202061_21552_Circuitos+Elétricos+II_Superposição

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Circuitos Elétricos II
Teoremas da Análise de Circuitos CA: Superposição
Teorema da Superposição
• Elimina a necessidade de resolver um sistema de equações lineares simultâneas
ao resolver separadamente os efeitos de cada fonte;
• Considerar a contribuição de cada fonte individualmente, removendo as demais;
• Fonte de tensão removida ⇒ Curto-circuito;
• Fonte de corrente removida ⇒ circuito aberto;
• A tensão ou a corrente em uma parte do circuito corresponde à soma algébrica
das contribuições individuais de cada fonte;
• O teorema da superposição não é aplicável ao cálculo da potência em circuitos
CA (cálculo não-linear);
• Pode ser aplicado na análise de circuitos com fontes CC e CA simultâneas.
Teorema da Superposição
• Exemplo: Dado o circuito abaixo, determinar a corrente 𝐼 que atravessa o indutor
de reatância 𝑋𝐿2:
Teorema da Superposição
• Considerando 𝑍1 = 𝑗𝑋𝐿1 = 𝑗4Ω, 𝑍2 = 𝑗𝑋𝐿2 = 𝑗4Ω e 𝑍3 = −𝑗𝑋𝐶 = −𝑗3Ω, temos
o seguinte circuito redesenhado em diagrama de blocos:
Teorema da Superposição
• Considerando somente a fonte 𝐸1:
𝑍′𝑇 = 𝑍1 + (𝑍2∥ 𝑍3) = 4𝑗 + (4𝑗 ∥ −3𝑗) = 4𝑗 +
4𝑗)(−3𝑗
4𝑗 + −3𝑗
= 4𝑗 +
−12𝑗2
𝑗
𝑍′𝑇 = 4𝑗 − 12𝑗 = −8𝑗Ω ⇒ 𝐼𝑆1 =
𝐸1
𝑍′𝑇
=
10∠0°
8∠ − 90°
= 1,25𝐴∠90°
Teorema da Superposição
• Aplicando divisor de corrente é possível calcular a corrente 𝐼′ (contribuição
isolada da fonte 𝐸1 para a corrente 𝐼):
𝐼′ = 𝐼𝑆1
𝑍3
𝑍2 + 𝑍3
= (1,25∠90°)
3∠ − 90°
4∠90° + 3∠ − 90°
𝐼′ =
3,75∠0°
1∠90°
⇒ 𝐼′ = 3,75𝐴∠ − 90°
Teorema da Superposição
• Considerando somente a fonte 𝐸2:
𝑍′′𝑇 = 𝑍3 + (𝑍1∥ 𝑍2) = −3𝑗 + (4𝑗 ∥ 4𝑗) = −3𝑗 + 2𝑗 = −1𝑗Ω
𝐼𝑆2 =
𝐸2
𝑍′′𝑇
=
5∠0°
1∠−90°
= 5𝐴∠90°, como 𝑍1 = 𝑍2 ⇒ 𝐼
′′ =
𝐼𝑆2
2
⇒ 𝐼′′ = 2,5𝐴∠90°
Teorema da Superposição
• A corrente 𝐼 é o resultado da soma algébrica das correntes 𝐼′ e 𝐼′′ (levar em
consideração o sentido das correntes):
𝐼 = 𝐼′ − 𝐼′′ = 3,75∠ − 90° − 2,5∠90° = −3,75𝑗 − 2,5𝑗 = −6,25𝑗
𝐼 = 6,25𝐴∠ − 90°
Teorema da Superposição
• Exemplo 2: Determinar a corrente 𝐼 no resistor de 6Ω do seguinte circuito:
Teorema da Superposição
• Seja 𝑍1 = 6𝑗Ω e 𝑍2 = 6 − 8𝑗Ω. Considerando apenas o efeito da fonte de
corrente:
𝐼′ = 𝐼1
𝑍1
𝑍1 + 𝑍2
= 2
6𝑗
6𝑗 + 6 − 8𝑗
=
12𝑗
6 − 2𝑗
=
12∠90°
6,32∠ − 18,43°
𝐼′ = 1,9𝐴∠108,43°
Teorema da Superposição
• Considerando apenas o efeito da fonte de tensão:
𝐼" =
𝐸1
𝑍1 + 𝑍2
=
20∠30°
6𝑗 + 6 − 8𝑗
=
20∠30°
6,32∠ − 18,43°
= 3,16𝐴∠48,43°
𝐼 = 𝐼′ + 𝐼" = 1,9𝐴∠108,43° + 3,16𝐴∠48,43° = (−0,6 + 1,8𝑗) + (2,1 + 2,36𝑗)
𝐼 = 1,5 + 4,16𝑗 = 4,42𝐴∠70,2°
Teorema da Superposição
• Exemplo 3: Usar o teorema da superposição para determinar a expressão
senoidal para a tensão 𝑣3 no seguinte circuito:
Teorema da Superposição
• Obs.: no caso da fonte CC, em estado estacionário, o capacitor é equivalente a um
circuito aberto enquanto o indutor equivale a um curto-circuito. Considerando
então apenas a fonte CC:
Teorema da Superposição
𝑍𝑅1 ∥ 𝑍𝑅3 =
0,5 3
0,5 + 3
= 0,429𝑘Ω
Pela regra do divisor de tensão:
𝑉3 = 𝐸1
(𝑍𝑅1∥ 𝑍𝑅3)
𝑍𝑅2 + (𝑍𝑅1∥ 𝑍𝑅3)
= 12
429
429 + 1000
=
5,148
1,429
⇒ 𝑉3 = 3,6𝑉 (𝐶𝐶)
Teorema da Superposição
• Considerando apenas a fonte CA, temos o seguinte circuito redesenhado:
Teorema da Superposição
• Seja:
𝑍1 = 0,5𝐾Ω∠0°
𝑍2 = (𝑍𝑅2∥ 𝑍𝐶) =
1(−10𝑗)
1+(−10𝑗)
=
10∠0°
10,05∠−84,29°
= 0,995𝐾Ω∠ − 5,71°
𝑍3 = (𝑍𝑅3+𝑍𝐿) = 3 + 2𝑗 = 3,61𝐾Ω∠33,69°
𝑍𝑇 = 𝑍1+(𝑍2 ∥ 𝑍3) = 1,312𝐾Ω∠1,57°
𝐼𝑆 =
𝐸2
𝑍𝑇
=
4∠0°
1,312𝐾Ω∠1,57°
= 3,05𝑚𝐴∠ − 1,57°
Teorema da Superposição
𝐼3 = 𝐼𝑆
𝑍2
𝑍2 + 𝑍3
= 0,686𝑚𝐴∠ − 32,74°
𝑉3 = 𝐼3𝑍𝑅3 = 2,06𝑉∠ − 32,74° (𝐶𝐴)
A solução final é a soma algébrica:
𝑣3 = 𝑉3 𝐶𝐶 + 𝑉3 𝐶𝐴 = 3,6 + 2,06∠ − 32,74°
𝑣3 = 3,6 + 2,91𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 32,74°)