Equações Diferenciais em Circuitos

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Marllon Gilberto Caetano Bispo 
Matrícula: 01441984 
Engenharia Civil 
 
 
Como mostra no “case”, equações diferenciais são usados para a resolução de 
problemas das mais diferentes situações. Na área elétrica, as equações 
diferenciais podem envolver aplicações em circuitos elétricos e, por sua vez, os 
componentes como resistência (R), indutores (L) e capacitores (C). No exemplo 
apresentado neste case, objetiva-se encontrar a equação da corrente elétrica 
do circuito RL para 0 ≤ t ≤ 1. Entretanto, deseja-se expandir o resultado para 
um intervalo de 0 a 4, objetivando uma visualização gráfica do comportamento 
da corrente para a tensão aplicada de forma binária, conforme o gráfico 
apresentado. Para se obter os resultados solicitados, é necessário que você 
produza um texto com as seguintes informações: 
 
1) A definição de função degrau; 
 
 Na matemática e estatística a função função degrau, foi desenvolvida pelo 
matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside, (nascido em 18 de maio 
de 1850, Londres – morreu em 3 de fevereiro de 1925, torquay devon, eng.) foi 
um físico que previu a existência da ionosfera, uma camada eletricamente 
condutora na atmosfera superior que reflete as ondas de radio. 
 Em 1870, tornou-se telégrafo, mas a surdez crescente obrigou-o a se 
aposentar em 1874. Ele então se dedicou a investigações sobre eletricidade. 
Em “electrical papers” (1892), ele tratou de aspectos teóricos de problemas 
em telegrafia e transmissão elétrica, fazendo uso de um método incomum de 
calculo denominado: cálculo operacional, hoje mais conhecido como método 
das transformadas de Laplace, para estudar correntes transitórias em redes. 
 Seu trabalho na teoria do telefone tornou pratico o serviço de longa 
distância. 
Na “Electromagnetic theory” (1893 – 1912), ele postulou que uma carga 
elétrica aumentaria em massa à medida que sua velocidade aumentasse, uma 
antecipação de um aspecto da teoria da relatividade especial de Einstein. 
 Quando a telegrafia sem fio se mostrou eficaz em longas distâncias, 
Heaviside teorizou que existia uma camada condutora de atmosfera que 
permite que as ondas de rádio sigam a curvatura da terra em vez de viajar para 
o espaço em linha reta. 
Sua previsão foi feita em 1902, pouco depois de Arthur E. Kennelly, 
trabalhando nos estados unidos, fazer uma previsão semelhante. Assim, a 
ionosfera foi conhecida como camada Kennelly-Heaviside por muitos anos. 
 A função Heaviside é uma função singular e descontinua com valor zero 
quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é 
positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos 
limites laterais da função (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em 
que a abscissa vale “a”. normalmente a função é usada como uma distribuição, 
mas costuma-se definir por: 
 
 
 
Sendo sgn a função sinal. 
 
A função Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma: 
 
 
 
 
A função de Heaviside admite diversas representações. Em especial, como 
limite de funções continuas. 
 
 Representação gráfica da função de Heaviside: 
 
 
 
 
 
 
Aproximações continuas para a função de Heaviside: a expressão (1) define 
U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de 
funções continuas adequadas e definir U(x) como um limite, por exemplo: 
 
 
 
Onde erfc(x) é a funçãoerro complementar = 1 – erf(x), si é a função seno 
integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular. 
 
Função retangular: a função retangular pode ser escrita como: 
 
 
Função pulso: 
 
 
 
Ela é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica da função de pulso: 
 
 
 
 
2) Cálculos desenvolvidos para a determinação da transformada de 
Laplace e da solução geral para i(t); 
 
 Seja f(t) uma função definida nos reais não negativos. Quando a 
integral: 
 
 
For convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da 
função f(t). 
 
A transformada de Laplace {f (t)} de uma função f(t) é uma função 
variável s. A notação usual neste contexto é letra minúscula para a função e 
letra maiúscula para a transformada: 
 {f (t)} = F (s), 
 { f(t)} = G (s), 
 { f(t)} = H (s). nos próximos exemplos, vamos aplicar a definição 
para calcular a transformadas de Laplace de algumas funções. 
 
Vamos calcular a transformada de Laplace da função f (t) = 1: 
 
Calculando a transformada de Laplace da função f (t) = t é calculada 
fazendo integração por partes: 
 
 
 
Onde a notação indica Observe que, se s > 0, 
a primeira parcela do lado direito do zero e a segunda é , isto é, 
 
 
 
 
 
 
onde usamos o resultado deste exemplo: 
 
para calcular a transformada de Laplace da função f (t) = t usamos a ideia 
introduzida no exemplo anterior e escrevemos -a em termos da transformada 
de t¹. observe primeiro a transformada de t² e t³ 
 
 
Agora já podemos intuir qual seria a expressão para a transformada de tn: 
 
Essa expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de 
indução matemática. 
 
 
 
 
3) Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4. 
 
 
 
 
 
REFERÊCIAS: 
 
 https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside 
 https://www.guiadaengenharia.com/perdacarga/ 
https://miltonborba.org/CDL/Impulso.htm#:~:text=Neste%20exemplo%20cada 
%20fun%C3%A7%C3%A3o%20f,um%20intervalo%20cada%20vez%20menor. 
https://www.youtube.com/watch?v=bEM7atrDXbU 
https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou-degrau-unitario/ 
SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene. (15 de maio de 2019). 
«A função de Heaviside». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 
Consultado em 20 de dezembro de 2019 Bracewell, R. - The Fourier Transform 
And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-
73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0- 0730-3938-1 SAUTER, Esequia; 
AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene (15 de maio de 2019). «A função Delta de 
Dirac». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de 
dezembro de 2019 Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104 SOUZA, Fellipe 
(6 de novembro de 2017). «Função Rampa e Delta de Dirac» (PDF). 
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia. Consultado em 20 de dezembro 
de 2019 Venetis (2014). «An Analytic Exact Form of the Unit Step Function» 
(PDF). Consultado em 26 de maio de 2019 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside