Matematica Basica

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Disciplina: MATEMÁTICA BÁSICA (EEL0089) GRAD 
Professor: MARIO SERGIO TARANTO 
Tema 1 
Definição 
O estudo de equações do primeiro grau, razões, proporções, regras de três e juros. 
Propósito 
Apresentar a aplicabilidade dos conceitos matemáticos aqui explorados em situações do 
cotidiano e em contextos não escolares. 
Preparação 
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora 
científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador. 
Objetivos 
Módulo 1 
Examinar a importância das equações do primeiro grau 
Módulo 2 
Identificar razões, proporções e porcentagens 
Módulo 3 
Resolver problemas do cotidiano com regras de três 
Módulo 4 
Praticar problemas com juros simples e compostos 
 
Módulo 1 
Examinar a importância das equações do primeiro grau: 
Introdução 
Neste módulo, abordaremos como as equações do primeiro grau aparecem continuamente 
em problemas do cotidiano. Veremos como resolver tais tipos de problemas após uma 
análise e interpretação dos mesmos. Como exemplo do que trabalharemos, considere a 
seguinte situação: 
(UFRRJ- 2003) Clarissa é uma típica consumidora de shopping. Seu pai lhe deu uma certa 
importância em dinheiro para que comprasse algumas coisas. Ao passar por uma sapataria, 
encantou-se com um tênis e pagou por ele um quinto do que recebeu de seu pai. Em 
seguida, entrou numa loja de roupas e comprou uma calça, pagando um quarto do que 
restou. Clarissa ainda ficou com R$120,00. Qual foi a quantia que ela recebeu de seu pai? 
Como resolver esse tipo de problema? 
Antes de iniciarmos com os estudos e resoluções desse tipo de situação, vamos entender 
o conceito de equação do primeiro grau. 
Uma equação do primeiro grau é uma expressão matemática envolvendo termos 
conhecidos e desconhecidos da forma: 
 
É importante destacar que existem outros tipos de equações do primeiro grau com várias 
incógnitas, porém, neste tema, abordaremos somente as equações do primeiro grau com 
uma incógnita apenas, como a equação acima. 
Antes de iniciarmos a análise de situações-problema, vejamos o seguinte. Acredito que 
muitos já devem ter visto em alguma rede social alguns desafios semelhantes aos do vídeo 
a seguir: 
Vídeo 
Agora que percebemos como o nosso assunto pode estar implicitamente presente em 
alguns passatempos do dia a dia, vamos analisar outras situações. Veremos como essas 
situações nos fornecem equações do primeiro grau que podem ser resolvidas conforme 
comentamos anteriormente. 
Em uma corrida de táxi, é comum pagarmos uma taxa fixa (chamada bandeirada) mais um 
valor variável que depende da distância percorrida. Se a bandeirada é de R$4,20 e o 
quilômetro rodado custa R$0,95, qual é distância percorrida por um passageiro que pagou 
R$21,30? 
 
Solução: 
Vamos denotar por X a quantidade de quilômetros rodados. Como a bandeirada (R$4,20) é 
fixa e pagamos R$0,95 por quilômetro rodado, então, se o passageiro pagou R$21,30 pela 
corrida, a equação do primeiro grau que representa essa situação é: 
 
Logo, a distância percorrida pelo passageiro foi de 18km. 
Na verdade, a situação também poderia ser resolvida com um raciocínio puramente 
aritmético. Subtraindo a bandeirada do total da corrida, obtemos 21,30 – 4,20 = 17,10. 
Dividindo este valor pelo custo do quilômetro rodado, obtemos 17,10/0,95 = 18 km. 
Observe que os cálculos efetuados correspondem aos passos de resolução da equação 
acima. A vantagem de formular o problema como uma equação do primeiro grau é ter um 
processo mais automático de resolução. 
(Adaptado de UNIRIO– 2016) Um grupo de amigos vai acampar no final de semana. Numa 
certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido 
com o preparo do almoço, a metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, a 
décima parte desses dois subgrupos colhe flores na redondeza e a única pessoa restante 
do grupo deleita-se lendo um bom livro. Quantos elementos tem esse grupo de amigos? 
Atenção: A imagem abaixo é meramente ilustrativa, não leve em consideração a 
quantidade de personagens presentes na cena para a resolução da atividade. 
Vamos denotar por X a quantidade de amigos nesse grupo. Pelas informações do 
exercício, temos a seguinte divisão do grupo: 
 
 
 
 
Como todos os x elementos do grupo estão distribuídos em uma das atividades acima, 
podemos formar a seguinte equação do primeiro grau: 
 
Resolução da equação: 
Vídeo 
Vamos voltar à situação mencionada no início deste módulo: 
Clarissa é uma típica consumidora de shopping. Seu pai lhe deu uma certa importância em 
dinheiro para que comprasse algumas coisas. Ao passar por uma sapataria, encantou-se 
com um tênis e pagou por ele um quinto do que recebeu de seu pai. Em seguida, entrou 
numa loja de roupas e comprou uma calça, pagando um quarto do que restou. Clarissa 
ainda ficou com R$120,00. Qual foi a quantia que ela recebeu de seu pai? 
Vamos denotar por x a quantia em dinheiro que Clarissa recebeu de seu pai. Utilizando as 
informações do exercício, temos o seguinte: 
 
Com as informações acima, temos que a quantia total de dinheiro é igual à soma dos 
gastos mais o valor que sobrou, R$120,00. Assim, formamos a seguinte equação do 
primeiro grau: 
 
Resolução da equação: 
Vídeo 
Atividades 
1. (Adaptada de PETROBRÁS – 2010) Laura disse para a sua filha Ana: Daqui a 2 
anos, terei o dobro da sua idade. Se hoje Ana tem 20 anos, qual é a idade atual de 
Laura? 
a) ( ) 40 
b) (x ) 42 
c) ( ) 44 
d) ( ) 46 
OBS.: Vamos denotar por x a idade de Laura hoje. Pelos dados apresentados, sabemos 
que hoje Ana possui 20 anos. Como as informações fazem referência às idades daqui a 2 
anos, então vamos analisar primeiramente as idades de Laura e de Ana separadamente: 
• Idade de Laura daqui a 2 anos será = x + 2; 
• Idade de Ana daqui a 2 anos será = 20 + 2 = 22. 
Pelo enunciado, daqui a 2 anos, a idade de Laura será igual ao dobro da de Ana. Desse 
modo, podemos formar a seguinte equação do primeiro grau: 
 Logo, a idade atual de Laura é 42. 
2. (CEFET/MG– 2018) Numa família com 7 filhos, sou o caçula e 14 anos mais novo 
que o primogênito de minha mãe. Dentre os filhos, o quarto tem a terça parte da 
idade do irmão mais velho, acrescida de 7 anos. Se a soma de nossas três idades é 
42, então minha idade é um número: 
a) ( ) Divisível por 5. 
b) ( )Divisível por 3. 
c) ( x ) Primo. 
d) ( ) Par. 
OBS.: Como temos três dos sete filhos envolvidos no problema, vamos chamar o caçula 
de Filho 7, o primogênito de Filho 1 e o quarto filho de Filho 4. Com os dados do enunciado, 
podemos formar as seguintes informações: 
• Vamos denotar por x a idade do irmão caçula, ou seja, a idade do Filho 7 é x; 
• Como o primogênito (Filho 1) possui 14 anos a mais que o caçula, então a idade do 
Filho 1 é igual a x + 14; 
• Agora, o Filho 4 tem a terça parte da idade do Filho 1, acrescida de 7 anos, ou seja, 
a idade do Filho 4 é: 
 
• Como a soma dessas três idades é 42, temos a seguinte equação: 
 
E multiplicando essa igualdade por 3, obtemos que: 
 
Logo, a idade do caçula é 7 anos, que é um número primo. 
Módulo 2 
Identificar razões, proporções e porcentagens 
Introdução 
Conforme comentado no módulo anterior, diversas situações do cotidiano envolvem 
tópicos da Matemática de maneira implícita, mas que podem ser resolvidos rapidamente 
após uma análise e interpretação do problema. 
Neste módulo, abordaremos especificamente os conceitos de razões, proporções e 
porcentagem, juntamente com algumas das suas aplicações. Veremos que, em diversos 
contextos, esses conceitos nos fornecem informações que podem auxiliar, por exemplo, no 
planejamento de um transporte de cargas ou para se ter uma comparação sobre o 
aproveitamento escolar de uma turma. Por exemplo, considere a seguinte situação: 
Sabendo que a capacidade de carga de um caminhão é de 10 toneladas e cada caixa do 
produto que será transportadopesa 200kg, qual a razão entre o peso de cada caixa e a 
carga máxima transportada? 
Veremos como resolver o problema acima 
utilizando o próximo conceito. 
 
RAZÃO 
A razão entre dois números reais a e b, onde b ≠ 0, é o valor do quociente de a por b, que 
representamos das seguintes maneiras: 
 
As duas representações acima podem ser lidas dos seguintes modos: 
 Razão de a para b; 
 a está para b; 
 a para b. 
O termo a nessas representações é chamado de antecedente e o termo b é 
chamado consequente. 
Sejam a e b números reais não nulos. A razão inversa (ou recíproca) da razão ab é a 
razão: 
 
 
Pegue papel e caneta e vamos praticar! 
Digamos que o salário de Pedro é de R$4.000,00 e o de Paulo é de R$2.000,00. 
• Qual a razão do salário de Pedro para o salário de Paulo? O que essa razão 
significa? 
• Qual a razão recíproca do item acima? O que essa razão representa? 
Solução: 
Vídeo 
ATENÇÃO 
É importante notar que, para se fazer a razão entre grandezas, estas devem estar na 
mesma unidade de medida. 
Você lembra da capacidade de carga do caminhão no início do módulo? 
Se a capacidade de carga desse caminhão é de 10 toneladas e cada caixa do produto que 
será transportado pesa 200kg, qual a razão entre o peso de cada caixa e a carga máxima 
transportada? 
Solução: 
Como as cargas estão em unidades diferentes (uma está em toneladas e a outra está em 
kg), devemos colocá-las na mesma unidade. Como uma tonelada (1 ton) equivale a 
1000kg, então a carga máxima do caminhão é de 10.000kg. Logo, a razão de 200kg para 
10.000kg é: 
 
Como veremos a seguir, é conveniente expressar a razão acima usando porcentagem. 
Porcentagem 
Porcentagem ou razão centesimal é o nome dado às razões cujo denominador é o número 
100. Essas razões podem ser representadas pelo símbolo %. 
Exemplo: 8% (lê-se: Oito por cento) é uma forma de representar a seguinte razão: 
 
Em outras palavras, a expressão 8% significa que estamos tomando 8 partes de um todo 
que foi dividido em 100 partes iguais. 
Vimos que a razão entre o peso de cada caixa e a carga máxima do caminhão era 0,02. 
Mas baseados na definição de porcentagem ou razão centesimal, esse valor simboliza o 
seguinte quociente: 
 
Isso significa que a carga de cada caixa equivale a 2% da carga máxima do caminhão, ou 
seja, se considerarmos que o caminhão possui 100 espaços iguais, então cada caixa 
ocupa dois desses espaços. 
Veja mais um exemplo no vídeo a seguir: 
Vídeo 
 
Proporção 
Uma proporção é o nome dado à igualdade entre razões. Dizemos que os 
números a, b, c, d, onde b ≠ 0 e d ≠ 0, formam, nessa ordem, uma proporção, se temos 
a seguinte igualdade: 
 
ab=cd 
Lê-se a expressão acima da seguinte maneira: a está para b, assim como c está para d. 
Multiplicando ambos os termos da proporção por bd, obtemos ad=bc. Este procedimento é 
chamado de multiplicação cruzada e é frequentemente utilizado em problemas envolvendo 
proporções. 
Veja alguns exemplos de proporções: 
 
Tente resolver mais esses exemplos! 
1 - Sabendo que os números 20, 4, x e 30 formam, nesta ordem, uma proporção, calcule o 
valor de x. 
Solução: 
Como os números 20, 4, x e 30 formam, nesta ordem, uma proporção, podemos elaborar a 
seguinte igualdade de razões: 
 
Fazendo a multiplicação cruzada obtemos: 
 
2 - A soma de dois números vale 700. Sabendo que um deles está para 3 assim como o 
outro está para 4, quanto vale o produto desses números? 
Solução: 
Sejam x e y os números do enunciado. Como um deles, digamos x, está para 3 assim 
como o outro y está para 4, podemos formar a seguinte igualdade de razões: 
 
Como sabemos que X + Y= 700 temos que: 
 
Agora, como X+Y=700 e X=300, então obtemos que Y=400. Logo, o produto desejado é: 
 
Alguns dos principais problemas envolvendo proporções e porcentagens são 
resolvidos utilizando-se regras de três, como veremos no próximo módulo. 
Atividades 
1. Em um posto de gasolina, o valor atual do etanol é de R$4,00. Sabendo 
que o etanol sofrerá um aumento de 7% no seu valor, qual será o novo 
valor do etanol? 
a) ( )R$4,18 
b) ( ) R$4,21 
c) ( x ) R$4,28 
d) ( ) R$4,32 
OBS.: Como o valor atual é de R$4,00 e sofrerá um aumento de 7%, então: 
 
Assim, o novo valor será o valor atual somado com o valor do aumento, ou 
seja: 
 
2. A diferença entre dois números é 100. Sabendo que o maior está para 15 
assim como o menor está para 5, então a soma desses números é: 
 a) ( ) 120 
 b) ( ) 180 
 c) ( x ) 200 
 d) ( ) 250 
OBS.: Sejam x e y os números do enunciado. Queremos descobrir o valor de 
x+y. Como um dos números é maior que o outro, vamos supor que x>y. Desse 
modo, sabemos que: 
 
X-Y=100 
Como x>y, sabemos pelo enunciado que x está para 15 assim como y está para 5. Logo, 
podemos formar a seguinte igualdade de razões: 
 
Sabendo que x-y=100, então, 
temos que: 
 
Como X- Y=100 e x=150, 
então y=50. Logo: 
X+Y = 150+50 = 200 
 
Módulo 3 
Resolver problemas do cotidiano com regras de três 
Introdução 
Neste módulo, abordaremos o estudo e a resolução de problemas utilizando regras de três. 
Conforme veremos abaixo, existem diferentes tipos de regras de três e cada uma delas 
possui uma particularidade para a sua construção. Sendo assim, a eficácia desse método 
de solução depende estritamente desses detalhes que as diferenciam. 
Antes de iniciarmos o estudo da regra de três, vamos relembrar os conceitos de grandezas 
diretamente proporcionais e de grandezas inversamente proporcionais. Estes conceitos 
serão o princípio básico para a resolução dos problemas envolvendo regras de três. 
DUAS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS QUANDO, AO SE 
MULTIPLICAR UMA DELAS POR UM NÚMERO POSITIVO, A OUTRA TAMBÉM É 
MULTIPLICADA POR ESSE NÚMERO. DUAS GRANDEZAS SÃO INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS QUANDO, AO SE MULTIPLICAR UMA DELAS POR UM NÚMERO 
POSITIVO, A OUTRA FICA DIVIDIDA POR ESSE NÚMERO. 
Vejamos um exemplo prático para entendermos essa definição. Considere as seguintes 
situações: 
Em uma fazenda, a produção mensal de laranjas é de 20 toneladas. Analisando as 
grandezas tempo de produção e peso de laranjas produzidas, vemos que essas grandezas 
são diretamente proporcionais, pois quando o tempo de produção dobra, o número de 
laranjas produzidas também dobra. Quando o tempo triplica, o número de laranjas também 
triplica, e assim por diante. 
Dois operários levam 3 horas para descarregar um caminhão. Analisando as grandezas 
número de operários e tempo de descarregar, vemos que essas grandezas são 
inversamente proporcionais, pois dobrando o número de operários, o tempo para 
descarregar se reduz à metade. Triplicando o número de operários, o tempo se reduz à 
terça parte, e assim por diante. 
Assista o vídeo abaixo: 
VIDEO 
Vejamos agora como resolver problemas utilizando regras de três. Como temos três tipos 
distintos de regras de três, veremos cada um deles separadamente. 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA 
Utilizamos regra de três simples e direta quando queremos resolver problemas que 
envolvem duas grandezas que são diretamente proporcionais. 
Vejamos alguns exemplos de resolução utilizando essa regra. 
Em uma fazenda, a produção mensal de laranjas é de 20 toneladas. Qual é a produção 
anual em toneladas dessa fazenda? 
Solução: 
Este é um típico caso de regra de três simples e direta. 
Vamos representar por T o tempo de produção (em meses) e por P a produção (em 
toneladas). Como 1 ano possui 12 meses, chamando de x a produção desejada e 
utilizando os dados do enunciado, podemos fazer a seguinte representação: 
 
As setas na figura acima apontam na mesma direção para significar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. 
Com essa orientação das setas, podemos montar a seguinte proporção: 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/matematica_do_dia_a_dia/index.html
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/matematica_do_dia_a_dia/index.html
 
E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos que:Logo, a produção anual de laranjas dessa fazenda é de 240 toneladas. 
 O próximo exemplo é de um caso de regra de três simples envolvendo 
porcentagem. Você consegue resolver? Separe o material e vamos começar. 
Anteriormente, vimos que o peso de uma caixa do produto equivale a 2% da carga máxima 
de um caminhão. Qual a quantidade máxima de caixas que o caminhão pode transportar? 
Solução: 
Vídeo 
Veja mais um exemplo de um caso de regra de três simples envolvendo porcentagem: 
Renato, ao completar seus 18 anos, resolveu comprar seu primeiro carro. 
Em uma revendedora de automóveis, o carro que ele mais gostou custa R$25.000,00. 
Como Renato é muito convincente, combinou com o vendedor da loja o seguinte: Se o 
pagamento for em dinheiro, o valor do carro tem um desconto de 20%. 
Qual é o valor do desconto desse carro no pagamento em dinheiro? 
Solução: 
Vídeo 
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA 
Utilizamos regra de três simples inversa quando queremos resolver problemas que 
envolvem duas grandezas que são inversamente proporcionais. 
Vejamos alguns exemplos de resolução utilizando essa regra. 
Uma torneira leva 7 horas para encher um tanque. Se fossem utilizadas 5 torneiras, quanto 
tempo levaria para encher esse mesmo tanque? 
Solução: 
Este é um caso de regra de três simples, pois envolve apenas duas grandezas: Tempo 
para encher e número de torneiras. Note também que essas grandezas 
são inversamente proporcionais, pois quando o número de torneiras é multiplicado por 
um fator, o tempo para encher o tanque é dividido por esse mesmo fator. 
Vamos representar por T o tempo para encher (em horas) e por N o número de torneiras. 
Utilizando os dados do enunciado, podemos fazer a seguinte representação: 
 
As setas na figura acima apontam em direções opostas para significar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Como a orientação das setas é oposta, antes de efetuar 
qualquer cálculo, devemos inverter os termos de uma das setas para que as duas setas 
apontem na mesma direção: 
 
Agora, com essa orientação das setas, podemos montar a seguinte proporção: 
 
E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos que: 
 
Como 1h = 60min: 
 
Logo, 5 torneiras levariam para encher o tanque: 
 
 Pegue o papel e a caneta mais uma vez! Agora você já consegue responder à 
questão apresentada no início do módulo. 
Em uma transportadora, dois operários levam 3 horas para descarregar um caminhão. 
Quantas horas serão necessárias para 5 operários descarregarem esse caminhão? 
Solução: 
Vídeo 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Utilizamos regra de três composta quando queremos resolver problemas que 
envolvem três ou mais grandezas. Como temos mais do que duas grandezas envolvidas, 
a análise das grandezas em diretamente ou inversamente proporcionais deve ser feita aos 
pares, conforme veremos abaixo. 
Em uma empresa de transporte, 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria 
em 3 horas. Quantas horas serão necessárias para 25 trabalhadores descarregarem 350 
caixas? 
Solução: 
Vídeo 
Vamos praticar a regra de três composta: 
(2013- BNDES) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio de oxigênio, em função do 
tempo, de um atleta de 70kg ao praticar natação. 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do 
atleta. Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80kg, durante 10 
minutos de prática de natação? 
Solução: 
Vamos representar por M a massa do atleta (em kg), por L o consumo de oxigênio (em 
litros) e por T o tempo de atividade (em minutos). Pelo gráfico, podemos ver que um atleta 
de 70kg consome 21 litros de oxigênio em 4 minutos. Como queremos saber o consumo de 
um atleta com 80kg durante 10 minutos, podemos representar o problema da seguinte 
maneira: 
 
Agora, vamos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Como queremos saber x na grandeza L, vamos comparar as relações das 
grandezas M e T com relação a L. 
 Considerando apenas as grandezas M e L, elas terão setas com orientação igual, 
pois, pelo enunciado, essas grandezas são diretamente proporcionais; 
 
 
Como todas as setas apontam na mesma direção, então podemos montar a proporção que 
nos fornecerá o resultado desejado: 
 
E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos: 
 
Logo, um atleta com 80kg, durante 10 minutos de natação, consome 60 litros de oxigênio. 
ATENÇÃO 
É importante notar que a resolução da regra de três composta deve seguir os passos 
abaixo: 
A grandeza que contém a variável desejada ( x no exemplo anterior está na grandeza T) 
deve ficar, preferencialmente, em um dos extremos (direita ou esquerda) para facilitar a 
visualização e auxiliar na proporção do cálculo final; 
Após analisar as orientações das setas e colocar todas no mesmo sentido, a proporção 
deve ser feita conforme visto nos exemplos acima, ou seja, a razão que contém a variável 
desejada (no caso, x ) deve ficar isolada em um dos lados da igualdade, enquanto que 
as demais razões ficam do outro lado da igualdade sendo multiplicadas normalmente. 
Atividade 
1. Com uma certa quantia em dinheiro, eu posso comprar 21 garrafas de vinho tinto no 
valor de R$12,00. Se eu escolher garrafas de vinho branco, cujo valor é R$14,00, quantas 
garrafas de vinho branco eu posso comprar? 
 a) ( ) 15 
 b) ( ) 17 
 c) ( x ) 18 
 d) ( ) 19 
OBS.: Este é um caso de regra de três simples, pois envolve apenas duas grandezas: 
Valor da garrafa e número de garrafas compradas. Note também que essas grandezas são 
inversamente proporcionais, pois, ao multiplicar o valor da garrafa por um fator, o número 
de garrafas que podem ser compradas é dividido por esse mesmo fator. Logo, é um caso 
de regra de três simples e inversa. 
Vamos representar por V o valor da garrafa (em R$) e por N o número de garrafas 
compradas. Utilizando os dados do enunciado, podemos fazer a seguinte representação: 
 
As setas na figura acima apontam em direções opostas para significar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Como a orientação das setas é oposta, antes de efetuar 
qualquer cálculo, devemos inverter os termos de uma das setas para que as duas setas 
apontem na mesma direção: 
 
Agora, com essa orientação das setas no mesmo sentido, podemos montar a seguinte 
proporção: 
 
E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos que: 
 
Logo, se a garrafa custar R$14,00, podem ser compradas 18 garrafas. 
2. Uma família com três pessoas consome, em média, 12m3 de água a cada 20 dias. Se 
mais uma pessoa se juntar a essa família, quantos metros cúbicos de água eles 
consumirão em uma semana? 
 a) ( x ) 5,6m3 
 b) ( ) 6m3 
 c) ( ) 6,6m3 
 d) ( ) 7m3 
OBS .: Vamos representar por V o volume de água consumida (em m3), por F o número de 
pessoas na família e por D o tempo em dias. Pelo enunciado, podemos representar o 
problema da seguinte maneira: 
 
Agora, vamos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Como queremos saber x na grandeza V, vamos comparar as relações das grandezas F e 
D com relação a V. 
• Considerando apenas as grandezas F e V, elas terão setas com orientação igual, 
pois se aumentarmos multiplicando o número de pessoas por um fator, o volume de água 
consumido é multiplicado por esse mesmo fator, ou seja, são grandezas diretamente 
proporcionais; 
 
• Considerando apenas as grandezas D e V, elas terão setas com orientação igual 
também, pois, se multiplicarmos o número de dias por um fator, o volume de água 
consumida é multiplicado por esse mesmo fator, ou seja, são grandezas diretamente 
proporcionais. 
 
Como todas as setas apontam na mesma direção, então podemos montar a proporção que 
nos fornecerá o resultado desejado: 
 
E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos: 
 
Logo, uma família com 4 pessoas, em uma semana, consumirá 5,6m3 de água. 
 
Módulo 4 
Praticar problemas com juros simples e compostos 
Introdução 
Neste módulo, abordaremosum dos principais temas que se relacionam com 
empreendimento financeiros (empréstimos, investimentos, aplicações, seguros, compras), 
que é o conceito de juro. Em cada situação, o juro pode representar uma situação 
diferente, por exemplo, o rendimento (ou lucro) de um investimento, imposto cobrado sobre 
um valor ganho (como a cobrança do imposto de renda), aumento no valor de uma compra 
(quando parcelamos) ou de uma conta (quando se atrasa o pagamento), desvalorização de 
um carro etc. 
Considere a seguinte situação: 
Ana pediu R$500,00 emprestados a Pedro, para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% 
ao mês. Qual será o valor que Ana deverá pagar ao final desse período? 
 
Veremos que, para resolver esse problema, precisamos entender alguns fatores envolvidos 
nesse tipo de situação e saber qual espécie de juros está sendo cobrada: Simples ou 
composta. 
Abaixo, apresentamos os principais conceitos que vamos precisar para o entendimento e 
estudo deste módulo. 
Juro 
Cujo símbolo será J, é o nome dado a toda compensação em dinheiro que se paga ou que 
se recebe, por uma quantia de dinheiro que foi emprestada ou que se pede emprestada. 
Capital 
Essa quantia de dinheiro emprestada ou que se pede emprestada é chamada de capital, 
cujo símbolo será C. 
Taxa de porcentagem 
A compensação que o juro fornecerá depende de uma taxa de porcentagem que irá ser 
paga ou recebida pelo empréstimo. Essa taxa é chamada de taxa de juro, cujo símbolo 
será i. 
Montante 
O valor total em dinheiro que é pago ou recebido ao final do empréstimo (ou seja, capital + 
juro) é chamado de montante e é representado por M=C+J. 
Prazo 
O tempo, do início ao término do empréstimo, é chamado de prazo, que denotaremos por t. 
A taxa de juros (i) é indicada com relação ao intervalo de tempo, por exemplo: Dia, mês, 
ano, bimestre, trimestre etc. Abaixo, listamos os mais utilizados: 
1% a.d. 
 
Significa: 1% ao dia. 
5% a.m. 
 
Significa: 5% ao mês. 
15% a.a. 
 
Significa: 15% ao ano. 
A taxa de juros (i) e o tempo de aplicação (prazo = t) devem sempre estar na mesma 
unidade de medida, ou seja, se i for uma taxa por dia, então t deve ser contado em dias, se 
i for uma taxa mensal, então t deve ser contado em meses, e assim, sucessivamente. 
Agora que sabemos todos os pré-requisitos para nosso estudo, vamos analisar os dois 
tipos de juros: Simples e composto. 
JUROS SIMPLES 
Os juros simples são obtidos através do chamado regime de capitalização simples. Isso 
significa que não há incidência de juros sobre juros. Dessa forma, o juro obtido no 
regime de juros simples é o resultado da taxa de juros por período (que pode ser dias, 
meses, anos etc.) multiplicado pelo capital. 
Voltemos ao exemplo de Ana: Qual será o valor pago a Pedro depois de 5 meses, 
considerando a taxa de 3% ao mês? 
Solução: 
O capital emprestado foi C = 500, a uma taxa de juros i = 3% a.m., durante um período de 
t = 5 meses. 
Como a taxa é de 3% ao mês no regime de capitalização simples, então, ao final de cada 
mês, Ana deverá pagar juros de: 
 
 
 
Note que, no exemplo acima, o valor pago de juros simples ao final do período de 
empréstimo foi determinado pela multiplicação: 
Capital (C) × taxa (i) × tempo (t) 
 
Ou seja, podemos representar os juros simples da seguinte maneira: 
Considerando C o valor do capital do empréstimo e i a taxa de juros simples associada ao 
tempo de duração t, o valor do juro simples será dado pela fórmula: 
J= C x i x T 
Ou simplesmente: J=C.i.t 
Dessa forma, o montante (valor total pago ou recebido do empréstimo) obtido ao final do 
período será dado por: 
M= C + J = C + C.i.t = C(1+it) 
Vejamos mais alguns exemplos: 
Maria aplicou R$10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês, durante 6 meses. 
Quanto Maria receberá de juros e de montante? 
Temos que o capital inicial é C = R$10.000,00, o tempo de aplicação é de t = 6 meses e o 
juro simples é de: 
 
Como o tempo t e a taxa de juros i estão na mesma unidade de medida, então, utilizando a 
fórmula do juro simples, obtemos que: 
J=C×i×t=10000×0,02×6=1200 
 
E o montante será dado pela fórmula: 
M=C+J=10.000+1.200=11.200 
 
Outra forma para calcular o montante: 
M=C1+it=10.0001+0,02×6=10.0001,12=11.200 
 
Logo, Maria receberá R$1.200,00 de juros e o montante será de R$11.200,00. 
Note que, no exemplo acima, o tempo t e a taxa de juros i foram dados na mesma unidade 
de medida. 
Como proceder no caso em que as unidades são diferentes? 
Nesses casos, podemos utilizar regra de três simples e direta para igualarmos as unidades. 
Ana aplicou R$15.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros simples de 36% ao ano. Qual 
foi o rendimento que Ana obteve ao final desse período? 
Vídeo 
JUROS COMPOSTOS 
Os juros compostos são obtidos através do chamado regime de capitalização 
composta. Diferentemente do juro simples, nesse regime composto, significa que há 
incidência de juros sobre juros, ou seja, o juro de cada período é acrescentado ao 
capital, formando um novo capital. Sobre este novo capital incidem novos juros referentes 
ao período seguinte, e assim por diante. Esta é a situação que ocorre na maior parte das 
transações financeiras. Vejamos um exemplo para entendermos esse processo. 
João aplicou R$300.000,00 em uma empresa a juro composto de 2% ao mês. Se a 
aplicação tiver duração de 3 meses, qual será o montante que João vai receber da 
empresa? De quanto foi o juro obtido após esse tempo? 
Vamos, inicialmente, extrair os dados do enunciado utilizando as notações já apresentadas. 
 O capital aplicado foi C = 300.000, a uma taxa de juro composto de i = 2% 
a.m. durante um período de t = 3 meses. 
Como no regime de juro composto ocorre incidência de juro sobre juro, para calcular o 
montante final, precisamos fazer o processo mês a mês, conforme mostramos abaixo. 
1° Mês: 
João receberá de juros o equivalente a i = 2% de C = 300.000, ou seja, o juro obtido após 
o primeiro mês será: 
 
Assim, o montante ao final do primeiro mês, que será o nosso novo capital (que 
denotaremos por C1), é de: 
 
2° Mês: 
João receberá de juros o equivalente a i = 2% de C1 = 306.000, ou seja, o juro obtido após 
o segundo mês será: 
 
Assim, o montante ao final do segundo mês, que será o nosso novo capital (que 
denotaremos por C2), é de: 
C2=306.000+6.120=312.120 
 
3° Mês: 
João receberá de juros o equivalente a i = 2% de C2 = 312.120, ou seja, o juro obtido após 
o terceiro mês será: 
 
Assim, o montante ao final do terceiro e último mês será: 
M=312.120+6.242,40=318.362,40 
 
Logo, o montante que João receberá da empresa ao final de 3 meses será de: 
M=318.362,40 reais 
 
O juro total obtido ao final do período é o valor do montante menos o valor do capital 
aplicado inicialmente, ou seja, o juro total obtido foi: 
J=M-C=318.362,40-300.000=18.362,40 reais 
ATENÇÃO 
É necessário fazer este passo a passo sempre que trabalharmos com juros compostos? 
A resposta é não. Este exemplo foi apenas para entendermos como o regime de juros compostos 
funciona. Para resolvermos esse tipo de problema, utilizamos a fórmula do montante para juro composto, 
apresentada abaixo. 
 
Considerando C o valor do capital aplicado (ou emprestado), i a taxa de 
juros compostos associada ao tempo de duração t, o valor do montante será dado pela 
fórmula: 
M=C.1+it 
 
Dessa forma, o juro obtido ao final do período será dado por: 
J=M-C 
 
Novamente, destacamos que, para efetuar esses cálculos, a taxa de juro i e o 
tempo t devem estar sempre na mesma unidade de medida, assim como vimos no 
cálculo do juro simples. 
Baseado nas informações do exemplo de juros compostos, como o capital aplicado foi 
de C = 300.000, a uma taxa de juro composto de ao mês, 
durante um período de t = 3 meses, então, pela fórmula do montante, temos que 
o montante obtido por João ao final do terceiro mês de aplicação será: 
 
E o juro obtido será de: 
J=M-C=318.362,40-300.000=18.362,40 reais 
 
Outro casopossível para a utilização de juro (tanto o simples, quanto o composto) é o 
da desvalorização de um certo investimento, digamos, a desvalorização de um carro de 
acordo com o tempo. 
Vídeo 
Verificando o Aprendizado 
1. Se João aplicar um capital de R$9.000,00 a uma taxa anual de 15%, quanto tempo será 
necessário para se produzir R$5.400,00 de juros simples? 
a) ( ) 2 anos 
b) ( ) 3 anos 
c) ( x) 4 anos 
d) ( ) 5 anos 
Comentário 
Temos que o capital investido foi de = 9.000, a uma taxa de juros simples de 
 
Como a taxa de juros é anual, queremos saber quanto tempo (em anos) é necessário para 
se produzir um juro simples de = 5.400. 
Utilizando os dados acima e a fórmula dos juros simples, obtemos: 
 
Logo, serão necessários 4 anos para se produzir R$5.400,00 de juros simples. 
 
2. Com o aumento do dólar em relação ao real, Pedro resolveu aplicar seu capital de 
US$15.000,00 dólares em dois tipos de investimento: Aplicou 30% desse valor em um 
investimento que rende juros simples de 4% ao mês e o restante do valor em um 
investimento que rende juros compostos de 5% ao mês. Sabendo que ambas as 
aplicações terão duração de 3 meses, o lucro que esse investimento renderá para Pedro é 
de, aproximadamente: 
a) ( ) US$ 1.000,00 
b) ( x ) US$ 2.000,00 
c) ( ) US$ 3.000,00 
d) ( ) US$ 4.000,00 
Comentário 
O capital inicial aplicado é de US$15.000,00. Como esse capital foi dividido em dois 
investimentos com juros distintos, precisamos, primeiramente, encontrar qual foi o capital 
aplicado em cada investimento. 
Como 30% desse capital foi aplicado em juro simples, vamos descobrir quanto foi o valor 
C1 aplicado nesse caso. Utilizando regra de três simples e direta, podemos formar a 
seguinte representação: 
 
Isso nos fornece a seguinte proporção: 
 
E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos: 
 
Logo, Pedro aplicou 1 = 4.500 durante = 3 meses a juros simples de: 
 
Assim, o lucro desse primeiro investimento será o juro simples obtido no período, que é 
dado por: 
 
Agora, para o segundo investimento, foi aplicado o capital de: 
 
Durante o tempo = 3 meses à taxa de juro composto: 
 
Assim, o montante obtido na taxa de juros compostos é dado por: 
 
Logo, o lucro obtido nesse segundo investimento é dado por: 
 
Portanto, o lucro total obtido por Pedro é igual à soma dos lucros individuais de cada 
investimento: 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
O estudante, em seu cotidiano, irá se deparar, com grande frequência, com os conceitos 
de Matemática apresentados neste tema. Por isso, os exemplos utilizados foram simples, 
diretos e realistas, procurando facilitar sua compreensão. 
 
Nossa realidade econômica é complexa e instável e são comuns as ocorrências de 
confusão e de erros, tanto na assimilação da teoria quanto na prática dos cálculos. Uma 
vez bem informado — e seguro com isso —, o estudante estará apto a resolver os 
mistérios e dilemas matemáticos de seu dia a dia, dos pequenos aos grandes, podendo, 
assim, escapar de eventuais armadilhas criadas por si mesmo e pelos outros. 
CONQUISTAS ADQUIRIDAS 
 Examinou a importância das equações do primeiro grau; 
 Identificou razões, proporções e porcentagens; 
 Resolveu problemas do cotidiano com regras de três; 
 Praticou problemas com juros simples e compostos. 
RESUMO GRÁFICO 
 
Referências 
BRASIL. Ministério da Educação. FREITAS, E. A. Matemática - Regra de Três. In: 
Redeetec.mec, Brasília, DF: Ministério da Educação, 2014. 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática Fundamental - 
Uma Nova Abordagem, Volume Único. São Paulo: FTD S.A, 2002. 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Saraiva, 1998. 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
SILVA, A. G.; LOPES, A. F.; PEREIRA, A. C. Razões, Proporções, Porcentagens, Juros. 
Apostila. Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid). Faculdade de 
Matemática, 2013. Universidade Federal da Paraíba. 
Explore+ 
Para saber mais sobre os assuntos explorados neste tema, leia: 
Equações do primeiro grau 
SILVA, Alexandre de Azevedo; COSTA, Gabriella Marques Pereira da. Equações do 
primeiro grau - Uma proposta de aula baseada na análise de livros. Dissertação (Mestrado 
Profissional em Matemática). Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, IMPA, Rio 
de Janeiro, mar. 2014. 
Juros simples e compostos 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Saraiva, 1998. 
Juros simples e compostos 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
Regra de três 
BRASIL. Ministério da Educação. FREITAS, E. A. Matemática – Regra de Três. In: 
Redeetec.mec, Brasília, DF: Ministério da Educação, 2014. 
Conteudista 
Aleksandro de Mello 
 
 
/
DEFINIÇÃO
Os sistemas de números naturais historicamente contextualizados, os Axiomas de Peano, o surgimento dos números
inteiros e complexos, os números racionais e sua relação com medida, seu surgimento e concepção moderna, alguns
problemas e operações com frações.
PROPÓSITO
Refletir sobre nossa própria concepção da Matemática, proveniente de como a aprendemos ao longo de nossa vida
escolar, geralmente organizada em Aritmética, Geometria e Álgebra, tendo como foco a Aritmética.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
/
Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o porquê de sua criação
MÓDULO 2
Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à necessidade de realização de medidas e manipulação
das operações matemáticas básicas
 Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o porquê de sua criação
INTRODUÇÃO
O QUE IRÁ NOS NORTEAR EM CADA MÓDULO É ENTENDER
A PERGUNTA: “O QUE É UM NÚMERO?” A DISCUSSÃO QUE
FAREMOS TERÁ DUAS IDEIAS CENTRAIS E ELEMENTARES:
A CONTAGEM E A MEDIDA.
Com estas ideias, iremos construir o conceito abstrato de número que permeia a Aritmética. A contagem nos conduz
aos números naturais (ℕ), mas devemos estar atentos ao nosso sistema numérico, que nem sempre foi universal e que
diversos povos ao longo da história criaram sua própria forma de contar. O mais interessante é que todos eles
respeitavam regras muito semelhantes, que mais tarde foram nomeadas como Axiomas de Peano.
 
/
E medir vai nos conduzir aos números racionais (ℚ+ ) e reais (ℝ+ ) positivos. Os números inteiros (ℤ), bem como os
números racionais e reais negativos, surgem com o entendimento mais amplo e irrestrito dos números. Não temos a
ambição de chegar tão longe aqui. Nós nos restringiremos ao uso da reta, mas deixaremos algumas referências para
aqueles que quiserem ir mais adiante.
CONCEITO
VOCÊ JÁ IMAGINOU COMO SERIA DIFÍCIL O SEU DIA, SE VOCÊ
PERDESSE A NOÇÃO DE QUANTIDADE DAS COISAS? SE VOCÊ
FOSSE UM CAMPONÊS, POR EXEMPLO, COMO FARIA PARA
RELACIONAR O NÚMERO DE OVELHAS EM UM CERCADO, SEM
SABER COMO CONTAR?
Uma primeira estratégia para resolver este problema seria estabelecer uma correspondência um a um com o conjunto
de referência.
/
Fonte: Madlen/Shutterstock
Por exemplo: para cada ovelha que entrasse no cercado, você faria um nó em um pedaço de corda; ao final, a mesma
quantidade de ovelhas no cercado seria a quantidade de nós em sua corda. Note, porém, que esta tarefa não envolve
ainda o conceito de número, mas ela já era empregada por grupos humanos na Pré-história, segundo Tatiana Roque
(2012), alguns séculos antes dos primeiros sistemas de escrita ou de numeração.
Sendo assim, um número natural foi a marca dada (os nós) a todos os conjuntos de objetos (as ovelhas) que poderiam
ser colocados em correspondência um a um entre si, isto é: a todos os conjuntos que têm a mesma quantidade de
elementos.
 REFLITA
O conceito de número natural é uma abstração que emerge da noção concreta de contagem.
Acabamos de ver que o conceito de número natural é, de fato, um grande passo na abstração.
Quando uma criança não entende de forma imediata que o mesmo número2 serve para registrar duas colheres ou
duas garrafas ou duas camisas, é porque ela ainda não deu este passo abstrato.
E é importante que percebamos isso, pois o entendimento de que o número 2 representa a quantidade de elementos
de um conjunto que possua apenas dois objetos nele é uma abstração e tanto.
Arrisco a dizer que você também nunca tinha parado para pensar sob essa perspectiva.
SISTEMAS DE NÚMEROS NATURAIS
Antes de entramos diretamente nas operações usuais com os números naturais, com os quais você muito
provavelmente está familiarizado, queremos começar olhando para esse conjunto por outras perspectivas, algumas
nada triviais.
/
Diversas civilizações desenvolveram sistemas de
numeração semelhantes aos números naturais que
conhecemos hoje. Veja a seguir o exemplo dos babilônicos:
Fonte: Wikimedia.
Numerais Babilônicos, Josell7, 2010.
 IMPORTANTE
Esse sistema possui 60 algarismos, isto é, um sistema sexagesimal. Note que o número 1 é o primeiro elemento e a
representação do zero não aparece.
Já os maias possuíam 20 algarismos, como você pode ver abaixo:
Fonte: Matematiques
 ATENÇÃO
O sistema maia merece destaque, pois ele já contava com a representação do zero em sua concepção. Portanto, se
considerarmos pela ótica maia, o zero é, de fato, representado como um número natural.
EXEMPLO 1
/
Vejamos como os maias e os babilônicos representavam o número 300.
No sistema decimal, temos:
Três centenas, zero dezenas e zero unidades; (3 × 100 + 0 × 10 + 0 × 100)
No sistema babilônico seria:
Cinco sexagenas e zero unidades (5 × 60 + 0 × 60 ^ 0)
/
No sistema maia:
Quinze vintenas e zero unidades (15 × 20 + 0 × 20 ^0).
Você pode encontrar, ainda hoje, sistemas não decimais. O exemplo mais simples são os relógios: cada 60 segundos
correspondem a 1 minuto.
Poderíamos citar diversas outras civilizações, como os romanos ou egípcios que também possuíram o seu conjunto de
números naturais, mas os maias e babilônicos tiveram ainda uma característica, presente em nosso sistema decimal:
seu sistema de numeração era posicional, isto é, o conjunto que apresentamos acima representa as suas unidades.
UM SISTEMA POSICIONAL É EXTREMAMENTE VANTAJOSO,
POIS PERMITE QUE, DADO UM NÚMERO QUALQUER, SEJA
POSSÍVEL DETERMINAR O SEU SUCESSOR DE FORMA
SIMPLES. E A IDEIA DE SUCESSOR É A BASE QUE NORTEIA
O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
O sistema decimal que aprendemos na escola é composto de dez algarismos, a saber: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Antes de continuarmos, que tal esclarecer uma das dúvidas mais comuns no campo da Matemática, mas que muitas
pessoas ainda se confundem?
VOCÊ SABE QUAL É A
DIFERENÇA ENTRE NÚMERO,
NUMERAL E ALGARISMO?
/
Fonte: Roman Samborskyi/Shutterstock
Temos certeza de que você não se confundirá mais:
O número relaciona-se sempre à quantidade! O numeral é
a representação gráfica desse número. E algarismos são
os símbolos de numeração utilizados nessa representação
gráfica.
Exemplo:
O número vinte e nove (quantidade de dias do mês de
fevereiro, nos anos bissextos) é representado pelo numeral
29, que é formado pelos algarismos 2 e 9.
Podemos escrever qualquer número utilizando apenas estes símbolos. Vamos entender como se dá esse processo:
1
Suponhamos o número 423 (que identificaremos como 𝑎).
2
Poderemos dizer: 𝑎 ∈ ℕ (lemos “𝑎 pertence ao conjunto dos números naturais”) e é um número de 3 algarismos.
3
Assim: 𝑎 = 423 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3.
4
No caso geral, isto significa que existe: 𝑎0,𝑎1 e 𝑎2∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que:
𝑎 = 𝑎2⋅ 100 + 𝑎1⋅ 10 + 𝑎 0.
Em que 𝑎0 são as unidades, 𝑎1 são as dezenas e 𝑎2 são as centenas.
O CONJUNTO DE NÚMEROS QUE GERA TODO O SISTEMA
POSICIONAL É CHAMADO DE BASE. NO CASO, O SISTEMA
DECIMAL TEM BASE 10, O SISTEMA MAIA BASE 20 E O
SISTEMA BABILÔNICO BASE 60. O RACIOCÍNIO É O MESMO
/
PARA QUALQUER NÚMERO NATURAL, MAS A NOTAÇÃO
NÃO É TÃO AGRADÁVEL.
EXEMPLO 2
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Digamos que, em Marte, seus habitantes possuam apenas 3 dedos em cada mão, por isso, em sua evolução,
desenvolveram um sistema numérico posicional que tinha apenas 6 algarismos, {0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }. Quem deve ser
o correspondente ao número 6 do nosso sistema decimal no sistema marciano?
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Qual o número que deve vir depois do número 5𝑚? Note que não temos o número 6 neste sistema. Desta
forma, ocorre exatamente a mesma coisa quando queremos escrever o número que vem depois do 9 no nosso sistema
decimal. Portanto é 10𝑚.
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Agora, vamos dar um pouco mais de profundidade ao exemplo: E o número 100_m no sistema marciano,
corresponderia a qual número em nosso sistema decimal?
/
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Existem diversas formas de dar esta resposta. Vamos optar pela mais explícita e tentar achar um padrão,
exibindo quem é o correspondente de cada um dos números compostos por dois algarismos. Assim, ficará mais fácil
de intuirmos quem será o próximo:
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
0 𝑚 →0 10 𝑚 →6 20 𝑚 →12 ⋯ 50 𝑚 →30
1 𝑚 →1 11 𝑚 →7 21 𝑚 →13 ⋯ 51 𝑚 →31
2 𝑚 →2 12 𝑚 →8 22 𝑚 →14 ⋯ 52 𝑚 →32
3 𝑚 →3 13 𝑚 →9 23 𝑚 →15 ⋯ 53 𝑚 →33
4 𝑚 →4 14 𝑚 →10 24 𝑚 →16 ⋯ 54 𝑚 →34
5 𝑚 →5 15 𝑚 →11 25 𝑚 →17 ⋯ 55 𝑚 →35
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Podemos ver que, de uma coluna para outra, são acrescentadas 6 unidades. Com o raciocínio análogo ao que fizemos
anteriormente, o número que vem depois do 99 no sistema decimal é o 100. No caso do sistema marciano, o 55_m faz
este papel, portanto: 100_m→36
/
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Mas, imagine que você tivesse que saber a qual número corresponde o 315𝑚. Seria mais complicado! Por isso, de
modo geral, dado um número de três algarismos 𝑎𝑏𝑐𝑚 ∈ ℕ𝑚 no sistema numérico marciano, em que 𝑎,𝑏,𝑐
∈{0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }, para transformá-lo em um número no nosso sistema numérico, basta fazer a conta:
𝑎⋅62+𝑏⋅6+𝑐.
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Vejamos como fica o número que apresentamos no quadro anterior:
315 𝑚=3 ⋅ 62+ 1 ⋅ 6 + 5 ⋅ 60 = 108 + 6 + 5 = 119
 SAIBA MAIS
Existe uma série de nuances sobre o tema de sistemas e bases numéricas, para os que estiverem iniciando o seu
caminho nos círculos da Matemática. Para o leitor interessado, recomendo Números Naturais, de Ripoll, Rangel &
Giraldo, que faz uma extensa discussão sobre o tema, com foco no Ensino Básico.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
CONSIDERE AS COMPARAÇÕES A SEGUIR, EM QUE O LADO DIREITO MOSTRA NÚMEROS
NO SISTEMA DECIMAL E O LADO ESQUERDO NO SISTEMA MARCIANO. SELECIONE A
ALTERNATIVA QUE VOCÊ CONSIDERA VERDADEIRA:
A) 235𝑚 <90
/
B) 200𝑚 <70
C) 537𝑚 >200
GABARITO
Considere as comparações a seguir, em que o lado direito mostra números no sistema decimal e o lado
esquerdo no sistema marciano. Selecione a alternativa que você considera verdadeira:
A alternativa "C " está correta.
Vamos passar os números do sistema marciano para o sistema decimal: 
235𝑚=2⋅62+3⋅6+5=95>90, logo, a primeira sentença é falsa. 
200𝑚=2⋅62=72>70, logo, a segunda sentença também é falsa. 
5⋅62+3⋅6+7=205>200, logo, a terceira sentença é verdadeira.
EXEMPLO 3
Fonte: IR Stone/ Shutterstock
Pirâmide Maia de Kukulcan El Castilho ao pôr do sol.
Determine o sucessor e o antecessor dos números abaixo, em caracteres maias:
Fonte: Autor
/
O leitor pode pensar em cada box da esquerda para direita como dezenas e unidades, lembrando que cada bolinha
vale uma unidade e cada traço vale cinco unidades.
Fonte: Autor
Este é o sucessor do número dado:
É o antecessor do número proposto:
Fonte: Autor
O BIG BANG DOS NÚMEROS NATURAIS
MAS, AFINAL, O QUE É UM NÚMERO NATURAL?
Segundo Eave (1995), a busca sobre o entendimento dos números se originou primeiramente na Física, com relação a
uma definição precisa do que é a reta numérica. A teoria dos conjuntos se mostrou um terreno fértil para tal
construção.
A PARTIR DAÍ, FOI NECESSÁRIO REAPRESENTAR O
CONJUNTO NUMÉRICO MAIS CONHECIDO DO PLANETASOB UMA NOVA PERSPECTIVA.
Deve-se a Giuseppe Peano a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos números naturais a partir de
quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os Axiomas de Peano, publicado no seu livro Os princípios da
Aritmética apresentados por um novo método. Segundo ele:
javascript:void(0)
/
GIUSEPPE PEANO 
Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da Matemática e o
desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. Em 1889, Peano publicou os seus axiomas famosos,
chamados Axiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos.
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
Fonte: Wikipedia
“O conjunto dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais, das quais resultam,
como consequência lógica, todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números.”
Giuseppe Peano (1858-1932)
AXIOMAS DE PEANO
Talvez você esteja se questionando:
/
Fonte: Sumkinn /Shutterstock
 RESPOSTA
Os axiomas são afirmações ou proposições que não precisam ser provadas. Eles constituem-se como alicerces nos
quais uma teoria é construída.
Seja ℕ um conjunto de elementos, chamados números naturais, satisfazendo os seguintes axiomas:
I
Existe um número natural chamado de 1.
Esta afirmação é o início de tudo: existe um conjunto que possui um elemento, o primeiro. Poderia ser o zero, mas, por
uma questão de princípios, o autor definiu 1.
II
Existe uma função 𝑠:ℕ→ℕ tal que 𝑠 é injetiva (1-1), em que, para cada número natural 𝑎 ∈ ℕ, está associado o número
natural 𝑠(𝑎) denominado sucessor de 𝑎.
Este axioma garante que todo número deste conjunto possui um sucessor. Assim, dá um sentido de ordem aos
números naturais.
III
Para todo 𝑎∈ℕ, 𝑠(𝑎)≠1
Este é o resultado que caracteriza que estamos no conjunto dos números naturais e não dos inteiros, pois ele diz que o
primeiro elemento não é sucessor de ninguém, isto é, não existe ninguém neste conjunto que seja menos que ele.
IV
(Princípio de Indução) - Se 𝑆 é um subconjunto dos números naturais ℕ, tal que:
a. 1 ∈ 𝑆
b. Se 𝑎 ∈ 𝑆 então 𝑠(𝑎) ∈ 𝑆
Então 𝑆 = ℕ
/
O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
ESTE PRINCÍPIO MERECE DESTAQUE, POIS É UMA
FERRAMENTA PODEROSA PARA DEMONSTRAR A
VALIDADE DE AFIRMAÇÕES SOBRE O CONJUNTO DOS
NÚMEROS NATURAIS.
A comparação ao Big Bang é inevitável, como a afirmação feita pelo professor Stephen Hawking : o universo surgiu
por geração espontânea, do nada. Assim são os números naturais. Existe um conjunto com o número 1 e pronto!
STEPHEN HAWKING (1942-2018)
Foi um físico inglês que trabalhou nas leis básicas que governam o universo. Com Roger Penrose, ele mostrou
que a teoria geral da relatividade de Einstein implicava que espaço e tempo teriam um começo no Big Bang e um
fim nos buracos negros.
Fonte: (HAWKING.ORG, 2020)
Como teria dito um velho matemático alemão, Leopold Kronecker:
Fonte: Sociedade Portuguesa de Matemática
“Deus criou os números naturais, todo o mais foi criado pelo Homem”
Leopold Kronecker(1823-1891).
javascript:void(0)
/
Fonte: R-Type/Shutterstock
Para que você se familiarize com o Princípio de Indução Matemática, pense em um conjunto de dominós enfileirados
sobre uma mesa. Então, empurra-se uma das peças em qualquer posição. Ocorre, desse modo, um efeito em cadeia
que derruba todas as restantes. Esse é um conceito formidável! Ele está presente em toda a Matemática de diversas
formas.
Vamos pensar em uma série de proposições: 𝑃1, 𝑃2,⋯ numeradas pelos números naturais.
Suponha que podemos provar que:
𝑃𝐵= Alguma proposição da série é verdadeira.
𝑃I = A veracidade de cada proposição na série implicará a veracidade da próxima proposição.
 IMPORTANTE
Note que isso implicará que provamos todas as proposições da série, a partir da primeira ser provada como verdade.
Ou seja, provar a 𝑃𝐵 e depois 𝑃I, significa que podemos derrubar alguma peça da pilha de dominós, e cada peça ao
cair vai derrubar a próxima, qualquer que seja a peça do dominó.
Esta é uma descrição lúdica do Princípio de Indução Matemática:
𝑃𝐵 é chamado de passo básico e 𝑃I de passo indutivo.
Este processo pode ser pensado visivelmente, como uma onda de demonstrações indo de afirmação em afirmação e
formando uma cadeia de teoremas.
𝑃1→𝑃2→⋯→𝑃𝑛→𝑃𝑛+1→⋯.
PSICOLOGICAMENTE, A NATUREZA INTRÍNSECA DA
INDUÇÃO ESTÁ EM SEU PROCESSO. COMO APRENDER
ISSO? BEM, UM IMPORTANTE PROCESSO PARA
/
AMADURECER O PENSAMENTO LÓGICO INDUTIVO É
PERCEBER ATRAVÉS DE EXEMPLOS E CASOS
PARTICULARES QUE DETERMINADOS FENÔMENOS DEVEM
OCORRER SEMPRE.
Este pensamento ingênuo cria um vácuo de oportunidade. A pergunta é, então: O que significa ocorrer sempre?
PLANO PARA RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO A
INDUÇÃO MATEMÁTICA
A partir do exemplo assistido no vídeo, podemos definir alguns passos para resolver problemas matemáticos através
da indução. Lembre-se de que ainda estamos falando da contribuição de Peano para essa área do conhecimento, no
caso, seu Axioma IV.
 IMPORTANTE
A indução, como forma de raciocínio lógico, já era conhecida na Antiguidade Clássica, a partir das obras aristotélicas,
especialmente no Órganon.
.
ÓRGANON
Conjuntos de obras que apresentam a Lógica como um instrumento da Filosofia.
Então, vamos a esses passos:
javascript:void(0)
/
Encontre no enunciado do problema uma série de proposições semelhantes. Se elas estiverem escondidas, devemos
explicitá-las e reformular o problema. Se não existir uma cadeia explícita, devemos construi-la, a fim de que o problema
se torne parte dela.
Prove o passo básico.
Prove que qualquer que seja o número natural 𝑛, a veracidade da 𝑛-ésima proposição implica a veracidade da (𝑛+1)-
ésima proposição que é o passo indutivo.
Uma vez provado o passo básico e o indutivo, todas as sentenças estão provadas simultaneamente. A partir daí, é
possível chegar a qualquer uma delas, partindo da base passo a passo.
VAMOS ENTENDER ISSO DE FORMA PRÁTICA?
EXEMPLO 5A
/
Seja 𝑛 ∈ ℕ Mostre que a igualdade , é verdadeira.
PASSO BÁSICO
Consiste em considerar a sentença, no caso 𝑛=1. Desta forma, basta verificarmos que o lado direito é igual ao lado
esquerdo, de fato, pois, 
Apesar de não ser necessário, vamos verificar que quando 𝑛=2, também é verdadeiro. 1+2=3, e 
HIPÓTESE DE INDUÇÃO
Vamos estabelecer a hipótese de indução, isto é, vamos supor que a igualdade é verdadeira, até um valor 𝑛0 fixado,
assim:
PASSO INDUTIVO
Queremos provar que
De fato, pois
ó çã
ã
Daí
ê
Obtivemos, então, exatamente a sentença que desejamos. Provamos, assim, que a igualdade proposta no exemplo é
verdadeira.
/
EXEMPLO 5B
Seja 𝑛∈ℕ, considere a soma dos 𝑛 primeiros números ímpares: 
Complete a tabela:
𝑛 1 +3 + ⋯ + ( 2𝑛 − 1) Resultado da soma 𝑛2
1 1 1 12
2 1 + 3 4 22
3 1 + 3 + 5 9 32
4 1 + 3 + 5 + 7 16
5 1 + __ + 5 + 7 + 9 25 52
⋮ ⋮ ⋮
1 + 3 + ⋯ + 199
SOLUÇÃO
O que temos que observar é que 199=2𝑛−1, logo 2𝑛=200, 𝑛=100.
Portanto, 𝑛2=1002.
Sobre o valor da soma, não provamos que 1+3+⋯+(2𝑛−1)=𝑛2 , mas a tabela nos induz a acreditar que de fato isto
ocorra, assim, o valor da soma é 10.000.
Deixaremos essa prova a seu cargo. Não se preocupe se você ainda não entendeu direito como se usa a indução,
você terá tempo.
javascript:void(0)
/
SURGIMENTO DOS NÚMEROS INTEIROS ℤ E
COMPLEXOS ℂ
Os números Inteiros são geralmente abordados em um primeiro curso de Álgebra e não temos aqui o intuito de
explorá-lo. Assumiremos que você tem familiaridade com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
de números inteiros, bem como o Teorema Fundamental da Aritmética (Fatoração) e as desigualdades no Conjunto de
Números Inteiros (ℤ).
 SAIBA MAIS
Caso queira rever ou se aprofundar, recomendamos:
— Algebra, de S. M. Birkhoff (um clássico).
— Para uma abordagem mais formal, de Milies e Coelho.
— Para uma abordagem mais informal, de Courant e Robbins.
O conjunto dos números inteiros possui diversas histórias e personagens fascinantes. Recomendamoso livro O Último
Teorema de Fermat, de Simon Singh (2014), para você conhecer mais o universo dos números inteiros.
Alguns matemáticos se destacam quando falamos a respeito da história dos números. Veja a seguir quais são eles:
Fonte: Wikipedia
LEONHARD EULER
No século XVIII, apresentou-se uma intensa atividade em
torno dos números imaginários. Leonhard Euler afirmava
que qualquer operação usual entre números imaginários
nos daria novamente um número da forma ,
em que 𝑚 e 𝑛 eram números reais. Segundo Ripoll, Rangel
e Giraldo (2016), apesar de toleradas as quantidades
complexas e negativas, elas não possuíam uma
representação rigorosa. Somente no início do século XIX
surgem as primeiras representações geométricas dos
números negativos e complexos.
JEAN ROBERT ARGAND
javascript:void(0)
/
A primeira abordagem geométrica para os números
negativos é devida a Jean Robert Argand em 1813-1814.
Ele introduz a noção de quantidades absolutas e
orientação, dando a interpretação geométrica de que
multiplicar por (−1) é a reflexão em relação à origem,
fazendo então com que (−1)⋅(−1) torne-se naturalmente
(+1).
Isto poderia ser assim representado:
Fonte: autor
Fonte: Lovers of Math
Fonte: Wikipedia
CARL FRIEDRICH GAUSS
Argand fez um trabalho muito bom, porém ele era um
matemático amador (profissionalmente, era livreiro).
Apenas em 1831, quando Carl Friedrich Gauss publicou
o que chamou de Manifesto das grandezas imaginárias, os
números complexos e negativos ganharam de vez o seu
lugar na Aritmética, sobre os quais era possível realizar
cálculos de modo consistente.
LEONHARD EULER (1707-1783)
Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam aproximadamente um terço
do corpo inteiro de pesquisa em Matemática, teorias físicas e Engenharia Mecânica publicadas entre 1726 e
1800. Em Matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em Análise
Matemática. 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
/
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos. Ele apresentou, ainda, uma
prova para o Teorema Fundamental da Álgebra, sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com o teorema no
caso em que os coeficientes são números complexos.
Fonte: (EDUC, 2000)
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)
Matemático, astrônomo e físico alemão, criador da Geometria Diferencial, a ele se devem importantíssimos
estudos de Matemática, Física, Geometria e Astronomia. Entre outras coisas, inventou o telégrafo e definiu o
conceito de números complexos. 
Fonte: (UC, 2020)
 SAIBA MAIS
Se você quiser saber um pouco mais sobre essa história, leia Historia da Matemática — Uma visão crítica desfazendo
mitos e lendas, de Tatiana Roque, e Números Racionais, Reais e Complexos, de Jaime Ripoll et al.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O NÚMERO NA REPRESENTAÇÃO MAIA: 
/
FONTE-AUTOR CLASS=
LEMBRE-SE DE CADA BOX DA ESQUERDA PARA DIREITA COMO CENTENAS, DEZENAS E
UNIDADES, E QUE CADA BOLINHA VALE UMA UNIDADE E CADA TRAÇO VALE CINCO
UNIDADES. 
 DETERMINE O ANTECESSOR E O SUCESSOR DO NÚMERO ACIMA, EM CARACTERES
MAIAS:
A)
Fonte-Autor
A)
B)
Fonte-Autor
B)
C)
Fonte-Autor
/
C)
D)
Fonte-Autor
D)
2. SEJA 𝒏 ∈ ℕ. CONSIDERE A SOMA: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A PARTIR DA TABELA, RESPONDA: 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 RESULTADO DA SOMA 2𝑛+1 VALOR DE 2𝑛+1
0 1 1 21 2
1 1 + 2 3 22 4
2 1 + 2 + 4 7 23 8
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24 16
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25 32
DE ACORDO COM O QUE OBSERVAMOS NA TABELA, QUAL DEVE SER O VALOR
ESTIMADO PARA A SOMA EM QUESTÃO COM 100 TERMOS?
A) 10000
B) 2100
C) 2100-1
D) X2101-1
GABARITO
1. Considere o número na representação maia: 
/
Fonte-Autor class=
Lembre-se de cada box da esquerda para direita como centenas, dezenas e unidades, e que cada bolinha vale
uma unidade e cada traço vale cinco unidades. 
 Determine o antecessor e o sucessor do número acima, em caracteres maias:
A alternativa "D " está correta.
Podemos perceber que os números maias, apesar de estarem na base 20, isto é, com seus algarismos representados
por números que vão de zero a dezenove, possuem uma subclassificação:
O sucessor de quatro bolinhas enfileiradas é uma barra horizontal.
O sucessor de uma barra é uma barra com uma bolinha em cima dela.
Fonte-Shutterstock
A regra vale até três barras enfileiradas. Devemos estar atentos ao fato de que o mesmo se aplica aos antecessores.
Como estamos falando de sucessores e antecessores no exercício, basta que observemos a casa das unidades, que é
a ultima casa, olhando da esquerda para a direita. Desta forma, podemos perceber que temos três barras.
 
O sucessor de três barras, pela lógica apresentada, deve ser o box com três barras com uma bolinha em cima.
 
O antecessor de três barras é o número duas barras com quatro bolinhas em cima. Desta forma, a resposta fica:
/
Fonte-Shutterstock
2. Seja 𝒏 ∈ ℕ. Considere a soma: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A partir da tabela, responda: 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 Resultado da soma 2𝑛+1 Valor de 2𝑛+1
0 1 1 21 2
1 1 + 2 3 22 4
2 1 + 2 + 4 7 23 8
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24 16
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25 32
De acordo com o que observamos na tabela, qual deve ser o valor estimado para a soma em questão com 100
termos?
A alternativa "D " está correta.
A pergunta foi simples: no caso, queremos saber apenas a expressão do resultado dos 100 primeiros termos da soma
proposta. A tabela nos faz acreditar que o resultado da soma será 2𝑛+1−1. Note que isso é o que a tabela está nos
induzindo, assim, a resposta correta é a letra D.
 
Vamos provar o caso geral. Poderíamos provar por indução que tal sentença é verdadeira para todo número natural 𝑛.
Entretanto, preferimos outra abordagem, mais simples.
 
Digamos que o valor desta soma seja 𝑥, então 𝑥 = 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 𝑛 - 1 + 2 𝑛.
 
E multiplicando por 2 ambos os lados, temos 2𝑥 = 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 𝑛 + 2 𝑛+1
2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 = 2 𝑛+1 −1
/
 Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à necessidade de realização de medidas e
manipulação das operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
Os números naturais e inteiros advêm do processo da contagem, tanto para acrescentar ou retirar. Contudo, na vida
diária sempre se precisou medir quantidades, tais como comprimentos, áreas, pesos e tempo. Desejamos operar
livremente as grandezas dessas quantidades. Para tal, devemos expandir o domínio de nossa Aritmética para além
dos números inteiros.
A pergunta que gostaríamos de responder inicialmente é:
DADOS 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, QUEM DEVE SER 𝑥 TAL QUE 𝑎⋅𝑥=𝑏?
No contexto dos números naturais, essa pergunta é tratada como um problema geométrico, com aparições desde o
século V a.C. O valor de 𝑥 era denominado terceira proporcional, assim concluímos que o manuseio dos números
racionais é muito anterior ao dos números inteiros.
A MEDIDA E OS NÚMEROS RACIONAIS
A medida dá origem aos números racionais positivos quando desejamos comparar grandezas de mesma espécie.
Necessitamos estabelecer uma unidade, uma grandeza 𝑢 fixada como referência, com a qual outras grandezas de
mesma espécie são comparadas.
ESTE PENSAMENTO NOS LEVA A UMA IDEIA INCOMPLETA,
MAS INTUITIVA: MEDIR = DETERMINAR QUANTAS VEZES A
/
UNIDADE OU ALGUMA SUBDIVISÃO DELA CABE NA
GRANDEZA A SER MEDIDA (ESSE PENSAMENTO NÃO É
ERRADO, APENAS INCOMPLETO).
Se estabelecermos um comprimento qualquer 𝑙, e
tomarmos um quadrado exatamente com essa medida de
lado, então, independentemente da unidade escolhida, com
base em alguma subdivisão em partes iguais do lado do
quadrado, nunca iremos conseguir dois números
naturais, tal que a diagonal do quadrado e o lado do
quadrado sejam múltiplos inteiros desta unidade.
Fonte: autor
NUNCA IREMOS CONSEGUIR DOIS NÚMEROS NATURAIS
Não se preocupe com essa afirmação! Você a entenderá perfeitamente, ainda neste módulo!
ENTENDIMENTO GEOMÉTRICO DOSNÚMEROS
RACIONAIS
Passamos agora ao entendimento geométrico dos números racionais. Fixada uma grandeza 𝑎 e uma unidade 𝑢, tal
que ela não possa ser colocada um número inteiro de vezes na grandeza 𝑎 a ser comparada, contudo suponha que
possamos subdividir a unidade 𝑢 em uma quantidade 𝑞, obtendo, então, uma nova unidade , menor que 𝑢 tal
que a qual passa, então, a caber uma quantidade inteira 𝑝 de vezes na grandeza 𝑎, assim com
isto, temos: ã
 ATENÇÃO
javascript:void(0)
/
Dizemos neste caso que um número racional é a medida de uma grandeza 𝑎, em que 𝑝,𝑞 ∈ ℕ. Desta forma, vemos
que os números racionais positivos surgem de modo natural do conjunto ℕ. Voltaremos a esta discussão na próxima
seção. Parece confuso? Tranquilize-se! Com o exemplo, tudo ficará bem mais claro!
EXEMPLO 1
Sejam 𝑢 a unidade, û, uma subdivisão da unidade 𝑢 e 𝑎 uma grandeza da mesma espécie de 𝑢, que se relacionam
segundo a imagem a seguir:
Fonte: autor
Vemos claramente que 𝑢=8⋅û e 𝑎=5⋅û . Desta forma, podemos expressar 𝑎 em termos da unidade, pois: 
û
û
Então: 
Logo, a medida de 𝑎 é 
/
A CONCEPÇÃO MODERNA DOS NÚMEROS
RACIONAIS
O tópico anterior apresentou de forma geométrica o surgimento dos números racionais, a partir de ter fixado uma
unidade como referência. De fato, uma excelente forma de se compreender esse conteúdo ou mesmo apresentá-lo a
quem gostaria de aprender Matemática.
 
Mas, seguindo a mesma percepção que tivemos com os Axiomas de Peano, podemos conceber a criação dos
números racionais a partir do que já sabemos sobre números inteiros. Perceba que continuamos no campo do conjunto
das frações, mas com um olhar levemente diferente.
DESSA FORMA, QUE OBJETO DA TEORIA DOS CONJUNTOS
PODE NOS AJUDAR A DESCONSTRUIR O CONCEITO ,
COM 𝒑,𝒒 ∈ ℤ E 𝒒≠𝟎?
Pode não parecer tão imediato em um primeiro momento, mas podemos traçar uma relação entre frações e pares
ordenados, por exemplo: 
Assim, podemos olhar uma fração como um par ordenado. Logo, o conjunto que dá origem aos racionais do ponto de
vista da lógica matemática é ℤ × ℤ∗, em que ℤ∗= ℤ ∖ { 0 }.
A figura a seguir ilustra de forma geométrica como devemos imaginar os números racionais:
Fonte: autor
/
No entanto, temos algumas arestas a serem aparadas. Por exemplo, os pares ordenados (4, 5) e (12, 15) são
diferentes, já as frações são as mesmas.
 
Para resolver este problema, você deve lembrar que duas frações são iguais ou equivalentes quando 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑐 ⋅
𝑑.
 DICA
Assim, utilizando as ideias já existentes, podemos definir uma relação de equivalência.
SEJAM (𝒂,𝒃),(𝒄,𝒅) ∈ ℤ × ℤ ∗, DIREMOS QUE (𝒂,𝒃) É
EQUIVALENTE A (𝒄,𝒅) QUANDO 𝒂⋅𝒅=𝒄⋅𝒅.
Em linguagem matemática, escrevemos (𝑎 , 𝑏) ≅ (𝑐 ,𝑑).
 
Definimos, então, um número racional como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ ∗, tal que
(𝑎 , 𝑏) ≅(𝑝, 𝑞).
 
 IMPORTANTE
Note que fixado 𝑛 ∈ ℤ, o par (𝑝, 𝑞) é equivalente a (𝑝 ⋅ 𝑛, 𝑞 ⋅ 𝑛), pois 𝑝⋅(𝑞 ⋅ 𝑛) = 𝑞 ⋅ ( 𝑝 ⋅ 𝑛), assim, podemos dizer sem
perda de generalidade que os conjuntos , São iguais. Nesse sentido, podemos perceber que tanto faz
escrevermos , o número independe do representante do conjunto. Outra forma de percebermos isso é
entender que também podemos escrever 1/2 ou 2/4, pois indicam a mesma quantidade representada.
Imagine que você divida uma maçã em duas partes iguais
e coma uma das partes (1/2). Não seria a mesma situação
se você a dividisse em quatro partes iguais, e comesse
duas destas partes (2/4)?
/
Fonte: Nataly Studio/Shutterstock
DEFINIÇÃO: 
DADO UM NÚMERO RACIONAL ∈ ℚ, DIREMOS QUE É
IRREDUTÍVEL SE O ÚNICO DIVISOR NATURAL COMUM DE 𝒑
E 𝒒 FOR O NÚMERO 1.
EXEMPLO 2
Considere os números: .
Diga se eles são ou não irredutíveis.
Vejamos: como foi relatado, esperamos que você tenha alguma familiaridade com as operações básicas.
Para resolver este problema, recomendamos o uso de uma tabela, onde nós vamos colocar os divisores do numerador
em uma linha e os divisores do denominador em outra. Se apenas o 1 aparecer nas duas tabelas, simultaneamente,
então a fração será irredutível. Esse pode não ser o método mais rápido, mas é o mais simples.
49 1,7,49
21 1,3,7,21
/
Percebemos neste caso que o 1 e o 7 aparecem como divisores de ambos os números, no caso 49 e 21. Desta forma,
temos que a fração é redutível. Apesar de ser redutível, note que existe um representante irredutível para esta
fração, pois e neste caso é irredutível.
9 1,3,9
14 1,2,7,14
Percebemos neste caso que apenas o número 1 ocorre como divisor em ambas as tabelas, por isso, temos pela
definição que é irredutível.
 ATENÇÃO
Obs. 1: Dada uma fração ∈ ℚ, sempre existe um representante, (𝑝,𝑞)∈ , tal que é irredutível.
Obs. 2: Entendemos perfeitamente o que você deve estar pensando, “Mas, como assim? Um número racional é um
conjunto?”.
Sim, um número racional é um conjunto, mas se você pensar bem, ele já era um conjunto, pois se fixarmos, por
exemplo, (2,3)∈ ℤ×ℤ∗, o que é este número? Pela nossa definição , que é o mesmo número que: ,
para quaisquer 𝑛 ∈ ℤ. Sendo assim, as frações equivalentes que vemos no Ensino Fundamental apresentam o
conceito de classes de equivalência, mas sem fazer alarde.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
QUAL DAS SENTENÇAS A SEGUIR É O REPRESENTANTE IRREDUTÍVEL DA FRAÇÃO
432180 ?
A) 21690
B) 10845
C) 7230
D) 125
/
GABARITO
Qual das sentenças a seguir é o representante irredutível da fração 432180 ?
A alternativa "D " está correta.
O que estamos pedindo aqui é que você simplifique a fração até que isso não possa mais ser feito. De forma geral,
temos: 
432180=2⋅2162⋅90=2⋅2⋅1082⋅2⋅45=4⋅3⋅364⋅3⋅15=12⋅3⋅1212⋅3⋅5=125 
Portanto, a resposta correta é a letra d).
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Para que possamos nos aprofundar ainda mais nessa concepção moderna dos números racionais, devemos ter em
mente que uma interpretação geométrica está no entendimento das soluções das equações 𝑞⋅𝑥=𝑝, com 𝑝,𝑞 ∈ ℤ e 𝑞≠0.
 
Observemos isto graficamente:
Fonte: autor
Você pode notar que todos os pontos pretos que estão sobre uma mesma reta na figura, pertencem ao mesmo
conjunto. Sob a luz desta perspectiva, podemos pensar sobre esta nova representação no sentido das inclusões
ℕ⊂ℤ⊂ℚ, como segue na próxima figura:
/
Fonte: autor
O conjunto dos números naturais está representado pelos pontos amarelos, o conjunto dos números inteiros são os
pontos amarelos e os verdes e, por fim, o conjunto dos números racionais são os pontos de cor amarela, verde e azul.
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Você sabe o que significa uma relação de equivalência?
Uma relação de equivalência em ℤ×ℤ* é um objeto matemático que satisfaz as 3 propriedades a seguir:
1 - REFLEXIVA
(𝑝,𝑞)≅(𝑝,𝑞)
2 - SIMÉTRICA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦)⇒ (𝑥,𝑦) ≅ (𝑝,𝑞)
3 - TRANSITIVA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦) e (𝑥,𝑦) ≅ (𝑎,𝑏) ⇒ (𝑝,𝑞) ≅ (𝑎,𝑏)
Para que o aluno possa entender melhor as relações de
equivalência, vamos pensar sobre a relação de amizade,
em sentido amplo.
Fonte: Rawpixel.com/ Shutterstock
- A reflexividade nos diz que uma pessoa é amiga de si mesma.
- A simétrica nos apresenta que a relação de amizade é mútua: se eu sou seu amigo, então você também é meu
amigo.
/
- Por fim, a transitiva diz que se um amigo seu tiver um amigo, essa pessoa é imediatamente sua amiga também.
É claro que isto é apenas um contexto lúdico, mas espero que você tenha entendido a ideia das relações de
equivalência.
 ATENÇÃO
É muito importante que você perceba que estamos aqui apenas apresentando as ideias básicas acerca deste mundo
tão fantástico da Matemática. Portanto, há muito a se aprender, muito a ser aprofundado.
As relações de equivalência são, de modo geral, um conceito extremamente abstrato. Frações equivalentes são
apenas um exemplo que apresenta de forma simples o conceito, especialmente para os principiantes nesse vasto
universo matemático. Saiba, portanto, que este tema escala em âmbito de generalidade e abstração que só pode ser
de fatoentendido quando se ganha experiência e maturidade matemática, e como toda maturidade, só se adquire com
o tempo.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
SEJAM PQ ∈ ℚ UMA FRAÇÃO. QUAL DAS SENTENÇAS ABAIXO É VERDADEIRA? 
DICA: PARA MOSTRAR QUE ALGO É FALSO, BASTA EXIBIR UM CASO EM QUE A
SENTENÇA SEJA FALSA. ASSIM, TENTE VERIFICAR QUE EXISTEM 4 AFIRMAÇÕES
FALSAS. A QUE SOBRAR SERÁ A VERDADEIRA.
A) pq é irredutível.
B) Se 𝑝 é par e pq é redutível, então 𝑞 é par
C) Se p2q2 é irredutível, então pq é irredutível.
D) Se 𝑝 é ímpar e pq é irredutível, então 𝑞 é par.
GABARITO
/
Sejam pq ∈ ℚ uma fração. Qual das sentenças abaixo é verdadeira? 
DICA: Para mostrar que algo é falso, basta exibir um caso em que a sentença seja falsa. Assim, tente verificar
que existem 4 afirmações falsas. A que sobrar será a verdadeira.
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
Vamos por eliminação: 
a) É falsa, pois, se escolhermos pq=24, esta fração é redutível. 
b) É falsa, pois se escolhermos pq=69, temos que 𝑝=6 é par, ela é redutível, mas 𝑞=9 é ímpar. 
c) É verdadeira, mas vamos verificar que as outras são falsas, que é bem mais simples. 
d) É falsa, pois, se escolhermos pq=35, temos que 𝑝=3 é ímpar, ela é irredutível, mas 𝑞=5 é ímpar.
ALGUMAS OPERAÇÕES EM ℚ
Apesar das ideias abstratas, a medida ainda é o que nos guia na hora de definir as operações com frações. A seguir,
uma breve síntese das operações de soma e divisão de frações com objetivo de darmos sentido a essas operações.
SOMA
Primeiro, devemos lembrar que, para executar a soma, as grandezas devem ser colocadas sob a mesma unidade ou
subunidade. Por exemplo:
Pensando em segmentos, o que temos aqui são duas barras de mesmo material e mesmo tamanho, em que a primeira
barra está dividida em 3 partes e usamos uma, e a segunda está dividida em 5 partes e usamos 3. O ponto é que em
cada barra estão sendo utilizadas unidades diferentes. O que devemos fazer é colocar as barras sob a mesma
subunidade. Como?
BARRA 1
A barra 1 está dividida em 3 partes. Dividindo cada uma delas em 5 partes, vamos obter 15 partes no total. Mas, se
usamos uma das 3 partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 5 partes com a nova unidade, pois sabemos que
BARRA 2
A barra 2 está dividida em 5 partes. Dividindo cada uma delas em 3 partes, vamos obter 15 partes no total. Mas, se
usamos três das 5 partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 9 partes com a nova unidade, pois sabemos que
assim: 
/
De forma geral: 
Definição:
Dados ∈ ℚ tem-se 
Esta pode não ser exatamente a forma como você aprendeu a somar frações na infância, mas, no fim, é a mesma
coisa. Estamos evitando usar termos como MMC (Mínimo Múltiplo Comum) ou MDC (Máximo Divisor Comum).
Lembra-se deles?
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
GASTEI 39 DO MEU SALÁRIO COM ALIMENTAÇÃO E 25 COM AS DEMAIS DESPESAS. O
QUE SOBROU FOI APLICADO EM UM INVESTIMENTO DE RENDA FIXA. QUAL FRAÇÃO DO
MEU SALÁRIO FOI COLOCADA NO INVESTIMENTO?
A) 3345.
B) 514
C) 415
D) 914
GABARITO
Gastei 39 do meu salário com alimentação e 25 com as demais despesas. O que sobrou foi aplicado em um
investimento de renda fixa. Qual fração do meu salário foi colocada no investimento?
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
A conta é simples. O que foi gasto corresponde a 3 9+ 2 5=15+1845=3345. 
Esta é a parte que foi gasta. Como queremos o que foi investido, então: 3345−4545=1245 
A resposta poderia ser esta, sem problemas, mas ela não está na múltipla escolha, note que 1245=415 
 
DIVISÃO
Lembre-se de que uma divisão já é uma fração, assim, a divisão de frações pode ser pensada da seguinte forma:
.
/
Segundo o mesmo princípio das frações equivalentes, isto é, quando multiplicamos o numerador (a parte de cima da
fração) e o denominador (a parte de baixo da fração) pelo mesmo valor, continuamos a ter a mesma fração. Assim:
 
 .
De forma geral:
Definição:
Dados ∈ ℚ com 𝑚≠0, tem-se 
 RELEMBRANDO
Provavelmente, você tenha se lembrado da famosa regra: Mantenha o primeiro e multiplique pelo inverso do segundo.
EXEMPLO 3
Uma geladeira foi comprada de maneira que do valor foram pagos à vista. O restante do valor deve ser pago em 10
prestações iguais. Qual a fração, em relação ao total, de cada parcela?
SOLUÇÃO
A ideia é simples: ficaram faltando do valor da geladeira, e esta quantia foi dividida em 10 parcelas fixas. Logo, o
montante de cada parcela vai corresponder a . 
OS INCOMENSURÁVEIS E O SURGIMENTO DOS
NÚMEROS REAIS
Segundo Eave (1995), os pitagóricos acreditavam que os números eram a essência do universo e da sociedade
secreta grega. Sob a concepção moderna, um número para os pitagóricos correspondia aos números racionais
positivos.
 
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/
Devemos ter o cuidado de localizar os próximos eventos, narrados há aproximadamente 500 a.C., porque não há como
ter precisão histórica em relação ao que vamos contar, mas a reflexão vale muito a pena!
 
O problema se inicia com um fato guardado a sete chaves pelos pitagóricos:
PITAGÓRICOS
Pitágoras (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego, creditado como fundador do pitagorismo.
A DIAGONAL DE UM QUADRADO É INCOMENSURÁVEL COM
SEUS LADOS.
O QUE ISSO SIGNIFICA?
Segundo o Teorema de Pitágoras, deve-se ter que: Se 𝑥 é
a diagonal de um quadrado de lado 𝑙, então 𝑥 deve ser a
solução da equação 𝑥2=𝑙2+𝑙2, portanto 𝑥2=2𝑙2.
Assim, se estabelecermos um comprimento qualquer, e
tomarmos um quadrado exatamente com essa medida de
lado, independentemente da unidade escolhida, com base
em alguma subdivisão em partes iguais do lado do
quadrado, nunca iremos conseguir dois números naturais,
tal que a diagonal do quadrado e o lado do quadrado sejam
múltiplos inteiros desta unidade. Fonte: Autor
De acordo com Eave (1995), toda a teoria da proporção pitagórica e das figuras semelhantes era baseada nesse
pressuposto óbvio. Assim, grande parte da Geometria pitagórica foi subitamente invalidada.
 CURIOSIDADE
A lenda conta que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, foi misteriosamente naufragado após ter exposto
esse segredo.
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Outra relação que ilustra a incomensurabilidade entre grandezas é a comparação entre o diâmetro 𝐷 e o perímetro 𝐶
de um círculo que gera o famoso número 𝜋, em que
Fonte: autor
Neste caso, a prova que tais grandezas são incomensuráveis é bem mais difícil e sofisticada. A primeira prova foi dada
apenas em 1770, por Johann Lambert.
Uma prova simplificada para este fato pode ser encontrada em Niven (1947) ou com maiores detalhes em Spivak
(1970). Decorre da existência de grandezas incomensuráveis a necessidade de se expandir o conjunto dos números
racionais.
OS NÚMEROS REAIS FORAM UM CAPÍTULO E TANTO NO
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO E
SOMENTE COMPLETAMENTE ENTENDIDOS PELA
COMUNIDADE MATEMÁTICA NA SEGUNDA METADE DO
SÉCULO XIX.
Como já falamos, haverá sempre um mundo a se mergulhar no âmbito da Matemática!
As atividades a seguir ilustram um pouco da dificuldade que se pode encontrar quando trabalhamos com frações.
EXEMPLO 4
Adaptada da OBMEP
Um ônibus transporta 31 estudantes da Estácio, baianos e mineiros, para um encontro nacional de educação. Entre os
baianos, são homens e, entre os mineiros, são mulheres. Entre todos os estudantes, quantas são as mulheres?
SOLUÇÃO
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Esta questão é delicada, mas muito bonita também. Aqui, fica nítido que não conhecemos as unidades do problema e
que eles se encontram em unidades distintas, assim, se simplesmente fizermos a soma das frações, isso não irá nos
dar uma resposta adequada. Neste problema, temos duas unidades, representadas em baianos e mineiros.
 
Porém, o problema deixa algumas coisas claras:
Baianos + Mineiros = 31.
A quantidade de mineiros como unidade, é divisível por 7, pois são mulheres.
A quantidade de baianos como unidade é divisível por 5, pois são homens.
VAMOS FAZER UMA TABELA:
Múltiplos de 7 Número cuja soma é 31
7 24
14 17
21 10
28 3
Vemos claramente