MMC E MDC

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MDC E MMC 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
Definição: 
� é o maior dos divisores comuns de dois ou mais números diferentes de zero. 
Exemplo: 
• Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. 
• Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 
• Divisores comuns entre 20 e 12: 1, 2, 4. 
Dessa forma, observando a definição temos que o MDC entre 20 e 12 é o 4. Logo podemos escrever que, 
MDC (20; 12) = 4 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
Definição: 
� é o menor dos múltiplos comuns, diferente de zero, de dois ou mais números. 
Exemplo: 
• Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... 
• Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ... 
• Múltiplos comuns entre 4 e 6: 0, 12, 24, 36, ... 
Dessa forma, observando a definição temos que o MMC entre 4 e 6 é o 12.Logo podemos escrever que, 
 
MMC (4; 6) = 12 
 
 
 
 
 
 
 
Processo para determinação do MDC e do MMC. 
Utilizaremos o Processo de Fatoração Simultânea. 
Exemplos: 
Determine o MDC e o MMC de: 
1) 15 e 90; 
 
 
 
2) 108 e 144. 
 
 
 
Propriedade entre MMC e MDC 
Sejam a e b dois números naturais diferentes de zero. Sempre é possível verificar que: 
mmc (a ; b) · mdc (a ; b) = a·b 
que pode ser lida da seguinte forma: o produto entre o mmc e o mdc de dois números é igual ao produto dos dois 
números. 
 
 
Problemas com MMC e MDC 
Existem apenas duas situações que podem ocorrer em concursos. São elas: 
• Ocorrências cíclicas (repetidas) – serão resolvidas por MMC. 
• Quando for pedido o maior número ou maior tamanho possível, desde que a divisão seja em quantidades 
iguais ou em tamanhos de mesma medida – será resolvido por MDC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01. (SOLDADO PM FUNCAB 2012 - ADAPTADA) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 45 e 150, e M o 
Mínimo Múltiplo Comum entre eles, determine o valor de 10·M - 20·D. 
(A) 3.050 
(B) 3.750 
(C) 4.050 
(D) 4.200 
(E) 5.000 
 
 
02. (TRF FCC) Numa empresa, os agentes de segurança fiscalizam o setor A cada 2 dias, o setor B a cada 3 dias e o 
setor C a cada 8 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se hoje os três setores foram fiscalizados, a 
próxima vez em que isso ocorrerá será daqui a: 
(A) 13 dias 
(B) 24 dias 
(C) 30 dias 
(D) 36 dias 
(E) 48 dias 
 
 
03. (FCC) Duas polias conectadas por uma correia têm comprimentos de 12 cm e 22 cm. O menor número de voltas 
completas que a polia menor deve dar para que a polia maior dê um número inteiro de voltas é, 
 
 
 
 
 
(A) 7 
(B) 8 
(C) 9 
(D) 10 
(E) 11 
 
 
04. (TRF 4º REGIÃO FCC 2010) Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições – X, Y e Z – realizam 
concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando 
que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá em 
(A) julho de 2015. 
(B) junho de 2014. 
(C) julho de 2013. 
(D) janeiro de 2012. 
(E) fevereiro de 2011. 
 
 
05. (FCC) Três policiais fazem plantões regularmente, o primeiro a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a 
cada 10 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 12/06/01 os três fizeram plantão, a próxima 
coincidência de data em seus plantões é? 
(A) 10/08/01 
(B) 12/08/01 
(C) 10/09/01 
(D) 10/10/01 
(E) 12/10/01 
 
 
 
06. (FCC) Uma empresa prestadora de serviços possui 3 rolos de fio de telefone com 120, 168 e 408 metros, 
respectivamente, e deseja cortá-los em partes iguais sendo o maior tamanho possível. O número total de partes 
iguais é de 
 
(A) 20 
(B) 23 
(C) 29 
(D) 32 
(E) 37 
 
 
07. (BANCO DO BRASIL FCC 2011) Suponha que 60 funcionários do Banco do Brasil − 60% dos quais lotados em certa 
Agência de Florianópolis e, os demais, em determinada Agência de Chapecó − serão divididos em grupos, a fim de 
participar de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos deverão conter a mesma 
quantidade de funcionários e que todos os funcionários de cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a 
menor quantidade de grupos que poderão ser formados é um número, 
(A) menor que 4. 
(B) primo. 
(C) divisível por 3. 
(D) par. 
(E) maior que 8. 
 
08. (MPU FCC 2007) Em uma sede da Procuradoria da Justiça serão oferecidos cursos para a melhoria do 
desempenho pessoal de seus funcionários. Considere que: 
− essa sede tem 300 funcionários, 
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 dos quais são do sexo feminino; 
− todos os funcionários deverão fazer um único curso e, para tal, deverão ser divididos em grupos, cada qual 
composto com pessoas de um mesmo sexo; 
− todos os grupos deverão ter o mesmo número de funcionários; 
− cada grupo formado terá seu curso em um dia diferente dos demais grupos. 
Diante disso, a menor quantidade de cursos que deverão ser oferecidos é 
(A) 25 
(B) 20 
(C) 18 
(D) 15 
(E) 12 
 
09. (TÉCNICO TRT 24º REGIÃO FCC 2011) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem 
em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, 
se no último dia de Natal− 25/12/2010 − ambos esNveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, 
uma nova coincidência de datas de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em, 
(A) 18 de janeiro. 
(B) 10 de fevereiro. 
(C) 31 de março. 
(D) 24 de abril. 
(E) 18 de maio 
 
10. (TRT BA FCC) Em uma secção, a cada 12 dias, faz-se uma arrumação nos armários e, a cada 15 dias, é feita uma 
limpeza nos equipamentos, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Essas duas tarefas coincidiram no dia 10 de 
janeiro de 2003. A coincidência seguinte ocorreu no dia 
(A) 15 de fevereiro. 
(B) 20 de fevereiro. 
(C) 01 de março. 
(D) 11 de março. 
(E) 21 de março. 
 
11. (TRE AM FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a 
mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas 
gavetas deverá usar? 
(A) 33 
(B) 48 
(C) 75 
(D) 99 
(E) 165 
12. (TÉCNICO TRT 15º REGIÃO 2009) Um Técnico Judiciário recebeu dois lotes de documentos para arquivar: um, 
contendo 221 propostas de licitações e outro, contendo 136 processos. Para executar tal tarefa, recebeu as 
seguintes instruções: 
− todas as propostas de licitações deverão ser colocadas em pastas amarelas e todos os processos em pastas 
verdes; 
− todas as pastas deverão conter o mesmo número de documentos; 
− deve ser usada a menor quantidade possível de pastas. 
Se ele seguir todas as instruções que recebeu, então, 
(A) usará 17 pastas amarelas para guardar todas as propostas de licitações. 
(B) usará 13 pastas verdes para guardar todos os processos. 
(C) o número de pastas amarelas que usar excederá o de verdes em 6 unidades. 
(D) cada uma das pastas ficará com 8 documentos. 
(E) serão necessárias 21 pastas para acomodar todos os documentos dos dois lotes. 
 
 
13. (TRT 24º REGIÃO FCC 2011) Todos os 72 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho de Mato 
Grosso do Sul deverão ser divididos em grupos, a fim de se submeterem a exames médicos de rotina. Sabe-se que: 
− o número de funcionários do sexo feminino é igual a 80% do número dos do sexo masculino; 
− cada grupo deverá ser composto por pessoas de um mesmo sexo; 
− todos os grupos deverão ter o mesmo número de funcionários; 
− o total de grupos deve ser o menor possível; 
− a equipe médica responsável pelos exames atenderá a um único grupo por dia. 
Nessas condições, é correto afirmar que: 
(A) no total, serão formados 10 grupos. 
(B) cada grupo formado será composto de 6 funcionários.(C) serão necessários 9 dias para atender a todos os grupos. 
(D) para atender aos grupos de funcionários do sexo feminino serão usados 5 dias. 
(E) para atender aos grupos de funcionários do sexo masculino serão usados 6 dias. 
 
 
 
14. (TRT BA FCC) Em uma secção, a cada 12 dias, faz-se uma arrumação nos armários e, a cada 15 dias, é feita uma 
limpeza nos equipamentos, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Essas duas tarefas coincidiram no dia 10 de 
janeiro de 2003. A coincidência seguinte ocorreu no dia 
(A) 15 de fevereiro. 
(B) 20 de fevereiro. 
(C) 01 de março. 
(D) )11 de março. 
(E) 21 de março. 
 
15. (TRF SE FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 
160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote 
contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, 
a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é 
(A) 8 
(B) 10 
(C) )12 
(D) 14 
(E) 16 
 
 
16. (TRF FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2. 
 
 
 
 
 
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas 
retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá 
obter é: 
(A) 135 
(B) 137 
(C) 140 
(D) 142 
(E) 149 
 
 
17. (TRF FCC) De um terminal rodoviário saem ônibus para o Jardim Veneza a cada 20 minutos, para o Jardim Capre 
a cada 30 minutos e para o Jardim Roma a cada 40 minutos. Se ás 7 horas saíram simultaneamente ônibus para os 
três locais, no mesmo dia isso voltou a ocorrer às: 
(A) 7h 40min 
(B) 8h 
(C) 8h 30min 
(D) 9h 
(E) 9h 10min 
 
 Comprimento (m) Largura (m) Espessura (mm) 
B1 231,00 0,18 1,5 
B2 180,00 0,18 1,5 
18. (TRF FCC) O caixa de um banco tem em sua gaveta: 240 cédulas de R$ 10.000,00, 180 cédulas de R$ 50.000,00 e 
120 cédulas de R$ 100.000,00. Decidiu separá-las em pacotes com cédulas de um único valor. Se cada pacote deve 
conter o maior número possível de cédulas, todos eles com a mesma quantidade, quantos pacotes ele deverá obter? 
(A) 60 
(B) 48 
(C) 18 
(D) 12 
(E) 9 
 
 
19. (CESPE) A respeito dos números 72 e 108 é correto afirmar que: 
1. eles têm os mesmos fatores primos. 
2. eles possuem as mesmas quantidades de fatores primos, contando as repetições. 
3. o máximo divisor entre eles é igual a 12. 
4. o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 512. 
 
 
20. (AGENTE DE INFORMAÇÕES SPTrans VUNESP 2012) Uma pessoa está empacotando livros destinados a doações 
e percebeu que poderia fazer pacotes com 4, 5 ou 6 livros cada um e que sempre sobrariam 2 livros. Sabendo que 
todos os pacotes deverão conter o mesmo número de livros, pode-se concluir que o menor número de livros que 
essa pessoa irá doar será 
(A) 74. 
(B) 70. 
(C) 68. 
(D) 62. 
(E) 58. 
 
 
21. (CASA SP VUNESP 2010) Para fazer cocadas, uma senhora espalha a massa do doce sobre um tabuleiro 
retangular cujas medidas são 60 cm de comprimento por 68 cm de largura, de forma que essa massa preenche 
totalmente o tabuleiro. Sabe-se que as cocadas são cortadas em quadradinhos de maior tamanho possível e que não 
ocorre nenhuma sobra. Se forem consumidos 3/5 do total dessas cocadas, restarão ainda 
(A) 164. 
(B) 153. 
(C) 135. 
(D) 127. 
(E) 102. 
 
 
22. (AGENTE DE INFORMAÇÕES SPTrans VUNESP 2007) Descubra os dois números ocultos: 
• O mmc entre eles é igual a 2·33·7 
• O mdc entre eles é igual a 3 
Esses números são: 
(A) 2·7 e 3·7 
(B) 2·33·7 e 2·3 
(C) 32·7 e 3 
(D) 2·3 e 3·7 
(E) 2·3·7 e 33 
 
 
23. (SAP SP VUNESP 2009) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na 
oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior 
possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados 
(A) 5 grupos. 
(B) 8 grupos. 
(C) 10 grupos. 
(D) 12 grupos. 
(E) 13 grupos. 
 
24. (TJ SP VUNESP 2004) A cobertura de um piso retangular de 12 x 18 metros será feita com placas quadradas de lado igual a L 
metros. Se L é um número natural, para que haja uma cobertura perfeita do piso, sem cortes ou sobreposições de placas, é 
necessário e suficiente que 
(A) L seja um número par. 
(B) L divida 12. 
(C) L divida 18. 
(D) L divida o MDC (12,18). 
(E) L divida o MMC (12,18). 
 
25. (SAP SP VUNESP 2009) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O 
primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 
18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada 
(A) 1 h 24 min. 
(B) 1 h 18 min. 
(C) 1 h 12 min. 
(D) 1 h 06 min. 
(E) 1 h. 
 
 
 
GABARITO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MMC E MDC. 
01 - D 02 - B 03 - E 04 - D 05- D 06 - C 07 - B 08 - E 09 - B 10 - D 
11 - A 12 - E 13 - C 14 - D 15- C 16 - B 17 - D 18 - E 19 - * 20 - D 
21 - E 22 - E 23 - A 24 - D 25 - C 
 
 * 19 – 1. C / 2. C / 3. E / 4. E