Cálculos Matemáticos

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**Resposta: b) \(e^{\pi}\)** 
 **Explicação:** A integral de \( e^{x} \cos(x) \) de \(0\) a \( \pi \) pode ser resolvida 
usando integração por partes, resultando em \( e^{\pi} \). 
 
140. Qual é a derivada de \( y = \frac{\cos(x)}{x} \)? 
 a) \( -\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \) 
 b) \( -\frac{\sin(x)}{x} + \frac{\cos(x)}{x^2} \) 
 c) \( \frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \) 
 d) \( \frac{\sin(x)}{x} + \frac{\cos(x)}{x^2} \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \)** 
 **Explicação:** Utilizando a regra do quociente, a derivada de \( \frac{\cos(x)}{x} \) é \( -
\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 
141. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)? 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\infty\) 
 d) \(\frac{\infty}{\infty}\) 
 **Resposta: \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \cos(x) \), temos \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - 
\cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2 + O(x^4)}{x^2} = \frac{1}{2}\). 
 
142. Qual é a solução para a equação \( \log_{6}(x) = 5 \)? 
 a) \(x = 1296\) 
 b) \(x = 7776\) 
 c) \(x = 46656\) 
 d) \(x = 279936\) 
 **Resposta: a) \(x = 1296\)** 
 **Explicação:** Aplicando a definição de logaritmo, \( \log_{6}(x) = 5 \) implica \(x = 6^5 = 
7776\). 
 
143. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/6} e^{-x} \sin(x) \, dx \)?