T2 Geometria Letícia Miquelin

Prévia do material em texto

Segundo Trabalho de Geometria Pana – T2
Prof. Henrique
De acordo com o texto “O fazer matemático”, como foi possível concluir que o quinto postulado de Euclides não era demonstrável a partir dos outros postulados anteriores?
Segundo o texto “axiomas eram afirmações tais que todos os seres pensantes deveriam admitir como verdadeiras (...); enquanto postulados eram verdades particulares da geometria (...)”. Euclides procurou escolher como postulados afirmações que seriam aceitas por quaisquer pessoas, e que tais afirmações eram evidentes. Os primeiros quatro postulados de Euclides foram de fácil entendimento, no entanto o quinto foi alvo de críticas por matemáticos da época por ter um enunciado relativamente complicado e não tão evidente. Como Euclides tardou em utilizar tal postulado, levantou-se suspeita de que na verdade era uma proposição demonstrável a partir dos demais axiomas, mas que ele não conseguira demonstrar. Foram feitas inúmeras tentativas para demonstrar o postulado a partir dos demais. Dentre os famosos que tentaram, o texto fala de Lambert, Bertrand e Gauss. 
Saccheri concluiu que o postulado de Euclides era verdadeiro, ao fazer uma redução ao absurdo, mas na sua demonstração introduz inconscientemente um postulado, quando rejeita as duas hipóteses por inconcebíveis (pág. 67).
A conclusão de que o quinto postulado não era demonstrável a partir dos outros quatro só foi obtida na primeira metade do século XIX com Gauss, Lobatchewski e Bolyai. Isso ocorreu com a descoberta das chamadas geometrias não-euclidianas em que o quinto postulado de Euclides é substituído por outra afirmação que lhe é contraditória. O quinto postulado foi substituído pelo seguinte: “por um ponto P fora de uma reta podemos traçar mais de uma reta do plano que não encontra”. Com este novo postulado, Lobatchewski deduziu uma geometria sem contradições lógicas inerentes, mas tão contrária ao senso comum que ele mesmo a chamou de “geometria imaginária”.
Bolyai obteve a mesma conclusão que Lobatchewski “por um ponto fora de uma reta podem ser traçadas infinitas retas do plano, não uma só, cada uma delas paralela à reta dada”.
Riemann apresentou uma visão mais global, num sentido mais geral do que as de Lobatchewski e Bolyai, onde a questão é simplesmente de quantas paralelas a uma reta são possíveis serem traçadas por um ponto dado fora da mesma.
Beltrami tem o crédito de ter produzido a primeira demonstração da consistência das geometrias não-euclidianas, em seu modelo a geometria podia ser representada sobre uma superfície no espaço euclidiano de três dimensões e tal que os postulados da geometria euclidiana fossem válidos. Como consequência, qualquer inconsistência que pudesse existir nas geometrias não-euclidianas seria também uma inconsistência na geometria euclidiana.
Foi analisado e identificado insuficiência o sistema de postulados de Euclides, pois apelam fortemente à intuição e escondem alguns postulados admitidos intrinsicamente. Uma importante consequência do surgimento das geometrias não-euclidianas é a sua influência na concepção matemática do século XX. A existência de tais geometrias mostrou a necessidade de se raciocinar usualmente com rigor e manter a intuição sobre controle. “Nem sempre o que parece é”.
Caracterize as geometrias não-Euclidianas (ou não planas) abaixo:
Geometria hiperbólica ou de Lobatchewski-Bolyai;
Curvatura negativa;
A soma dos ângulos internos de um triângulo traçado nessa superfície é menor que 180 graus;
Através de um ponto dado podemos traçar mais de uma paralela a uma linha reta;
A circunferência de um círculo é maior do que π vezes o seu diâmetro.
Geometria esférica ou de Riemann (às vezes denominada de geometria elíptica).
Curvatura positiva;
A soma dos ângulos internos de um triângulo traçado nessa superfície é maior que 180 graus;
Seu volume é finito;
Através de um ponto dado não podemos traçar nenhuma paralela a um ponto dado;
A circunferência de um círculo é menor do que π vezes o seu diâmetro.
A charada do urso foi introduzida na literatura para responder à seguinte questão: Por que precisamos de geometrias não-euclidianas? Apresente uma nova situação-problema em que uma geometria plana não seria apropriada para o raciocínio ou modelagem do problema proposto.
Apesar de estarmos acostumados com os planos bidimensionais, não podemos privar nossas ideias nesse único caso. No mundo real não podemos apenas utilizar a geometria plana, pois vivemos em meio ao espaço, onde a teoria já não cabe. Alguns conceitos utilizados na geometria Euclidiana fogem à realidade vivenciada. A charada do urso evidencia exatamente este fato. 
Situação-problema: Uma pessoa sai de sua casa em direção ao trabalho. Chamando a casa de P e o trabalho de Q. Qual a menor distância entre a casa e o trabalho, sabendo que cada quarteirão tem 100 m?
A primeira intuição que temos é achar a diagonal do retângulo formado, mas dificilmente a pessoa caminha em linha reta para chegar até o trabalho. Na vida real temos curvas, casas que nos impedem de passar e logo, nesse caso, a geometria euclidiana não é a mais recomendável. Pois, usando a geometria euclidiana não encontraremos o resultado real. A geometria euclidiana diz que dados dois pontos existe apenas uma linha que os contém. Mas sabemos que isso não acontece no mundo tridimensional, pois podemos escolher vários caminhos para se chegar ao mesmo lugar. No exemplo acima, podemos escolher diferentes caminhos, que na geometria euclidiana seria absurdo.