14. Integrais de Superfícies de Campos Vetoriais Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
Integrais de Superfícies de Campos Vetoriais 
 
 Suponha 𝑆 uma superfície orientada com vetor normal unitário �⃗� através da qual passa 
um fluido de densidade 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) com campo 
velocidade dado por 𝑣 . O produto 𝜌𝑣 fornece a vazão 
(massa por unidade de tempo) do fluido por unidade de 
área. Já sabemos que ao dividirmos 𝑆 em pequenos 
retalhos 𝑆𝑖𝑗 , cada um deles pode ser aproximado por 
uma região plana. Note que se denotarmos por 𝐹 o 
produto 𝜌𝑣 , a componente deste campo na direção do 
vetor normal �⃗� é 𝜌𝑣 ∙ �⃗� . Como 
𝜌 =
𝑚
𝐴
⇔ 𝑚 = 𝜌𝐴, 
onde 𝑚 é a massa e 𝐴 é a área da região, podemos intuir que uma aproximação para a massa do 
fluido que passa por 𝑆𝑖𝑗 na direção do vetor normal por unidade de tempo é 
(𝜌𝑣 ∙ �⃗� )𝐴(𝑆𝑖𝑗). 
Tomando o somatório deste produto e em seguida o limite, obtemos 
∬𝜌𝑣 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆 = ∬𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ �⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
. 
Ela representa a vazão do fluido através de 𝑆. Observe que podemos ainda escrever a integral 
acima como 
∬𝐹 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆. 
Este tipo de integral aparece em diversas situações. Outra que podemos citar é no estudo 
de fluxo de calor. Dado que a temperatura em um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) de um corpo é 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 
definimos o campo vetorial fluxo de calor como 
𝐹 = −𝐾∇𝑢, 
onde 𝐾 é uma constante chamada condutividade do material. Se tivermos interessados na taxa 
de transmissão de calor através de uma superfície 𝑆 devemos calcular 
∬𝐹 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆 = −∬𝐾∇𝑢 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆 = −𝐾 ∬∇𝑢 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆. 
Figura 1 
Definição: Se 𝐹 for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada 𝑆 com 
vetor normal unitário �⃗� , então a integral de superfície de 𝐹 em 𝑆 é 
∬𝐹 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
∬𝐹 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆. 
Essa integral é também chamada fluxo de 𝐹 através de 𝑆. 
 
 Considere que 𝑟 (𝑢, 𝑣) é a função vetorial da superfície orientada 𝑆. Então, um vetor 
normal a 𝑆 é 
𝑛1⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣 . 
Podemos considerar como vetor normal unitário, o vetor 
�⃗� =
𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣
‖𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣‖
. 
Dessa forma, se 𝐷 é o domínio dos parâmetros, encontramos que 
∬𝐹 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
∬𝐹 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆 = ∬𝐹 ∙
𝑆
𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣
‖𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣‖
𝑑𝑆 = ∬[𝐹 ∙
𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣
‖𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣‖
] ‖𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣‖
𝐷
𝑑𝐴. 
De maneira resumida, 
∬𝐹 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
∬𝐹 ∙ (𝑟 𝑢 × 𝑟 𝑣)
𝐷
𝑑𝐴. 
 
Exemplo 1: Seja 𝑢 a temperatura em uma bola metálica 𝐵. Consideraremos que o centro da 
bola está na origem do sistema tridimensional e que seu raio é 𝑟. Suponha que a temperatura em 
um ponto 𝑃 da bola é proporcional ao quadrado da distância ao centro. Matematicamente, 
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
2
= 𝛼(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2). 
Para determinarmos a taxa de transmissão de calor através de uma esfera concêntrica à 𝐵 e de 
raio 𝑎 < 𝑟, devemos utilizar a integral de superfície do campo vetorial 
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝐾∇𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝐾〈2𝛼𝑥, 2𝛼𝑦, 2𝛼𝑧〉 = −2𝛼𝐾〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉. 
Se 𝑆 é tal esfera, um vetor normal a ela e que aponta para fora é um múltiplo do vetor posição 
�⃗� =
1
𝑎
〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉. 
Segue que 
𝐹 ∙ �⃗� = −2𝛼𝐾〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 ∙
1
𝑎
〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = −
2𝛼𝐾
𝑎
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2). 
Uma vez que sobre 𝑆 ocorre 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, temos 
∬𝐹 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
∬𝐹 ∙ �⃗� 
𝑆
𝑑𝑆 = ∬[−
2𝛼𝐾
𝑎
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)]
𝑆
𝑑𝑆 = ∬[−
2𝛼𝐾
𝑎
𝑎2]
𝑆
𝑑𝑆 
= −2𝛼𝐾𝑎∬𝑑𝑆
𝑆
= −2𝛼𝐾𝑎𝐴(𝑆) = −2𝛼𝐾𝑎(4𝜋𝑎2) = −8𝜋𝑎3𝛼𝐾. 
∎ 
 
 Se a superfície 𝑆 representa o gráfico de uma função 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) então uma função 
vetorial para ela é 
𝑟 (𝑢, 𝑣) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑔(𝑥, 𝑦)�⃗� . 
Como já vimos no estudo das superfícies orientadas, um de seus vetores normais para cima é 
𝑟 𝑥 × 𝑟 𝑦 = −𝑔𝑥(𝑥, 𝑦)𝑖 − 𝑔𝑦(𝑥, 𝑦)𝑗 + 𝑘.⃗⃗⃗ 
Disto, sendo 𝐹 o campo vetorial 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅�⃗� , 
𝐹 ∙ �⃗� = (𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅�⃗� ) ∙ (−𝑔𝑥(𝑥, 𝑦)𝑖 − 𝑔𝑦(𝑥, 𝑦)𝑗 + �⃗� ) = −𝑃
𝜕𝑔
𝜕𝑥
− 𝑄
𝜕𝑔
𝜕𝑦
+ 𝑅 
e 
∬𝐹 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
∬(−𝑃
𝜕𝑔
𝜕𝑥
− 𝑄
𝜕𝑔
𝜕𝑦
+ 𝑅) 𝑑𝐴.
𝐷
 
 Para termos a superfície com vetores normais com sentido para baixo basta multiplicarmos a 
integral acima por −1. 
 
Exemplo 2: Vamos calcular a integral de superfície 
∬〈𝑥𝑦, 𝑦𝑧, 𝑧𝑥〉𝑑𝑆 ,
𝑆
 
onde 𝑆 é a parte do paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 acima do quadrado 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 
com orientação para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Usando o que vimos anteriormente com 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2, 𝑃 = 𝑥𝑦, 𝑄 = 𝑦𝑧 e 
𝑅 = 𝑧𝑥, 
∬〈𝑥𝑦, 𝑦𝑧, 𝑧𝑥〉𝑑𝑆 =
𝑆
∫∫(−𝑥𝑦(−2𝑥) − 𝑦𝑧(−2𝑦) + 𝑧𝑥)𝑑𝐴 
1
0
1
0
 
= ∫∫[2𝑥2𝑦 + (2𝑦2 + 𝑥)𝑧]𝑑𝑥𝑑𝑦 
1
0
1
0
 
 = ∫∫[2𝑥2𝑦 + (2𝑦2 + 𝑥)(4 − 𝑥2 − 𝑦2)]𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
1
0
 
 = ∫∫(2𝑥2𝑦 + 8𝑦2 − 2𝑥2𝑦2 − 2𝑦4 + 4𝑥 − 𝑥3 − 𝑥𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
1
0
 
 = ∫ (
2
3
𝑥3𝑦 + 8𝑥𝑦2 −
2
3
𝑥3𝑦2 − 2𝑥𝑦4 + 2𝑥2 −
1
4
𝑥4 −
1
2
𝑥2𝑦2)
0
1
1
0
𝑑𝑦 
= ∫(
2
3
𝑦 +
41
6
𝑦2 − 2𝑦4 +
7
4
)𝑑𝑦
1
0
 
= (
1
3
𝑦2 +
41
18
𝑦3 −
2
5
𝑦5 +
7
4
𝑦)
0
1
=
713
180
 
∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Texto baseado em 
 STEWART, J., Cálculo, V.2. Ed. Thomson Pioneira, 2010. 
 Figura 1 retirada do livro acima.