Exercicios das Aulas Algebra linear e Geometria analitica

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Marque a alternativa que apresenta uma equação linear para as variáveis 
reais x, y e z. R: 2X + 3Z -8 = 0 
2. Verifique qual alternativa apresenta uma solução para o sistema x - y + z = 1 
/ x+ y + z = 5 / x + 2y - z =3 
(x , y , z) = (1 , – 1 , – 1) 
(x , y , z) = (2 , 2 , 1) 
(x , y , z) = (1 , 2 , 2) 
(x , y , z) = (2 , 1 , 1) 
 
Verifique a alternativa que NÃO é uma solução para o sistema x - y + z = 1 / 
x+ y + z = 5 / x +z = 3 
(x , y , z) = (1 , 2 , 3) 
(x , y , z) = (2 , 2 , 1) 
(x , y , z) = (1 , 2 , 2) 
(x , y , z) = (3 , 2 , 0) 
 
4. Classifique o sistema de equações lineares x - y + z = 1 / x+ y + z = 5 / 3x -
 3y + 3z = 2 
 
Impossível 
Possível e determinado com (x, y, z) = (2, 2, 1) 
Possível e determinado com (x, y, z) = (1, 2, 2) 
Possível e indeterminado 
 
5. Classifique o sistema de equações lineares x - y + z = 1 / x+ y + z = 5 / 
 x + 2y - z = 3 
Impossível 
Possível e determinado com (x, y, z) = (2 ,2 , 1) 
Possível e determinado com (x, y, z) = (1 ,2 , 2) 
Possível e indeterminado 
 
 
 
6. Marque a alternativa verdadeira quanto ao sistema x - y + z = 1 / x+y + z = 5 
/ x + z = 3 
Impossível 
Possível e determinado com solução (x, y, z) = (0, 2, 3) 
Possível e determinado com solução (x, y, z) = (2, 2, 1) 
Possível e indeterminado 
 
1. Marque a alternativa que apresenta um sistema de equações lineares para as variáveis 
reais x e y. 
 R: 3X + Y = 4 
 2X - Y = 7 
 
 
2. Verifique a alternativa que NÃO é uma solução para o sistema x - 2y + z = 4 / x+ 2y + z = 8 / 
 x + z = 6 
(x, y, z) = (6, 1, 1) 
 
1. Classifique o sistema linear 
x - y + z = 0 / x+ 2y + z = 0 / x +2y - z = 0 
Impossível 
Possível e indeterminado 
Possível e determinado com solução (0,0,0) 
Possível e determinado com solução (0,0,1) 
 
 
2. Determine para que valores de k real o sistema linear x - y + z = 3 / x+ ky + z = 7 / x +kz = 5 
será possível e determinado. 
∀k real, k≠1 
∀k real, k≠1 e k≠-1 
∀k real, k≠1 e k≠2 
∀k real, k≠-1 e k≠2 
 
 
3. Determine para que valores de k real o sistema linear x - y + z = 3x+ ky + z = 7 x +kz = 5 
será possível e indeterminado. 
k=-1 
k=-53 
k=53 
k=1 
 
 Obtenha a solução do sistema 2x + y - z = 0 / x+ y - z = 1 / x -2y +z = -6 
(x, y, z) = (3, 2, 1) 
(x, y, z) = (– 1, 3, 1) 
(x, y, z) = (1, – 2, – 1) 
(x, y, z) = (3, 0, 1) 
 
 
 
 
 
Obtenha a solução do sistema x+y-z+w=2 / x+y-z=0 / x-2z+w=2 / 3y+2z+w=1 
(x, y, z, w) = (3, 2, 1, 0) 
(x, y, z, w) = (– 1, 2, – 1, 0) 
(x, y, z, w) = (2, – 1, 1, 2) 
(x, y, z, w) = (3, 0, 1, 1 
 
Obtenha a solução do sistema x+y-z=4 / 2x+y-3z=5 / 
x-2y+z=0 
(x, y, z) = (3, 2, 1) 
(x, y, z) = (– 3, 2, – 1) 
(x, y, z) = (3, – 2, 1) 
(x, y, z) = (3, 0, 1) 
 
 
 
Determine para que valor de k, real, para que o sistema
 2x+y-z=2 / x+ky+3z=2 / x-
2y+z=1 seja possível e determinado. 
k=-16/3 
∀ k real, k≠-16/3 
∀ k real, k≠16/3 
k=16/3 
Marque a alternativa que apresenta a imagem do vetor (3, 5) pela transformação T:R²→R² tal 
que T (x, y) = (y , y – x). 
(5,2) 
(2,5) 
(4,1) 
(1,4) 
 
 
 
 
2. A imagem do vetor (1, 2) em relação à transformada T de matriz canônica (1k-12) vale (3,3). 
Obtenha o valor de k real. 
0 
1 
2 
3 
3. Assinale a alternativa que apresenta uma transformação linear T: R²→R² ortogonal. 
T(x,y) = -12x+32y,32x 
T(x,y) = x + y, x 
T(x,y) = 1/2x-3/2y,3/2x +1/2y 
T(x,y) = 2x, 3y 
4. Marque a alternativa que apresenta o módulo da imagem do vetor (1, 1) via operador linear 
com matriz canônica ½ V3/2 V-3/2 1/2. 
1 
V2 
3 
2 
5. Aplica-se a um retângulo de vértices (3, 2), (– 3, 2), (– 3, – 2) e (3, – 2), uma transformação 
linear T:R²→R² tal que T(u , v) = 12u+32v , -32u+12v. Marque a alternativa que apresenta a 
imagem do retângulo após a sua transformação por T. 
Um retângulo com mesmo tamanho de lados, porém rotacionado 300, no sentido horário, 
em relação ao original. 
Um retângulo com tamanho de lados alterado, porém rotacionado 300, no sentido anti-
horário, em relação ao original. 
Um retângulo com mesmo tamanho de lados, porém rotacionado 600, no sentido anti-
horário, em relação ao original. 
Um retângulo com tamanho de lados alterado, porém rotacionado 600, no sentido horário, 
em relação ao original. 
6. Uma transformação linear T é aplicada a um quadrado centrado na origem, com lados 
paralelos ao eixo e de lado 2. Sabe-se que essa transformação linear T tem uma matriz 
canônica 1401. Marque a alternativa que representa a imagem obtida pela aplicação de T no 
referido quadrado. 
Um retângulo 
Um quadrado 
Um paralelogramo 
Um triângulo 
 
 
 Uma transformação linear T: R²→ R² tal que T(x , y) = 
(3x – y , x + 2y). Determine a imagem T(u), com u igual 
a (7, 1). 
(8, 12) 
(9, 20) 
(20, 9) 
(12, 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma transformação linear T é aplicada a um 
retângulo de lados (1, 2), (1, 4), (2, 2) e (2, 4). Sabe-se 
que essa transformação linear T é de cisalhamento 
vertical, possuindo uma matriz canônica 1031. Marque 
a alternativa que representa a imagem obtida pela 
aplicação de T no referido retângulo. 
Um retângulo 
Um quadrado 
Um paralelogramo 
Um triângulo 
 
1. Marque a alternativa que apresenta o polinômio característico na matriz relacionada ao 
sistema linear 
2x-y=4 / 4y+3x=7 . 
2λ+3 
λ2+8λ+1 
λ2-6λ+11 
λ2+6λ+4 
2. Seja w (3,6,3) um autovetor da transformação linear com matriz canônica 401232104. 
Determine o seu autovalor correspondente. 
5 
4 
3 
2 
3. Uma matriz 2 x 2 apresenta traço igual a 4 e determinante igual a – 5. Se λ1 e λ2 são os 
autovalores desta matriz, com λ1 > λ2, determine 2λ1 - λ2 . 
9 
11 
13 
15 
4. Marque alternativa que apresenta um autovetor da matriz 2442. 
(3, 0) 
(1, 2) 
(– 2, 2) 
(0, 3) 
5. Marque alternativa que apresenta um autovetor e seu autovalor associado, respectivamente, 
para a transformação linear 4x - y = 9 / 2x +y = -1 
(1, 1) e 2 
(4, 4) e 3 
(2, 1) e 3 
(1, 2) e 2 
 
 
 
6. Marque a alternativa que apresenta um autovetor e seu autovalor associado, 
respectivamente, para a transformação linear x+y-2z= -2x-2y+z=1-2x+y+z=1 
(2, 1, 2) e 0 
(– 2, 0, – 2) e – 3 
(2, 2, 2) e 3 
(2, 0, – 2) e 3 
1. Seja w (2,2,2) um autovetor da transformação linear com matriz canônica -12-1-1-122-1-1. 
Determine o seu autovalor correspondente. 
3 
2 
1 
0 
2. Marque alternativa que apresenta um autovetor da matriz 60 / 16-2. 
(3, 0) 
(1, 2) 
(4, 2) 
(3, 3) 
 
 
 
 
 
1. Qual o tamanho da Matriz B=14175 / 03319 / 24110 ? 
5 x 3 
3 x 5 
15 x 1 
1 x 15 
2. Marque uma alternativa que apresenta uma matriz identidade de ordem 3. 
111 / 111 
11 / 11 / 11 
100 / 010 / 001 
111 / 111 / 111 
3. Marque a alternativa que não apresenta uma característica da matriz C=1-23 / 210 / -301: 
É uma matriz quadrada. 
Os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1. 
O elemento c2,1 vale 2. 
É uma matriz antissimétrica. 
 
 
 
 
 
4. Marque a alternativa que apresenta uma matriz que tem as seguintes características: 
quadrada, triangular inferior e traço igual a 7. 
300140 
300 / 150 / 03-1 
31205100-1 
700770 
5. Determinada matriz é triangular superior de ordem 3. Sabe-se que os elementos da matriz 
seguem as seguinte regras mij=i+j, se i=jmij=i+2j, se j>i 
 
Determine o valor da soma m1,3 + m2,2 + m3,1: 
11 
9 
21 
13 
6. Determinada matriz B é uma matriz oposta à matriz A. Sabe-se que a matriz A é uma matriz 
simétrica de ordem 3. Alguns elementos de A são definidos por aij=2i-j , para i=jaij=j-
2i+2, para i>j. 
 
Determine o valor do traço da matriz B mais o elemento b13. 
4 
-3 
-4 
3 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
ATENÇÃO! 
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda corretamente a uma das 
seguintes questões: 
1. Marque a alternativa que apresenta uma matriz que tenha um tamanho 3 x 2 e cujos 
elementos 
mij = i + 2j. 
345567 
357468 
35 / 46 / 57 
345678 
2. Uma matriz A é simétrica deordem 3, com elementos da diagonal principal igual a 
1 e a12 = a13 = 3 e a23 = 4. A matriz B é igual à matriz A. 
 
Determine a soma b32 + b33 + b12, em que bij é o elemento da matriz B localizado na linha i e 
coluna j. 
7 
8 
9 
10 
Responder 
 
 
1. Sabe-se que a Matriz P, de tamanho 3 x 4, é igual a MN. Se a matriz M tem tamanho p x q, e 
a matriz N tem tamanho 2 x w, com p, q e w números inteiros diferentes de zero. Marque a 
alternativa que apresenta o valor de p + q + w. 
7 
8 
9 
10 
2. Sabe-se que a matriz D=10-1432. Marque a alternativa que apresenta a matriz E, que é a 
matriz oposta da transposta da matriz D. 
-101-4-3-2 
-101-4-3-2 
-1-4 / 0-3 / 1-2 
-4-1-30-21 
3. Sabe-se que 
R = M.0 + (AIB)
T
 - (AB - (BA)
T
)
T
, 
 
em que 0 é a matriz nula e I a matriz identidade. Todas as matrizes são quadradas de ordem 3. 
 
Assinale a opção correta. 
B
T
 A
T
 
AB 
A
T
 B
T
 
BA 
4. Sejam as matrizes A=1-10321, B=22-1101 e C=234021. Determine a matriz D, tal que D = 
2A - B + 3C
T
. 
7991145 
687 / 1444 
91717-43 
889114-4 
5. Determine a matriz Q= AB, sabendo que A=1-12311010 e B=0-1011-1120. 
-3-1-14-13714 
121 / 20-1 / 11-1 
011-213-112 
1-22420130 
6. A matriz M=a00b+1 é tal que M
2
 - IM = 0. Sabendo que M não é uma matriz nula, determine 
a alternativa que possui o intervalo para todos os possíveis valores da soma de a + b. 
-1 < a + b ≤ 1 
-2 < a + b ≤ 0 
0 < a + b ≤ 1 
1 < a + b ≤ 2 
 
 
 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
ATENÇÃO! 
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda corretamente a uma das 
seguintes questões: 
1. Sejam as matrizes A=123321410 e B=0-12213134. Determine a matriz C = 2A + I + B
T
, em 
que I é a matriz identidade de ordem 3. 
C=338865975 
C=348-866976 
C=367 / 565 / 1055 
C=124065376 
2. Determine o valor de M.N, sabendo que M=1-12031 e N=113103. 
-26 / 96 
1827 
2-6-96 
Impossível executar o produto de M com N 
Determine o valor de k real, sabendo que o determinante da matriz M=k2-1(k+3) vale 6. Sabe-
se, também, que o traço da matriz M é positivo. 
-4 
1 
-1 
4 
2. Sejam as matrizes A, B e C, todas quadradas de ordem 4. A matriz A tem todos os 
elementos iguais a 1 e a matriz B = 2 C. Sabendo que det (C) = 3, determine, respectivamente, 
o determinante de A e de B. 
0 e 6 
1 e 48 
0 e 48 
1 e 6 
3. Seja uma matriz quadrada M com 3 linhas e 3 colunas, cujo determinante vale 5. Realiza-se 
algumas operações na matriz M, uma após a outra: multiplica-se todos os elementos da 
segunda linha por 2, multiplica-se todos os elementos da terceira coluna por 4 e, por fim, acha-
se a transposta da matriz. Calcule o determinante da matriz obtida após as três operações. 
2560 
1280 
120 
40 
4. A matriz P = MN
T
. Determine o valor do determinante da matriz N, sabendo que o 
determinante de P vale 9 e a matriz M 1212-10011. 
– 3 
3 
6 
– 6 
5. A matriz A é triangular superior de ordem 3. Sabe-se que o determinante de A vale – 4, o 
traço vale 3 e o elemento da primeira linha e primeira coluna vale 2. Determine, 
respectivamente, o valor de a2,2 e a3,3 sabendo que a3,3 > a2,2. 
2 e – 1 
– 1 e 2 
2 e 2 
1 e – 2 
6. Seja a matriz 40-15202320850k41 cujo determinante vale 24. Determine o valor de k. 
1 
2 
3 
4 
Responder 
Comentário 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
ATENÇÃO! 
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda corretamente a uma das 
seguintes questões: 
1. Calcule o determinante da soma da matriz A=12-2-1 com a matriz B=2011. 
5 
3 
2 
1 
2. Calcule o valor de k sabendo que o determinante de P=1220k21111 vale-8. 
Apenas 3 
± 1 
Apenas 1 
±3 
1. Sabe-se que a matriz B é a inversa da transposta da matriz A. Se o determinante da matriz A 
vale 1/2, calcule o determinante de B. 
2 
4 
0,5 
0,25 
2. Sabe-se que a matriz B = 2A, matrizes quadradas de ordem 2. Se a matriz A tem 
determinante igual a 8, qual o determinante da matriz inversa de B? 
32 
1/32 
16 
116 
 
 
 
 
3. Calcule a matriz inversa da matriz M=01 1-2. 
21-11 
20-21 
21 10 
1112 
4. Seja a matriz P=112 0-10 123. Se a matriz R é a inversa da matriz P, calcule o 
determinante da matriz R transposta. 
2 
-0,5 
-1 
1 
5. Calcule o traço da matriz Q que é a inversa da matriz N=21 12 
34 
74 
14 
4/3 
6.Determine a matriz inversa da matriz A=1-11101021. 
-231-1-122-22 
-23-1 -110 2-21 
231-1312-21 
2-3-11-100-21 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
ATENÇÃO! 
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda corretamente a uma das 
seguintes questões: 
1. Calcule a matriz inversa da matriz M=1-112 
-1321-11 
1/3 (21-11) 
16-2-1-11 
1621-11 
2. Sabe-se que P = (MN)
-1
. Estabeleça o determinante da matriz transposta de P (P
T
), sabendo 
que o determinante de M vale 3 e o determinante de N vale 2. 
1/6 
23 
6 
3 
 
 
 
 
 
 
1. Sabe-se que o ponto P (k, 22) pertence à parábola com foco no ponto F (5, 7) e reta diretriz 
y + 3 = 0. O valor de k é: 
10 
12 
15 
17 
2. Seja a parábola de equação y
2
 = –16x – 32. Determine a equação da reta diretriz da 
parábola. 
y+2=0 
x+2=0 
y-2=0 
x-2=0 
3. Determine as coordenadas do foco da parábola da equação x-4y2-32y+4=0: 
(61, – 4) 
(59, – 4) 
(60, – 3) 
(60, – 5) 
4. Uma parábola vertical com concavidade para baixo tem parâmetro 16 e foco no ponto (2,3). 
Sabe-se que o ponto Q (4, k) pertence à parábola. O valor de k é: 
14 
18 
-8 
-1/8 
5. Determine a o valor de k para que a reta x + y + k = 0 seja tangente à parábola (x – 1)
2
 = y – 
2. 
-14 
-54 
114 
-11/4 
6. O ponto P (2, k) pertence à parábola vertical definida pelos pontos (1, 8), (– 1, 0) e (– 2, 2). 
Determine o valor de k. 
16 
18 
20 
22 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Seja a parábola com foco no ponto F (5, 7) e vértice no ponto V (1, 7). Sabe-se que o ponto 
P (k, 15) pertence à parábola. Determine o valor de k real. 
3 
4 
5 
7 
2. Determine a equação da reta diretriz da parábola de equação y+12x2-96x+184=0. 
x + 11 = 0 
y + 11 = 0 
x – 11 = 0 
y – 11 = 0 
Responder 
2. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância ao ponto (- 
1, 2) é fixa e igual a 5. 
x+1²+y-2²=25 
x+12+y-22=5 
x-22+y+12=5 
(x+1)+5y-22=25 
3. Determine a excentricidade da elipse dada pela equação 
2x2+y2-12x+2y+11=0 
V2/2 
32 
3 
2 
4. Seja C o centro da circunferência (x-2)2+y+42=8. Seja F o foco, de abscissa positiva da 
elipse x236+y-2235=1. Determine a distância entre C e F. 
37 
36 
40 
32 
5. Determine a(s) interseção(ões) da circunferência (x+3)²+y+4²=20 com a reta x – y + 1 = 0. 
Apenas (– 1 , 0) 
Apenas (– 7, – 6) 
(3 ,4) e (7, 6) 
(– 1 , 0) e (– 7, – 6) 
6. Os pontos P (a, b) e Q (c, d) são os pontos de interseção entre as retas diretrizes da elipse 
equilátera horizontal de centro no ponto (2,2) com eixo menor igual a 42 e a reta x + y – 2 = 0. 
Determine o valor de a + b + c + d: 
42 
4 
-4 
-42 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Seja a elipse com um dos focos em (2, 1), centro em (2,0) e um dos vértices em (2, 6). 
Determine a equação reduzida da elipse. 
x-2236+y235=1 
x-2²/35+y²/36=1 
x-2236+y21=1 
x-221+y236=1 
2. O ponto (3,4) pertence à circunferência de centro em (1,2). Determine a equação da 
circunferência. 
(x-3)2+y-42=22 
(x+3)2+y+42=22 
(x-3)²+y-4²=8 
(x+3)2+y+42=8 
1. Determine a equação reduzida da hipérbole que tem reta diretriz paralela ao eixo das 
ordenadas, centro no ponto (3, 4), eixo focal de 4 e excentricidade de 2. 
x+323-y+421=1 
x+323+y+421=1 
x-3² / 1- y-4² / 3 =1 
x-321+y-423=1 
2. Obter o foco da cônica cuja equação vale y+2²/7 - x+2² / 2- =1 
(– 2, 0) e (– 2, 2) 
(– 2, –5) e (– 2, 1) 
(– 5, – 2) e (1, – 2) 
(2, – 1) e (2, 5) 
3. Um ponto pertence a uma hipérbole vertical de excentricidade 2 e que tem eixo imaginário 
igual a 6. Este ponto está mais perto de F1 do que F2, que são os dois focos desta hipérbole. 
Sabendo que a distânciaentre o ponto e o foco F1 vale 3, determine a distância entre o ponto e 
foco F2 
3 
23 
3V3 
3 
4. Determine a alternativa que apresenta a equação de uma das assíntotas da hipérbole com 
equação x-1²/16 - y+2²/9 =1. 
4x+3y+5=0 
3x+4y+5=0 
4x+3y+12=0 
3x-4y+11=0 
 
5. Uma hipérbole tem centro na origem e passa no ponto (-4 ,1). Sabe-se que esta hipérbole 
tem foco em F (3, 0). Determine a excentricidade da hipérbole. 
3V2 / 4 
334 
24 
34 
6. Uma hipérbole com excentricidade 2 tem as retas diretrizes com equação x – 8 = 0 e x + 2 = 
0. Seu centro tem ordenada igual a 1. Determine a equação canônica desta hipérbole. 
x+82300-y-12100=1 
-x-22400+y-12300=1 
x-32300-y-12100=1 
x-3² / 100-( y-1²3 / 300=1 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Seja a hipérbole vertical com tamanho de eixo real 24 e eixo focal 26. Sabe-se que seu 
centro está no ponto (0, 3). Determine a equação reduzida da hipérbole 
x-2236+y235=1 
y-3² / 144-x²/25=1 
x225-y-32144=1 
x2144-y-3225=1 
2. O ponto (k, 6) pertence a uma hipérbole com vértices nos pontos (- 5, 3) e (5,3) e com 
excentricidade 1,25. Determine o valor de k
2
: 
0 
1 
2 
3 
1. Marque a alternativa que representa a equação de uma parábola, duas retas paralelas ou 
duas retas coincidentes: 
2x2+2y2+3x-4y+10=0 
2x²+2y²-4xy+2x-4y+10=0 
2x2+2y2-xy-4y+10=0 
2x2-4y2-4xy-4y+10=0 
2. Identifique o lugar geométrico formado pela equação 
X²+y²-12x+12y+12=0. 
Uma circunferência de centro (6, – 6) 
O ponto (6, - 6) 
Conjunto vazio 
Uma elipse de centro (6, – 6) 
3. Identifique o lugar geométrico formado pela equação 
X²+y²+2x-2y-2=0. 
Uma circunferência de centro (– 1 , 1) 
O ponto (– 1, 1) 
Conjunto vazio 
Uma elipse de centro (– 1, 1) 
4. Marque a alternativa da figura plana representada pela equação 
X²+4y²-4xy-4x+12y+9=0. 
Duas retas paralelas 
Duas retas coincidentes 
Uma elipse 
Uma parábola 
5. Marque a alternativa da figura plana representada pela equação 
X²+4y²+4xy+6x+12+9=0. 
Duas retas paralelas 
Duas retas coincidentes 
Uma elipse 
Uma parábola 
6. Identifique o lugar geométrico formado pela equação 
2x²-y²-xy-5x+4y+10=0 
Duas retas concorrentes 
Hipérbole 
Elipse 
Circunferência 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Qual equação abaixo representa a equação de uma elipse ou suas degenerações? 
2x²+5y²+ 4xy+20y+20y+44=0 
2x2+2y2+ 4xy+2y+4x+ 10=0 
x2-5y2+ 2xy+2x-4x+12=0 
3x2+3y2+ 6y+4x+ 10=0 
2. Qual equação abaixo representa a equação de uma circunferência? 
x2+y2+ 4x+2y+9=0 
x2+y2+ 4x+2y+10=0 
x2+y2+ 4x+2y+12=0 
x²+y²+ 4x+2y+4=0