Exercícios complementares matrizes

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – ÁREA DE EXATAS E ENGENHARIAS 
ÁLGEBRA LINEAR – PROFª. MONICA SCOTTI 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 6 
 
 
E.01) Sejam as matrizes 
3 1 3 1 0 2 4 5
1 2 3
4 1 5 ; ; = 2 1 e 0 1 4
2 1 4
2 1 3 3 2 3 2 1
      
      
        
           
A B C D . 
Determine: 
a) D – CB b) det(A – 2I3) c) 2Ct + BD d) (CB)-1 
 
 
 
E.02) a) Encontre a inversa da matriz A, definida na questão anterior. 
b) Resolva a equação AX = B onde 𝐁 = [
2
−6
−4
], pelo método da inversão. 
 
 
E.03) Sejam as matrizes 
3 1 2 3 6 4
; e 
5 2 4 4 2 1
     
       
      
A B C . Encontre, se existir, uma matriz X que 
satisfaz a equação 
t AX B BC . 
 
 
E.04) Resolva e classifique os seguintes sistemas lineares, utilizando o método da Eliminação de Gauss: 
 
a) 
2 5 3
2 5 9 3
2 3 11
3 2 7 5
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
   

    

    
     
 b) 
2 3
3 2 2
5 7 13
7
x y z
x y z
x y z
x y z
  

   

  
   
 c) 
 
 
 
E.05) A matriz 
1 2 3 2
1 1 7 7
2 1 15 15
b c 
 
 
  
 é a matriz completa associada a um sistema linear. Determine os valores de b e 
c para os quais o sistema: 
 
a) não possui solução. b) possui uma única solução. c) possui uma infinidade de soluções. 
 
 
E.06) Para ilustrar algumas propriedades das matrizes inversíveis, considere 
6 5
4 3
 
  
 
A e 
1 2
3 4
 
  
 
B : 
a) Encontre 
1
A e 
1
B . 
b) Calcule  
1
t

A
 
e confirme que    
1
1
t
t

A A . 
c) Calcule  
1
AB e confirme que  
1 1 1  AB B A . 
 
 
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 2 1
3 4 3 2 1
2 3 4 3 1
2 3 4 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
   

   

    
     
MAT0327 – Álgebra Linear – 2017 
 
E.07) Em cada item, encontre o determinante da matriz dada e calcule sua inversa, se possível: 
a) 
1 1 0
1 0 1
0 1 1
 
 
 
  
 b) 
0 0
1 0
0 1
a
a
a
 
 
 
  
 c) 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a b c d
 
 
 
 
 
 
 d) 
0 1 1 0
2 1 0 2
1 1 3 0
0 1 1 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E.08) Seja a matriz escalonada 
1 0 1 2 3 0
0 1 0 2 3 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 2 4
 
 
 
 
 
 
 
A . 
a) Obtenha a forma escalonada reduzida, indicando as colunas pivôs. 
b) Escreva o vetor solução do sistema Ax = b onde b é um vetor com termos nulos. 
 
 
 
Modelos Lineares – alguns exemplos 
 
Exemplo) Uma rede (transporte, comunicação, ...) consiste em um 
número finito de nós (junções ou vértices) conectados por uma série de 
segmentos dirigidos, conhecidos como ramos ou arcos. Cada ramo é 
rotulado com um fluxo que representa a quantidade que pode fluir ao 
longo ou através daquele ramo, na direção indicada. A regra 
fundamental que governa o fluxo através da rede é a conservação de 
fluxo: “Em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída”. 
Descreva os possíveis fluxos através da rede de encanamento de água 
mostrada na figura ao lado, onde o fluxo é medido em litros por 
minuto. 
 
 
 
 
E.09) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário 
conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para 
C, passando por B, percorrerá 450 km. Caso a pessoa se desloque de A para B, 
passando por C, o percurso será de 600 km. Para se deslocar de B para C, 
passando por A, a pessoa vai percorrer 800 km. Determine quantos quilômetros 
esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C. 
 
 
 
E.10) A figura mostra uma rede de canais de irrigação com fluxo medido em milhares de litros 
por dia: 
 
 
a) Monte e resolva um sistema de equações lineares para 
encontrar os fluxos possíveis. 
 
b) Suponha que o canal DC esteja fechado. Qual intensidade de 
fluxo será necessário manter através de DB? 
 
 
 
 
 
 
MAT0327 – Álgebra Linear – 2017 
 
E.11) O coração do centro de certa cidade consiste em ruas de 
mão única; o fluxo de tráfego é medido em cada cruzamento. 
Para os quarteirões mostrados na figura abaixo, os números 
representam o número médio de veículos por minuto entrando e 
saindo dos cruzamentos A, B, C e D durante o horário comercial. 
a) Monte e resolva um sistema de equações lineares para 
encontrar os possíveis fluxos. 
b) Se o tráfego em CD for regulado de modo que f4 = 10 
veículos por minuto, qual será o fluxo médio nas outras 
ruas? 
c) Quais são os fluxos mínimo e máximo possíveis em cada 
rua? 
 
 
 
 
E.12) Sistema massa-mola idealizados tem numerosas aplicações em toda 
engenharia. A figura ao lado mostra um arranjo de quatro molas em série sendo 
comprimidas por uma força de 1500 N. 
No equilíbrio, as equações de balanço das forças podem ser deduzidas 
escrevendo-se as interações entre as molas 
2 2 1 1 1
3 3 2 2 2 1
4 4 3 3 3 2
4 4 3
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
k x x k x
k x x k x x
k x x k x x
F k x x
 
  
  
 
 
 
onde os k’s são as constantes elásticas das molas. Se k1 até k4 forem 100, 50, 80 
e 200 N/m, respectivamente, calcule os valores de xi. 
 
 
 
E.13) Usando aço reciclado, uma fábrica produz peças de aço que devem conter 4 quilos de cromo, 8 quilos de 
tungstênio e 7 quilos de carbono por tonelada de aço produzido. O fabricante tem três fontes de aço reciclado: 
Fonte 1: Cada tonelada contém 2 quilos de cromo, 8 quilos de tungstênio e 6 quilos de carbono. 
Fonte 2: Cada tonelada contém 3 quilos de cromo, 9 quilos de tungstênio e 6 quilos de carbono. 
Fonte 3: Cada tonelada contém 12 quilos de cromo, 6 quilos de tungstênio e 12 quilos de carbono. 
Organize e resolva um sistema linear que permita calcular as porcentagens de aço reciclado das fontes 1, 2 e 3 que 
devem ser utilizadas para atender às exigências do produto final. 
 
 
E.14) A distribuição estacionária de temperatura em uma placa 
aquecida pode ser modelada pela equação de Laplace 
2 2
2 2
0
T T
x y
 
 
  
Se a placa for representada por uma série de nós, pode-se 
substituir as segundas derivadas por diferenças divididas finitas 
centradas, o que resulta em um sistema de equações lineares. Ou 
seja, cada temperatura num nó do interior da placa é obtida pela 
média aritmética dos quatro nós vizinhos mais próximos. 
Determine as temperaturas nos nós representados na figura ao 
lado. 
 
Outros Modelos Lineares: Seção 1.6, na p. 39 (estudar a resolução dos exemplos) 
(Observação: arrumar a Tabela 1, da página 40, trocando o elemento de posição 𝑎11 por zero, no lugar de 0,6) 
 
Resolver os exercícios do livro: p. 43 – 1, 3, 5, 7, 9, 13 e 15.