Cálculo de Volumes por Discos

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uame
Cálculo 2
Bruno Sérgio Vasconcelos de Araújo1
UFCG/CCT/UAMat
1
UAMat/CCT/UFCG.
uame
Aula de Remota
1. Método do disco
2. Método do anel
3. Método da casca cilíndrica
uame
2. R = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ a2}, a > 0; eixo = eixox .
uame
S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2
A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2)
−a ≤ x ≤ a
uame
S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2
A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2)
−a ≤ x ≤ a
uame
S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2
A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2)
−a ≤ x ≤ a
uame
S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2
A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2)
−a ≤ x ≤ a
uame
V =
∫ a
−a
π(a2 − x2)dx = πa2x − πx3
3
]a
−a
= π
[
a3 − a3
3
−
(
−a3 +
a3
3
)]
= π
[
2a3 − 2a3
3
]
=
4πa3
3
uame
V =
∫ a
−a
π(a2 − x2)dx = πa2x − πx3
3
]a
−a
= π
[
a3 − a3
3
−
(
−a3 +
a3
3
)]
= π
[
2a3 − 2a3
3
]
=
4πa3
3
uame
V =
∫ a
−a
π(a2 − x2)dx = πa2x − πx3
3
]a
−a
= π
[
a3 − a3
3
−
(
−a3 +
a3
3
)]
= π
[
2a3 − 2a3
3
]
=
4πa3
3
uame
3. R é a região limitada por y =
√
x e as retas y = 1 e x = 4;
eixo=reta y = 1.
S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y =
√
x − 1
A(x) = πy2 = π(
√
x − 1)2 = π(x − 2
√
x + 1)
1 ≤ x ≤ 4.
uame
3. R é a região limitada por y =
√
x e as retas y = 1 e x = 4;
eixo=reta y = 1.
S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y =
√
x − 1
A(x) = πy2 = π(
√
x − 1)2 = π(x − 2
√
x + 1)
1 ≤ x ≤ 4.
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3. R é a região limitada por y =
√
x e as retas y = 1 e x = 4;
eixo=reta y = 1.
S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y =
√
x − 1
A(x) = πy2 = π(
√
x − 1)2 = π(x − 2
√
x + 1)
1 ≤ x ≤ 4.
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3. R é a região limitada por y =
√
x e as retas y = 1 e x = 4;
eixo=reta y = 1.
S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y =
√
x − 1
A(x) = πy2 = π(
√
x − 1)2 = π(x − 2
√
x + 1)
1 ≤ x ≤ 4.
uame
V =
∫ 4
1
π(x − 2x1/2 + 1)dx = π
[
x2
2
− 4
3
x3/2 + x
]4
1
=
7π
6
uame
V =
∫ 4
1
π(x − 2x1/2 + 1)dx = π
[
x2
2
− 4
3
x3/2 + x
]4
1
=
7π
6
uame
4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2
y , 1 ≤ y ≤ 4
eixo=eixo y .
S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y
A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4
uame
4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2
y , 1 ≤ y ≤ 4
eixo=eixo y .
S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y
A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4
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4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2
y , 1 ≤ y ≤ 4
eixo=eixo y .
S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y
A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4
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4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2
y , 1 ≤ y ≤ 4
eixo=eixo y .
S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y
A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4
uame
V =
∫ 4
1
π4y−2dy = −4πy−1|41 = 3π
uame
5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3.
eixo=reta x = 3.
S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2.
A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4)
−
√
2 ≤ y ≤
√
2
uame
5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3.
eixo=reta x = 3.
S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2.
A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4)
−
√
2 ≤ y ≤
√
2
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5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3.
eixo=reta x = 3.
S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2.
A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4)
−
√
2 ≤ y ≤
√
2
uame
5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3.
eixo=reta x = 3.
S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2.
A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4)
−
√
2 ≤ y ≤
√
2
uame
V =
∫ √
2
−
√
2
π(4 − 4y2 + y4)dy =
64
√
2
15
uame
Método do Anel
As seções transversais ortogonais ao eixo são anéis
Área do anel = π . (R2
externo − R2
interno)
uame
Método do Anel
As seções transversais ortogonais ao eixo são anéis
Área do anel = π . (R2
externo − R2
interno)
uame
Método do Anel
As seções transversais ortogonais ao eixo são anéis
Área do anel = π . (R2
externo − R2
interno)
uame
6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x + 3
eixo=eixo x
S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo
R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1
A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8)
−2 ≤ x ≤ 1
uame
6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x + 3
eixo=eixo x
S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo
R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1
A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8)
−2 ≤ x ≤ 1
uame
6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x + 3
eixo=eixo x
S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo
R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1
A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8)
−2 ≤ x ≤ 1
uame
6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x + 3
eixo=eixo x
S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo
R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1
A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8)
−2 ≤ x ≤ 1
uame
V =
∫ 1
−2
π(8 − 6x − x2 − x4)dx =
117π
5
uame
7. R é a região entre a parábola y = x2 e a reta y = 2x no 1º
quadrante; eixo=eixo y
S(y) é o anel centrado em (0, y) com raio externo R = x =
√
y
e raio interno r = x = y/2;
A(y) = π(
√
y2 − (y/2)2) = π(y − y2/4) 0 ≤ y ≤ 4
uame
V =
∫ 4
0
π(y − y2/4)dy =
8π
3
uame
Método da Casca Cilíndrica
O método da casca cilíndrica consiste em fatiar sólidos de
revolução com cilindros em vez de seções transversais. Os
cilindros são tomados com eixo igual ao eixo de rotação do
sólido e com raios R e alturas h variáveis de modo a preencher
o sólido.
uame
Caso 1. Seja y = f (x) uma função contínua e não-negativa
definida em [a,b]. Suponha que a região entre o gráfico de f e
o eixo x gira em torno da reta x = L, onde L ≤ a, gerando um
sólido de revolução S.
Neste caso vale a fórmula
V =
∫ b
a
2πR(x)h(x)dx .
uame
Caso 1. Seja y = f (x) uma função contínua e não-negativa
definida em [a,b]. Suponha que a região entre o gráfico de f e
o eixo x gira em torno da reta x = L, onde L ≤ a, gerando um
sólido de revolução S.
Neste caso vale a fórmula
V =
∫ b
a
2πR(x)h(x)dx .
uame
7. R é a região do 1º quadrante limitada entre a parábola
y = 3x − x2 eo eixo x . eixo= reta x = −1.
uame
0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2
V =
∫ 3
0
2πR(x)h(x)dx = 2π
∫ 3
0
(1 + x)(3x − x2)dx
= 2π
∫ 3
0
(3x + 2x2 − x3)dx =
45π
2
.
uame
0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2
V =
∫ 3
0
2πR(x)h(x)dx = 2π
∫ 3
0
(1 + x)(3x − x2)dx
= 2π
∫ 3
0
(3x + 2x2 − x3)dx =
45π
2
.
uame
0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2
V =
∫ 3
0
2πR(x)h(x)dx = 2π
∫ 3
0
(1 + x)(3x − x2)dx
= 2π
∫ 3
0
(3x + 2x2 − x3)dx =
45π
2
.
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0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2
V =
∫ 3
0
2πR(x)h(x)dx = 2π
∫ 3
0
(1 + x)(3x − x2)dx
= 2π
∫ 3
0
(3x + 2x2 − x3)dx =
45π
2
.
uame
0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2
V =
∫ 3
0
2πR(x)h(x)dx = 2π
∫ 3
0
(1 + x)(3x − x2)dx
= 2π
∫ 3
0
(3x + 2x2 − x3)dx =
45π
2
.
uame
8. R é a região limitada pela curva y =
√
x , pelo eixo x e pela
reta x = 4. eixo=eixo y
0 ≤ x ≤ 4; R(x) = x ; h(x) =
√
x
V =
∫ 4
0
2πx
√
xdx = 2π
∫ 4
0
x3/2dx =
128π
5
uame
8. R é a região limitada pela curva y =
√
x , pelo eixo x e pela
reta x = 4. eixo=eixo y
0 ≤ x ≤ 4; R(x) = x ; h(x) =
√
x
V =
∫ 4
0
2πx
√
xdx = 2π
∫ 4
0
x3/2dx =
128π
5
uame
8. R é a região limitada pela curva y =
√
x , pelo eixo x e pela
reta x = 4. eixo=eixo y
0 ≤ x ≤ 4; R(x) = x ; h(x) =
√
x
V =
∫ 4
0
2πx
√
xdx = 2π
∫ 4
0
x3/2dx =
128π
5
uame
Caso 2. Similar ao caso 1, más considerando um eixo de
rotação horizontal y = L. A fórmula é similar:
V =
∫ b
a
2πR(y)h(y)dy .
uame
9. R mesma região do exemplo anterior; eixo=eixo x
0 ≤ y ≤ 2 R(y) = y h(y) = 4 − y2
V =
∫ 2
0
2πy(4 − y2)dy = 8π
uame
9. R mesmaregião do exemplo anterior; eixo=eixo x
0 ≤ y ≤ 2 R(y) = y h(y) = 4 − y2
V =
∫ 2
0
2πy(4 − y2)dy = 8π