 z = 4 − x2 − y2 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρeρ 2 dzdρdθ ρ 4 Marcar para revisão Determine o valor da integral , onde V está contido na região definida por . ∭ V 64z dxdydz {(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ e 0 ≤ φ ≤ }π 4 π 4 10π 15π 20π D E A B C D E 25π 30π Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado O valor da integral tríplice, dada a região definida, é calculado utilizando as coordenadas esféricas. Ao realizar a integral, considerando os limites de integração dados, chegamos ao valor de , que corresponde à alternativa B.15π 5 Marcar para revisão A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos de inércia. Determine o centro de massa do cubo , cuja densidade no ponto é . 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 (x, y, z) ρ (x, y, z) = x ( , , ) .1 2 1 2 1 2 ( , , ) .2 3 2 3 1 2 ( , , ) .2 3 1 2 1 2 ( , , ) .2 3 2 3 2 3 ( , , ) .1 2 2 3 1 2 Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por: Onde são os momentos e é a massa total do sólido. Calculando a massa m, para um cubo : x̄ = ; ȳ = ; z̄ = Myz m Mxz m Mxy m M 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 A B C Calculando os momentos: Voltando para o cálculo do centro de massa: Logo, x̄ = = = Myz m 1/3 1/2 2 3 ȳ = = = Mxz m 1/4 1/2 1 2 z̄ = = = Mxy m 1/4 1/2 1 2 (x̄, ȳ, z̄) = ( , , )2 3 1 2 1 2 6 Marcar para revisão As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é . x + y + z = 2 ρ(x, y, z) = 2x 1. .1 3 .5 3 D E .2 3 .4 3 Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Desenhando os limites de integração: Onde Ao fixar , temos que vai variar: Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta .Para um ponto determinado, a variável , varia: A massa é dada por: Logo, 0 ≤ x ≤ 2 x y 0 ≤ y ≤ 2 − x xy y = 2 − x (x, y) z 0 ≤ z ≤ 2 − x − y m = 4 3 7 Marcar para revisão A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume , sabendo que compreende a região contida dentro do cilindro e entre os planos e . ∭ E √x2 + y2dV E x2 + y2 = 16 z = −5 z = 4 Exercicio Integrais Triplas Sair A B C D E 84π. 184π. 284π 384π. 484π. Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Transformando em coordenadas cilíndricas: Definindo os limites de integração: Sabemos que e que , e que a região está dentro do cilindro , logo: Como não temos restrição para o ângulo : Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é : Calculando a integral, temos: Logo, (x, y, z) → (r, θ, z) ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ x = r cos θ y = r sen θ z = z x = r cos θ y = rsenθ x2 + y2 = 16 x2 + y2 ≤ 16 (r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 16 r2(cos2 θ + sen2 θ) 0≤r≤4 ≤ 42 θ 0 ≤ θ ≤ 2π (r) 8 Marcar para revisão Questão 7 de 10 Corretas �10� Em branco �0� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 A B C D E Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral .∫ π 0 ∫ π 0 ∫ π 0 cos (u + v + w) dudvdw .π 2 π. 2π. .3π 2 0. Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado A B C D E Integrando de dentro para fora. Primeiro, integrando em relação ao : Como a derivada de pela regra da cadeia é: Voltado a integral: Segundo, integrando em relação ao : Terceiro, integrando em relação ao : Sabendo que para qualquer Logo: Portanto, Logo, u sen (u + v + w) (sen (u + v + w))′ = cos (u + v + w) ∙ (u + v + w) ′ = cos (u + v + w) ∙ (1 + 0 + 0) = = cos (u + v + w) v sen (kπ) = 0 k ∈ Z sen (3π) = sen (2π) = sen (π) = sen (0) = 0 = [−sen (3π) + 2sen (2π) − sen (π) − (−sen (2π) + 2sen (π) − sen (0))] = 0 9 Marcar para revisão Determine o valor de 1 ∫ 3 1 ∫ −1 2 ∫ 0 (x + 2y − 3z)dxdydz 30 40 50 60 70 A B C D E Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado A integral tripla dada é uma operação matemática que envolvea integração de uma função de três variáveis, neste caso, a função (x � 2y � 3z), sobre um intervalo específico para cada variável. Ao resolver a integral tripla, obtemos o valor de 40. Portanto, a alternativa correta é a letra B, que corresponde ao valor 40. 10 Marcar para revisão As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é . x + y + z = 2 ρ(x, y, z) = 2x 1. .1 3 .5 3 .2 3 .4 3 Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Desenhando os limites de integração: Onde Ao fixar , temos que vai variar: 0 ≤ x ≤ 2 x y Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta .Para um ponto determinado, a variável , varia: A massa é dada por: Logo, 0 ≤ y ≤ 2 − x xy y = 2 − x (x, y) z 0 ≤ z ≤ 2 − x − y m = 4 3