GRÁFICOS DO MU E MUV

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Física – Prof. Augusto Melo 
DATA: NOME: 
Cinemática – Gráficos 
Introdução 
 
 A Cinemática é o ramo da física que se ocupa da 
descrição dos movimentos dos corpos, sem se preocupar 
com a análise de suas causas. De maneira geral, trabalha-
se frequentemente com a ideia de ponto material, caso em 
que a dimensão do corpo consagrado pode ser considerada 
irrelevante 
 
Grandezas físicas da Cinemática 
 
 Para estudar a cinemática, ou seja, a descrição dos 
movimentos, precisamos levar em conta algumas 
grandezas essenciais, que são: 
 
• Intervalo de tempo 
 
 Todos os movimentos que estudaremos acontecerão a 
partir de um determinado instante, que chamaremos 
instante inicial e representaremos por to. 
 Ao tempo decorrido entre dois determinados instantes 
denominamos intervalo de tempo. Representamos o 
intervalo de tempo por ∆t. Sua unidade no sistema 
internacional é o segundo (s). 
 
 
∆t = intervalo de tempo 
t = tempo (instante) final 
to = tempo (instante) inicial 
 
• Posição 
 
 Você já observou aquelas plaquinhas colocadas na 
beirada da estrada? Elas indicam a quilometragem, 
registram a posição do carro e permitem a você localizar-se 
na estrada. 
 
 
 Posição de um móvel é a sua localização em relação a 
uma determinada origem. 
 Representamos a posição por S. Sua unidade no 
Sistema internacional é o metro (m). 
 
• Deslocamento 
 
 Imaginemos que uma pessoa saiu do quilômetro 77 e 
neste instante está no quilômetro 153. 
 
 
 Sua posição inicial, representada por S0, é 77 km. Sua 
posição final é S, e vale 153 km. 
 A diferença entre duas posições de um móvel é 
denominada deslocamento. 
 
∆S = deslocamento 
S = espaço (posição) final 
So = espaço (posição) inicial 
Assim seu deslocamento foi de 76 quilômetros. 
 
• Distância percorrida 
 
 A distância percorrida (d) por um móvel é a soma de 
todos os deslocamentos, em módulo, realizados por ele. 
 
 
d = distância percorrida 
∆Sida = deslocamento na ida 
∆Svolta = deslocamento na volta 
 
• Velocidade escalar média 
 
 A velocidade média de um móvel é a razão entre o 
deslocamento e o tempo gasto para percorrer esse 
deslocamento (ΔS), contando-se os possíveis tempos de 
parada. 
 
 
Vm = velocidade escalar média 
∆S = deslocamento 
∆t = intervalo de tempo (total) 
 
• Rapidez 
 
 A rapidez de um móvel é a razão entre a distância 
efetivamente percorrida (d) e o tempo gasto para percorrer 
essa distância, descontando-se os possíveis tempos de 
parada. 
 
 
V = rapidez 
d = distância percorrida 
∆t = intervalo de tempo (movimento) 
 
• Aceleração escalar média 
 
 No dia a dia vemos que os objetos se movem de forma 
bastante variada. Carros, ônibus, pessoas e afins 
geralmente estão se movendo com velocidades diferentes 
a cada vez que os observamos. Ou seja, têm velocidade 
variável. Assim, a aceleração caracteriza como essa 
velocidade varia com o tempo. Seja fazendo-a aumentar ou 
diminuir. Ou até mesmo parar. 
 
 
am = aceleração escalar média 
∆V = variação de velocidade 
∆t = intervalo de tempo 
 
Classificação dos movimentos 
 
 Já sabemos que existem vários tipos de movimento. 
Pense, num carrinho de montanha-russa, por exemplo, ele 
acelera, mantém a sua velocidade, perde velocidade, anda 
em linha reta, faz curva. Quase todos os movimentos que 
nos cercam são assim: bem variados! 
 
 
 
0t t t = −
0S S S = −
ida voltad S S=  + 
m
S
V
t

=

d
V
t
=

m
V
a
t

=

 
 
 
 
 
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Cinemática – Gráficos 
 Também já sabemos que, para estudar qualquer coisa, 
temos de estabelecer uma forma de classificá-la. Lembre 
por exemplo, da classificação dos seres vivos; existem 
vários critérios para essa classificação. 
 Para classificar os movimentos, os critérios usados são 
a forma da trajetória e o que está acontecendo com a 
velocidade. 
 
• Classificação do movimento quanto à trajetória 
 
 Se a trajetória for reta, o movimento será retilíneo, se for 
curva, o movimento será curvilíneo. Eis alguns exemplos de 
movimentos curvilíneos: 
 
✓ Circular: a trajetória é uma circunferência. 
✓ Parabólico: a trajetória é uma parábola. 
✓ Elíptico: a trajetória é uma elipse. 
 
• Classificação do movimento quanto à variação da 
velocidade 
 
 Se a velocidade permanece constante, dizemos que o 
movimento é uniforme. 
 
 
 
 No exemplo acima observamos que o veículo percorre 
10 m a cada segundo, assim sua velocidade é de 10 m/s. 
 
 Se a velocidade varia, dizemos que o movimento é 
variado. Quando a velocidade aumenta, denominamos o 
movimento acelerado. 
 
 
 
 
 Na ilustração acima o carro aumenta a sua velocidade 
de 10 m/s a cada segundo, desse modo concluímos que a 
aceleração do movimento é de 10 m/s2. 
 
 Se o módulo da velocidade diminuir no decorrer do 
tempo, o movimento será chamado desacelerado ou 
retardado. 
 
 Existem alguns movimentos variados, nos quais o valor 
da velocidade muda à medida que o tempo passa, mas de 
forma totalmente previsível. Por exemplo, quando um corpo 
cai ou é lançado próximo à superfície terrestre, sua 
velocidade é aproximadamente 9,8 m/s a cada segundo. 
Para esses movimentos, a aceleração média vale: 
 
 
 
 Esse valor de aceleração é o mesmo para todos os 
corpos em queda livre na superfície da Terra numa mesma 
localidade. É denominado aceleração da gravidade e é 
simbolizado pela letra g. Para corpos próximos à superfície 
da Terra, iremos considerar que a aceleração da gravidade 
é igual a 10 m/s2. Desse modo, a aceleração será constante 
e a velocidade do corpo variará uniformemente. 
 Quando um corpo cai nessas condições, seu movimento 
é retilíneo uniformemente acelerado. E quando sobe, seu 
movimento é retilíneo uniformemente retardado. 
 
Observe que, no Sistema internacional, a unidade para a 
aceleração é o m/s2. 
 
• Classificação do movimento quanto ao sentido da 
trajetória 
 
 
 Dependendo do sentido do movimento, este pode ser 
classificado como: Movimento Progressivo ou Movimento 
Retrógrado. 
 
• Movimento Progressivo 
 
 O movimento progressivo é aquele em que o móvel 
caminha no mesmo sentido da orientação da trajetória. Aqui 
os espaços crescem no decorrer do percurso em função do 
tempo. 
 No movimento progressivo a velocidade escalar é 
positiva (v > 0). 
 
• Movimento Retrógrado 
 
 O movimento é chamado Retrógrado quando o móvel 
caminha contra a orientação da trajetória. Seus espaços 
decrescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar 
é negativa (v < 0). 
 Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da 
velocidade serve apenas para indicar o sentido do 
movimento e dizer se o movimento é progressivo ou 
retrógrado. 
 
29,8 /g m s=
 
 
 
 
 
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Cinemática – Gráficos 
Gráficos da Cinemática 
 
 Podemos representar os movimentos dos corpos, entre 
outras formas, através de gráficos nos quais, num dos 
eixos, colocamos o tempo e, no outro, uma das grandezas 
físicas de interesse na Cinemática - o espaço, a velocidade 
ou a aceleração. 
 Para construir um gráfico devemos primeiro traçar dois 
eixos perpendiculares entre si. 
 Na cinemática, a variável independente é o tempo, por 
isso escolhemos sempre o eixo das abscissas para 
representar o tempo. O espaço percorrido, a velocidade e a 
aceleração são variáveis dependentes do tempo e são 
representadas no eixo das ordenadas. 
 
Gráfico S x t 
 
 A partir de um gráfico S x t podemos inferir as seguintes 
grandezas: 
• o espaço a qualquer instante, 
• o espaço inicial, 
• a velocidade média 
• a velocidade instantânea. 
 
Movimento uniforme 
Movimento 
uniformemente 
variado 
acelerado 
Movimento 
uniformemente 
variado retardado 
a = 0 a > 0 a < 0 
 
 
No gráfico do espaço em função do tempo permite 
identificar o tipo de movimento além da leitura dos dados. 
 
Gráfico V x t 
 
 No gráfico V x t, podemos descobrir: 
• a velocidade e velocidade inicial; 
• a aceleração média e aceleração instantânea; 
• o espaço percorrido. 
 
Movimento uniforme 
Movimento 
uniformementevariado 
acelerado 
Movimento 
uniformemente 
variado 
retardado 
a = 0 a > 0 a < 0 
 
 
 
 A área do gráfico da velocidade em função do tempo é 
numericamente igual ao deslocamento sofrido pelo móvel. 
 
Figura Representação Área 
Quadrado 
 
𝐴 = 𝐿2 
Retângulo 
 
𝐴 = 𝐵.𝐻 
Paralelogramo 
 
𝐴 = 𝐵.𝐻 
Trapézio 
 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏).𝐻
2
 
Triângulo 
 
𝐴 =
𝐵.𝐻
2
 
 
Gráfico a x t 
 
 Já no gráfico a x t podemos verificar: 
• a aceleração a qualquer tempo; 
• a diferença de velocidade. 
 
Movimento 
uniforme 
Movimento 
uniformemente 
variado acelerado 
Movimento 
uniformemente 
variado retardado 
a = 0 a > 0 a < 0 
 
 A área do gráfico a x t fornece a variação de velocidade 
(∆V). 
 
Exercícios de aprendizagem 
 
01. Uma partícula se desloca ao longo de uma trajetória 
orientada de modo que sua velocidade escalar, v, varia 
em função do tempo, t, conforme o gráfico abaixo. 
 
 
a) Classificar o movimento da partícula como 
progressivo ou retrógrado; acelerado, retardado ou 
uniforme, respectivamente nos intervalos de 0 a t1, 
de t1 a t2, de t2 a t3, de t3 a t4 e de t4 a t5. 
b) Dizer em que instantes a partícula inverteu o 
sentido do seu movimento. 
 
02. O espaço s de uma partícula que se desloca em uma 
trajetória orientada varia em função do tempo t 
conforme o gráfico abaixo. 
 
a) Classifique o movimento da partícula como 
 
 
 
 
 
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Cinemática – Gráficos 
progressivo ou retrógrado; acelerado ou retardado, 
nos intervalos de 0 a t1 e de t2 a t3; 
b) Responda o que ocorre com a partícula no instante 
t2. 
 
03. O gráfico seguinte descreve o movimento de um ciclista; 
 
 
Calcule a velocidade escalar média do ciclista no 
intervalo de 0 a 20 s. 
 
04. O gráfico na figura descreve o movimento de um 
caminhão de coleta de lixo em uma rua reta e plana, 
durante 15 s de trabalho. 
 
 
a) Calcule a distância total percorrida neste intervalo 
de tempo. 
b) Calcule a velocidade média do veículo. 
 
05. O representa o movimento de uma motocicleta que parte 
do repouso de um semáforo. 
 
 
Determine: 
a) a aceleração escalar média da motocicleta; 
b) o deslocamento da motocicleta no intervalo de 0 a 
4 s. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
01. O movimento de uma partícula sobre uma trajetória 
orientada é descrito pelo gráfico da velocidade escalar, 
v, em função do tempo, t, abaixo. 
 
 
a) classificar o movimento como progressivo ou 
retrógrado; acelerado, retardado ou uniforme, 
respectivamente nos intervalos de 0 a t1, de t1 a t2, 
de t2 a t3, de t3 a t4, de t4 a t5 e de t5 a t6, 
b) dizer em que instantes a partícula inverteu o sentido 
do seu movimento. 
 
02. No instante t0 = 0, Juca dispara uma pequena esfera 
verticalmente para cima a partir do solo, adotado como 
origem dos espaços. A esfera sobe, atinge o ponto mais 
alto de sua trajetória e retorna, sendo capturada na 
descida, no instante t = 3,0 s, por seu amigo Theo, 
posicionado a 15,0 m de altura acima do ponto de 
lançamento. O gráfico da posição y da esfera em 
relação a um eixo de espaços coincidente com a 
trajetória está mostrado em função do tempo t no 
diagrama abaixo. 
 
 
A partir dessas informações, pede-se: 
a) determinar a distância percorrida pela esfera entre 
os instantes t0 = 0 e t = 3,0 s; 
b) calcular a velocidade escalar média da esfera entre 
os instantes t0 = 0 e t = 3,0 s; 
c) classificar o movimento da esfera como progressivo 
ou retrógrado; acelerado ou retardado, 
respectivamente nos intervalos de 1,0 s a 2,0 s e 
de 2,0 s a 3,0 s; 
d) dizer o que ocorre com a esfera no instante t = 2,0 
s. 
 
 
 
 
 
 
 
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Cinemática – Gráficos 
03. O gráfico abaixo mostra a variação da velocidade 
escalar de uma composição do metrô em função do 
tempo entre duas estações A e B separadas por um 
trecho retilíneo da ferrovia. 
 
Com base nessas informações, responda: 
a) Quais os módulos das acelerações escala- res do 
trem, em m/s2, na arrancada e na freada? 
b) Qual a distância, em km, que separa as estações A 
e B? 
c) Qual a velocidade escalar média da composição, 
em km/h, entre as estações A e B? 
 
04. Um veículo se aproxima de um semáforo e seu 
movimento pode ser representado pelo gráfico abaixo. 
 
Determine no intervalo de 0 a 4 s: 
a) a aceleração escalar média do automóvel; 
b) o deslocamento do móvel. 
 
05. Uma das invenções fundamentais que permitiram que 
se modificasse radicalmente o padrão arquitetônico das 
grandes cidades foi a do elevador. Esse equipamento, 
apresentado em versão segura pelo estadunidense 
Elisha Graves Otis em 1853, permitiu uma rápida 
modificação no panorama urbano mundial com o 
advento das edificações verticais. 
Admita que um funcionário, desejando subir a um andar 
superior do prédio onde trabalha, tenha tomado o 
elevador no instante t0 = 0, e que esse rapaz tenha 
desembarcado do equipamento no instante t = 20,0 s. 
A velocidade escalar do elevador variou com o tempo 
ao longo desse trajeto conforme o gráfico abaixo. 
 
Sabendo-se que o funcionário embarcou no elevador 
no 3º andar e que a distância vertical entre os pisos de 
dois andares consecutivos é constante e igual a 4,0 m, 
responda: 
a) Quais os módulos das acelerações escalares do 
elevador na arrancada e na freada? 
b) Em que andar o funcionário desembarcou? 
c) Qual a velocidade escalar média do elevador no 
percurso considerado?