Equilíbrio de Corpos Rígidos

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ESTÁTICA
Beatriz Alice 
Weyne Kullmann
de Souza
 
Equilíbrio de corpo rígido: 
análise tridimensional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever o conceito de diagrama de corpo livre em três dimensões 
aplicado em corpos rígidos.
 � Esquematizar as equações de equilíbrio em três dimensões para 
corpos rígidos.
 � Aplicar as equações de equilíbrio para corpos rígidos em três dimen-
sões na resolução de problemas.
Introdução
O equilíbrio de corpos rígidos está diretamente relacionado às aplica-
ções práticas da Engenharia. Na maioria das situações cotidianas, todas 
as dimensões dos objetos influenciam em seu equilíbrio; por isso, eles 
precisam ser considerados como corpos rígidos.
Neste capítulo, você vai estudar as condições necessárias para que um 
corpo rígido esteja em equilíbrio estático em três dimensões. Vai aprender 
como representar as forças que atuam sobre ela, de maneira a facilitar 
sua análise, bem como, aplicar as equações de equilíbrio estático na 
resolução de problemas envolvendo situações reais, em três dimensões.
Reações de apoio em três dimensões
Nas obras de Engenharia, quando pensamos em equilíbrio estático em três 
dimensões, torna-se relevante considerar as reações de apoio, também, em três 
dimensões. Essas reações, características de cada suporte, surgem como mais 
uma força do sistema e acontecem em pontos de apoio entre duas estruturas, 
sujeitas à ação de forças externas. Em geral, podemos considerar que as reações 
de apoio se comportam da seguinte maneira:
 � Quando o movimento de translação em uma direção específica é im-
pedido, a reação constitui uma força nessa mesma direção.
 � Quando, além da translação, o movimento de rotação é impedido, a 
reação constitui um par força e momento de binário.
Para determinar o sentido da tendência de rotação representada pelo momento da 
força, você pode aplicar a regra da mão direita. Entretanto, é importante lembrar: 
 � Ao aplicar a regra, cada dedo seu representa um dos vetores, de forma que a sua unha 
representa a ponta do vetor, ou seja, indica o sentido positivo do vetor representado;
 � Os eixos devem ser perpendiculares entre si, obedecendo a uma das seguintes 
disposições: (i, j, k), (k, i, j) ou (i, k, j). Você não pode inverter o sentido de apenas 
um deles. Mesmo porque sua mão não conseguiria fazer isso!
Conforme o tipo de conexão, a restrição do movimento e as reações podem 
variar. Na Figura 1, você verá alguns, dentre os principais tipos de conexões, 
bem como a representação de suas reações. Conhecê-las é fundamental para 
representar corretamente as forças reativas no diagrama de corpo livre em 
três dimensões:
Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional2
Figura 1. Conexões e suas Reações de Apoio em três dimensões.
Fonte: Adaptada de Beer e Johnston (2010, p. 29-30).
Esfera Superfície sem atrito
Força com linha
de ação conhecida
(uma incógnita)
Cabo
Força com linha
de ação conhecida
(uma incógnita)
F
Rolete sobre
superfície rugosa
Roda sobre trilho
Fy
Fz
Fz
Fy
Fx
Dois componentes de força
Superfície rugosa Rótula
Três componentes de força
Junta
universal
Três componentes de
força e um binário
Fy
Fz
Fx
Mx Mx
My
(My)
(Mz)
(Mz)
(My)
Mz Fz
Fz
Fz
Fy
Fx
Fy
Fy
Fx
Engaste Três componentes de
força e três binários
Dois componentes de
força (e dois binários)Dobradiça e mancal sustentando apenas carga radial
Pino e suporte
Dobradiça e mancal sustentando
empuxo axial e carga radial
Três componentes de
força (e dois binários)
3Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional
A representação das situações em três dimensões no diagrama de corpo 
livre é fundamental para a análise do equilíbrio estático, pois facilita a visua-
lização das forças e momentos de forças que atuam no sistema. Veja a seguir, 
na Figura 2, algumas situações e seus respectivos diagramas de corpo livre.
Figura 2. Sistemas em três dimensões e diagramas de corpo livre.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2011, p. 177).
A
B
C
45 N . m
500 N
(a)
(c)
(e) (f )
Az
Az
Az
Ax
Ay
MAz
MAx
Bx
Cx
Bz
Ay
Cy
z
45 N . m
x y
500 N
(b)
300 N
B
C
A
200 N . m
2000 N
z
z
x
x
y
y
(d)
300 N
B
B
CA
200 N . m
T
Ax
2000 N
Cx Cy
Cz
Bz
Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional4
Observando a Figura 2, podemos ver uma peculiaridade em relação às 
reações dos sistemas que foram representadas no diagram de corpo livre de 
cada um deles:
 � No sistema (a) temos mancais radiais corretamente alinhados em A, 
B e C. Em (b) temos representadas as reações desenvolvidas por eles. 
Observe que elas são suficientes para impedir que a barra gire em relação 
a qualquer um dos eixos cartesianos, ou seja, os mancais garantem o 
equilíbrio do sistema.
 � No sistema (c), temos um pino no ponto A e um cabo unindo os pontos 
B e C. As componentes de momento de força desenvolvidas pelo pino 
atuam sobre a barra, impedindo-a de girar em torno dos eixos x e z.
 � No sistema (e), temos um mancal corretamente alinhado no ponto A, uma 
dobradiça no ponto B e um rolete, no ponto C. O mancal e a dobradiça 
desenvolvem apenas reações de força para impedir a rotação em relação 
a cada eixo, nenhum momento de força é desenvolvido sobre a dobradiça. 
Isso acontece porque, para mancais, pinos simples e dobradiças simples, 
quando utilizados em conjunto com outros suportes de mesma natureza, 
se, ao serem instalados, forem corretamente alinhados, apenas as reações 
de força dão conta de garantir o equilíbrio do sistema, uma vez que “[...] 
os momentos de binário se tornam redundantes” (HIBBELER, 2011, 
p. 175) e não precisam ser representados no diagrama de corpo livre.
5Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional
Para analisar situações de equilíbrio de corpos rígidos em três dimensões, é importante 
lembrar: 
 � sempre representar o diagrama de corpo livre e fazê-lo de forma fidedigna à situação 
real a ser analisada;
 � a reação de um suporte que impede a translação do objeto é uma força sobre o 
corpo, nessa mesma direção;
 � se o movimento rotacional é impedido, então a reação constitui um conjunto força 
e momento de binário;
 � cada tipo de suporte possui uma reação característica;
 � forças internas não são representadas no diagrama de corpo livre;
 � a força peso é representada no centro de gravidade do corpo;
 � por serem vetores livres, os momentos de binário podem ser representados em 
qualquer ponto do diagrama;
 � por serem vetores deslizantes, as forças podem ser representadas em qualquer 
ponto de sua linha de ação.
Equações de equilíbrio em três dimensões 
para corpos rígidos
Em inúmeras situações analisadas pela Engenharia, não podemos restringir 
a ação de forças a um determinado plano, uma vez que elas atuam em três 
dimensões. Nem sempre poderemos simplificar a análise a uma situação 
de equilíbrio bidimensional. Por isso, vamos estudar agora as condições de 
equilíbrio em três dimensões. Assim, você poderá expandir suas habilidades 
de análise de situações reais.
Quando um corpo rígido está sob a ação se diversas forças, em três di-
mensões, das quais algumas geram momento de força e outras não, o sistema 
pode ser representado por uma força e um momento de binário resultante 
equivalente. Se a força resultante e o momento de binário resultante são iguais 
a zero, o corpo está em equilíbrio. Ou seja, para um corpo rígido, as condições 
de equilíbrio estático tridimensional, em relação a um ponto O qualquer, são:
FR = ∑F = 0 e (MR)O = ∑MO = 0
Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional6
Nessas condições, fica estabelecido que, para o equilíbrio, a soma de todas 
as forças que agem sobre o corpo resulta em zero e, a soma de todos os mo-
mentos das forças e dos momentos de binário também possuem resultado nulo.
Ao escrever as equações na forma cartesiana, podemos trabalhar com as 
condições de equilíbrio para cada componente em três dimensões. 
∑Fxi + ∑Fyj+ ∑Fzk = 0
∑Mxi + ∑Myj + ∑Mzk = 0
Assim, podemos pensar nas condições, como:
∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Fz = 0
∑Mx = 0, ∑My = 0 e ∑Mz = 0
Cabe lembrar que devem ser considerados todos os momentos das compo-
nentes de forças e os momentos de binário que atuam no sistema. Além disso, 
perceba que essas seis equações são suficientes para resolver as questões de 
equilíbrio em três dimensões que envolvam, no máximo, seis incógnitas. 
Restrições na determinação do equilíbrio estático 
de um corpo rígido em três dimensões
Além de satisfazer as equações descritas anteriormente, para que um corpo 
rígido esteja em equilíbrio tridimensional ele precisa estar devidamente vin-
culado, ou seja, deve haver o número certo de apoios fixando esse corpo. Caso 
contrário, a situação pode recair em uma das restrições a seguir:
 � Restrições redundantes: o sistema apresenta um número de apoios 
superior ao suficientemente necessário para ter seu equilíbrio garantido. 
Nesse caso, dizemos que o sistema é estaticamente indeterminado, 
pois apenas as seis equações de equilíbrio não são suficientes para 
determinar todas as incógnitas que surgem no sistema. As relações 
que vão permitir determinar todas as variáveis nessas situações estão 
relacionadas com as pequenas deformações que ocorrem nos apoios 
utilizados no sistema. “Essas equações envolvem as propriedades físicas 
do corpo, que são estudadas nas áreas que lidam com a mecânica da 
deformação, como a ‘mecânica dos materiais’” (HIBBELER, 2011, 
p. 179), que fogem do escopo deste capítulo.
7Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional
 � Restrições impróprias: a conformação do sistema não é adequada, 
mesmo tendo o número de apoios suficiente para garantir seu equilíbrio 
estático. Isso pode ocorrer de duas maneiras: quando as linhas de ação 
das reações interceptam um mesmo eixo ou quando estas são todas 
paralelas entre si.
Observe que, no diagrama de corpo livre da Figura 3, temos oito incógnitas: Ax , Ay , 
Bx , By , Bz , Mx , My e Mz, mas contamos apenas com seis equações de equilíbrio para 
resolução do sistema, o que o torna estaticamente indeterminado. A Figura 3 
representa uma restrição redundante.
Figura 3. Sistema estaticamente indeterminado.
Fonte: Adaptada de Equilíbrio... ([201-?]).
B
400 N
A
200 N
200 N
400 N
z
x y
Ay
Az
Mx MyMz
Bx
Bz
By
Observe que, no caso ilustrado na Figura 4, todas as linhas de ação das reações 
interceptam o eixo AB, o que caracteriza uma restrição imprópria. Isso ocorre porque 
todos os momentos das reações em relação à A e B são nulos, o que permite que a 
carga P faça o membro girar em relação ao eixo AB, pois ∑MAB ≠ 0.
Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional8
Figura 4. Sistema com restrição imprópria.
Fonte: Adaptada de Equilíbrio... ([201-?]).
z
z
x
x
y
y
A
A B
Az
AxAy
By
Bx
Bz
P
P
B
Por outro lado, no caso ilustrado na Figura 5 as reações de apoio são todas paralelas 
entre si, o que também caracteriza uma restrição imprópria, pois a soma das forças 
em relação ao eixo x não será nula.
Figura 5. Sistema com restrição imprópria.
Fonte: Adaptada de Equilíbrio... ([201-?]).
B
A
C
100 N
100 N
FA
FB
FC
x
z
y
Essas situações devem, sempre, ser evitadas na Engenharia, pois caracte-
rizam uma situação instável de equilíbrio estático.
9Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional
Aplicações das equações de equilíbrio em 
três dimensões para um corpo rígido
Uma das melhores maneiras de fixar os conteúdos aprendidos é através da 
resolução de exercícios. Por isso, foram selecionados alguns exemplos para 
análise. Neles, você terá a oportunidade de desenhar o diagrama de corpo livre 
e aplicar as equações de equilíbrio para corpos rígidos em três dimensões. 
Para lhe dar a oportunidade de praticar, sugiro que você leia o enunciado 
e tente resolver o exercício. Depois, você pode retornar e conferir o resultado. 
Vamos tentar!
1. O poste de uma linha de transmissão elétrica está sujeito a duas forças de 300 N 
do cabo, situadas em um plano paralelo ao plano x-y. Se a tração no fio tirante AB 
é 400 N, determine as componentes x, y, z da reação na base fixa O do poste e seus 
respectivos momentos (Figura 6).
Figura 6. Exemplo 1.
Fonte: Adaptada de Equilíbrio... ([201-?]).
1.2 m
3 m
0.3 m
300 N
400 N
300 N
45º
45º
z
A
y
O
B
0.9 m
x
Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional10
O diagrama de corpo livre para o sistema, pode ser representado da seguinte maneira 
(Figura 7):
Figura 7. Exemplo 1 – diagrama de corpo livre.
Fonte: Adaptada de Equilíbrio... ([201-?]).
z
300 N
45º
45º
1.2 m
0.9 m
0.3 m
300 N
400 N
3 m
yMy
0y
0z
0x
Mx
Mz
x
Aplicando as equações de equilíbrio para as componentes cartesianas das forças, 
teremos:
∑Fx = 0 : Ox + 300 sin45° – 300 sin45° = 0
Ox = 0
∑Fy = 0 : Oy + 300 cos45° + 300 cos45° = 0
Oy + 212,13 + 212,13 = 0
Oy = – 424,26 N
∑Fz = 0 : Oz – 400 = 0
Oz = 400 N
11Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional
Aplicando as condições de equilíbrio para os momentos das componentes das forças:
∑Mx = 0 : Mx + 400(0,9) – 300 cos45° (4,2) + 300 cos45° (4,2) = 0
Mx = 360 N.m
∑My = 0 : My + 300 sin45° (4,2) – 300 sin45° (4,2) = 0
My = 0
∑Mz = 0 : Mz + 300 sin45° (0,3) – 300 sin45° (0,3) = 0
Mz = 0
2. O molinete mostrado na Figura 8 é apoiado por um mancal de encosto em A e 
um mancal simples em B, que estão adequadamente alinhados no eixo. Determine a 
intensidade da força vertical P que deve ser aplicada ao cabo da manivela para manter 
em equilíbrio um balde de 100kg. Calcule também as reações nos mancais.
Figura 8. Exemplo 2.
Fonte: Adaptada de Finotti (2014).
A
B
P
0,1 m
0,3 m
0,5 m
0,1 m
0,3 m
0,3 m
100 kg
30º
O diagrama de corpo livre do sistema pode ser representado da seguinte maneira 
(Figura 9):
Figura 9. Exemplo 2 – diagrama de corpo livre.
Fonte: Adaptada de Finotti (2014).
0,1 m
0,5 m
0,3 m
0,4 m
0,3 cos 30°m
z
y
x
B
A
P
Ay
Ax
Az
By
Bz
981 N
30 °
Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional12
Aplicando as condições de equilíbrio para os momentos das componentes das forças, 
em relação ao ponto B, você pode determinar a intensidade da força P:
∑Mx = 0 : 981 . (0,1) – P (0,3) cos30° = 0
P = 377,59 N
∑My =0 : – 981 .(0,5) + Az (0,8) + (377,59)(0,4) = 0
Az = 424,33 N
∑Mz = 0 : – Ay (0,8) = 0
Ay = 0
Agora, aplicando as condições de equilíbrio para as forças:
∑Fx = 0 : Ax = 0
∑Fy = 0 : Ay + By = 0
By = 0
∑Fz = 0 : Az + Bz – 981 – P = 0
424,33 + Bz – 981 – 377,59 = 0
Bz = 934,26 N
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática: resumo e 
exercícios. 9. ed. São Paulo: Makron Books, 2010.
EQUILÍBRIO de um corpo rígido. [201-?]. Disponível em: <http://www.eletrica.ufpr.
br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%205%20Equil%C3%ADbrio%20de%20um%20
corpo%20r%C3%ADgido.pdf>. Acesso em: 09 abr. 2018.
FINOTTI, G. Mecânica geral I. 2014. Disponível em: <http://www.joinville.ifsc.edu.
br/~rubens.hesse/estatica_dinamica/Mecatronica/apostila1_gilson>. Acesso em: 
09 abr. 2018.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011.
VETORES de força. [201-?]. Disponível em: <http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/profes-
sor/49/TE224/Aula%202%20Vetores.pdf>. Acesso em: 09 abr. 2018.
Leitura recomendada
PALOMA. Mecânica para engenharia civil: aula 2. 2013. Disponível em: <https://
pt.slideshare.net/manufarinha/equilbrio-do-corpo-rgido-3-daula-2>. Acesso em: 
09 abr. 2018.
13Equilíbrio de corpo rígido: análise tridimensional
http://www.eletrica.ufpr/
http://www.joinville.ifsc.edu/
http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/profes-
http://pt.slideshare.net/manufarinha/equilbrio-do-corpo-rgido-3-daula-2
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.