Cálculos Matemáticos

Prévia do material em texto

d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos^2(x) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é \( \frac{x}{2} + 
\frac{\sin(2x)}{4} \). Avaliando em \( \pi \) e \( 0 \), temos \( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2\pi)}{4} - 
(0 - 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \). 
 
162. Se \( \log_6(y) = 3 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 36 \) 
 b) \( 216 \) 
 c) \( 6^9 \) 
 d) \( 6^6 \) 
 **Resposta:** b) \( 216 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 6^3 = y \), então \( y^3 = 6^{3 \cdot 3} = 
6^9 = 216 \). 
 
163. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(6x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 6 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 6 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\tan(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{6\sec^2(6x)}{1} = \frac{6\sec^2(0)}{1} = 6 \). 
 
164. Se \( f(x) = \sqrt{3x} \), qual é o valor de \( f'(9) \)? 
 a) \( \frac{1}{\sqrt{27}} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \sqrt{3} \) 
 d) \( 3\sqrt{3} \) 
 **Resposta:** c) \( \sqrt{3} \)