Matematica avançada (47)

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**Resposta:** a) \( \ln(\frac{\pi}{4}) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{4} \) é \( -\ln|\cos(x)| \). 
Avaliando em \( \frac{\pi}{4} \) e \( 0 \), temos \( -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| - (-\ln|\cos(0)|) = -
\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{2}}) = \ln(\sqrt{2}) \). 
 
140. Se \( \log_5(y) = 3 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 5^3 \) 
 b) \( 5^9 \) 
 c) \( 5^6 \) 
 d) \( 5^2 \) 
 **Resposta:** a) \( 5^3 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 5^3 = y \), então \( y^3 = 5^{3 \cdot 3} = 
5^9 \). 
 
141. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin^3(x)} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Utilizando a identidade trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), 
podemos reescrever a expressão como \( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)} \). Ao substituir \( 
x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{2 \cdot 0 \cdot 1}{0^3} = \frac{0}{0} \), uma forma 
indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador 
em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} \frac{2(\cos^2(x) - \sin^2(x))}{3\sin^2(x)\cos(x)} 
\). Substituindo \( x = 0 \), obtemos \( \frac{2 \cdot (1 - 0)}{3 \cdot 0 \cdot 1} = \frac{2}{0} = 
+\infty \). 
 
142. Se \( f(x) = \ln(5x) \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) \( \ln(5) \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( 5 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** d) \( 1 \)